数理逻辑1-2章填空12-4答案
数理逻辑课后习题答案
数理逻辑课后习题答案数理逻辑课后习题答案数理逻辑是一门研究推理和思维的学科，它涉及到数学和哲学的交叉领域。
在学习数理逻辑的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为你提供一些数理逻辑课后习题的答案，希望能够帮助你更好地理解和应用这门学科。
1. 逻辑符号的运用习题：将以下自然语言句子转化为逻辑符号表示：a) 如果今天下雨，那么我就带伞。
b) 所有猫都喜欢吃鱼。
c) 除非你努力学习，否则你不会成功。
答案：a) p: 今天下雨q: 我带伞逻辑符号表示：p → qb) p: x是猫q: x喜欢吃鱼逻辑符号表示：∀x(p → q)c) p: 你努力学习q: 你成功逻辑符号表示：p → q2. 命题逻辑推理习题：使用命题逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 如果今天是周末，那么我会去看电影。
今天是周末，所以我会去看电影。
b) 如果这只猫是黑色的，那么它是一只黑猫。
这只猫是黑色的，所以它是一只黑猫。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，今天是周末，可以推出结论我会去看电影。
b) 论断不成立。
虽然前提条件是这只猫是黑色的，但不能推出结论它是一只黑猫，因为黑色的猫不一定全身都是黑色的。
3. 谓词逻辑推理习题：使用谓词逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 所有猫都喜欢吃鱼。
汤姆是一只猫，所以汤姆喜欢吃鱼。
b) 所有学生都喜欢音乐。
小明是学生，所以小明喜欢音乐。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，所有猫都喜欢吃鱼，可以推出结论汤姆喜欢吃鱼。
b) 论断成立。
根据前提条件，所有学生都喜欢音乐，可以推出结论小明喜欢音乐。
4. 范式化和归结习题：使用范式化和归结法解决以下逻辑问题：a) 给定前提条件：p → q, ¬q → r, ¬r。
证明结论：¬p。
答案：首先，根据前提条件，我们可以得到以下逻辑式：1. p → q2. ¬q → r3. ¬r然后，我们可以将逻辑式1和3应用范式化规则，得到新的逻辑式：4. ¬p → ¬q接下来，我们将逻辑式4和逻辑式2应用归结规则，得到新的逻辑式：5. ¬p → r最后，我们将逻辑式5和前提条件的逻辑式3应用归结规则，得到最终的结论：6. ¬p通过范式化和归结法，我们证明了结论¬p成立。
2.数理逻辑12
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
数理逻辑自测题12-4
数理逻辑（1-2章）复习自测学号诚信分数自测题Ⅰ单项选择题（22分）101由n个命题变元组成不等价的命题公式的个数为( )(1)2n; (2)2n; (3)n2; (4)2 （2） n.答案：〔〕2设P：我将去镇上，Q：我有时间.命题“我将去镇上，仅当我有时间”符号化为( )(1)P→Q; (2) Q→P;(3)P ↔Q; (4) ┐P∨┐Q.答案：〔〕3设P:我们划船,Q:我们跑步.命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )(1) ┐P∧┐Q; (2) ┐P∨┐Q；(3) ┐(P ↔ Q); (4) P ↔┐Q.答案：〔〕4下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定( )(1)2是偶数或-3不是负数;(2)2是奇数或-3不是负数;(3)2不是偶数且-3不是负数;(4)2是奇数且-3不是负数.答案：〔〕5设P：张三可以做这件事，Q：李四可以做这件事.命题“张三或李四可以做这件事”符号化为( )(1)P∨Q; (2)P∨┐Q;(2)┐P ↔Q; (4)┐(┐P∨┐Q).答案：〔〕6下面语句中哪个是真命题( )(1)我正在说慌;(2)如果1+2=3，那么雪是黑的；(3)如果1+2=5，那么雪是黑的；(4)严禁吸烟.答案：〔〕7下面哪个联结词运算不可交换( )(1)∧ (2)→； (3)∨; (4) ↔答案：〔〕8命题公式(P∧(P→Q)) →Q是( )(1)矛盾式； (2)蕴含式；(3)重言式； (4)等价式.答案：〔〕9下面哪个命题公式是重言式( )(1)(P→Q)∧(Q→P);(3)(┐P∨Q)∧()P∧┐Q);(4)┐(P∨Q).答案：〔〕10下面哪一组命题公式是等值的( )(1)┐P∧┐Q， P∨Q;(2)A→(B→A), ┐A→ (A→┐B);(3)Q→(P∨Q), ┐Q∧(P∨Q);(4)┐A∨(A∧B), B.答案：〔〕11P→Q的逆反式是( )(1) Q→┐P; (2) P→┐Q;(3) Q→┐P; (4) ┐Q→┐P.答案：〔〕12┐P→Q的逆反式是( )(1) ┐Q→┐P; (2) P→┐Q;(3) ┐Q→P; (4) P→Q.答案：〔〕13下列命题联结词集合中，哪个是极小功能联结词集合( )(1)｛┐,↔｝; (2)｛┐,∨;∧｝;(3)｛↑｝; (4)｛∧,→｝答案：〔〕14下列命题联结词集合中，哪个不是极小功能联结词集合( )(1)｛┐,∧｝; (2)｛┐, →｝;(3)｛┐,∧,∨｝; (4)｛↑｝.答案：〔〕15已知A是B的充分条件，B是C的必要条件，D是B的必要条件，问A是D的什么条件( )(1)充分条件; (2)必要条件；(3)充要条件; (4)(1)(2)(3)都不对.答案：〔〕16┐P→ Q的反换式是( )(1) Q→┐P; (2) ┐P→ Q;(3) ┐Q→P; (4) P→┐Q.答案：〔〕17下面哪一个命题公式是重言式( )(1)P→(Q∨R);(2)(P∨R)∧(P→Q);(3)(P∨Q)(Q∨R);(4)（(P→(Q→R))→((P→Q) →(P→R)).答案：〔〕18下面哪一个命题公式不是重言式( )(2)(P∧R)→P;(3)┐(┐P∧Q)∧(┐P∨Q);(4)(P→Q)↔ ( ┐P∨Q).答案：〔〕19重言式的否定式是( )(1)重言式; (2)矛盾式;(3)可满足式; (4)蕴含式.答案：〔〕20下面哪一个命题是假命题( )(1)如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一；(2)如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一；(3)如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一；(4)如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一.答案：〔21下面哪一组命题公式不是等价的；(1)┐(A→B), A∧┐B;(2)┐(A ↔ B), (A∧┐B)∨(┐A∧B);(3)A→(B∨C), ┐A∧(B∨C);(4)A→(B∨C), (A∧┐B) →C.答案：〔22合式公式P→(Q↓P)是( )(1)重言式; (2)可满足式;(3)矛盾式; (4)等价式答案：〔Ⅱ填空题（50分，每空2分）1若且则称X是公式A的子公式.答案：〔〕2写出下列表中各列所定义的命题联结词P Q P Q P QT T T FT F F TF T F TF F F T答案：〔〕3P、Q为两个命题,当且仅当时,P∧Q的真值为T;当且仅当时, P∨Q的真值为F.答案：〔〕4由n个命题变元可组成不等值的命题公式.答案：〔〕5两个重言式的析取是 ,一个重言式与一个矛盾式的析取是 .答案：〔〕6给定命题公式A、B，若 ,则称A和B是逻辑等值的，记为A⇔B. 答案：〔〕7A、B为两个命题公式，A⇔B当且仅当，A⇒B当且仅当 .答案：〔〕8将P、Q为两个命题，德摩根律可表示为，吸收律可表示为 . 答案：〔9公式(P∨Q)→R的只含联结词┐、∧的等价式为 .答案：10 P、Q为两个命题，当且仅当时，P→Q的真值为F.答案：〔〕11全体极大项的合取为式，全体极小项的析取式必为式.答案：〔〕12公式┐P→Q的反换式为，逆反式为 .答案：〔〕13命题公式┐(P→Q)的主析取范式为，主合取范式的编码表示为 . 答案：14已知公式A(P，Q，R)的主合取范式为M0∧M3∧M5，它的主析取范式为(写成编码形式) .答案：〔〕15 命题公式┐(P↔Q)的主析取范式为，主合取式的编码表示为 . 答案：〔〕Ⅲ判断题（在括号中填写 T 或F 28分）181“王兰和王英是姐妹”是复合命题，因为该命题中出现了联合词“和”. 〔〕2凡陈述句都是命题. 〔〕3语句3x+5y=0是一个命题. 〔〕4命题“两个角相等当且仅当它们是对顶角”的值为T. 〔〕5命题“十减四等于五”是一个原子命题. 〔〕6命题“如果1+2=3，那么雪是黑的”是真命题. 〔〕7 (P∨→(Q∧R))是一个命题演算的合式公式，其中Q、Q、R是命题变元. 〔〕8 (P→(Q∧R →┐R))是一个合式公式，其中P、Q、R是命题变元. 〔〕9若A：张明和李红都是三好学生，则┐A：张明和李红都不是三好学生. 〔〕10若A：张英和王平都是运动员，则┐A：张英和王平不都是运动员. 〔〕11若P：每一个自然数都是偶数，则┐P：每一个自然数都不是偶数. 〔〕12若A：每个自然数都是偶数，则┐P：每个自然数不都是偶数. 〔〕13五个基本联结词的运算优先顺序为：┐、∨、∧、→、↔. 〔〕14 联结词“↑”是可交换的. 〔〕15 联结词“↑”满足结合律. 〔〕16 联结词“→”满足交换律. 〔〕17 “学习有如逆水行舟，不进则退”.设P：学习如逆水行舟，Q：学习进步，R：学习退步.则命题符号化为P∧(┐Q→R). 〔〕18 P、Q、R定义同上题，则“学习有如逆水行舟，不进则退”形式化为P→(┐Q→R).〔〕19 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的直值均为T时，P↔Q的值为T. 〔〕20 命题公式(P∧(P→Q))→是矛盾式. 〔〕21命题公式(P∧(P→Q))→Q是重言式. 〔〕22 联结词∧与∨不是相互分配的. 〔〕23 在命题演算中，每个极小功能联结词集合至少有两个联结词. 〔〕24 命题联结词集｛┐，∧｝是极小功能联结词集. 〔〕25命题联结词集｛┐，∧、∨｝是全功能联结词集. 〔〕26命题联结词集｛∧、→｝是全功能联结词集. 〔〕27 命题联结词集｛↑｝和｛↓｝都是全功能联结词集. 〔〕28 任一命题公式都可以表示成与其等价的若干极小项的析取式. 〔〕。
数理逻辑课本答案
第一章命题逻辑的基本概念作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：(1)火星上有生命存在.(2)12是质数。
(3)香山比华山高。
(4)x+y=2。
(5)这盆茉莉花真香！(6)结果对吗？(7)这句话是错的。
(8)假如明天是星期天，那么学校放假。
解答：(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；(2)“12是质数”是命题，其真值为假；(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。
点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。
作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：(1)如果正在下雪，那么今天很冷。
(2)今天很冷当且仅当正在下雪。
(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。
用自然语言叙述下列公式：¬(p∧q)¬p∨¬q p→q¬p∨q¬¬p¬p↔q解答：(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符号化为p↔q；(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。
对于公式的自然语言叙述，我们有：(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；(6)公式¬p↔q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。
数理逻辑部分参考答案
4．下面的推理是否正确，请给予说明． (1) (x)A(x) B(x) (2) A(y) B(y) 前提引入 US (1)
错误。 因为(1)中(x)的辖域仅是 A(x)，而不是 A(x) B(x)
四．计算题 1． 求 PQR 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：由于 P Q R P Q R 析取范式： P Q R 合取范式： P Q R 主析取范式 P Q R P Q R (P 1 1) (1 Q 1) (1 1 R) (P (Q Q) (R R)) (( P P) Q (R R)) (( P P) (Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( A(a) A(b)) (B(a) B(b))
．
6．设个体域 D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于 3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值 为 0 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 8． 谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x， y))中的约束变元为 y x ． ．
三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设 P：今天是天晴 则该语句符号化为 P 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 设 P：小王去旅游，Q：小李也去旅游 则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 设： P:他去旅游 Q：他有时间 则该语句符号化为 P->Q 4．将语句“41 次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式． 设：
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
数理逻辑习题答案
P184 习题10.110.1.1 解：⑴①⌝P∧R→Q ；② Q→R ；③ P∧⌝Q⑵①我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。
②我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。
③我有时间或我去镇上，此话不对。
（并非如此）10.1.2 解：⑴⇔T∨T∧F⇔T∨F⇔T⑵⇔T∧T∧F∨⌝(T∨T∧(F∨F)) ⇔F∨⌝(T∨T∧F) ⇔F∨F⇔F⑶⇔ (F∧T∨T)∧F∨(⌝(T∧T)∨T) ⇔F∨(F∨T) ⇔T⑷⇔⌝(T∧T)∨T∨( ) ⇔T⑸⇔ (T↔F)∧(F→F) ⇔F∧T⇔F⑹⇔T∨( )↔T∨T⇔T↔T⇔T10.1.3 解：⑴ P：天下雨；Q：我不去；正：⌝P→⌝Q ；逆：⌝Q→⌝P ；反：P→Q 。
⑵ P：你去； Q：我逗留；正：Q→P ；逆：P→Q ；反：⌝Q→⌝P 。
⑶ P：n是大于2的正整数； Q：方程x n+y n=z n无正整数解。
正：P→Q ；逆：Q→P ；反：⌝P→⌝Q。
P201 习题10.210.2.1 解：⑴⑵⑶⑷10.2.2 解：⑴ 否。
∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生P ，Q 连在一起的情况。
⑵ 是。
根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳，⌝P ，(P ∧Q) 皆是；又根据归纳，⌝P →(P ∧Q) 是； 又根据归纳，(⌝P →(P ∧Q))∨R 是。
⑶ 否。
∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生∨∧。
⑷ 是。
根据基础，P ，Q ，R 是； 根据归纳，R →P 是；又根据归纳，Q ∧(R →P) 是； 又根据归纳，(Q ∧(R →P))→P 是。
10.2.3 解：⑴ P ∧(P →Q)→Q 36E ⇔⌝(P ∧(⌝P ∨Q))∨Q 7E ⇔⌝((P ∧⌝P)∨(P ∧Q))∨Q 19E ⇔⌝(F ∨(P ∧Q))∨Q 29E ⇔⌝(P ∧Q)∨Q 13E ⇔(⌝P ∨⌝Q)∨Q 4E ⇔⌝P ∨(⌝Q ∨Q) 20E ⇔⌝P ∨T 28E ⇔T⑵ (P →Q)∧(Q →R)→(P →R)36E ⇔⌝[(⌝P ∨Q)∧(⌝Q ∨R)]∨(⌝P ∨R) 7E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨(Q ∧⌝Q)∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 19E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨F ∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 29E ⇔⌝[(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧R)∨(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 14E ⇔[⌝(⌝P ∧⌝Q)∧⌝(⌝P ∧R)∧⌝(Q ∧R)]∨(⌝P ∨R) 13E ⇔[(P ∨Q)∧(P ∨⌝R)∧(⌝Q ∨⌝R)]∨(⌝P ∨R)8E ⇔(P ∨Q ∨⌝P ∨R)∧(P ∨⌝R ∨⌝P ∨R)∧(⌝Q ∨⌝R ∨⌝P ∨R) 20E ⇔(T ∨Q ∨R)∧(T ∨T )∧(T ∨⌝Q ∨⌝P)28E ⇔T ∧T ∧T ⇔ T ⑶ (P →Q)→(⌝P ∨Q)36E ⇔(P →Q)→(P →Q)21E ⇔T ⑷ (P ↔Q)↔(P ∧Q ∨⌝P ∧⌝Q)36E ⇔(P ↔Q)↔(P ↔Q)24E ⇔TP189 习题10.310.3.1 解：⌝P ⇔ P ↓PP ∧Q ⇔ (P ↓P)↓(Q ↓Q) P ∨Q ⇔ (P ↓Q)↓(P ↓Q) P →Q ⇔ (P ↓P ↓Q)↓(P ↓P ↓Q) P ↔Q ⇔ (P ↓P ↓Q)↓(Q ↓Q ↓P) 10.3.2 解：⌝P ⇔ P ↑PP ∧Q ⇔ (P ↑Q)↑(P ↑Q) P ∨Q ⇔ (P ↑P)↑(Q ↑Q)P →Q ⇔ P ↑(Q ↑Q) ⇔ P ↑(P ↑Q) P ↔Q ⇔ (P ↑Q)↑((P ↑P)↑(Q ↑Q)) 10.3.3 解：P ∧Q ⇔ ⌝(⌝P ∨⌝Q) ⇔ ⌝(P →⌝Q) P ∨Q ⇔ ⌝P →QP ↔Q ⇔(P →Q)∧(Q →P)⇔⌝(⌝(P →Q)∨⌝(Q →P))⇔ ⌝((P →Q)→⌝(Q →P)) T ⇔ P →P F ⇔ ⌝(P →P)10.3.4 解：P ∧Q ⇔ ⌝(⌝P ∨⌝Q) ⇔ ⌝(P →⌝Q) ⇔ (P →(Q →F ))→F P ∨Q ⇔ ⌝P →Q ⇔ (P →F ) →Q ⌝P ⇔ P →F T ⇔ P →PP ↔Q ⇔ (P →Q)∧(Q →P) ⇔ ((P →Q)→((Q →P)→F ))→F 10.3.5 解：⌝P ⇔ T PP ∧Q ⇔ P (T Q) P ∨Q ⇔ T ((T P)Q)P ↔Q ⇔ (T (P Q))(T (T (Q P))) F ⇔ T T10.3.6 证：⑴ P ↑Q ⇔⌝(P ∧Q)⇔⌝(Q ∧P)⇔Q ↑P 。
第十二章 数理逻辑的公理化理论
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 只要公理系统中有蕴含式为公理, 则可必可同时 得到一个推理规则, 由这种方法所推得的规则叫 导出规则. • 利用导出规则可以从前面15条公理得到15条导 出规则: 规则1 P├P 规则2 P→(Q→R) ├ Q→(P→R) 规则3 P→Q, Q→R ├ P→R 规则4 P→(P→Q) ├ P→Q 规则5 P↔Q ├ P→Q 规则6 P↔Q ├ Q→P
• 3) 系统的独立性
– 系统中的每条公理均不能由其他公理推出 – 一个系统可以是不独立的
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 命题逻辑永真公式的公理系统 1. 系统的组成部分 1) 基本符号 – 命题: P,Q,R,…; – 联结词: ¬,∧,∨,→,↔ – 括号: (,) 2) 公式 – 命题是公式 – 如P,Q是公式, 则(P∧Q), (P∨Q), (P→Q), (P↔Q)是公式 – 公式由且仅由有限次使用(1)(2)而得
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 可充分应用UG, US, EG, ES四条规则, 通过 US,ES将公式中的量词全部除去, 从而得到一个 命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理, 在最 后得到结论前利用UG,EG重新加入量词，恢复 成谓词逻辑公式. • 使用UG时需遵守:
1) 对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则 2) 对额外变元不能使用此规则 3) 一公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不 能使用此规则.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 例12.1 试证P∨Q → Q∨P • 证明: (1) Q → Q∨P 公(12) (2) P → Q∨P 公(11) (3) (P→Q∨P) → ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 公(13) (4) ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 分(3),(2) (5) P∨Q → Q∨P 分(4),(1) 证明的每一步后面都附有说明叫证明根据.
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在命题逻辑中，下列哪个命题是永真命题？A. (P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)B. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬R) → (P → R)C. (P → Q) ∧ (¬Q → R) → (P → ¬R)D. (P → Q) ∧ (¬Q → ¬P) → (P → ¬Q)答案：A2. 谓词逻辑中的量词“∀”表示什么？A. 存在B. 任意C. 所有D. 唯一答案：C3. 以下哪个命题是命题逻辑中的矛盾命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A4. 在谓词逻辑中，下列哪个量词是存在量词？A. ∀xB. ∃xC. ∀yD. ∃y答案：B5. 以下哪个命题是命题逻辑中的等价命题？A. P → QB. ¬P → ¬QC. P ↔ QD. P ∨ Q答案：C6. 以下哪个命题是命题逻辑中的蕴含命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：C7. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示存在量词？A. ∀B. ∃C. ¬D. →答案：B8. 以下哪个命题是命题逻辑中的析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. P → QD. P ↔ Q答案：B9. 在命题逻辑中，以下哪个命题是永假命题？A. P ∧ ¬PB. P ∨ ¬PC. P → QD. P ↔ ¬P答案：A10. 在谓词逻辑中，以下哪个命题是全称量化？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∀x P(x)D. ¬∃x P(x)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 在命题逻辑中，命题“如果P，则Q”的符号表示为______。
大学数学数理逻辑练习题及答案
大学数学数理逻辑练习题及答案第一题：简述“蕴涵”与“等价”的概念及其区别，并给出一个例子进行说明。
蕴涵和等价是数理逻辑中常用的两个概念，它们主要用于描述命题之间的逻辑关系。
蕴涵是指一个命题可以推出另一个命题，也可以理解为一个命题包含了另一个命题。
记作p→q，读作p蕴涵q。
当p为真时，q必为真；当p为假时，q可以为真也可以为假。
蕴涵关系可以用真值表来表示。
等价是指两个命题具有相同的真值，即当其中一个命题为真时，另一个命题也为真；当其中一个命题为假时，另一个命题也为假。
记作p↔q，读作p等价于q。
等价关系也可以通过真值表来表示。
例子：命题p：如果今天下雨，那么地面湿润。
命题q：地面湿润的话，那么今天一定下雨。
根据上述命题可以得出以下结论：p蕴涵q：如果今天下雨，那么地面湿润。
即p→q。
q蕴涵p：如果地面湿润，那么今天下雨。
即q→p。
p等价于q：今天下雨当且仅当地面湿润。
即p↔q。
以上例子通过逻辑关系中的蕴涵和等价来描述了“下雨”和“地面湿润”之间的关系。
第二题：证明蕴涵的逆否命题成立。
蕴涵的逆否命题是由蕴涵命题转化得到的。
对于蕴涵命题p→q，其逆否命题为非q→非p。
假设p为真，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为假，则非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
假设p为真，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为真，则非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
综上所述，蕴涵的逆否命题非q→非p成立。
第三题：使用真值表判断以下复合命题的真假，并给出判断步骤：命题：(p∧q)∨(¬p∧¬q)为了判断复合命题的真假，我们可以使用真值表。
真值表的步骤如下：1. 写出各命题变量p和q的所有可能的真值组合。
数理逻辑参考答案
以下是参考答案。
对于较长的答案，只要回答出要点即可。
每题10分。
酌情评分。
1（A）、答案：300元。
源源，田田，晖晖每人拿出100元即可。
1（B）、答案：故选派方案有：(1)派A、C出差；(2)派A、D出差；(3)派A、B、D出差；(4)派C出差(5)派D出差；(6)派B出差；(7)派B、D出差由于题目要派两个人去出差，因此只有方案(1)、(2)、(7)满足要求，即：派A、C出差；派A、D出差；派B、D出差。
2（A）、答案：底下放一个1，然后2 3放在1上面，另外的4 5竖起来放在1的上面。
另外参考：要两人才能做到，先在平面上摆放一枚，再在这枚硬币的正面立着放两枚（这两枚是侧面接触的），这样，这三枚硬币之间形成一个三角形空隙。
剩下的两枚在空隙处交叉就行了，注意这两枚同样是平躺着，但可能需要翘起一定的角度。
2（B）、答案：a=a+b；b=a-b；a=a-b；3（A）、答案：根据I，每条供词都是由供词中没有提到的怀疑对象所作的。
因此，供词与怀疑对象之间的对应关系只有两种可能：A B(1)布拉德：亚当是无辜的。
(1)科尔：亚当是无辜的6(2)科尔：布拉德说的是真话。
(2)亚当：布拉德说的是真话。
(3)亚当：科尔在撒谎。
(3)布拉德：科尔在撒谎。
对于A，(2)支持(1)；而(3)否定(2)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)布拉德：亚当是无辜的。
(2)科尔：亚当是无辜的。
(3)亚当：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ，这是不可能的。
