2011年第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克(暂无解答)

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第一届至第九届(2010-2018年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克试题及答案【PDF版】

第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．证明如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．图1°°2GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==．从而， HA AG =，即AG AH =．因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ．设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．图2则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．由射影定理得2AG AQ AP =⋅．注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACBb c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。

专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(1)

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10
一、（本题满分40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．
二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式
0111)(a x a x a x x f n n n ++++=-- 具有如下性质：
（1）110,,,-n a a a 均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有
)()()()(21k r f r f r f m f ≠．
三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a j k i
j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4
)(2
n r f n <．
四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． A B
C
D
Q
P。

第二届陈省身杯数学奥林匹克第6题_省略_广_兼谈一类二次齐次不等式的证法

２２２２２２－槡５／２（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｙ＋２ｙｚ５／２（ｘ＋ｙ＋ｚ），槡
当ｙ＝－５ｘ，ｚ＝２ｘ时，左端等号成立；当ｙ＝槡５ｘ，ｚ＝２ｘ槡时，右端等号成立．所以５５ｘｙ＋２ｙｚ槡，最大值为槡．２２２的最小值为－２２＋ｙ＋ｚｘ
评注：这类问题以往通常是利用待定系数法与均值不等式的知识解决，以上锁定主元，巧用判别式的方法不仅解法直观简单，而且给出了这类不等式问题的共同渊源与命制背景．其实在运用中我们也不需要死死记住这个结论，只要理解以上推广的证明思路，这类试题的解决便不在话下．
参考文献［１］李建泉，李宝毅，丁云龙，潘铁，宋强．第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克［Ｊ］．中等数学，２０１１（９）：２８－３２．［２］贺斌，贺聪．第二届陈省身杯数学奥林匹克第６题的推广［Ｊ］．中等数学，２０１２（２）：１１－１２．［３］张．两个“ 怪异”不等式的统一简证［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１２（７）：３１．［４］李锋．一类二次齐次不等式证法的探究过程［Ｊ］．数学教学，２０１３（５）：２４－２５．［５］张同语，王兆臣．一道考题的自觉分析［Ｊ］．数学教学，２０１３（４）：４４－４５．
２２２２２２ｚ，有ｍ（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｙ＋ｂｙｚ＋ｃｚｘ（ｘ＋ｙ＋ｚ） ∈Ｒａｎ
恒成立，则ｍ的最大值ｍ的最小值ｎｍａｘ与ｎｍｉｎ分别为关于ｆ

2011年全国高中数学联赛获奖名单

2011年全国高中数学联赛（山东赛区）三等奖名单考号地市考生姓名性别所在学校年级151济南市刘灵聪实验中学高三178青岛市苗毅女平度一中高三193济南市曲扬实验中学高三222青岛市张源龙男胶州一中高三325济南市张文韬章丘四中高三344青岛市胡天翔男即墨一中高三517潍坊市刘文慧女寿光现代中学高三534临沂市徐朋男临沭二中高三549潍坊市张婧女安丘一中高二621潍坊市陈瑞琦女潍坊四中高三685潍坊市马霄男青州一中高三1044聊城市马广龙男聊城一中高三1047烟台市张升芳女烟台三中1098聊城市张献迅男临清一中高三1148聊城市王新朝男莘县实验高中高三1331济宁市商占仝男梁山一中高三1350德州市刘鑫男宁津一中1414德州市董立超男夏津一中1484泰安市郭舒珺女泰安一中1574泰安市冯兰时男肥城市第一高级中学高三1758枣庄市李志宇男枣庄八中北校高三1780枣庄市邵明苏男枣庄八中南校高三1864枣庄市倪振宇男滕州一中西校高三1920日照市徐英浩男日照一中高三1922日照市费照丹男日照一中高三1936日照市田金鹏男日照实验高中高三2024日照市李志远男五莲一中高三46青岛市于晟昊青岛二中高三127济南市张浩长清一中高三306青岛市张雨辰女开发区一中高三334青岛市管吉星男即墨一中高三361济南市任贵新章丘中学高三400临沂市石育金男临沂第一中学高三441潍坊市张平女高密一中高三491潍坊市许瑞琦男寿光一中高三599潍坊市刘松男昌乐二中高三627潍坊市王明琛男潍坊中学高三629潍坊市王凯男潍坊中学高三733潍坊市王海龙男诸城繁华中学高三838东营市蒋延庆男河口区第一中学高三857东营市李凌霄男广饶一中二校区高三年级1203烟台市王炳凯男烟台二中1206聊城市董睿男东阿实验高中高三1291济宁市石珂男邹城一中高三1304德州市李刚男德州一中1407济宁市宋芳馨女曲阜一中高三1654泰安市张亚新泰一中1803淄博市王彬宇男淄博实验中学高三1823淄博市张硕女淄博实验中学高三1832枣庄市赵恒财男滕州一中东校高三1980日照市卢宝杰男莒县一中高三2047威海市王东男威海市第一中学高三2059威海市李泽龙男威海市第一中学高三285济南市刘碧汀济南外国语高二1535滨州市裴之尊女北镇中学高二1308德州市霍舒同女德州一中77济南市宋媛媛女历城二中高三207济南市牟文龙实验中学高二276青岛市王超男胶南市第一中学高三277济南市史惠泽实验中学高三329济南市邢月章丘四中高三358青岛市朱先伟男即墨实验高中高三473潍坊市陈科宇男寿光一中高三680临沂市陈婧女华特卧龙学校高三847东营市李小帅男广饶一中二校区高三年级859东营市李学谦男广饶一中二校区高三1134聊城市毛丽杰女莘县一中高三1286德州市李海洋德州一中1485滨州市史昱天男北镇中学高三1787淄博市崔静娴女淄博一中高三1788枣庄市杨猛猛男枣庄八中南校高三1835淄博市牛越群男淄博实验中学高三1850枣庄市丁健刚男滕州一中东校高三1854枣庄市孙康男滕州一中西校高三1860枣庄市孙磊男滕州一中西校高三1928日照市王资清男日照一中高三1979油田张宇宁女胜利一中高三2120菏泽市权威男山县一中高三2246菏泽市时磊菏泽一中高三143济南市孙广达实验中学高三872临沂市桑青女临沂一中高三88青岛市卢伟男青岛二中高三146青岛市陈宁波男平度九中高三152青岛市李鹏飞男平度九中高三212青岛市张欢女莱西一中北校高三261济南市高明实验中学高三288青岛市徐在龙男胶南市第二中学高三301济南市于越章丘四中高三370青岛市丁喆正男青岛九中高三382青岛市宋济汉青岛三十九中高三393济南市李浩济北中学高三510临沂市杨壮远男郯城二中高三583潍坊市张悦男山东省昌乐二中高三613潍坊市武文浩男潍坊七中高三657潍坊市周曰波男潍坊一中高三669潍坊市石晓文男青州一中高三753潍坊市郑伟聪男诸城实验中学高三768东营市张琴琴女利津县第一中学高三798东营市刘鑫昶男东营市第一中学高三819潍坊市路遥男临朐第一中学高三823潍坊市厉永鑫男临朐第一中学高三1006聊城市于润泽男聊城一中高三1016聊城市刘莹莹女聊城一中高三1046聊城市裴雪阳女聊城一中高三1085烟台市丁晓旭男栖霞市第一中学1146聊城市钱维胜男莘县实验高中高三1161烟台市程蕾女招远一中高三1240聊城市董秀娟女高唐二中高三1264德州市张帅德州一中1280德州市张培元德州一中1345济宁市周子晨男金乡二中高三1404德州市张旭男武城二中1499滨州市王鹤鸣男北镇中学高三1528泰安市刘新宁男宁阳第一中学高三1703淄博市田雪女桓台一中高三1761淄博市徐沛钰女淄博一中高三1786枣庄市孔令凯男枣庄八中南校高三1891淄博市宋鹏男沂源一中高三1924日照市郑凯元男日照一中高三2001油田王晨曦男胜利一中高三2006日照市陈祥艳女莒县一中高三2034日照市魏玉凯男五莲一中高三2163莱芜市王艳女莱芜一中高三2175莱芜市杨昭女莱芜一中高三2205莱芜市邹庆言男凤城高中高三2240菏泽市贾淼菏泽一中高三。

