分式方程和无理方程
分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法分式方程是指方程中含有一个或多个分式的方程。
无理方程是指方程中含有无理数的方程。
解分式方程和无理方程的方法有很多，下面我将介绍几种常见的解法。
解分式方程的方法：1.清除分母法：对于只包含一个分子、一个分母的分式方程，可以通过消去分母来解方程。
例如，对于方程1/x-1/(x+1)=1/2，我们可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到2(x+1)-2x=x(x+1)，然后化简方程得到x^2+x-2=0，解这个二次方程可以得到x=-2或x=1，这就是分式方程的解。
2.通分法：对于分式方程中含有多个分母的情况，可以通过通分来化简方程。
例如，对于方程1/(x-1)+3/(x+1)=2/(x^2-1)，我们可以将方程的右边进行通分得到(x-1)/(x+1)(x-1)+3(x+1)/(x+1)(x-1)=2/(x^2-1)，然后化简得到(x-1)+3(x+1)=2，解这个一次方程可以得到x=-1，这就是分式方程的解。
3.代数方法：对于更复杂的分式方程，我们可能需要借助一些代数技巧来解方程。
例如，对于方程(x-1)/(x+2)+(x+1)/(x-2)=2，我们可以先将方程两边都乘以(x+2)(x-2)来消去分母，得到(x-1)(x-2)+(x+1)(x+2)=2(x+2)(x-2)，然后展开并化简方程，最终得到一个一次方程，解这个一次方程可以得到x=-3或x=1，这就是分式方程的解。
解无理方程的方法：1.平方法：对于一些包含平方根的无理方程，可以尝试平方来消去无理数。
例如，对于方程√x+3=5，可以将方程两边都平方，得到x+6√x+9=25，然后将方程整理为一个关于√x的一次方程，解这个一次方程可以得到√x=4或√x=-4，进一步求解得到x=16或x=-16，这就是无理方程的解。
2.分析法：对于一些无理方程，可以利用函数图像的性质进行分析和直观理解。
例如，对于方程√x-1=0，我们可以将方程理解为函数y=√x和y=1的交点，通过观察可知x=1是唯一的交点，因此方程的解为x=13.降低次数法：对于一些无理方程，可以通过一些代数技巧将其转化为一个次数更低的方程。
分式的基本特征范文
分式的基本特征范文分式是一种形式的数学表示，用来表示一个数与另一个数的比值。
分式通常由一个分子和一个分母组成，分子在分式的上面，分母在分式的下面，两者之间用一条横线分隔。
分式的基本特征包括有理数分式、无理数分式、分式的化简、分式的运算和分式方程。
有理数分式是指分子和分母都是有理数的分式，可以用整数的比值来表示。
例如，1/2、3/4、5/6等都是有理数分式。
无理数分式是指分母或分子中包含有无理数的分式，例如√2/3、3/√5等。
有理数分式和无理数分式都属于分式的范畴。
分式的化简是指将一个分式化简为最简形式，即将分子和分母的公因数约掉，以得到一个最简分式。
例如，将2/4化简为1/2，将6/9化简为2/3等。
分式的化简可以帮助我们更容易地进行运算和比较。
分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于分式的加法和减法，需要找到一个公共分母，然后将分子相加或相减即可。
对于分式的乘法，将分子相乘、分母相乘即可。
对于分式的除法，将除数取倒数，然后进行乘法即可。
分式的运算可以通过化简的方式来简化复杂的计算过程。
分式方程是带有分式的方程，其中未知数出现在一个或多个分式中。
解分式方程的一般步骤是去分母，然后解得未知数的值。
解分式方程可以帮助我们求解一些复杂的实际问题，例如比例问题、速度问题等。
在分式的运算中，需要注意的是要避免出现分母为零的情况，因为分式中的分母不能为零。
另外，在化简和计算的过程中，需要注意运用各种数学运算定律和分式运算法则，以确保计算的准确性和有效性。
总之，分式是数学中常见的数学表示形式，具有一定的特征和规律。
掌握分式的基本特征和运算方法，可以帮助我们更好地理解分式的含义和运用，提高数学解题的能力和技巧。
创新学校中考总复习数学通用辅导材料初三复习基本训练卷--分式方程和无理方程(A)
一． 填空题：1．方程13=+πx _____________分式方程.（填“是”或“不是”） 2．分式方程11510+=x x 的根是___________________. 3．如果代数式31--x x 的值是32，那么x =______________. 4．方程011322=--+-xx x _____________无理方程.（填“是”或“不是”） 5．方程3162=-x 的解是__________________.6．已知线段AB=10cm,点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP,则AP=_______cm.7．分式方程1837222-=-++x x x x x 的最简公分母是______________. 8．分式方程112331)2(82222=+-+-+x x x x x x ，如果设y x x x =-+1222，那么原方程可以化为_______________.9．已知：0(180≠=nR R n l π)，则R=______________.（用n 、l 的代数式表示R ） 10． 用换元法解无理方程2152522=++-+x x x x ，如果设y x x =++152，则原方程可以化为_______________.11． 在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了___________数学思想.12． 无理方程042=+-x 无解的依据是_________________________.13． 已知点P 的坐标为(x ，3),A(4，－1),如果PA=6,那么可得到方程_______________.14． 