概率论与数理统计第六章{样本及抽样分布}第四节抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布概率论中，所研究的随机变量是假定其分布是已知的，在此前提下研究它的性质、数字特征等。
在数理统计中，所研究的随机变量的分布是未知或不完全知道的，通过重复独⽴的试验得到许多观察值去推断随机变量的种种可能分布。
1、随机样本总体：试验的全部可能的观察值。
=样本空间个体：每⼀个可能观察值。
=样本点容量：总体中所包含的个体的个数。
有限总体⽆限总体⼀个总体对应⼀个随机变量X，对总体的研究就是对随机变量X的研究。
所以将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X。
样本：在数理统计中，⼈们都是通过从总体中抽取⼀部分个体，根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的⼀个样本。
对总体进⾏⼀次观察，就会得到⼀个随机变量X1，对总体进⾏n次重复的、独⽴的观察，就会得到n个随机变量X1，X2，...,Xn，这n个随机变量X1，X2，...,Xn是对总体随机变量X观察的结果。
则X1，X2，...,Xn是相关独⽴且与X具有相同分布，称为来⾃总体X的⼀个简单随机样本。
n称为样本的容量。
进⾏n次观察得到的⼀组实数x1,x2,...,xn是随机变量X1，X2，...,Xn的观察值，称为样本值，也称为X的n个独⽴的观测值。
2、抽样分布样本是统计推断的依据，但往往不直接使⽤样本本⾝，⽽是由样本构造的函数。
统计量：设X1，X2，...,Xn是来⾃总体X的⼀个样本，g(X1，X2，...,Xn)是其函数，且g中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，...,Xn)是⼀统计量。
统计量也是⼀个随机变量。
g(x1,x2,...,xn)是统计量的观测值。
常⽤的统计量：经验分布函数：经验分布函数(empirical distribution function)是根据样本得到的分布函数.如设，是总体的样本值，将它们按⼤⼩顺序排列为，则称分布函数为经验分布函数是与总体分布函数相对应的统计量。
总体的分布函数是F(x)，统计量的经验分布函数是F n（x)，⽤F n（x)去推断F(x)，当n⾜够⼤时，F n（x)以概率1收敛于F(x)。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
《概率论与数理统计》课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲英文名称：Probability and statistics课程代码：221101008课程类别：专业基础课课程性质：必修开课学期：第三学期总学时： 54学时总学分：3考核方式：闭卷先修课程：高等数学适用专业：经济学专业一、课程简介概率论与数理统计是经济学专业的一门专业基础课。
概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它在现代科学技术中占有很重要的地位，是研究自然现象、处理现代工程技术、解决科研和生产实际问题的一种有力的数学工具，已被广泛应用于每一学科领域、工农业生产和经济管理部门中。
开设本课程的目的在于，通过本课程的学习，使学生初步掌握概率论与数理统计等方面的基础知识，了解它的基本理论与基本方法，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力，注意培养学生的自学能力，注意理论联系实际，不断提高学生的综合素质以及运动所学知识解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的应用，具备概率思想分析实际随机问题的能力，为专业课程的学习打下基础。
学生在进入本课程学习之前，应学过高等数学课程，该课程的学习为本课程提供了必须的数学基础知识。
本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础。
本课程总54学时，其中理论课47学时，习题课7学时，考核方式为闭卷考试，根据平时考勤成绩、习题作业成绩、阶段性单元检测成绩及闭卷期末考试成绩综合给予最终成绩评定。
二、课程目标及其对毕业要求的支撑目标1人文素养目标：教育学生认真学习马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”、科学发展观和新时代中国特色社会主义的重要思想；忠诚党的教育事业和体育事业，培养学生互教互学、团结友爱、共同提高的集体主义精神；培养学生有严格组织纪律性，吃苦耐劳和勇敢顽强的意志品质。
目标2理论知识培养目标：使学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基础知识，初步掌握处理随机事件的基本思想和方法。
概率论与数理统计第六章样本与抽样分布精品PPT课件
100.9 99.6 103.1 98.1 99.2 101.4 100.4 99.1 100.2 97.5 99.7
99.8 102.9 98.2 96.0 101.5 100.3 96.9 101.2 98.1 99.4 100.6
102.7 97.7 95.8 99.0 100.2 97.8 99.5 100.2 97.4 101.8 102.1
第六章 样本与抽样分布
• 本章主要内容
§1 总体与个体 §2 直方图与经验分布函数 §3 统计量及其分布
2021年1月20日星期三
1
§6.1 总体与个体
一.总体与个体
1.定义1：一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
…
研究某批灯泡的质量
2021年1月20日星期三
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为5
2021年1月20日星期三
9
§6.1 总体与个体
样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量.