如果“亚当是无辜的”是真话，那么布拉德和科尔说了真话，而且其中有一人是有罪的。
根据Ⅱ，这也是不可能的。
因此，A是不可能的。
对于B，(3)否定(1)；而(2)支持(3)，进而否定(1)。
事实上，供词变成了：(1)科尔：亚当是无辜的。
(2)亚当：亚当有罪。
(3)布拉德：亚当有罪。
如果“亚当有罪”是真话，那么亚当说了真话而且是有罪的。
根据Ⅱ。
数理逻辑-复习题及参考答案
从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案一、单选题（每小题2分，共20分）1 以下语句是命题的是（ ）。
A ． y 等于x 。
B ． 每个自然数都是奇数。
C ． 请爱护环境。
D ． 你今天有空吗？2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（ ）。
A ．p ∧(q ∨r)B ．(p ✂r) ↔ (¬r ✂q)C ．(r ✂q) ∧(q ✂p)D ．(r ✂q)3 以下联结词的集合（ ）不是完备集。
A ．{¬,∧,∨, ✂,↔}B ．{¬,∧,∨}C ．{¬, ✂}D ．{∧,∨}4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（ ）。
A ．A ↔A*B ．¬A ↔A*C ．A|=|A*D ．¬A|=|A*5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（ ）的值是真的。
A ．∀x ∃yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=yB ．∀x ∀yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=yC ．∃x ∀yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=xD ．∀x ∀yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x6．以下式子错误的是（ ）。
A ．∀x ¬A(x) |=| ¬∃xA(x)B ．∀x(A(x)∧B(x)) |=| ∀xA(x)∧∀x B(x)C ．∃x(A(x)∨B(x)) |=| ∃xA(x)∨∃x B(x)D ．∀x(A(x)∨B(x)) |=| ∀xA(x)∨∀x B(x)7. 下列式子（ ）不正确。
A ．{x}∈{{x}}B ．{x}∈{{x},x}C ．{x}⊆{{x}}D ．{x}⊆{{x},x}二、填空题（每小题2分，共20分）1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。
”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式 。
高二数学选修第一章常用逻辑用语 知识点+习题+答案
第一章常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．第一章常用逻辑用语测试题原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 真假 假 假 假一、 选择题（每道题只有一个答案，每道题5分，共60分） 1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（） A 、真命题与假命题的个数相同B 真命题的个数一定是奇数C 真命题的个数一定是偶数D 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列命题中正确的是（）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题 ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51y B 、51x <51y C 、51x ＝51y 且51x <51y D 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（） A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要5、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要6、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（） A 、ab ＝0B 、a ＋b=0 C 、a ＝bD 、a 2＋b 2＝07、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（）A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、 D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝08、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要9、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（） A 、 存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根10.若"a b c d ≥⇒>"和"a b e f <⇒≤"都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c d ≤"是"e f ≤"的()A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 11.在下列结论中，正确的是（）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A.①②B.①③C.②④D.③④12.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>5 二、填空题（每道题4分，共16分）13、判断下列命题的真假性:①、若m>0，则方程x 2－x ＋m ＝0有实根 ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题③、对任意的x ∈{x|-2<x<4},|x-2|<3的否定形式④、△>0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件 14、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的 否定形式是 否命题是15、若把命题“A ⊆B ”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，构成它的两个简单命题分别是_____________________________________。
数理逻辑考试题目及答案
数理逻辑考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 命题逻辑中的“与”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：B2. 如果命题P为真，命题Q为假，则命题P∨Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：A3. 以下哪个是命题逻辑中的有效论证？A. P → Q, ¬Q → ¬P, 因此P → ¬QB. P → Q, ¬P → Q, 因此QC. P → Q, Q → R, 因此P → RD. P ∧ Q, ¬P, 因此¬Q答案：C4. 命题逻辑中的“非”运算符用符号表示为：A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：D5. 如果命题P为假，命题Q为真，则命题P∧Q的真值是：A. 真B. 假C. 未知D. 既非真也非假答案：B6. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. ∧D. ¬答案：A7. 在谓词逻辑中，全称量词“∀”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：B8. 在谓词逻辑中，存在量词“∃”表示：A. 存在B. 对所有C. 对某些D. 非答案：A9. 以下哪个是谓词逻辑中的等价关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：D10. 以下哪个是谓词逻辑中的偏序关系？A. 传递性B. 对称性C. 自反性D. 所有选项都是答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）11. 以下哪些是命题逻辑中的联结词？A. ∨B. ∧C. →D. ¬答案：ABCD12. 以下哪些是谓词逻辑中的量词？A. ∀B. ∃C. →D. ¬答案：AB13. 以下哪些是谓词逻辑中的等价关系的性质？A. 自反性B. 对称性C. 传递性D. 非对称性答案：ABC14. 以下哪些是谓词逻辑中的偏序关系的性质？A. 自反性B. 反对称性C. 传递性D. 对称性答案：ABC15. 以下哪些是谓词逻辑中的逻辑推理规则？A. 普遍实例化B. 存在概括C. 模态逻辑D. 条件证明答案：ABD三、填空题（每题2分，共20分）16. 命题逻辑中的“或”运算符用符号________表示。
数理逻辑期末试题及答案
数理逻辑期末试题及答案1. 选择题1.1. 下列哪个符号表示逻辑“与”关系？a) ∨b) ⊕c) ¬d) ∧答案: d) ∧1.2. 如果命题p为真，命题q为假，那么命题“p→q”为：a) 真b) 假c) 不确定d) 无法确定答案: a) 真1.3. 下列哪个逻辑符号表示“或”关系？a) ∨b) ∧c) ¬d) ⊕答案: a) ∨1.4. 命题“¬(p∨q)”的否定形式是：a) p∧qb) ¬p∧¬qc) p∨qd) ¬p∨¬q答案: c) p∨q1.5. 命题“p∨q→r”与下列哪个命题等价？a) (p→r)∧(q→r)b) (p∧q)→rc) p∨(q→r)d) p∧(q∨r)答案: a) (p→r)∧(q→r)2. 填空题2.1. 命题“¬(¬p∧q)”的双重否定形式是________。
答案: p∨¬q2.2. 命题“p∧(¬r∨q)”的否定形式是________。
答案: ¬p∨(r∧¬q)2.3. 命题“p∧¬q∧r”的析取范式是________。
答案: (p∨q∨r)∧(p∨q∨¬r)∧(p∨¬q∨r)2.4. 命题“p→(q→r)”的否定形式是________。
答案: p∧q∧¬r2.5. 下列命题中，为可满足的命题是________。
a) ¬(p∧q)b) p∨(¬q∧r)c) ¬(p∧¬p)d) (p→q)∨(q→p)答案: b) p∨(¬q∧r)3. 简答题3.1. 什么是数理逻辑？答案: 数理逻辑是研究形式逻辑和符号逻辑的数学分支学科。
它通过使用符号和规则来研究命题和推理的规律性质，并利用数学方法来分析和解决逻辑问题。
3.2. 解释命题逻辑中的蕴含关系。
答案: 在命题逻辑中，蕴含关系表示一个命题是否能从另一个或一组命题中推导出来。
离散数学(1-4章)自测题(答案)
《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。
7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
第一部分数理逻辑答案
《离散数学》单元练习题（一）（数理逻辑部分）一、选择或填空1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P(4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q(5) ⌝(P→Q)=>P(6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！(6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）Q⌝P⌝P→→（3）Q⌝（2）QQ→P⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y)()(2) ∃x∀y(x+y=y)()(3) ∃x∀y(x+y=x) ()(4) ∀x∃y(y=2x)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数(3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
数理逻辑练习题及答案-4
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（2）有的有理数能被2整除。
其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。
在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。
（2）存在x，使得x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。
在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不能表示成分数的有理数。
（2）在北京卖菜的人不全是外地人。
（3）乌鸦都是黑色的。
（4）有的人天天锻炼身体。
在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）火车都比轮船快。
（2）有的火车比有的汽车快。
（3）不存在比所有火车都快的汽车。
（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。
给定解释I如下：(a)个体域DI为实数集合R。
(b)DI中特定元素=0。
(c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈DI。
(d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x<y，x,y∈DI。
说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xy(G(x,y)→┐F(x,y))（2）xy(F(f(x,y）,a)→G(x,y))（3）xy(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))（4）xy(G(f(x,y),a)→F(x,y))给定解释I如下：（a）个体域D=N（N为自然数）。
（b）D中特定元素=2。
（c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。
（d）D上谓词(x,y)：x=y。
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数理逻辑1-2章自测-填空题
填空题
1若且则称X是公式A的子公式.
答案：〔X是公式A的一部分；X本身也是公式〕
2写出下列表中各列所定义的命题联结词
P Q P Q P Q
T T T F
T F F T
F T F T
F F F T
答案：〔∧；↑〕
3P、Q为两个命题,当且仅当时,P∧Q的真值为T;当且仅当时, P∨Q的真值为F.
答案：〔P、Q的真值都为T； P、Q的真值都为F 〕
4由n个命题变元可组成不等值的命题公式.
答案：〔2（2）n〕
5两个重言式的析取是 ,一个重言式与一个矛盾式的析取是 .
答案：〔重言式；重言式〕
6给定命题公式A、B，若 ,则称A和B是逻辑等值的，记为A⇔B.
答案：〔给定A、B中原子变元P1……，P n任意一组赋值，A和B的真值相同〕
7A、B为两个命题公式，A⇔B当且仅当，A⇒B当且仅当 .
答案：〔A↔B是重言式； A→B是重言式〕
8将P、Q为两个命题，德摩根律可表示为，吸收律可表示为 . 答案：〔┐(P∧Q)⇔┐P∨┐Q，┐(P∨Q)⇔┐P∧┐Q；
P∧(P∨Q)⇔P, P∨(P∧Q)⇔P.
9公式(P∨Q)→R的只含联结词┐、∧的等值式为 .
答案：┐(┐(┐P∧┐Q) ∧┐R )
10P、Q为两个命题，当且仅当时，P→Q的真值为F.
答案：〔P为T，Q为F 〕
11全体极大项的合取为式，全体极小项的析取式必为式.
答案：〔矛盾；重言〕
12公式┐P→Q的反换式为，逆反式为 .
答案：〔Q →┐P ；┐Q → P 〕
〕
13命题公式┐(P→Q)的主析取范式为，主合取范式的编码表示为 .
答案： P∧┐Q ； M00∧M01∧M11
14已知公式A(P，Q，R)的主合取范式为M0∧M3∧M5，它的主析取范式为(写成编码形式) .
答案：〔m001∨m010∨m100∨m110∨m111〕
15 命题公式┐(P↔Q)的主析取范式为，主合取式的编码表示为 .
答案：〔 (P∧┐Q)∨(┐P∧Q)； M00∧M11〕。