分式方程111=-⋅-xx x 的解x =________________. 15． 如果04412=+-x x ，那么x2的值是__________________. 16． 已知方程a a x x 11+=+的两根分别为a 、a 1，则方程1111-+=-+a a x x 的根是__________________.17． 在解分式方程时，除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用______________法来解.18． 如果)(111221R R R R R ≠+=，如果用R 、R 2表示R 1,则R 1=_____________. 19． 当x=____________时，代数式3472--x x x 与534+x 的值互为倒数. 20． 方程02050=+⋅-x x 的根是____________；方程0)20)(50(=+-x x 的根是________________.21． 某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为x ，则可列出方程_________________________.22． 已知021=++-y x ，则xy =_________________.23． 解分式方程331-=--x m x x 产生增根，则m=________________. 24． 方程22=-+x x 的根是__________________.25． 方程032=+-x x 的解是___________________.26． 若代数式4162--x x 的值为0，则x=______________. 27． 解分式方程)2(3422x x x x +=+，如果设y x x =+2，原方程则可以化为______. 28． 方程65=+xx 的解是___________________. 二． 选择题：1．方程0242=--xx 的根是 （ ） (A) x 1=2,x 2=－2; (B) x 1=2; (C) x =－2; (D) 以上答案都不对.2．方程2211-=-x x 的根是 （ ） (A) x 1=1,x 2=2; (B) x =1; (C) x =2; (D) x =0.3．下列方程中，有实数解的是 （ ） (A) 012=+-x ;(B) 43-=-x x ;(C) x x -=+2; (D) 015=++-x x .4．设y=x 2+x +1,则方程xx x x +=++2221可化为 （ ） (A) y 2－y －2=0; (B) y 2+y+2=0; (C) y 2+y －2=0; (D) y 2－y+2=0.5．分式方程420960960=+-x x 的解是 （ ） (A) x =60; (B) x =－80; (C) x 1=60,x 2=－80; (D) x 1=－60,x 2=80.三． 简答题：1．解方程06)1(5)1(2=++++x x x x2．解方程12244212=-+-++xx x x3．33=-+x x4．用换元法解方程153322=++-+x x x x5．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++346234121341233xy y x y x y x。
解无理或分式方程是否必须验根
OCCUPATION972011 7解无理或分式方程是否必须验根文/黄春山教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第１０页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：解方程１．2310x x −−= （无理方程） ２．271122x x x x x −=+−−− （分式方程）题１类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题２类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：１．解：23560x x −+=令y 原方程化为260y y −−= （２）解得12,3y y =−=12y =−2−，不合理，舍去 （３）ｙ２3 （４）即ｘ２解得ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４ ；经验证ｘ１＝－１， ｘ２ ＝ ４都是原方程的根。
２．解：原方程两边同乘以（ｘ＋１）（ｘ－２） （６）得ｘ（ｘ－２）－７＝－（ｘ＋１） （７）即ｘ２－ｘ－６＝０ 解得ｘ１＝－２ ， ｘ２＝ ３；经验证ｘ１＝－２ ，ｘ２＝３都是原方程的根 （８）注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
分式方程、无理方程及应用题解析训练
分式方程、无理方程及应用题解析训练【例题精选】例1：解方程1、211112x x -++= 2、31132x x +-=-分析：第一个方程是分式方程，要先化为整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特别注意，方程两边各项都要乘以公分母．第二个方程是个无理方程，也要变为有理方程去解，可以将含根号的式子留在一边，其它移到另一边，用两边平方的方法去掉根号． 解：1、211112x x -++= 两边同乘以(x+ 1)(x －1)()()()()()21112112021022+-=+-+-=---=-+=x x x x x x x x x解得：x x 1221==-,解：2、31132x x +-=- 变形为 31132x x +=-两边平方 ()311322x x +=-()∴+=-+-=-=31169660610222x x x x x x x 解得经检验：x = 1是增根，原方程解为x = 0．