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一 次观察值，简称样本值 .
2021年1月20日星期三
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号
或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
2021年1月20日星期三
7
§6.1 总体与个体
类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.
概率论与数理统计第6章
以分组区间为底，以
Yj
Wj X j1 X j
Wj 5
为高
作频率直方图
23
从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。
在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值 落在该矩形对应的分组区间内的频率，即
S j
Wj X j1
Xj
X j1 X j
Wj
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的
分布状况。
24
12
第二．计算样本特征数
1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数
X 90.3
91
91, 94
代表性——即子样( X1, X2 ,
,
X
)的每个分量
n
X
与
i
总体 X 具有相同的概率分布。
独立性——即 X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量。
满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.
从简单随机子样的含义可知，样本 X1, X2 , , Xn 是来自总体 X、与总体 X具有相同分布的随机变量.
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、 t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
31
一、 2分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
概率论与数理统计—第六章样本及抽样分布
)n X +=2)i X -，S 2()iX X -21(,2N μ22(,4N μ212()22x e μ--⋅如果用X 的测试值x 估计μ1，用Y 的测试值y 估计μ2，从上面的图形可以看出，当可靠性（概率）取相同值（如90%）时，y 比x 更“接近”它的待估计量.当要求两个“接近"相同时，y 比x 的可靠性更高。
能够得到这些有价值的结论,应归功于我们知道了X 和Y 的分布.综上所述，我们需要知道统计量g （X 1，X 2，…,X n ）的分布。
那么，g (X 1，X 2，…，X n )服从什么分布呢？不同的g 会有不同的结果.下面给出几种常见的分布，这些分布在统计推断中起着重要的作用。
（一）2χ分布(2χdistribution ）设n X X X ,,,21 为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态)1,0(N 分布，则随机变量221ni i X χ==∑ 服从自由度为n 的2χ分布，记作22()n χχ．)(2n χ分布的密度函数为122/210()2(/2)00n yn y e y f y n y --⎧>⎪=Γ⎨⎪≤⎩其中 )(αΓ称为伽马函数，定义为10(),0x x e dx ααα∞--Γ=>⎰。
下图描绘了)(2n χ分布密度函数在n = 1，4，10，20时的图形。
μ10.16μ20.082χ分布具有可加性:如果2211()n χχ、2222()n χχ，则 2221212()n n χχχ++2χ分布期望和方差：设22~()n χχ,则2()E n χ=,2()2D n χ=。
2χ分布分位点 对于给定的α( 0 〈 α < 1），称满足条件222(){()()}()ααn n n f y dy αχχχ+∞>==⎰P的数2()αn χ为2()n χ分布的上分位点。
教材后附表的2χ分布表给出分位点2()αn χ，可通过查表得到.如20.99(17) 6.408χ=，20.90(17)10.085χ=，20.05(17)27.587χ=等等。
(完整版)样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
概率论第六章样本及其抽样分布
24
例 设 X1, X 2 , , X n 是来自总体 N ( , 2 )
的随机样本,其中 已知, 未知,
则( )不是统计量
n
[1]
1 n
Xi
i1
n
n
[2]
1 n
(Xi )2
[3]
1 n
(Xi X)2
为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态 分布导出的统计中的三个重要分布，即
2分布，t 分布，F分布。
掌握三大分布的4点：
1、构成形式； 2、密度函数的大致图像；
本节大家要理解的基本概念主要有:
1. 总体
4.简单随机样本
2. 总体分布 3. 样本
5. 样本的二重性 6. 样本的分布
9
1. 总体与个体
(population and individual)
在统计学中,将研究问题所涉及的对象全 体称为总体,而把总体中的每个成员称为个体.