2011年全国高中数学联赛获奖名单 (1)

2011年全国高中数学联赛（山东赛区）二等奖名单考号地市考生姓名性别所在学校年级165济南市康子一实验中学高三97济南市赵滨松男历城二中高三1384德州市郝京浩女齐河一中250青岛市王润民男城阳一中高三66青岛市肖泽昌鸿青岛二中高三423潍坊市葛雪女高密一中高三141济南市王天儒实验中学高二155济南市于海东实验中学高三1020聊城市高桢男聊城一中高三1294德州市于川男德州一中1822枣庄市王昌安男滕州一中东校高三836东营市袁腾飞男东营市第一中学高三268青岛市戚鲁男胶南市第一中学高三1023烟台市刘明祖男烟台一中1141烟台市王建鑫男莱州市第一中学1836枣庄市牛善帅男滕州一中东校高三2202菏泽市张云聪菏泽一中高三223济南市王鲁琦实验中学高三241济南市王晓阳实验中学高二635潍坊市刘俊良男潍坊一中高三789潍坊市魏英辉男昌邑文山中学高三1007烟台市王阮壮男牟平第一中学1248德州市高飞德州一中1432泰安市肖汉男泰安一中1934日照市刘家志男日照实验高中高三2224菏泽市乔舒杰菏泽一中高三2283日照市林鹏男日照一中高三196青岛市王铭彦男莱西一中南校高三1028聊城市米祥冉男聊城一中高三1116聊城市刘博男莘县一中高三1812枣庄市孙海梦女滕州一中东校高三40青岛市王小村青岛二中高三227济南市董川泓实验中学高三521潍坊市孟垂汝男寿光现代中学高三631潍坊市钱帅男潍坊一中高三1725淄博市郑祥成男淄博六中高三1735淄博市王秦州男淄博六中高三1817淄博市张宇晨男淄博实验中学高三2062日照市张军伟男五莲三中高三2168菏泽市刘传蒙郓城一中高三2204菏泽市陈庆润菏泽一中高三192青岛市姜艺男莱西一中南校高三204青岛市张有才男莱西一中南校高三1142聊城市张振鲁男莘县实验高中高三2169莱芜市陶乾男莱芜一中高三93济南市李繁荣男历城二中高三497潍坊市李兆群男寿光一中高三500临沂市张之涵男郯城一中高三781潍坊市孙晨翔男昌邑一中高三1283济宁市丁宏伟男嘉祥一中高三1662泰安市李克新泰一中高三1914日照市刘栋男日照一中高三186青岛市宗俊杰男莱西一中南校高三593潍坊市董康宁男山东省昌乐二中高三815潍坊市陈志高男临朐第一中学高三835济南市孙云起男山东省实验中学高三1081烟台市韩晓霏女栖霞市第一中学1109烟台市纪延平男烟台中英文学校1853淄博市王春琪男淄博七中高三2058日照市孙晓滨男五莲三中高三1031烟台市李翔男烟台一中2083威海市武迪男荣成一中高三2084菏泽市郭冲男曹县三桐中学高三233济南市王德泉实验中学高三52青岛市朱子凡青岛二中高三153济南市路云飞实验中学高三214青岛市王泽昊男莱西一中北校高三269济南市巩正一实验中学高三402临沂市梁建男临沂第一中学高三481潍坊市颜培青男寿光一中高三1492泰安市葛东旭男泰安一中1506泰安市李万华男宁阳第一中学237济南市王添玉实验中学高三477潍坊市李祥男寿光一中高三1026聊城市黄贤超男聊城一中高三1163烟台市高源祥男招远一中高三1651淄博市高超男淄博四中高三2027油田刘栋男胜利一中高二2165莱芜市李威男莱芜一中高三386临沂市陈孝杰男临沂第一中学高三842东营市燕东彦男广饶一中一校区高三年级1983油田王艺豪女胜利一中高三98青岛市陈荣昕女青岛十七中高三107济南市丛明男历城二中高三199济南市王佳佳实验中学高二601潍坊市王云昭女昌乐二中高三659潍坊市王明玥男潍坊一中高三665潍坊市王睿然男潍坊一中高三1032聊城市董泽黎男聊城一中高三1330德州市李成龙男临邑一中1386德州市王启男齐河一中2107威海市曲泺源男文登第一中学高三2173莱芜市张海雷男莱芜一中高三2244菏泽市周灿菏泽一中高三22青岛市于宇强青岛二中高三475潍坊市袁延鑫男寿光一中高三671潍坊市董佶圣男青州一中高三1940日照市范志钦男日照实验高中高三36青岛市丁家齐青岛二中高三99济南市齐仁睿男历城二中高三594临沂市赵叔吉男费县第二中学高三699潍坊市杨铮男青州二中高三800东营市张哲元男东营市第一中学高三1077烟台市林洋男栖霞市第一中学1154聊城市罗浩男莘县实验高中高三1452泰安市刘天涯女泰安一中1467滨州市侯亚杰男阳信一中高三1567滨州市魏明杨男邹平一中高三1643淄博市李晟玮男淄博四中高三1760枣庄市田昕男枣庄八中北校高三1811淄博市薛健男淄博实验中学高三2053威海市耿家琛男威海市第一中学高三2211莱芜市谢文强男凤城高中高三1454泰安市于珏女泰安一中79济南市张睿男历城二中高三304青岛市张琦男开发区一中高三471潍坊市张腾男寿光一中高三483潍坊市林方勇男寿光一中高三489潍坊市张文勇男寿光一中高三596临沂市乔岩男费县第二中学高三682临沂市王倩倩女华特卧龙学校高三1009烟台市孙琳女牟平第一中学1136聊城市李丁成男莘县一中高三1582泰安市曹沛新男肥城市第一高级中学高三1765淄博市韦康宁男淄博一中高三1910日照市刘翰青男日照一中高三2182菏泽市汤纪豹郓城一中高三818东营市顾帆男东营市第一中学高三369济南市刘若杨山师附中高三515潍坊市王亚芹女寿光现代中学高三248青岛市矫立凯男城阳一中高三639潍坊市慈维昊男潍坊一中高三643潍坊市郝振翔男潍坊一中高三655潍坊市臧艺茗男潍坊一中高三1728枣庄市朱原女枣庄一中东校高三1858枣庄市张光强男滕州一中西校高三2013油田杨东辉男胜利一中高三2269莱芜市张正昱男莱钢高中高三275济南市孙文韬实验中学高三553潍坊市房栋阁男安丘一中高二674临沂市孟祥磊男华特卧龙学校高三711潍坊市王杰男诸城第一中学高三1038聊城市李忠豪男聊城一中高三1222聊城市姚彤彤女茌平三中高三1266德州市李书忞德州一中1442泰安市李国豪男泰安一中1516泰安市王玥女宁阳第一中学高三1753淄博市刘梦影女临淄中学高三1782枣庄市邵明川男枣庄八中南校高三1999油田宋尚杰男胜利一中高三2012日照市张庆颜女莒县二中高三2142菏泽市李宗壮郓城一中高三2148菏泽市王沛郓城一中高三375济南市王浩然山师附中高三279济南市程元彬实验中学高三438临沂市马逸君女临沂第一中学高三111济南市董昱荧女历城二中高三131济南市李志长清一中高三459潍坊市曹钊男高密康成中学高三555潍坊市王鹏男安丘一中高二1173烟台市王凯男招远一中高三1504泰安市王松男宁阳第一中学1559滨州市高哲男邹平一中高三1870枣庄市时凯男滕州一中西校高三1893淄博市齐昊男沂源一中高三1907淄博市饶纳新男万杰朝阳学校高三1985油田朱程恋女胜利一中高三2000日照市史华北男莒县一中高三2207莱芜市李超男凤城高中高三251济南市龚昊实验中学高二1801淄博市高思远男淄博实验中学高三833济南市辛忞女山东省实验中学874临沂市王浩人临沂一中高三1230聊城市李云皓男高唐一中高三1448泰安市王志浩男泰安一中321济南市赵英月章丘四中高三431潍坊市李晓斐女高密一中高三443潍坊市许新女高密一中高三589潍坊市张旭男山东省昌乐二中高三689潍坊市孙倩女青州实验中学高三793潍坊市张亚男女昌邑文山中学高三868东营市秦任鹏男广饶一中三校区高三1008聊城市刘阳男聊城一中高三1087烟台市张蕾女栖霞市第一中学2046日照市何贝贝女五莲三中高三2167莱芜市谭永水男莱芜一中高三2181莱芜市仇文楷男莱芜一中高三181济南市陈嘉宁实验中学高三243济南市杨琳实验中学高二91济南市段振超男历城二中高三242青岛市高敏淞男胶州实验高三383济南市刘欣东山师附中高三439潍坊市付晓蕾女高密一中高三519潍坊市陈林男寿光现代中学高三595潍坊市刘婵女山东省昌乐二中高三672临沂市陈阳男华特卧龙学校高三693潍坊市尹胜强男青州实验中学高三751潍坊市王敏女诸城实验中学高三778东营市赵玉杰男利津县第一中学高三1010聊城市王天楚男聊城一中高三1030聊城市宫霄男聊城一中高三1052聊城市高尚男聊城一中高二1185烟台市柏舸开发区高级中学1195烟台市王跃男烟台二中1204聊城市陈璐璐女东阿实验高中高三1232聊城市赵永贵男高唐二中高三1237济宁市付开宇男济宁育才中学高三1325济宁市夏天男邹城一中高三1434泰安市姜琦男泰安一中1460泰安市吕帅男泰安一中1565滨州市袁阳男邹平一中高三1673淄博市巩晨男淄川一中高三1889淄博市王永敏女沂源一中高三1925淄博市潘荣男临淄中学高三1984日照市孙业钦男莒县一中高三1996日照市周晓凤女莒县一中高三2007油田杨成博男胜利一中高三2028日照市朱浩民男五莲一中高三2197莱芜市董昌正男莱芜一中高二203济南市徐一鸣实验中学高二436临沂市孙健耀男临沂第一中学高三1612泰安市张舵男肥城市第一高级中学高三429潍坊市高雪胜男女高密一中高三770东营市王志强男利津县第一中学高三784东营市高静女东营市第一中学高三1042聊城市段本超男聊城一中高三1065烟台市张志宇男龙口第一中学1205烟台市谢洪飞男烟台二中1716泰安市孙弘毅男泰安二中高三2141威海市殷汝锴男文登天福山中学高三90青岛市陈蓉女青岛二中高三283济南市邱浩实验中学高三11济南市方意心济钢高中高三19济南市洪雅馨济钢高中高三89济南市李明月女历城二中高三187济南市许嘉瑞实验中学高三191济南市马鑫实验中学高三202青岛市李恬霖男莱西一中南校高三210青岛市孙明哲男莱西一中北校高三270青岛市郝晓琛女胶南市第一中学高三310青岛市薛嘉诚男开发区一中高三332青岛市孙瑶男即墨一中高三336青岛市江宁男即墨一中高三412临沂市张超男临沂第一中学高三447潍坊市王月男高密一中高三617潍坊市岳丹丹女潍坊四中高二641潍坊市伦正言男潍坊一中高三645潍坊市王琪祥男潍坊一中高三649潍坊市周天霖男潍坊一中高三717潍坊市孙文超男诸城第一中学高三726临沂市田宝睿男蒙阴一中高三744东营市崔晟铭男利津县第二中学高三769潍坊市袁法强男诸城龙城中学高三783潍坊市徐栋男昌邑一中高三802东营市夏寒青男东营市第一中学高三804东营市刘晓星女东营市第一中学高三832东营市孔颖女东营市第一中学高三880济南市邹晶丹山师附中1069烟台市蒋继葆男龙口第一中学1103烟台市由志涛男海阳四中1118聊城市路达男莘县一中高三1171烟台市王彧男招远一中高三1226聊城市丁延卓男高唐一中高三1259济宁市侯云飞男济宁一中高三1395济宁市武冰童女曲阜一中高三1491滨州市张晓琳男北镇中学高三1555滨州市韩兴宇女邹平一中高三1733淄博市徐岳男淄博六中高三1770枣庄市闵盛烨男枣庄八中北校高三1831淄博市张琳茹女淄博实验中学高三1849淄博市周天宇男淄博七中高三1908日照市王志远男日照一中高三1918日照市王平男日照一中高三1942日照市卜英子女日照实验高中高三2026日照市万林林男五莲一中高三2081威海市王一辰男荣成一中高三2105威海市唐一超男威海二中高三2185莱芜市朱旭男莱芜一中高二2206菏泽市文博雅菏泽一中高三2232菏泽市程冰男菏泽一中高三219济南市曹思明实验中学高三428临沂市张俊成男临沂第一中学高三50青岛市孙椿淋青岛二中高三205济南市马柔真实验中学高二265济南市龚子荃实验中学高三420临沂市程小珊女临沂第一中学高三440临沂市张弛女临沂第一中学高三2230菏泽市戴书欣菏泽一中高三479潍坊市梁敏女寿光一中高三108青岛市陈泽奇男青岛五十八中高三551潍坊市李国文男安丘一中高二695潍坊市王凯男青州实验中学高三866东营市张长亮男广饶一中三校区高三1036聊城市李雪鹏男聊城一中高三1276德州市朱传超德州一中1402德州市孔蕊女武城二中1816枣庄市王春阳男滕州一中东校高三1941油田董一哲男胜利一中高一2137威海市杨金鹏男文登三中高三30青岛市丁重今青岛二中高三68青岛市雷鸣青岛二中高三1120聊城市李明卓男莘县一中高三85济南市张梦然女历城二中高三159济南市王贺宁实验中学高二1947油田汪洁滢女胜利一中高二444临沂市张晓雨临沂第一中学高三257济南市侯中元实验中学高三309济南市王伟业章丘四中高三318青岛市田家蔚男开发区一中高三597潍坊市韩丹阳女山东省昌乐二中高三662临沂市汪建男华特卧龙学校高三676临沂市尹永雪女华特卧龙学校高三787潍坊市宫天琪女昌邑文山中学高三1048聊城市张一铭女聊城一中高二1075烟台市衣世磊男栖霞市第一中学1089烟台市李崇庆男栖霞市第一中学442临沂市张琨临沂第一中学高三1090聊城市陈树成男临清一中高三1295济宁市盛大林男邹城一中高三1498泰安市石强男宁阳第一中学1508泰安市张尚彤男宁阳第一中学1713淄博市卢则鹏男淄博六中高三1839淄博市李冠宇男淄博实验中学高三1868枣庄市陈文杰男滕州一中西校高三1931淄博市齐东升男万杰朝阳学校高三1943油田张伟楠男胜利一中高三2025油田王润佳男胜利一中高二2184菏泽市刘兆岩郓城一中高三281济南市张传凯实验中学高二385济南市刘立磊山师附中高三221济南市崔馨航实验中学高二416临沂市朱青青女临沂第一中学高三249济南市张子蒙实验中学高三618临沂市林琳女沂水一中高三201济南市赵文嘉实验中学高二253济南市张锦坤实验中学高二602临沂市闫凯歌男平邑曾子学校高三391济南市房嘉成山师附中高三。

(专家预测卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）时间:2011-9-1122一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆D于T.(1)求证：MP·MT=NP·NT；(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1，I2.求证：Q，I1，I2，T四点共圆.证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC，PM=NC.……10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以MC=MI.同理NC=NI.于是NP=MI，PM=NI.故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式==.于是PM·MT=PN·NT.……30分(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故.……40分又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，有△I1NT∽△I2MT.故∠NTI1=∠MTI2，从而∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分二、求证不等式：，n=1，2，…证明：首先证明一个不等式：(1).事实上，令h(x)=x-ln(1+x)，.则对x＞0，. 于是h(x)＞h(0)=0，g(x)＞g(0)=0.在(1)中取得(2).……10分令，则，＜=-,因此.……30分又因为lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.从而===.……50分三、设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素.证法一：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!).我们证明(,l)=1.设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使｜k!,但k!,则｜l(k!).故由及p|k!,且k!，知|k!且k!.从而p.……50分证法二：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!)2.我们证明(,l)=1.设p是l的的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使|k!,但k!.则|(k!)2.故由及|k!,且k!，知｜k!且k!.从而p.……50分四、在非负数构成3×9数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17=x28=x39=0，x27,x37,x18,x38,x19,x39均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列(k=1,2,……,9)均存在某个i{1,2,3},使得(3)x ik≤u i=min{x i1,x i2,x i3}.求证：(i)最小值u i=min{x i1,x i2,x i3},I=1,2,3一定取自数表S的不同列.(ii)存在数表P中唯一的一列，≠1,2，3使得3×3数表仍然具有性质(O).证明：(i)假设最小值,y=1,2,3不是取自数表S的不同列，则存在一列不含任何u i.不妨设u i≠,i=1,2,3.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是i=1,2,3.另一方面，由于数表S具有性质(O)，在(3)中取k=2，则存在某个i0∈｛1,2,3｝使得.矛盾.……10分(ii)由抽屉原理知min{x11,x12},min{x21,x22},{x31,x32}中至少有两个值取在同一列.不妨设min{x21,x22}=x22,{x31,x32}=x32.由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个u i，所以只能是x11=u1.同样，第二列中也必含某个u i,I=1,2.不妨设x22=u2.于是u3=x33,即u i是数表S中的对角线上的数字：记M={1,2,…,9},令集合I={k∈M|x ik＞min{x i1,x i2},i=1,3}.显然I={k∈M|x1k＞x11,x3k＞x32}且1,2,3I.因为x18,x38≥x11,x32,所以8∈I.故I≠Φ.于是存在k*∈I使得下面证明3×3数表具有性质(O).从上面的选法可知,(I=1,3).这说明又由满足性质地(O)，在(3)中取k=k*,推得，于是下证对任意的k∈M，存在某个i=1,2,3使得假若不然，则x ik＞min{x i1,x i2},I=1,3.且这与的最大性矛盾.因此，数表S′满足性质(O).……30分下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O).不失一般性，我们假定(4)由于x32＜x31,x22＜x21及(i),有又由(i)知：或者(a)或者(b)如果(a)成立，由数表具有性质(O)，则(5)由数表满足性质(O)，则对于3∈M，至少存在一个i∈{1,2,3}, 使得又由(4)，(5)式知，.所以只能有.同样由数表S满足性质(O)，可推得x33≥x3k.于是k=3,即数表S=.……40分如果(b)成立，则(6)由数表满足性质(O)，对于k*∈M,存在某个i=1,2,3使得由k*∈I及(4)和(6)式知，于是只能有类似地，由S′满足性质(O)及k∈M可推得从而k*=k.……50分。

例谈几道平面几何题的几何证法

ＩＣＤ＋ＫＤＣ＝４５。＋．
ＤＫＩ＝
收稿日期：０１９—２２１ —０９
故３＋５２４。＝４。＝５综上，＝［，ＪＭｏ．
￣ｆ４。ｎ＋ｃ）一ｂ］．② ［ｆ一（ｂ＋，ａｃ ≤０
由引理知，厂＜一时，当
证明如图４，
（００波兰数学奥林匹克）２０，
延长Ａ至点，Ｃ使
ＣＥ＝Ｃ联结Ｂ．Ｄ．Ｅ则
ＢＥ＝ＢＤ，ＣＢＤ＝ＣＢＥ．
，
证明如图３作，
△ ＡＰ的外接圆ｏ０Ｂ．则由ＰＢ＝ＰＣＡＢ，知ＢＣ是ｏ０的切线．同理，Ｃ也是ｏＡＡ０
中等数学
例谈几道平面几何题的几何证法
宿晓阳
（四川成都实验外国语学校，１０１６０３）中图分类号：２．０１３１文献标识码：Ａ文章编号：０５— ４６２１）２—０１０１０６１（０２００２— ２
＝
的内心．试求ＢＫ的大小．Ｅ
题３在等腰△ ＡＣ中，为底边ＡＢＢ
的中点， △ ＡＣ内有一点Ｐ，在Ｂ使得ＰＢ＝Ａ
ＰＣ证明：ＡＭ＋ＢＣ＝１０．ＪＢ．ＰＰ８。
ＫＤ＝ＡＤ试证：Ｋ＝ＤＣｊＡＫ．Ｂ２．４
２１０２年第２期
ＡＣＢ＝４５。ＢＡＣ＝９．０。
题４在 △ ＡＣ中，Ｂ＝ＡＰ为其形ＢＡＣ，

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

5 5 3 3
◆答案：
5 , 4 4
5 5 3 3 3
★解析：不等式 cos sin 7(sin cos ) 等价于 sin 又 f ( x) x
3
1 5 x 是 (,) 上的增函数，所以 sin cos ， 7 5 (k Z)．故 2k 2k 4 4
3(a1 a 2 a 3 a 4 ) (1) 3 5 8 15 ，故 a1 a 2 a 3 a 4 5 ，
于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合 A {3, 0, 2, 6} ．
2011A 2、函数 f ( x )
0
3
★解析：设四面体 ABCD 的外接球球心为 O ，则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直于平面 ABD 的垂线上．由题设知， ABD 是正三角形，则点 N 为 ABD 的中心．设 P, M 分别为 AB, CD 的中点，则
2011 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）第 2 页共 11 页
2
ACB 90 0 ，则点 C 的坐标为
◆答案： (1,2) 或 (9,6) ． ★解析：设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), C (t ,2t ) ，由
2
x 2 y 1 0, 2 得 y 8y 4 0 ，则 y1 y 2 8 ， 2 y 4 x ,
2011 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）第 4 页共 11 页
于是 0 a 1 1 b 2 ．
10 1． b2 10 10 ] | lg[6(b 2) ]．从而 f (10a 6b 21) | lg[6(b 2) b2 b2 10 ] 4 lg 2 ，又 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，所以 lg[6(b 2) b2 10 1 16 ．解得 b 或 b 1 （舍去）故 6(b 2) ． 3 b2 1 2 把 b 代入 ( a 1)(b 2) 1 解得 a ． 3 5 2 1 所以 a ， b ． 5 3

2011年全国高中数学联赛试题及标准答案

2０11年全国高中数学联赛一试一、填空题（每小题8分,共6４分）1．设集合},,,{4321a a a a A =,若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A .２．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3.设b a ,为正实数,2211≤+ba ,32)(4)(ab b a =-,则=b a log ． 4.如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-,)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 . 5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答)６．在四面体A ＢCD 中,已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于A,Ｂ两点,C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ,则点C 的坐标为 .8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题（本大题共3小题,共56分)9.（16分)设函数|)1lg(|)(+=x x f ,实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ,求b a ,的值.10．(２0分)已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． (１)求数列}{n a 的通项公式;（2）若0>t ,试比较1+n a 与n a 的大小.11．(本小题满分２0分）作斜率为31的直线l 与椭圆C :143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示)，且)2,23(P 在直线l 的左上方.(1)证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2)若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解答1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次,所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－(－１)=6,5－３＝2，5-５=0，５-８=－3,因此,集合}6,2,0,3{-=A .2.(,(1,)-∞+∞. 提示:设22,tan πθπθ<<-=x ,且4πθ≠,则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f .设)4sin(2πθ-=u ,则12<≤-u ,且0≠u ,所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3.-1. 提示：由2211≤+ba ,得ab b a 22≤+.又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab .与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a .4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示:不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+．又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππＺ). 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5.１50０0. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: (1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；。

2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

显然当 t 0 时，恒有 a n 1 a n 0 ，即 a n 1 a n
2011B 11、（本题满分 20 分）已知 A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x2 , y2 ), A3 ( x3 , y3 ) 是抛物线 y 2 px ( p 0) 上不同的三点，A1 A2 A3 有两边所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，证明：对不同的 i, j 高中数学联合竞赛试题（B 卷）第 1 页共 11 页
再由不等式①中等号成立的条件，得 ab 1 ．与②联立解得故 log a b 1 ．
a 2 1, b 2 1,
或
a 2 1, b 2 1,
d ( p ) 2 ，即 2 p 2 6 p 4 解得 p 1 或 2 ；
当3 p
p 6 4 ，解得 p 10 p p 2 2 ，即 p 2 时，当 x 时， AB 取得最小值，d ( p ) 2 2 4
2
综上，满足条件的实数 p 的和为 1 2 10 13 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2011B 9、（本题满分 16 分）已知实数 x, y , z 满足： x y z ， x y z 1 ， x y z 3 .求实数 x 的取值范围. ★解析：令 x 1 t ，由 x y z 1 得 z t y ，代入 x y z 3 得
2
2
yi y j ( yi y j ) 为定值.
★证明：依题意有 y i 2 px i ， i 1,2,3 ， y1 , y 2 , y 3 互不相等。不妨设 A1 A2 , A2 A 3 所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，因为 x 2qy 的过原点 O 的切线与抛物线 y 2 px ( p 0) 只有一个公共点，所以原点 O 不能是所设内接三角形的顶点，即。 xi , y i 0,0 （ i 1,2,3 ）由于设 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2qy (q 0) 相切，所以 A1 A2 不平行 y 轴，即 x1 x 2 ，

2011高中数学联赛

2011高中数学联赛赛事概况2011年高中数学联赛是一项全国性的高中数学竞赛活动。

此次比赛的目的是为激发学生对数学的兴趣，测试他们的数学知识与解题能力，并提高高中数学教学质量。

比赛面向全国各个高中学校的学生，共有来自不同地区的优秀学生参加。

比赛形式2011高中数学联赛采用了笔试的形式。

比赛分为初赛和复赛两个阶段。

初赛采用了选择题和解答题的方式，内容涉及了数学的各个方面，如代数、几何、概率等。

初赛时长为3小时，考察学生的基础知识和解题能力。

在初赛中，每道选择题均有4个选项，学生选择正确答案，并将答案填写在答题卡上。

解答题则需要学生进行详细的计算和推导，最后将答案写在答题纸上。

通过初赛的学生将进入复赛阶段。

复赛也采用了选择题和解答题相结合的形式。

与初赛相比，复赛的题目难度更大，涉及的知识面更广。

复赛同样时长为3小时，要求学生在有限的时间内完成更多的题目。

竞赛内容2011高中数学联赛的竞赛内容涵盖了高中数学的各个领域。

其中，代数、几何和概率是比赛的重点。

代数部分主要测试学生在方程与不等式、函数与图像、数列与数论等方面的应用能力。

题目形式多样，有选择题、填空题和证明题等。

几何部分主要考察学生对平面几何和立体几何的理解和应用。

题目包括相关定理的运用、图形的性质分析等。

概率部分主要测试学生对概率概念和计算的理解。

题目涉及概率的基本原理、条件概率、期望等内容。

除了代数、几何和概率，比赛还会涉及到其他数学领域的内容，如数论、解析几何等。

这些内容旨在考察学生的综合运用能力和解决实际问题的能力。

参赛要求2011高中数学联赛面向全国各个高中学校的学生开放。

每所学校可以派出多名学生参赛，但每位学生只能参加一次比赛。

参赛学生需要在比赛前进行报名，并提供相应的个人信息和所在学校的信息。

比赛采取单选形式，要求学生准确选择答案或填写答案。

解答题则要求学生进行详细的计算和推导，确保解答正确。

比赛意义2011高中数学联赛作为一项全国性的数学竞赛活动，对于高中数学教学具有重要意义。

2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)(一试+二试,附详细解答)

2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.2、函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a , b ]⊆D ，使f (x )在[a , b ]上的值域为[a , b ]，那么y =f (x )叫做闭函数，现有()f x k =是闭函数，那么k 的取值范围是_________3、如图，在△ABC 中，cos 25C=,0,A H B C ⋅=0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为12，则该圆的半径为________5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________7、设对于任意满足mn <m ，n 有不等式2227m n nλ-≥恒成立，则λ的最大值为__________8、圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知正实数,x y ，设a x y=+，b =. （1）当1y =时，求b a的取值范围；（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2cxy的取值范围.10. 已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.11. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a addccbba-+≥+++．(考试时间：150分钟满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，点D 和E 为边BC 上的点，且∠DAE ＝45°，△ADE 的外接圆分别交边AB 和AC 于点P 和Q ，求证：BP ＋CQ ＝PQ二、（本题满分40分）已知n 为正整数，且)2(,,,,321≥k a a a a k 是集合},,2,1{n 中不同的正整数，其满足n 整除1,,2,1),1(1-=-+k i a a i i ，证明：n 不整除)1(1-a a k .三、（本题满分50分）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足abc ＝).1)(1)(1(2---c b a（1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。

2011年全国高中数学联赛试题及解答

2011年全国高中数学联合竞赛第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合{}1234,,,A a a a a =，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1,3,5,8B =-，则集合．2．函数()f x =的值域为．3．设为正实数，11a b+≤()()234a b ab -=，则．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)0,2θπ∈，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体的外接球的半径为．7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于,A B 两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则点C 的坐标为．8．已知()2002001,2,,95nnnn a C n -=⋅⋅=，则数列{}n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．设函数()()lg 1f x x =+，实数(),a b a b <满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg 2f a b ++=，求,a b 的值．10．已知数列满足：()1231a t t t =-∈≠±R 且，()()()112321121n n n n n n t a t t a n a t ++-+--=∈+-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较与的大小．11．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：221364x y +=交于A 、B 两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△P AB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60APB ∠=︒，求△P AB 的面积．加试一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD的中点．若∠=∠．∠=∠，证明：AQB CQBBPA DPA二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：（1）011,,,n a a a -均为正整数；（2）对任意正整数，及任意()2k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r ，均有()()()()21k f m f r f r f r ≠．三、（本题满分50分）设()12,,,4n a a a n ≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=≤<<≤-的三元数组(),,i j k 的个数记为()n f r ．证明：()24n n f r <．四、（本题满分50分）设A是一个39⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个()⨯≤≤≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的m n m n13,19小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．。

(专家预测卷考前必做)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(2).

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案.2011 .9. 23一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在数列{}n a 中，12a =，21a =-，且21n n n a a a ++=-，1,2,n = ．则2011a ＝．2．设a ，b ，c 是正整数，且成等比数列，b a -是一个完全平方数，666log log log 6a b c ++=，则a b c ++= ．3．一列数123,,,a a a 满足对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ． 4．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =_______．5．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{}1,2,,500 中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1100，则n 的最大值是 . 6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使A S A B =，C 为半圆上一个动点，,N M 分别为A 在,SC SB 上的射影．当三棱锥S AMN -的体积最大时，BAC ∠=_________．8．直线2y kx =-交抛物线28y x =于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则AB = .二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）9.（本小题满分16分）设[),,1x y z ∈+∞，，证明不等式2222(22)(22)(22)()22x x y y z z xyz xyz -+-+-+≤-+．10.（本小题满分20分）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ，（0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB = ，3OA OB ⋅=．（1）求双曲线方程；（2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11.（本小题满分20分）设12,,,,n x x x 是不同的正实数.证明：12,,,,n x x x 是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数(2)n ≥，都有2221112212121n nn k k k x x x x x x x x x -=+-=-∑.加试1. （本题满分40分）实数a 使得对于任意实数12345,,,,x x x x x ，不等式222221234512233445()x x x x x a x x x x x x x x ++++≥+++都成立，求a 的最大值．2. （本题满分40分）在直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切与点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点P ，连接PC ，PE ，PF ．已知PC PF ⊥，求证：PE ∥BC ．F C BA3．（本题满分50分）对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和．(1) 求()f n 的最小值；(2) 是否存在一个正整数n ，使得()f n =100？4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点12,,,n A A A ，则在2n C 个角(1)i j A OA i j n ∠≤<≤中，至少有2011个不超过120︒．参考答案一试1. 0．因为12a =，21a =-，33a =，44a =，51a =，63a =，72a =，81a =，91a =，100a =，111a =，121a =，130a =，…．所以，自第8项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故2011a =0．2． 111．由题意，2b ac =，6log 6abc =，所以，66abc =，故2636b ==，236ac =．于是，36－a 是平方数，所以，a 只可能为11，20，27，32，35，而a 是236的约数，故27a =．进而，48c =．所以，111a b c ++=．3．33100．当2n ≥时，有312n a a a n +++= ， 3121(1)n a a a n -+++=- ，两式相减，得 2331n a n n =-+，所以11111(),2,3,13(1)31n n a n n n n==-=--- 故23100111111a a a +++--- 11111111(1)()()32323399100=-+-++- 1133(1)3100100=-=． 4． 32-．由1a <-及2x ax x +≤-得：0(1)x a ≤≤-+，设222()()24a a f x x ax x =+=+-．若(1)2aa -+<-，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-．若(1)2a a -+≥-，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =． 5． 81.由题设知，n 恰有5个约数.设n 的质因数分解是11k kn p p αα= ，则n 的约数个数为1(1)(1)k αα++ ，所以1(1)(1)k αα++ ＝5，故n 具有4p 的形式，而44381,5625500==>，故n 的最大值为81.6． 22010．令f (x )=(1+x )(1+x 2)(1+x 3)…(1+x 2011),问题中要求的答案为f (x )的展开式中，x 的奇次项的系数和．故所求的答案为21(f (1)－f (－1))=22010.7．．易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面，所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面．13S AMN ANM V SM S -∆=⋅⋅，由2SA AB ==得：AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN ∆面积最大在1AN MN ==时取到，此时，BAC ∠=8．设()()1122,,,A x y B x y ，由228ky y =-，即28160k y y --=，所以，1212816, y y y y k k +==-，因此()12128444y y k x x k k=+=+-=-，即220k k --=，因直线2y kx =-过()0,2-和122,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，则0k >，于是2k =，再由22y x =-，28y x =，解得((2 2, 2 2A B -+，所以AB =9.注意到1,1x y ≥≥，所以222(22)(22)(()22)x x y y xy xy -+-+--+ 222(22)(624)(242)y x y y x y y =-++--+-+22(1)((2)1)y x y x y =--+-+-2(1)(1)(1)0y x x y =---+-≤，所以 222(22)(22)()22x x y y x y x y -+-+≤-+．同理，因为1,1xy z ≥≥，所以222(()22)(22)()22xy xy z z xyz xyz -+-+≤-+．10.（1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =，双曲线方程化为222213x y a a -=．又直线l 方程为y x m =+．由222213x y a a y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得2222230x mx m a ---=． ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，221232m a x x --=．因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，123x x =-．结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232m a x x --=，得2223342m a m ---=，化简得226m a =．又 1212121222221212()()2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ⋅=+=+++=+++=-=，且3OA OB ⋅=．所以21a =．此时，m2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求．故双曲线C 的方程为2213y x -=．（2）假设点M 存在，设(0)M t ，．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点．当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=--，00tan Q M yQMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0002000221()y y x ty x x t⨯--=---．将220033y x =-代入，并整理得，22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++．于是 242243t t t t +=-⎧⎨-=+⎩，解得1t =-．当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合2Q F M Q M F∠=∠．所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-，．11.必要性：若12,,,,n x x x 是一个等比数列，设1k k x ar -=，则22(1)1112111211n n n n k k k k k x x r x x x rr----==+=∑∑2(1)22(2)2111n n r r rr ---=+++=-＝2212221n x x x x --.充分性：当n ＝2时，两边都等于1.当n ＝3时，有222233311222122321x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭，化简得2132x x x =，所以，123,,x x x 成等比数列.假设121,,,n x x x - 成等比数列（4n ≥），记1k k x ar -=，1,2,,1k n =- ，n n x au =，则2232522111111n nn n n u u r r r r r u r --⎛⎫-++++= ⎪-⎝⎭ ， 2242632224(1)(1)(1)n n n n n n u r r r r u r u r---⎡⎤+++++-=-⎣⎦ ， 21324()0n n n n n u r r u r ------=，()()130n n nn ur u r ---+=，因为0n u >，所以1n n u r -=，即1n n x ar -=，从而12,,,n x x x 成等比数列.由数学归纳法知，12,,,,n x x x 是一个等比数列.加试1． a因为当123451,2,1x x x x x =====时，得a ≤．又当a =时，不等式恒成立．事实上2222212345222222223322441522332233x x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1223345x x x x x x x≥，所以，a2．连接DE ，DF ，则△BDF 是等腰直角三角形．于是45FPD FDB ∠=∠=︒，故45DPC ∠=︒．又PDC PFD ∠=∠，所以△PFD ∽ △PDC ，所以PF PDFD DC=． ① 又由AFP ADF ∠=∠，AEP ADE ∠=∠，所以，△AFP ∽ △ADF ，△AEP ∽△ADE ，于是EP AP AP FPDE AE AF DF===，故由①得 EP PDDE DC=． ② 因为EPD EDC ∠=∠，结合②得，△EPD ∽ △EDC ，所以，△EPD 也是等腰三角形，于是PED EPD EDC ∠=∠=∠，所以，PE ∥BC ．F CBA3．（1）由于231n n ++是大于3的奇数，故()1f n ≠．若()2f n =，则231n n ++只能为首位和末位为1，其余数码为0的一个数，即231n n ++=101k +，k 是大于1的整数．于是(31)25k k n n +=⋅，由于(),311n n +=，所以2,315,k kn n ⎧=⎪⎨+=⎪⎩于是314425k kn n +≤=⋅<，矛盾！故()2f n ≠．又当n =8时，231n n ++=201，所以(8)3f =．综上所述，()f n 的最小值为3. （2）事实上，令101k n =-，则22313105103k k n n ++=⨯-⨯+1129999500003k k --=，他的数码和为29(1)5391k k +-++=+．由于100=9×11+1，所以，取11101n =-，则()f n =100.4．首先，当n ＝90时，如图，设AB 是圆O 的直径，在点A 和B 的附近分别取45个点，此时，只有245245441980C =⨯=个角不超过120︒，所以，n ＝90不满足题意．当n ＝91时，下面证明至少有2011个角不超过120︒．把圆周上的91个点1291,,,A A A 看作一个图的91个顶点，1291,,,v v v ，若120i j A OA ∠>︒，则在它们对应的顶点,i j v v 之间连一条边，这样就得到一个图G ．设图G 中有e 条边，易知，图中没有三角形．若e ＝0，则有29140952011C =>个角不超过120︒，命题得证．若1e ≥，不妨设顶点12,v v 之间有边相连，因为图中没有三角形，所以，对于顶点(3,4,,91)i v i = ，它至多与12,v v 中的一个有边相连，所以12()()89291d v d v +≤+=，其中()d v 表示顶点v 的度，即顶点v 处引出的边数．因为1291()()()2d v d v d v e +++= ，而对于图G 中的每一条边的两个顶点,i j v v ，都有()()91i j d v d v +≤，于是，上式对每一条边求和可得2221291(())(())(())91d v d v d v e +++≤ ，由柯西不等式222221*********[(())(())(())][()()()]4d v d v d v d v d v d v e +++≥+++= ，所以 222212914(())(())(())9191e d v d v d v e ≤+++≤ ，故29120714e ≤<，所以，91个顶点中，至少有291207120242011C -=>个点对，它们之间没有边相连，从而，它们对应的顶点所对应的角不超过120︒．综上所述，n 但最小值为91．A目录第1讲集合与函数综合问题第2讲三角函数与反三角函数第3讲等差数列与等比数列第4讲递归数列第5讲不等式第6讲数学归纳法第7讲复数第8讲平面几何问题(1)第9讲平面几何问题(2)第10讲立体几何第11讲解析几何第12讲数论问题第13讲组合问题第14讲计数问题全国高中数学联赛模拟题（1）全国高中数学联赛模拟题（2）全国高中数学联赛模拟题（3）全国高中数学联赛模拟题（4）学奥数这里总有一本适合你。

2011年全国各省数学奥林匹克竞赛试题

2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（）A.2 B. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（）C. 321243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形） A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依2212231次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。

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第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
第一天
(2011年7月23日,18:00-21:00)
每小题50分，共200分
1.已知△ABC是锐角三角形，过点A作BC的垂线与以BC为直径的圆O1分别交于点D、E；过点B作CA的垂线与以CA为直径的圆O2分别交于点F、G。

证明:E、F、D、G四点共圆，并确定圆心的位置。

2.记d(n)为正整数n的正因子的个数，定义数列{a n}如下：
a1=λ,a n+1=d3
2
a n+2011.
证明：对于任意正整数λ，数列{a n}自某项开始为周期数列。

3.已知p为质数，x，1
x 的小数部分为p−3x
75
,求所有满足条件
的质数p的值。

[注] 若a是一个实数，[a]表示不超过实数a的最大整数，a的小数部分为a-[a]。

4.在一个n行n列的棋盘上放置n2−1（n≥3）枚棋子。

棋子的编号为
(1,1),…,(1,n);(2,1),…,(2,n);…;(n,1),…,(n,n-1).
如果编号为(i,j)的棋子刚好在棋盘的第i行第j列，第n行第n列是空的，则称棋盘处于“标准状态”。

现在把n2−1枚棋子随意放到棋盘上，每个格子只能放置一枚棋子，每一步可以把空格相邻的一个格子中的棋子移到空格中（两格子相邻是指有公共边）。

请问：是否在任意放置下，都可以经过有限次移动，使棋盘达到标准状态？证明你的结论。

第二届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
第二天
(2011年7月24日,18:00-21:00)
每小题50分，共200分
5.设O为锐角△ABC的外心，AO、BO、CO的延长线分别与BC、CA、AB 交于点D、E、F。

若△ABC∽△DEF，证明：△ABC是正三角形。

6.对任意x、y、z∈R，求证：
−3
2x2+y2+2z2≤3xy+yz+zx≤3+13
4
(x2+y2+2z2)。

7.证明：任意九个两两不同的不超过9 000的正整数中一定存在四个数A、B、
C、D，使得
A+D≤A+B+C≤4D。

8.某位科学家将其时间机器设计图存入一台电脑，文件打开密码设置为{1，2，...，64}的某个排列；又设计了一个程序，当每次输入1至64中的八个正整数时，电脑会提示这八个数之间在密码中的顺序（从左到右）。

请设计一种操作方案，使得至多经过45次输入，就能确定这个密码。