说明：分式方程与无理方程的解法中，验根是必不可少的步骤之一，验根不是写一下的形式，而要实实在在的带入去检验，如方程（2）中，当x = 1时，右边为－2，而左边是算术根，应大于等于零，因此是增根，检验分式方程时，只有分母不为零就可以了．例2：用换元法解方程：19291+-+=x x x分析：若用两边平方去根号有两个根号很烦，题目又指定了用换元法，因此要考虑如何换元，将根式内化简，199+=+x x x．而另一根号为x x +9，是互为倒数关系，因此可以找出如何换元的方法了．解：19291+-+=x x x 原方程变形为x x x x +-+=9291 设x x y x x y +=+=991,则 原方程变形为 y y-=21 ()()∴--=-+===-=+=+=+===-+=-y y y y y y y x x x xx x x y x x 21212202102129294943191,,,,,当时解得当时，此方程无解经检验x = 3是原方程的根．说明：特别注意求出y 值后没有求完，而要再求x 值． 例3：用换元法解方程：243261522x x x x -+-+= 分析：用换元法解无理方程时，一般设根号内整体为一个新的未知数，这样可变为有理方程，再去解．解：原方程中设x x y x x y 2222626-+=-+=,则 原方程变形为241232627022x x x x -++-+-=()()∴+-=-+===-=-+=∴-+=--===-=--+=-23270329039232632692303192269221212221222y y y y y y y x x x x x x x x y x x 解得由即解得由得此方程无解,,,,,,经检验，x x 1231==-,是原方程的解． 例4：甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发匀速相向而行，在距A 地7千米的地方相遇，相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进，甲到B 地，乙到A 地后，立即返回，两人又在距B 地4千米的地方相遇，求A 、B 两地间距离．分析：这个题目中已知数据比较少，可以用图示法先表示出数量间关系，由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇，所用时间相同，因此可以用时间相同列等量关系，而题中又没表示出速度，可以设速度为一个中间变量，列方程就简单多了，因此引进辅助未知数也是常用的方法之一，它可以使数量间关系变得更为简明．解：设A 、B 两地距离为x 千米，甲速为a 千米/小时，乙速为b 千米/小时．由题意7744a x b x a x x b =-+=+-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 整理为77424x a b x x ab -=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ ()∴-=+--=-===7742417010017212x x x x x x x x x 解得,经检验x = 0不合题意舍去，x = 17是原方程的解．答：A 、B 两地间距离为17米．例5：一容器装满纯药液20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多液体，又用水加满，此时，桶内药液浓度为25%，求每次倒出多少药液？分析：可设每次倒出药液为x 升，将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析，如第一次倒出药x 升，剩药20－x ，浓度为2020100%-⨯x ，第二次倒出药2020-⋅x x ，剩药202020---x x x ，此时浓度为20202020---x x x ，这样就找到了等量关系．2020202025%4030003010212---=-+===x x x x x x x 解得, 经检验x 1 = 30不合题意舍去，∴ x = 10是原方程的解．答：每次倒出药液为10升．说明：分析两次倒药液情况，可以列出表格来，将所列各项填入，这样使等量关系更加清楚了．例6：小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可以得到本金加利息共6元，求这种存款的年利率．分析：近些年来，由于商品经济的发展，不少联系实际的应用题，其中存款利率就是其中的一种，利率与本金利息之间存在一定的固定关系，本金×利率 = 利息，要按照题意，找到相应的等量关系．解：设这种存款的年利率为x ， ()[]()()()()()1001501661001501665012513301351111011010%22+-⨯+=+-+=+-+-=+=-+===x x x x x x x x x 解得，不合题意舍去，答：这种存款的年利率为10%．说明：联系生产实际的问题还有很多类型，比如出售商品，若按九折出售，即按原价的90%出售，只有将这些名词的含义弄清楚了，才会正确解决这类问题．例7：甲、乙两人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来我走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．分析：这是北京市1996年考试题，考查学生分析问题、解决问题的能力问题，甲、乙两人从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行到相遇，隐含了刚好在A 、B 中点相遇的条件．即在10千米地方相遇，题中甲到B 地后乙还需30分钟才能到A 就是等量关系，这样就可以列出方程了．解：设乙每小时走x 千米，则甲每小时走(x + 1)千米．