例如: 我们想要研究一家工厂某种产品的次品率.
i1
i1
n
[4]
1 n
(
X
i μ σ
)
2
[5] X12 X22 σ2
i1
[6] 2X1X2...Xn
25
数理统计中最常用的统计量及其观测值有：
1 样本均值 观测值记为 2 样本方差
X
1 n
n i 1
Xi
(1)
x
1 n
n i 1
xi
(2)
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
Xi X
概率论与数理统计讲义第六章 样本与抽样分布
第六章样本与抽样分布§6.1 数理统计的基本概念一．数理统计研究的对象例：有一批灯泡，要从使用寿命这个数量指标来看其质量,设寿命用X表示。
(1)若规定寿命低于1000小时的产品为次品。
此问题是求P(X 1000)=F(10000),求F(x)? (2)从平均寿命、使用时数长短差异来看其质量，即求E(x)?、D(x)?。
要解决二个问题1．试验设计抽样方法。
2．数据处理或统计推断。
方法具有“从局部推断总体”的特点。
二.总体（母体）和个体1.所研究对象的全体称为总体，把组成总体的每一个对象成员（基本单元）称为个体。
说明：(1)对总体我们关心的是研究对象的某一项或某几项数量指标(或属性指标)以及他们在整体中的分布。
所以总体是个体的数量指标的全体。
(2)为研究方便将总体与一个R.V X对应(等同)。
a.总体中不同的数量指标的全体，即是R.V.X的全部取值。
b.R.V X的分布即是总体的分布情况。
例：一批产品是100个灯泡，经测试其寿命是：1000小时1100小时1200小时20个30个50个X 1000 1100 1200P 20/100 30/10050/100(设X表示灯泡的寿命)可知R.V.X的分布律，就是总体寿命的分布，反之亦然。
常称总体X，若R.VX～F(x)，有时也用F(x)表示一个总体。
(3)我们对每一个研究对象可能要观测两个或多个数量指标，则可用多维随机向量（X,Y,Z, …）去描述总体。
2.总体的分类有限总体无限总体三．简单随机样本.1.定义6.1 ：从总体中抽得的一部分个体组成的集合称为子样（样本），取得的个体叫样品，样本中样品的个数称为样本容量（也叫样本量）。
每个样品的测试值叫观察值。
取得子样的过程叫抽样。
样本的双重含义：(1)随机性：用(X1，X2,……X n) n维随机向量表示。
X i表示第i个被抽到的个体，是随机变量。
（i=1,2,…n）(2)确定性：(x1,x2,……x n)表示n个实数，即是每个样品Xi观测值x i(i=1,2,…n)。
第6章抽样分布
* * Xm 的分布已知，故可求出 X 函数的分布，设 m
所以 n! 1 m 1 nm hm ( y ) f ( x)[1 F ( x)] [ F ( x)] (n m)!(m 1)! f ( x) n! y m 1 (1 y ) n m , (n m)!(m 1)! 0 y 1, m 1 ~ n
所以
X 的特征函数为
2 2 t / n iat / n x t exp 2
n
t 2 2 exp iat 2 n
可见 X ~ N ( a,
2
n
) 分布。
（二）样本均值的极限分布 定理：设 X1, X2，…，Xn来自一般总体X,且E(X)=a,
若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f (x),则(X1,X2,…，Xn) 的联合密度函数为
§6－2 样本分布
一、频率直方图
二、样本分布函数
如果我们从随机变量X的总体中抽取了一个样本，把样本的n个值
* * * x1，x2，…， xn加以排队 x1 ，并把它看成是某个离散 x2 xn 随
1 n 2 S (Xi X ) n i 1 2 2
_
1 n S* (Xi X ) n 1 i 1
2
2 2 2、设X ~ N ( a1 , 1 ), Y ~ N ( a2 , 2 ), X 1 , X 2 ,..., X n1 及Y1 , Y2 ,..., Yn 2 分别为
—
t 1 式中 ( ) 是 X 的特征函数。 n nn n 1 证： X X i 1 X i ，且 1 X , 1 X ,, 1 X 相互独立 1 2 n n i 1 i 1 n
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
概率论与数理统计教学课件-ch6 样本及抽样分布
Stop
定理
iid
若 X 1 ,X 2 , i,iX dn 1~N ( 1 , 1 2 ),
X Y n 1 1 1 , iY n 1 1 2,X i,,Y n 2 S 1 ~ 2 N n ( 1 1 2 ,1 i2 n 2 1 1 )(X ,i且 两X 样)2本;独立
t1 (n ) t (n )
t(n)
Stop
存在t/2(n)>0， 满足 P{|T| t/2(n)}=，则称 t/2(n)为t(n)的双侧分位点.
t/2(n)
t/2(n)
Stop
• F—分布 构造 若1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2独立，则
F 2 1//n n1 2~F(n1,n2).
