材料力学第五版刘鸿文主编第六章 弯曲变形ppt
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材料力学 第六章 弯曲变形
dw EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度：
EIw [ M ( x)dx ]dx Cx D
积分常数：C和D
2、边界条件
用于确定积分常数C和D的梁支承处已知的变形条件，称为边界条件。
x 0, w 0
w x 0 0
dw x 0 dx
x 0
0
w x 0 0 w xl 0
3、连续条件
x a w1 w2 x a w1 w2
以A为原点，取直角坐标系 （1） 求支座反力
RA P, M A Pl
（2）列弯矩方程
M ( x) M A RA x Pl Px
（3）列挠曲线近似微分方程
Px 2 Pl 2 P 3 2 x 6 x 6 EI (3l x)
（教材173页表6-3序2）
（7）求最大转角和最大挠度
Pl 2 B ,即 2 EI
3
max
Pl 2 2 EI
3
Pl Pl wB ,即 w max 3EI 3EI
说明：转角为负，说 明横截面绕中性轴顺 时针转动；挠度为负， 说明B点位移向下。
64
(84 44 ) 188cm4
材料的弹性模量：
E 210GPa 21 106 N/cm2
由表6-1查出，因P1在C处引起的 挠度和在B引起的转角（图c）为：
yCP1
P1a 2 2000 202 (l a ) (40 20) 40.6 104 cm 3 EI 3 21 106 188
将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。
（1）计算变形
材料力学课件ppt-6弯曲变形 58页PPT文档
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24EI
,
wC1
5ql4 384EI
w
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
wC3
3ql4 48EI
w
B2
(q)ll2 q3l
,
16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
目录
BB1B2B3
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx 2
0
M
M
因此
d2y dx2
M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EI z
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
1、确定静不定次数。 2、选择基本静定梁。
静定梁(基本静定基) — 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24EI
,
wC1
5ql4 384EI
w
B3
(q2l)l 3EI
q3l , 3EI
wC3
3ql4 48EI
w
B2
(q)ll2 q3l
,
16EI 16EI
wC2
(ql)l3 48EI
目录
BB1B2B3
EI z
d2 y M(x) dx2 EIz
目录
符号规定： M0
y
d2y dx 2 0
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
y M0
d2y dx 2
0
M
M
因此
d2y dx2
M (x) EI z
（挠曲线的近似微分方程）
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
由挠曲线的近似微分方程
积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EI z
力与位移之间的线性关系 挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系
小变形 轴向位移忽略不计。
目录
第一类叠加法
应用于多个载荷作用的情形 叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷 共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个 载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
1、确定静不定次数。 2、选择基本静定梁。
静定梁(基本静定基) — 将静不定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。 多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束
材料力学 弯曲变形ppt课件
由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
刘鸿文版材料力学课件6-7章
MC 4FB 2F
MC
4 8.75 2 40 115 kN.m
FC
目录
§6-5 简单超静定梁
MA
MC
FC FA
71.25
FS ()
k N
8.75 ()
M
(kNm) ()
125
48.75 1.94
()
17.5 115
A、C 端约束力已求出
FA 71.25 kN( ) M A 125 kN m( ) FC 48.75 kN( ) MC 115 kN m( )
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
由数学知识可知：
1
d2y dx2 [1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx2
所以
d2 y M(x) dx2 EIz
y M (x) > 0
Mx2
FAy
x2
F( x2
a)
Fb l
x2
F( x2
a),
a x2 l
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12
M( x1 )
Fb l
x1
EI
dy1 dx1
EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy 1
Fb 6l
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件
F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：
刘鸿文版材料力学课件全套下
FA 71.25 kN( ) M A 125 kN m( )
FA
71.25
FS ( )
FC 48.75 kN( )
MC 115 kN m(
8.75 1.94
)
kN
( )
48.75
( )
最后作梁的剪力图和弯矩图
M (kN m ) ( )
125
17 .5
115
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y
x
yx
xy
正应力：拉为正；压为负
x
y
a
a
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
x
xy
α
yx
n
x
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
y
t
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
解
1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形 为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
yC
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用 的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
B
a
C
A A (b) (c)
MA
B B
FBy
F
C C F F F
1）判定超静定次数 2）解除多余约束，建立相当系统
A A A
B B B (c) (d) FBy
C C C
3）进行变形比较，列出变形协调条件
材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
刘鸿文材料力学第五版课件
Fl 2 2 Fl 2 5Fl 2 = + = 2 EI EI 2 EI
（顺时针） 顺时针）
北京交通大学工程力学研究所
柯燎亮
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁 截面的挠度和转角以 由叠加原理求图示弯曲刚度为 的外伸梁C截面的挠度和转角以 的外伸梁 截面的挠度。 及D截面的挠度。 截面的挠度
qa(2a ) qa(2a ) wD1 = θ B1 = − 48EI 16 EI 截面的挠度和B截面右端的转角为 图d中D截面的挠度和 截面右端的转角为： 中 截面的挠度和 截面右端的转角为：
3 2
wD 2
2qa =− 16 EI
4
θ B2
qa 3 = 3EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形将相应的位移进行叠加，即得： 将相应的位移进行叠加，即得：
q B
(θ B )q
θ A = (θ A)q + (θ A)Me
Mel ql =( + ) ( 24EI 3EI
3
(wC )q
l
) Me
B
(θ B ) M e
θB = (θB)q + (θB)Me A (c) (θ A ) C (wC )M ql 3 Mel ( ) = − + l 24EI 6EI 北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮
qa 4 wCq = 8EI
θ Cq
qa 3 = 6 EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 用叠加法求弯曲变形原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得， 原外伸梁 端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 端的挠度和转角也可按叠加原理求得
刘鸿文版材力第六章 弯曲变形 (2)
RA
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）
q
RB
ql RA = RB = 2
A
B
x
y
l
例题 6 -2 图
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M(x) = x − qx = (lx − x2 ) 2 2 2 q EIw' ' = M(x) = (lx − x2 ) 2 (a) (b)
RA
A
x
q
RB
B x
y
l
q EIw ' = M(x) = (lx − x2 ) ' 2
w"Байду номын сангаас 0
o y
M M
x
ν"> 0
o 图 6 -2 x
M>0
w '' (1 + w ' )
2
2
3
2
M (x) = EI
（6 -1） ）
w' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计 故上式可近似为： 相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：
M(x) w "= EI
（6 -2 a） ）
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了w′2 项。 略去了 ′
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成 若为等截面直梁 其抗弯刚度 为一常量上式可改写成
EIw = M(x)
''
（6 -2 b） ）
上式积分一次得转角方程
EIw' = EIθ = ∫ M(x)dx + C 1
再积分一次, 再积分一次 得挠曲线方程
（6 -3 a） ）
刘鸿文版材料力学课件
EIiy'M 'i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和
yC
3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3 i1
Bi
ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和
yC
3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3 i1
Bi
ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
材料力学(全套课件下册296P)刘鸿文版
6）确定最大转角和最大挠度
Fl 2 x l , max B , 2EI
ymax yB
目录
Fl 3 3EI
§6-3 用积分法求弯曲变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知， l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得：
y
A
A D
F
C
第 六 章
弯 曲 变 形
目录
第六章
§ § § § 6-1 6-2 6-3 6-4
弯曲变形
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形
§6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施
目录
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
7-1
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
~~~ ~
A
AAA A ~~~ ~
yA0
yA0
yA
－弹簧变形
yAL yAR
yAL yAR
A0
AL AR
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
目录
0 x1 a
B
B x
FBy
§6-3 用积分法求弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
y
x1 0, x2 l ,
光滑连续条件
y1 (0) 0 y2 ( l ) 0
F
A D C
A
Fl 2 x l , max B , 2EI
ymax yB
目录
Fl 3 3EI
§6-3 用积分法求弯曲变形
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知， l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得：
y
A
A D
F
C
第 六 章
弯 曲 变 形
目录
第六章
§ § § § 6-1 6-2 6-3 6-4
弯曲变形
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形
§6-5 简单超静定梁 §6-6 提高弯曲刚度的一些措施
目录
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
7-1
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
~~~ ~
A
AAA A ~~~ ~
yA0
yA0
yA
－弹簧变形
yAL yAR
yAL yAR
A0
AL AR
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。
解
1）由梁的整体平衡分析可得：
y
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
目录
0 x1 a
B
B x
FBy
§6-3 用积分法求弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
y
x1 0, x2 l ,
光滑连续条件
y1 (0) 0 y2 ( l ) 0
F
A D C
A
材料力学课件第六章 弯曲变形6-7
+
FA
Fa 2 4EI
Fa3 wFC 6EI
q
A
B
qA
qa3 3EI
wqC
5qL4 24EI
F
B C
a
a
FA
Fa 2 4EI
Fa3 wFC 6EI
qA
qa3 3EI
wqC
5qL4 24EI
=
F 叠加
A
B
A FA qA
+
a2
(3F 4qa)
12EI
q
A
B
wC
5qa 4 24EI
Fa3 6EI
小结
1、明确挠曲线、挠度和转角的概念 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法 3、掌握提高粱的弯曲刚度的措施
A
B
l
q
A
B
3.增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大I 值，在截面面积不变
的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远
的地方。例如：工字形、箱形等。
q
qL4
wmax
0.013 EI
L
q
wmax
0.7875103 qL4 EI
L/5
L/5
q L/2 L/2
wmax
0.326103 qL4 EI
A 0
即 M Al ql 3 0 3EI 24EI
MA
1 ql 2 8
第七节 梁的刚度校核 提高梁的刚度措施
一、提高梁的刚度措施
1.调整加载方式，改善结构设计；缩短跨长：如将简支梁
改为外伸梁；或增加支座等。
2.减少梁的跨度，增加支承约束；缩短跨长：如将简支梁
改为外伸梁；或增加支座等。
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
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Mechanics of Materials
Chapter6 Deflection of Beams
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
解： (1) 弯矩方程为
w
F
A B
x
x
M ( x ) F (l x )
(2) 挠曲线的近似微分方程为
(1)
l
EIw '' M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
2
Fx EIw ' Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
2、转角 (slope) 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示。
w
A C' C B x
w挠度（
B
转角
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时:
w
M
M
Hale Waihona Puke 曲线向上凸时, w 0M 0w
M
M 0 w 0
M
§6–1 工程中的弯曲变形问题
（Basic concepts and example problems)
一. 工程实例（Example problem)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
A B
wA 0
A 0
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
在弯曲变形的对称点上，转角应等于零。
F
0
C
A
C
l/2 l/2
横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向 的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B
x
w挠度
C'
B'
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
(4)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
第六章
弯曲变形 (Deflection of Beams)
§6-1 工程中的弯曲变形问题 (Engineering problems of beam deflection) §6-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve)
§6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
4、挠度与转角的关系
（ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
(3)
tg w w( x )
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
B
挠曲线是一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意 点上，有唯一确定的挠度和转角。
A
B
A
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和
w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角 A 都应等于零.
wB 0
wA
w (1 w )
2
2
3
2
M ( x) EI
w ' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为 M ( x) w" EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（Differential equation
of the deflection curve)
2 w 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 项;
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
x 0, w 0
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
1、积分一次得转角方程 (The first integration gives the equation for the slope )
EIw M ( x )d x C1
2、再积分一次, 得挠度方程
(Integrating again gives the equation for the deflection)
§6–2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的 弹性变形,以满足特定的工作需要. 例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解 车辆受到的冲击和振动作用. F 2
挠度 向上为正,向下为负.
转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C C' B
x
w挠度
挠曲线
转角
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration)
1、边界条件（Boundary conditions) 2、连续条件 (Continue conditions)
Chapter6 Deflection of Beams
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
解： (1) 弯矩方程为
w
F
A B
x
x
M ( x ) F (l x )
(2) 挠曲线的近似微分方程为
(1)
l
EIw '' M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
2
Fx EIw ' Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
2、转角 (slope) 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示。
w
A C' C B x
w挠度（
B
转角
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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5、挠度和转角符号的规定
（Sign convention for deflection and slope)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时:
w
M
M
Hale Waihona Puke 曲线向上凸时, w 0M 0w
M
M 0 w 0
M
§6–1 工程中的弯曲变形问题
（Basic concepts and example problems)
一. 工程实例（Example problem)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
A B
wA 0
A 0
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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在弯曲变形的对称点上，转角应等于零。
F
0
C
A
C
l/2 l/2
横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向 的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B
x
w挠度
C'
B'
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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(4)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6 边界条件 x 0, w 0
第六章
弯曲变形 (Deflection of Beams)
§6-1 工程中的弯曲变形问题 (Engineering problems of beam deflection) §6-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve)
§6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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4、挠度与转角的关系
（ Relationship between deflection and slope)： w
A
tg w ' w '( x )
(3)
tg w w( x )
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
§6–3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
B
挠曲线是一条连续光滑的曲线，即在挠曲线的任意 点上，有唯一确定的挠度和转角。
A
B
A
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
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在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和
w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角 A 都应等于零.
wB 0
wA
w (1 w )
2
2
3
2
M ( x) EI
w ' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为 M ( x) w" EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（Differential equation
of the deflection curve)
2 w 近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 项;
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
x 0, w 0
将边界条件代入(3) (4)两式中,可得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
1、积分一次得转角方程 (The first integration gives the equation for the slope )
EIw M ( x )d x C1
2、再积分一次, 得挠度方程
(Integrating again gives the equation for the deflection)
§6–2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment)
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的 弹性变形,以满足特定的工作需要. 例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解 车辆受到的冲击和振动作用. F 2
挠度 向上为正,向下为负.
转角 自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C C' B
x
w挠度
挠曲线
转角
B
(Chapter 6: Deflection of Beams)
SCHOOL OF MECHANICAL AND ELECTRICAL ENGINEERING Mechanics of Materials 韩光平
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration)
1、边界条件（Boundary conditions) 2、连续条件 (Continue conditions)