()()20101011210101122005402x x x x x x x x x --+=-+=+-=+-= 解得：x x 1254=-=,解：由题意 由题意由题意经检验x x 1254=-=,都是原来分式方程的解，但x =－5不合题意舍去．∴ x = 4是原方程的解．答：乙每小时走4千米．【综合练习】一、选择题：1．下列方程中有解的是（ ）．A ．x ++=120B ．2132x ++=C ．2123x ++=D ．x x -+-=223 2．x x +=-6的解的情况为（ ）．A ．无解B ．x = －3或x = 2C ．x = 3D ．x = －23．用换元法解方程x x x x 22881123+++-=，若设y x x =+-2811，则原方程可化为（ ）．A ．y y 2120++=B ．y y 2230+-=C ．y y 2120+-=D ．y y 2340+-=4．方程x x x x 223351---+=根的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．45．无理方程x x +⋅-=130的解为（ ）．A ．无实根B ．x 1 = －1, x 2 = 3C ．+3D ．－1二、解答题：1．解分式方程4111x x --=． 2．求当2454x x m x --=-产生增根时，m 的值． 3．解方程2412132x x x -+-=． 4．用换元法解分式方程x x x x -+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=1615． 5．解方程713101x x +-+=．6．解方程x x x x x x-+--=-422412222． 7．用换元法解方程x x x x -----+=5757540． 8．要完成一件工程，甲独作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙独作比三个合干多用15到，丙独作所需时间是三人合干所需时间的4倍，求三人单干各需多少时间完成．9．甲、乙两人分别从相距36千米的A 、B 两地同时出发，相向是行，甲行至1千米时，发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取物后又立即从A 向B 前进，结果两人恰在AB 中点处相遇，已知甲比乙每小时多走0.5千米，求两人速度各多少？10．甲步行上午6时从A 出发于下午5时到达B 地，乙骑自行车上午10时从A 地出发，于下午3时到达B 地，问乙在什么时间追上甲的？11．某工程队按计划挖土方200立方米，如果每天超额完成5立方米，则工程提前2天完成，求原计划的天数及每天超额的百分数．【答案及提示】一、选择题： 1．C 2．D 3．C 4．C 5．C二、解答题1．x = 2 提示，用去分母的方法解分式方程．2．m = 8 分式方程产生增根，原因在于方程两边乘了数值为0的代数式，去分母后 ()255x x m --=，将x = 4代入后，得m = 8，因此当方程产生增根时，m = 8．3．解：原方程变形为2412132x x x -+-= 2412132x x x ---= 两边同乘 ()342x - ()∴-+=-63242x x x()()636432012022x x x x x x x --=--+=--=x 1 = 1, x 2 = 2经检验x = 2是增根，x = 1是原方程的根．4．提示：设x x y x x y x x -=-===111324,,则解得是增根，是原方程的根。
分式方程和无理方程
方 法
1.在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母， 在分式方程两边同乘以最简公分母 可把分式方程化为整式方程 2.换元可以使解方程的过程变得简便 换元可以使解方程的过程变得简便 换元 3. 解分式方程时应注意检验 解分式方程时应注意检验
提 炼
一化二解三检验
三、无理方程的解法
2
x +2 =1 2 2x − 1
2
典
即 7x −1 = 0 或 x − 3 = 0
2
型 例 题
2Байду номын сангаас
解得
7 7 x1 = − , x3 = − 3 , x 4 = 3 , x2 = 7 7
经检验 以上均为原方程的根 以上均为原方程的根. 换元可以使运算变得简便
典
例5 已知关于
x −1 x − 2 2x + a − = 的解为负数 x − 2 x + 1 ( x − 2)( x + 1)
x2 = 22 是增根 是增根.
方程一边出现两个根号时要先移项. 方程一边出现两个根号时要先移项
解无理方程的思路是： 解无理方程的思路是：
无理 方程 去根号
有理 方程
解无理方程的一般步骤
1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先 将方程的两边平方，化成有理方程. 平方 有理方程 移项，再平方 移项， 2、解这个有理方程. 解这个有理方程. 3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
解分式方程的思路是： 解分式方程的思路是：
分式 方程 去分母
整式 方程
解分式方程的一般步骤
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 最简公分母 化成整式方程. 化成整式方程. 整式方程 2、解这个整式方程. 解这个整式方程. 3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 把整式方程的解代入最简公分母， 最简公分母 不为0 则整式方程的解是原分式方程的解； 分母的值不为 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4、写出原方程的根. 写出原方程的根.