(1 11 n1 n2
2)
~
t(n1
n2
2).其中
Sw2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1 n22
称为混合样本方. 差
Stop
例 设总 X~体 N(,2)如 , 果9要 .9 7% 的 以 概率保X 证 偏 0.1,差 试问 2 在 0.5时 , 样本n应 容取 量?多大
例 设(X1, X2,,X6)是来自正态 N(0总 ,1)的 体 样本 ;又设 Y(X1X2X3)2(X4X5X6)2 试确定c常 使c数 Y服从 2分布 ,并指出其自 . 由
样本观测值 对样本 X1， … ，Xn进行观测， 即可得一组观测值 x1， … ，xn • 统计量
样本 X1， … ，Xn的函数 g(X1， … ，Xn )称 为是总体 X 的一个统计量，若g(X1， … ，Xn ) 与任何未知参数无关。
统计量的观测值 若样本 X1， … ，Xn的观测值为x1， … ，xn，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）已知
0，求概率P
10
Xi2
4;
i1
数理统计
（2）未知，求概率P
10
(Xi
X )2
2.85 .
i1
解: (1) 由 0，有Xi
0.5
~
N (0,1)，则：U
10 i 1
Xi 0.5
2
~
2(10).
P
10 i 1
Xi2
4
P
1 0.52
10 i 1
Xi2
4 0.52
F 分布的性质:
1)
F分布的数学期望为:
E(F )
n2 n2
2 , 若n2>2.
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
2) F分布的分位点:
对于给定的，0 1,称满足条件:
P
F F (n1 , n2 )
( y)dy
F ( n1 ,n2 )
的点F (n1 , n2 )为F(n1 , n2 )分布的上分位点.
10
(Xi
i 1
X )2
2.85
0.52
PV 11.4
查表得02.25(9) 11.4,由此可求得
P
10
(Xi
X )2
2.85
0.25.
i1
例3: 设总体服从泊松分布 ( )，X1,
,
X
是一个样本：
n
(1）写出X 1 ,
,
X
的概率分布；
n
（2）计算E( X ), D( X )和E(S 2 ).
所服从的分布为自由度为 n 的2分布.
记为: 2 ~ 2(n)
2分布的密度函数为:
1
f
(
x; n)
2n
2
(n
n1 x
x2 e 2 , 2)
0,
x0 x0
其中, 伽玛函数 Γ(x)通过如下积分来定义:
( x) et t x1dt, x 0. 0
数理统计
Probability density function （概率密度函数）
nn
E(S2)
E
n
1
n
1
(
i 1
X
i
X
)2
例4: 若总体X ~ N (0,1)，
从此总体中取一个容量为6的样本X1, X2, ,X6,
设Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2,
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3)
X ~ N (0,1) n
P
X 12 0.4
1.25
1
(1.25)
0.1063
(2)
P
X
12.5
P
X 12 5.57 25
12.5 12
5.57 25
X ~ t(n 1)
Sn
PT 1.059
0.15.
例2: 从正态总体N (,0.52 )中抽取样本X1, , X10.
且这两个样本相互独立.
X ,Y 分别是这两个样本的样本均值；
S12 , S22分别是这两个样本的样本方差，则有 :
(1)
S12 S22
~F
若两方差
2 1
(n1
1, n2 1);
2，则 S12
2
S22
2 1
2 2
~
F (n1
1,
n2
1);
(2)
X Y (1 2 )
(n1 1)S12 (n2 1)S22 1
n
则称随机变量 2 Xi2服从自由度为n的 2分布, i 1
记为: 2 ~ 2(n).
t分布: 设X ~ N (0,1)，Y ~ 2 (n),且X与Y 相互独立，
则称随机变量T X 服从自由度为n的t分布， Yn
记为:T ~ t(n).
