概率论与数理统计第六章{样本及抽样分布}第四节抽样分布

1
~ t(n1 n2 2).
n1 n2 2
n1 n2
作业
习题6-4 3； 4; 7; 9
数理统计
,
2
n
X
n
~
N (0,1).
n 取不同值时样本均值的分布
定理2 (样本方差的分布)
数理统计
设X1, X2, …, Xn是来自正态总体 N(μ, σ2) 的样本,
X和S2 分别为样本均值和样本方差, 则有:
n
(1)
(n 1)S 2
(Xi
i 1
X )2
~
2 (n 1);
2
2
(2) X与S 2独立.
P
t t (n)
h(t)dt
t (n)
的点t (n)为t(n)分布的上分位点.
t分布的上分位点的性质：
数理统计
t(n)
t1 (n) t (n)
t分布的上分位点t (n)可查表求得,例t0.025 (15) 2.1315.
当n 45时,对于常用的的值,可用正态近似t (n) z .
P
U 16
查表求
2 0.10
(10)
16.
由此可得:P
10
Xi2 4 0.10.
i1
(2) 由定理2,
V
9S2 0.52
1 0.52
10
(Xi
i 1
X )2
~
2(9)
数理统计
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1) 2
10
P (Xi i1
X )2
2.85
1
P
0.52
则称随机变量F
U
V
n1 n2
服从自由度为（n1 , n2）的分布,
记为:F ~ F (n1 , n2 ).
抽样分布定理:
样本均值的分布:
设X ~ N (, 2 )，X1, , Xn是来自总体X的样本， 则样本均值有: X ~ N (, 2 n).
样本方差、均值的分布:
设X1, , xn是来自总体N (, 2 )的样本，
n取不同值时
(n 1)S 2
2
的分布
定理3 (样本均值的分布)
数理统计
设X1, X2, …, Xn是取自正态总体 N(μ, σ2)的样本, X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有:
X ~ t(n 1)
Sn
证:由定理1、2和t分布的定义可得：
X
n
~
N (0,1),
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1),
且这两个样本相互独立.
X ,Y 分别是这两个样本的样本均值；
S12 , S22分别是这两个样本的样本方差，则有 :
(1)
S12 S22
~F
若两方差
2 1
(n1
1, n2 1);
2，则 S12
2
S22
2 1
2 2
~
F (n1
1,
n2
1);
(2)
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22 1
X , S 2分别是样本均值和样本方差，则有 :
(1)
(n 1)S2
2
~
2 (n 1)
(2) X与S 2独立.
(3) X ~ t(n 1) Sn
数理统计
两总体样本均值差、样本方差比的分布:
数理统计
设X 1 ,
, X n1与Y1,
,Yn2
分别来自总体N
(
1
,
2 1
)和N
(
2
,
2 2
)的样本，
第四节 抽样分布
三个重要分布 正态总体统计量的分布
数理统计
一、三个重要分布
数理统计
1. 2分布(chi-square distribution)
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, …, Xn互相独立, 都服从正态分布 N(0, 1),
则称随机变量： 2
X12
X
2 2
Xn2
F分布的上分位点的性质：
F1 (n1, n2 )
1 F (n2 , n1 )
F 分布的上 分位点可查表求得.
例, F0.95 (12, 9)
1 F0.05 (9,12)
1 2.80
0.357.
数理统计
F (n1 , n2 )
二、正态总体统计量的分布
设总体X的均值为，方差为 2，
X1, X2,
,
X
t(n)分布的概率密度函数为：
[(n 1) 2]
t 2 n1 / 2
h(t ) (n 2)
n
1
n
, t
数理统计
Probability density function
Cumulative distribution function
t分布的性质：
数理统计
1) 具有自由度为n的t分布T ~ t(n),其数学期望与方差为：
10
(Xi
i 1
X )2
2.85
0.52
PV 11.4
查表得02.25(9) 11.4,由此可求得
P
10
(Xi
X )2
2.85
0.25.
i1
例3: 设总体服从泊松分布 ( )，X1,
,
X
是一个样本：
n
(1）写出X 1 ,
,
X
的概率分布；
n
（2）计算E( X ), D( X )和E(S 2 ).
2n.
i 1
i 1
4) 若 X ~ 2 (n),则当n充分大时,
X n的分布近似正态分布 N(0,1).
2n
(应用中心极限定理可得 )
数理统计
5) 2分布的分位点:
数理统计
对于给定的正数，0 1,称满足条件:
P
2 2 (n)
f ( y)dy
2 (n)
的点2 (n)为 2 (n)分布的上分位点.
是来自总体的一个样本，
n
则样本均值X和样本方差S 2有 :
E(X) ,
2
D( X ) , n
E(S2) 2.
数理统计
当总体为正态分布时, 给出几个重要的抽样分布定理. 数理统计
定理1 (样本均值的分布)
设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N(μ, σ2)的样本,
则有:
X
~
N
S12和S22分别是这两个样本的样本方差, 则有:
(1)
S12 S22
~F
若两方差
2 1
(n1
1, n2 1);
2，则 S12
2
S22
2 1
2 2
~
F (n1
1, n2
1);
(2)
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22 1
1
~ t(n1 n2 2).
n1 n2 2
F (n2 , n1 ).
若F~F(n1,n2), F的概率密度为:
(
y)
(
(
n1 2
n1 n2 2
) (
)
n2 2
)
(
n1 n2
n1
)2
(
n1
y) 2
1
1 y , n1
n1 n2 2
n2
0.
y0 y0
数理统计
Probability density function
Cumulative distribution function
3. F分布(F-distribution)
数理统计
定义: 设 U～2n1, V～2n2, U 与V 相互独立,
则称随机变量: F U n1
V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布, n1称为第一自由度, n2称为第二自由度.
记作: F~F(n1, n2) .
由定义可知: 1 V n2
F U n1
且相互独立，
X
则:
n
~ t(n 1).
(n 1)S 2 (n 1)
2
定理4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布) 数理统计
设X ~ N (1, 2 )，Y ~ N (2, 2 )，且X与Y独立,
X1, X2, …, Xn1是来自X的样本, Y1, Y2, …, Yn2是取自Y的样本,
X和Y 分别是这两个样本的样本均值，
所以 X1 X2 X3 ~ N (0,1) 3
从而
X1
X2
X3
2
~
2 (1)
3
同理可知
X4
X5 3
X6
2
~
2 (1)
由2分布的性质可知
1Y
X1
X2
X
3
2
X1
X2
X 3 2
来自百度文库
~
2 (2)
3
3
3
故 C 1. 3
数理统计
小结:
几个重要的抽样分布:
数理统计
2分布: 设X1, , Xn相互独立,且均服从正态分布N (0,1)，
F 分布的性质:
1)
F分布的数学期望为:
E(F )
n2 n2
2 , 若n2>2.
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
2) F分布的分位点:
对于给定的，0 1,称满足条件:
P
F F (n1 , n2 )
( y)dy
F ( n1 ,n2 )
的点F (n1 , n2 )为F(n1 , n2 )分布的上分位点.
n1 n2
例1: 设总体X服从正态分布N (12, 2 ),
数理统计
抽取容量为25的样本, 求样本均值X 大于12.5的概率.
如果(1)已知 2；
(2) 未知，但已知样本方差S 2 5.57, t0.15(24) 1.059.
解:
(1)
PX
12.5
P
X
12
12.5 12
2 25 2 25
E(T ) 0, D(T ) n (n 2) (n 2).
2) t分布的密度函数关于t 0对称.
当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有:lim h(t ) 1 et2 2 .
n
2
近似
即:当n足够大时,T ~ N(0,1).
3) t分布的分位点:
对于给定的，0 1,称满足条件 :
所服从的分布为自由度为 n 的2分布.
记为: 2 ~ 2(n)
2分布的密度函数为:
1
f
(
x; n)
2n
2
(n
n1 x
x2 e 2 , 2)
0,
x0 x0
其中, 伽玛函数 Γ(x)通过如下积分来定义:
( x) et t x1dt, x 0. 0
数理统计
Probability density function （概率密度函数）
X ~ N (0,1) n
P
X 12 0.4
1.25
1
(1.25)
0.1063
(2)
P
X
12.5
P
X 12 5.57 25
12.5 12
5.57 25
X ~ t(n 1)
Sn
PT 1.059
0.15.
例2: 从正态总体N (,0.52 )中抽取样本X1, , X10.
n
则称随机变量 2 Xi2服从自由度为n的 2分布, i 1
记为: 2 ~ 2(n).
t分布: 设X ~ N (0,1)，Y ~ 2 (n),且X与Y 相互独立，
则称随机变量T X 服从自由度为n的t分布， Yn
记为:T ~ t(n).
F分布: 设U ~ 2 (n1 )，V ~ 2 (n2 ),U与V 相互独立，
（1）已知
0，求概率P
10
Xi2
4;
i1
数理统计
（2）未知，求概率P
10
(Xi
X )2
2.85 .
i1
解: (1) 由 0，有Xi
0.5
~
N (0,1)，则：U
10 i 1
Xi 0.5
2
~
2(10).
P
10 i 1
Xi2
4
P
1 0.52
10 i 1
Xi2
4 0.52
如图所示,2
(n)可通过查表求，例
:
2 0.1
(25)
34.382.
2 (n)
2. t 分布(t-distribution)
数理统计
定义: 设X～N(0, 1), Y～2n, 且X与Y相互独立, 则称变量: T X
Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为: T ~ t(n). t分布又称为学生氏分布.
这个性质叫 2分布的可加性.
3) 若 2 ~ 2 (n), 2分布的数学期望与方差, E(2)=n, D(2)=2n.
Xi ~ N (0,1), E( Xi2 ) D( Xi ) 1
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
E
(
X
2 i
)]2
31
2
E(2 )
n
E(Xi2)
n, D(2 )
n
D( Xi2 )
nn
E(S2)
E
n
1
n
1
(
i 1
X
i
X
)2
例4: 若总体X ~ N (0,1)，
从此总体中取一个容量为6的样本X1, X2, ,X6,
设Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2,
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3)
Cumulative distribution function （分布函数）
2分布的性质
数理统计
1) 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从正态分布 N (, 2 ),
则:
2
1
2
n
(Xi )2
i1
~ 2(n)
2) 设 X1 ~ 2(n1), X2 ~ 2(n2 ),且X1, X2相互独立， 则: X1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
数理统计
解
（1） 由 于PX i
xi
xi e
xi!
xi 0,1,2,; 0
因此样本X1,, Xn的概率分布为
n
n
P Xi xi
i 1
n
xi
e e
n
xi
i1
i1 xi!
n
xi!
i1
(2) 由于E(X ) D(X ) ,则有E(X ) E(X ) ,
D(X ) D(X )