【免费下载】初高中数学衔接内容第七讲 分式方程和无理方程的解法
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
分式方程与无理方程
5分式方程与无理方程分母含有未知数的方程叫分式方程，解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有：直接去分母，换元法等.根号内含有未知数的方程叫无理方程，解无理方程的主要思路是去掉根号，把无理方程化为有理方程，常用的方法有：乘方法、换元法、配方法等.在解分式方程、无理方程中，有可能产生增根，尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根，挖掘隐含条件。
例1 若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是________.解题思路 化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约.例2 x =-有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）A. P>－1B. P ≤0C. －1<P ≤0D. －1≤P<0解题思路 将无理方程转化为有理方程，要准确求出P 的范围，还应由二次根式的性质去发现隐含的根的特性.例3 解下列方程（1）5968419221;19968x x x x x x x x ----+=+----（2）22223411;2283912x x x x x x x x ++-+=+-+（3）22()31x x x +=+解题思路 由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母，需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.例4 解下列方程（11=（2=解题思路 仔细观察被开方数、分子分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口。
在解无理方程时常用的换元法有： （1）局部代换；（2）整体代换；（3）利用倒数关系找换；（4）构造对偶式代换.例5 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解.解题思路 化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题.练习一1. 若关于x 的方程11ax x +-－1＝0有增根，则a 的值为________. 2. 方程2x ＋21x－3（x+1x ）＋4＝0的解为________.3. ＝12x －a 有一个根是2，则a ＝_______.4. 方程2x ＋3x －2337x x +-＝9的全体实数根的积为_________.5.已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋11x -＝a ＋11a -的根是（ ）A. a ，11a - B. 11a -，a －1 C. 1a ，a －1 D. a ，1a a -6. 给出下列四个结论，①2没有实数根；②解方2()1x x -－2（1xx -）－3＝0时，若设1xx -=y ，则原方程变形为y 2－2y －3＝0；③存在这样的两个实数a 、b＋a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 总有实数根，其中正确的有（ ）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④7. 若m 是方程2x 2＋7x ＋21的所有实数解之和，则m 的值是（ ）.A. 112-B. 72- C. －7 D. －118. 已知关于x x =有一个根为1，那么它的另一个根为（ ）.A. －1B. 0C. 2D. 39. 解下列方程（1103=；（2）2216104()933x x x x+=--10. 若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值.11. 已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，其中m 为实数，当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根.练习二1. 方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是______.2. 方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为_________3. 方程｜x －1992＝1992的实数根是_______.4. 设m 为正数且关于x x m =+有实数解，则m 的取值范围是________.5. 方程33116()x x x x+=+的解的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 36. 3的所有解的和为（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 07. x =有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是（ ）.A. P ≤0B. P<14 C. 0≤P<14 D. P ≥148. 设正整数a ，m ，n =a 、m 、n 的取值是（ ）A. 有一组B. 有二组C. 多于二组D. 不存在9. 解下列方程（1）222212219;116x x x x x x x +++++=+++（2=（a 为不等于0的常数）10. 已知关于x 的方程25()56a ax x x x+--=-有两个根相等.求a 的值.11. 已知关于x 的方程22(1)()(27)()1011x xa a x x --++---有实数根。
分式方程和无理方程
分式方程和无理方程知识点总结一．分式方程、无理方程的相关概念：1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．无理方程：根号内含有未知数的方程。
（无理方程又叫根式方程）3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。
二．分式方程与无理方程的解法：1．去分母法：用去分母法解分式方程的一般步骤是：①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。
在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。
2．换元法：用换元法解分式方程的一般步骤是：②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想；③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解；④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。
解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。
三．增根问题：1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。
2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。
解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。
常见考法（1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主；（2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。
误区提醒（1）去分母时漏乘整数项；（2）去分母时弄错符号；（3）换元出错；（4）忘记验根。
【典型例题】。
分式方程_无理方程和高次方程地解法讲练
第一讲分式方程(组)的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．例1 解方程解令y=x2＋2x-8，那么原方程为去分母得y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0，y2-4xy-45x2=0，(y+5x)(y-9x)=0，所以 y=9x或y=-5x．由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1．经检验，它们都是原方程的根．例2 解方程y2-18y+72=0，所以 y1=6或y2=12．x2-2x＋6=0．此方程无实数根．x2-8x+12=0，所以 x1=2或x2=6．经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．例3 解方程分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为整理得去分母、整理得x＋9=0，x=-9．经检验知，x=-9是原方程的根．例4 解方程分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为即所以((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．例5 解方程分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为整理得去分母得x2＋9x-22＝0，解得 x1=2，x2=-11．经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根．例6 解方程次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为所以x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3．例7 解方程分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为当x≠0时，解得x=±1．经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．例8 解方程解将原方程变形为例9 解关于x的方程将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．例10 如果方程只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2-2x+(a+4)=0．①原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即△=4-4·2(a+4)=0．(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得2×4-2×2＋(a+4)=0，即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是练习一1．填空：(3)如果关于x的方程有增根x=1，则k=____．2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解方程7．m是什么数值时，方程有根？第二讲无理方程的解法未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．例1 解方程解移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以 x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．例2 解方程方公式将方程的左端配方．将原方程变形为所以两边平方得3x2+x=9-6x＋x2，两边平方得3x2+x=x2＋6x＋9，例3 解方程即所以移项得例4 解方程解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为配方得利用非负数的性质得所以 x=1，y=2，z=3．经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．例5 解方程所以将①两边平方、并利用②得x2y2＋2xy-8=0，(xy＋4)(xy-2)=0．xy=2．③例6 解方程解观察到题中两个根号的平方差是13，即②÷①便得由①，③得例7 解方程分析与解注意到(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．例8 解方程整理得y3-1=(1-y)2，即(y-1)(y2+2)=0．解得y=1，即x=-1．经检验知，x=-1是原方程的根．整理得y3-2y2+3y=0．解得y=0，从而x=-1．例9 解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．练习二1．填空：2．解方程3．解方程4．解方程5．解方程6．解关于x的方程第三讲简易高次方程的解法在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．例1 解方程x3-2x2-4x＋8=0．解原方程可变形为x2(x-2)-4(x-2)=0，(x-2)(x2-4)=0，(x-2)2(x+2)=0．所以x1＝x2＝2，x3=-2．说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样=0可化为bkx3+bx2+dkx+d=0，即 (kx+1)(bx2+d)=0．方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．例2 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．设(y-9)(y+9)=19，即y2-81＝19．说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．例3 解方程(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．解我们注意到2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令y=6x＋7，①由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，即y2(y＋1)(y-1)=72，y4-y2-72＝0，(y2＋8)(y2-9)=0．因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为例4 解方程12x4-56x3+89x2-56x+12=0．解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由例5 解方程解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．所以经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．例6 解方程(x+3)4+(x+1)4=82．分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设于是原方程变为(y＋1)4＋(y-1)4＝82，整理得y4+6y2-40=0．解这个方程，得y=±2，即x+2=±2．解得原方程的根为x1=0，x2=-4．说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如(x＋a)4＋(x+b)4=c例7 解方程x4-10x3-2(a-11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即a2-2(x2-5x-1)a+(x4-10x3＋22x2+12x)=0，△=4(x2-5x-1)2-4(x4-10x3＋22x2＋12x)=4(x2-2x+1)．所以所以a=x2-4x-2或a=x2-6x．从而再解两个关于x的一元二次方程，得练习三1．填空：(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．(2)方程x3-3x＋2=0的根为_____．(3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．(4)方程(x2+3x-4)2＋(2x2-7x＋6)2=(3x2-4x+2)2的根为______．2．解方程(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．4．解方程5．解方程(x+2)4+(x-4)4=272．6．解关于x的方程x3+(a-2)x2-(4a+1)x-a2＋a+2=0．第四讲有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．1．二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．例1 解方程组解②×2-①×3得4x＋9y-6＝0．方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组解②×(-2)+①得3y2+3y-6=0，所以 y1=1，y2=-2．解方程组与得原方程组的解方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．例3 解方程组解由②得(2x+y)(x-2y)=0，所以2x+y=0或x-2y=0．因此，原方程组可化为两个方程组与解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组解由①-②×2得x2-2xy-3y2=0，即 (x+y)(x-3y)=0，所以 x＋y=0或x-3y=0．分别解下列两个方程组得原方程组的解为2．二元对称方程组方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如x2-5xy＋y2-3x-3y=7，等都是二元对称方程．由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如等都是二元对称方程组．我们把叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．例5 解方程组解方程组中的x，y分别是新方程m2-5m+4=0的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)．由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy 作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．例6 解方程组解原方程组可变形为①×2＋②得令u=x＋y，则即而方程组无实数解．综上所述，方程组的解为例7 解方程组分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得xy=16．④由②，④可得基本对称方程组于是可得方程组的解为例8 解方程组分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x-y=0，从而使方程降次化简．解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0，所以 x-y-0或x＋x-10=0．解下列两个方程组得原方程组的四组解为例9 解方程组解法1用换元法．设4x＋5=A，4y+5=B，则有即③-④并平方得整理得所以因此A-B=0或分别解下列两个方程组与经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是解法2①-②得即所以x-1与y-1同号或同为零．由方程①得所以x-1与y-1不能同正，也不能同负．从而x-1=0，y-1=0．由此解得经检验，x=1，y=1是方程组的解．练习四1．填空：(1)方程组的解有_____组．(2)若x，y是方程组(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．(4)已知实数x，y，z满足方程组则xyz=________．2．解方程组：3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若4．已知一元二次方程a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．5．(1)解方程组。
方程的几种类型
方程可以根据不同的标准进行分类。
以下是按照方程的形式和未知数的数量进行分类的几种常见类型：
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程。
一元高次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2的方程。
多元一次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数为1的方程。
多元二次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数为2的方程。
多元高次方程：含有多个未知数，且每个未知数的最高次数大于2的方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程。
无理方程：根号下含有未知数的方程。
绝对值方程：含有绝对值符号的方程。
线性方程：未知数和常数项之间是线性关系的方程，如y=ax+b。
非线性方程：未知数和常数项之间是非线性关系的方程，如
y^2=x。
代数方程：只含有算术运算的方程。
三角函数方程：含有三角函数符号的方程。
微分方程：含有导数或微分的方程。
积分方程：含有积分符号的方程。
这些分类并不是绝对的，有些特殊类型的方程可能并不完全符合上述分类中的任何一个，因此需要根据具体情况进行判断和分类。
解无理或分式方程是否必须验根
解无理或分式方程是否必须验根作者：黄春山来源：《职业·下旬》2011年第07期教材是教学的依据，应该是教师可以放心地教，学生可以放心地学，没有知识性错误。
但对于在全国各类成人高等学校招生考试教材理工农医类（中国社会出版社）第10页中的解方程练习题目的答案解析，笔者不敢苟同。
原题目是：题1类题目是无理方程，解法很多，常用的方法是，在方程两边同时乘方，去根号或利用换元法转化为有理方程。
解无理方程的基本思想是将无理方程转化为有理方程。
此教材的参考答案的解法为换元法。
题2类题目是分式方程，常见解法有因式分解法、去分母法、换元法，解题思想是将原分式方程整式化。
此教材的参考答案的解法为去分母法。
教材中的标准答案：1.解:令（１）原方程化为（２）解得即，不合理，舍去（３）y2=3即（４）即x2-3x＋5=9（５）解得x1=-1, x2 = 4 ；经验证x1=-1, x2 = 4都是原方程的根。
2.解：原方程两边同乘以（x+1)(x-2) （６）得x(x-2)-7=-(x+1) （７）即x2-x-6=0 解得x1=-2 , x2= 3；经验证x1=-2 ,x2=3都是原方程的根注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
我们要谈的主要是答案的最后的“注：此处两个方程分别为无理方程和分式方程，故需验根。
”是否无理方程和分式方程的验根是必需的？笔者认为是并非必需的。
在初中教材中只是要求掌握会用平方或换元法求无理方程的根，并会验根，要求验根的原因在于方程两边同乘方若干次数，有可能产生的增根；对于分式方程，要求掌握用去分母或换元法求不超过三个分式构成的分式方程的根解法，并会验根，验根的原因是在于为去分母而两边同乘的式子可能导致增根产生；而验根的本质也就是将多余的增根去掉，显然也是必不可少的。
然而，对于同解方程（等价方程）来说是并非必要的。
含有未知数的等式称之为方程，满足方程的未知数称为方程的解。
并且，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，又称“等值方程”“等价方程”。
分式方程与无理方程分解
解得： 或 ．
检验：把 代入 ，不所以，原方程的解是 ．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
第五步：随堂练习
1如果 有增根,那么增根为x=( )
2解关于x的方程 产生增根,则常数m=()
无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
解：移项得：
两边平方得：
移项，合并同类项得：
解得： 或
检验：把 代入原方程，左边 右边，所以 是增根．
把 代入原方程，左边 = 右边，所以 是原方程的根．
所以，原方程的解是 ．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
所以， ， 都是原方程的解．
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 的值，而没有求到原方程的解，即 的值．
【例3】解方程 ．
分析：注意观察方程特点，可以看到分式 与 互为倒数．因此，可以设 ，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．
解：设 ，则
原方程可化为： ．
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
分式方程
一、教学重点和难点
1．教学重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
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21．某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为 ，则可列出方程_________________________.
22．已知 ，则 =_________________.
23．解分式方程 产生增根，则m=________________.
(A) y2－y－2=0; (B) y2+y+2=0; (C) y2+y－2=0; (D) y2－y+2=0.
5．分式方程 的解是（）
(A) =60; (B) =－80; (C) 1=60, 2=－80; (D) 1=－60, 2=80.
二．简答题：
1．解方程
2．解方程
3．用换元法解方程
4．解方程组
2．分式方程 的根是___________________.
3．如果代数式 的值是 ，那么 =______________.
4．方程 _____________无理方程.（填“是”或“不是”）
5．方程 的解是__________________.
6．已知线段AB=10cm,点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,则AP=_______cm.
天材教育学科教师辅导讲义
学员姓名：年级：课时数：
辅导科目：学科教师：
学科组长签名及日期
课题
分式方程和无理方程
授课时间：2012-3-3
备课时间：2012-2-29
教学目标
掌握分式方程和无理方程的概念；能解分式方程和无理方程。
重点、难点
解分式方程和无理方程的解法和曾根的舍去。
考点及考试要求
分式方程
【知识梳理】
2.检验
【例题精讲】
1．化简：
2．先化简，再求值： ，其中 ．
3．先化简 ，然后请你给 选取一个合适值,再求此时原式的值．
4．解下列方程（1） （2）
5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是( )
7．分式方程 的最简公分母是______________.
8．分式方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为_______________.
9．已知： )，则R=______________.（用 、 的代数式表示 ）
10．用换元法解无理方程 ，如果设 ，则原方程可以化为_______________.
11．在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了___________数学思想.
16．已知方程 的两根分别为a、 ，则方程 的根是__________________.
17．在解分式方程时，除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用______________法来解.
18．如果 ，如果用R、R2表示R1,则R1=_____________.
19．当x=____________时，代数式 与 的值互为倒数.
乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根．
5、解分式方程基本步骤：
①去根号，把无理方程化为有理方程；②解这个有理方程；③验根；④写出原方程的根．
〖例题选讲〗
一、选择：
1、下列方程中，不是无理方程的是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
2、下列方程中，有实数根的方程是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ．
3、下列正确的是（）
（A）方程 的根是 和3；（B）方程 的根是x=5；
（C）方程 的根是 ；（D）方程 的根是 ．
4、方程 的根的情况是（）
（A）无实数根；（B）只有x=2一个根；（C）有无数多个实数根；（D）只有两个实数根．
习题：
一．填空题：
1．方程 _____________分式方程.（填“是”或“不是”）
1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式 叫做分式．
2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：
3．分式运算
4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．
5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．
【思想方法】
1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）
24．方程 的根是__________________.
25．方程 的解是___________________.
26．若代数式 的值为0，则x=______________.
27．解分式方程 ，如果设 ，原方程则可以化为______.
28．方程 的解是___________________.
一．选择题：
1．方程 的根是（）
(A) 1=2, 2=－2; (B) 1=2; (C) =－2; (D)以上答案都不对.
2．方程 的根是（）
(A) 1=1, 2=2; (B) =1; (C) =2; (D) =0.
3．下列方程中，有实数解的是（）
(A) ;(B) ;(C) ; (D) .
4．设y= 2+ +1,则方程 可化为（）
A. B.
C. D.
（二）无理方程
【一】知识梳理：
1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程．
4、无理方程的增根：（解无理方程验根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ必要性）
12．无理方程 无解的依据是_________________________.
13．已知点P的坐标为( ，3),A(4，－1),如果PA=6,那么可得到方程_______________.
14．分式方程 的解 =________________.
15．如果 ，那么 的值是__________________.