F分布: 设U ~ 2 (n1 )，V ~ 2 (n2 ),U与V 相互独立，
是来自总体的一个样本，
n
则样本均值X和样本方差S 2有 :
E(X) ,
2
D( X ) , n
E(S2) 2.
数理统计
当总体为正态分布时, 给出几个重要的抽样分布定理. 数理统计
定理1 (样本均值的分布)
设 X1, X2, …, Xn 是来自正态总体 N(μ, σ2)的样本,
则有:
X
~
N
n1 n2
例1: 设总体X服从正态分布N (12, 2 ),
数理统计
抽取容量为25的样本, 求样本均值X 大于12.5的概率.
如果(1)已知 2；
(2) 未知，但已知样本方差S 2 5.57, t0.15(24) 1.059.
解:
(1)
PX
12.5
P
X
12
12.5 12
2 25 2 25
第四节 抽样分布
三个重要分布 正态总体统计量的分布
数理统计
一、三个重要分布
数理统计
1. 2分布(chi-square distribution)
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, …, Xn互相独立, 都服从正态分布 N(0, 1),
则称随机变量： 2
X12
X
2 2
Xn2
如图所示,2
(n)可通过查表求，例
:
2 0.1
(25)
34.382.
2 (n)
2. t 分布(t-distribution)
数理统计
定义: 设X～N(0, 1), Y～2n, 且X与Y相互独立, 则称变量: T X
Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为: T ~ t(n). t分布又称为学生氏分布.
1
~ t(n1 n2 2).
n1 n2 2
n1 n2
作业
习题6-4 3； 4; 7; 9
数理统计
X , S 2分别是样本均值和样本方差，则有 :
(1)
(n 1)S2
2
~
2 (n 1)
(2) X与S 2独立.
(3) X ~ t(n 1) Sn
数理统计
两总体样本均值差、样本方差比的分布:
数理统计
设X 1 ,
, X n1与Y1,
,Yn2
分别来自总体N
(
1
,
2 1
)和N
(
2
,
2 2
)的样本，
则称随机变量F
U
V
n1 n2
服从自由度为（n1 , n2）的分布,
记为:F ~ F (n1 , n2 ).
抽样分布定理:
样本均值的分布:
设X ~ N (, 2 )，X1, , Xn是来自总体X的样本， 则样本均值有: X ~ N (, 2 n).
样本方差、均值的分布:
设X1, , xn是来自总体N (, 2 )的样本，
P
t t (n)
h(t)dt
t (n)
的点t (n)为t(n)分布的上分位点.
t分布的上分位点的性质：
数理统计
t(n)
t1 (n) t (n)
t分布的上分位点t (n)可查表求得,例t0.025 (15) 2.1315.
当n 45时,对于常用的的值,可用正态近似t (n) z .
,
2
n
X
n
~
N (0,1).
n 取不同值时样本均值的分布
定理2 (样本方差的分布)
数理统计
设X1, X2, …, Xn是来自正态总体 N(μ, σ2) 的样本,
X和S2 分别为样本均值和样本方差, 则有:
n
(1)
(n 1)S 2
(Xi
i 1
X )2
~
2 (n 1);
2
2
(2) X与S 2独立.
数理统计
解
（1） 由 于PX i
xi
xi e
xi!
xi 0,1,2,; 0
因此样本X1,, Xn的概率分布为
n
n
P Xi xi
i 1
n
xi
e e
n
xi
i1
i1 xi!
n
xi!
i1
(2) 由于E(X ) D(X ) ,则有E(X ) E(X ) ,
D(X ) D(X )
P
U 16
查表求
2 0.10
(10)
16.
由此可得:P
10
Xi2 4 0.10.
i1
(2) 由定理2,
V
9S2 0.52
1 0.52
10
(Xi
i 1
X )2
~
2(9)
数理统计
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1) 2
10
P (Xi i1
X )2
2.85
1
P
0.52
3. F分布(F-distribution)
数理统计
定义: 设 U～2n1, V～2n2, U 与V 相互独立,
则称随机变量: F U n1
V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布, n1称为第一自由度, n2称为第二自由度.
记作: F~F(n1, n2) .
由定义可知: 1 V n2
F U n1
Cumulative distribution function （分布函数）
2分布的性质
数理统计
1) 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从正态分布 N (, 2 ),
则: