不等式恒成立、能成立、恰成立问题经典教程

合集下载

不等式恒成立、能成立问题

第一章预备知识
不等式恒成立、能成立问题是一种常见题型，会以各种形式出现，其解法多变，具有一定的技巧性，解答这类题的关键是等价转化(如判别式法、分离参数法、数形结合法、主参换位法等)，通过转化使恒成立、能成立问题得到简化，而转化过程往往渗透着多种数学思想和方法的应用，能提升学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
∴x2－x＋1<63⇔x2－x－1<0⇔1－2
5 1＋ <x< 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5，
∴x 的取值范围为x1－2
5 1＋ <x< 2
5
.
方法二 mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一次函数，
∵1≤m≤3，∴该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6<0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式解集为 R 的条件是aΔ2＝－1a<－0，12＋4a2－1<0，解得－35<a<1. 综上所述，当－35<a≤1 时，原不等式的解集为 R.
x2－x＋1·1－6<0，只需x2－x＋1·3－6<0，
解得1－2
5 1＋ <x< 2
5，
∴x 的取值范围为x1－2

高中数学不等式的恒成立问题教案及练习

不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题不等式恒成立问题的常规处理方式:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B <.3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .1.设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为___．2.已知f (x )＝2x x 2＋6.若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围． 3.当x>1时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞) D ．(－∞,3]4.若对任意恒成立，则的取值范围是_____5.若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 6.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．7．已知x >0，y >0，2x +y =1，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是8.不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为.9.已知正实数满足,且恒成立,则的最大值是________.10. 若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．0x >1a ≤+a ,x y ln ln 0x y +=22(2)4k x y x y +≤+k。

不等式恒成立能成立恰成立问题经典教程

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例3、R上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围．分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。

思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。

思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。

2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。

3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

恒成立,能成立,恰成立问题

(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ；若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ；若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ；若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是。

2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时，若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，（1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。

例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。

2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。

合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。

含参不等式恒成立问题

恒成立、能成立、恰成立问题解法汇编一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切，αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立

高频考点：恒成立、能成立、恰成立一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ）（2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法）（分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤）【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。

“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版

3.单一函数、双“任意”型
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过与的值域来得到。
等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max

执信培优讲义5：恒成立、能成立和恰成立问题--执信中学

x x x x 1.解：（1） lg(a b ) 1 0 a b 10 ，即 0 a b 10 的解集为
x
x
{x | 1 x 0} ，从而 a x b x 0 ， a x b x 10 的两根分别为 0， 1 （恰成立），可得答
案C 2.B。解析：由方程 log a x log a y 3 可得 y
2
1 2
1 1 C1 : y x 2 ， C2 y log 2 a x ，作图形 C1 与 C 2 ，如图，只须 C 2 过点 ( , ) ， 2 4
0 2a 1 ，即 0 a
1 1 1 1 ，且 log 2 a ，解得 a 32 2 2 2
2
【课堂作业】
2
1 2
【课堂作业】
x x 1.已知 0 a 1 b ，不等式 lg( a b ) 1 的解集是 {x | 1 x 0} ，则 a, b 满足的关系是
（ A．
）
1 1 10 a b
B．
1 1 10 a b
C．
1 1 10 a b
D． a, b 的大小的关系不能确定
2
3 2
结合 a 2，所以 a 2
2）．当 a 1 时 f(x)在[-1，2]上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4 2
f ( x) min = f(-1)=1+2a+4 2 结合 a 1 即 a
3）．当-1<a<2 时即 a
3 2
f ( x) min = f(a)= x 2 2a 2 4 2
4、设函数 f x 、 g x ，对任意的 x1 a , b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则

不等式恒成立能成立恰成立问题经典教程

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处置方式一、转换求函数的最值：（1）假设不等式()A x f >在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）假设不等式()B x f <在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例一、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例二、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确信a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）假设对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

二、主参换位法例5、假设不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、假设关于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析大全

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。

含参数的不等式的成立问题(精)

解含参数的不等式的成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.1. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的: （1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D , 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D , 如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.例题精析：（1）不等式的恒成立问题【例1】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。

(不)等式的恒,能,恰成立问题(必修1专用)

（不）等式的恒成立,能成立,恰成立等问题一．知识点：1.恒成立问题不等式(),f x A x D >∈恒成立⇔()min ,f x A x D >∈不等式(),f x B x D <∈恒成立⇔()max ,f x B x D <∈.2. 能成立问题(),x D f x A ∃∈>使⇔()max ,f x A x D >∈．（即()A x f >在区间D 上能成立） (),x D f x B ∃∈<使⇔,()min ,f x B x D <∈．（即()B x f <在区间D 上能成立） (),x D f x m ∃∈=使⇔m N ∈，N 为函数(),y f x x D =∈的值域．（即()f x m =在区间D 上能成立）3. 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立⇔不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立⇔不等式()B x f <的解集为D ,二．题型（一）．不等式恒成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1．(2000年,上海卷)已知()[)220,1,x x a f x x x++=≥∈+∞恒成立,试求实数a 的取值范围;【分析及解】本题是一个恒成立问题。

解法一：分类讨论求函数()f x 的最小值。

当0a >时用对勾函数，当0a <时利用函数的单调性。

解法二：()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a . 2．主参换位法例2．若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围解析：()(),13,x ∈-∞+∞ 3．分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g t f x ≥（或()()g t f x ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()max g t f x ≥ (或()()min g t f x ≤) ，得t 的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例3．当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求m 的取值范围 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.4．数形结合例4 ．若对任意x R ∈,不等式x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤．例5．当()1,2x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，求a 的取值范围．解：1<a ≤2.二．（不）等式能成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解析：是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥2．分离参数法求值域例若关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：解法一：利用根的分布来做．解法二：分离参数法axy x由题意知0x ≠，所以原题等价于()(]2110,0,2x m x x +-+=∈有解，即(]11,0,2m x x x-=+∈有解，而()(]1,0,2x x x xϕ=+∈的值域是[)2,+∞，所以[)12,m -∈+∞ 解得1m ≤-．三．不等式恰成立问题的处理方法()0f x >在区间[],a b 上恰成立，1. ()21f x ax bx =++恰在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上为正，求,a b解：3,2a b =-=- ．2.已知函数()()()lg ,10x x f x a b a b =->>>，是否存在实数,a b ，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg 4?f =若存在，求出,a b 的值，若不存在，说明理由．解：假设存在这样的实数,a b ．∵()f x 恰在()1,+∞上取正值∴()0f x >的解集是()1,+∞又因为()()lg x x f x a b =-在()0,+∞上单调递增，所以()10f =．由()()103lg 4f f =⎧⎪⎨=⎪⎩可得331410a b a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪>>>⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ？※3. (2000年,上海卷) 已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】是一个恰成立问题,？这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数. 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a解析：当0<a 时函数单调才会是恰成立问题．练一练：1.已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0与g (x )＜0二者至少一个成立，则m 的取值范围是__(－4,0)________．解析：易知1x <时()0g x <，故只需1x ≥时()0f x <即可．显然0m ≥不满足条件；当0m <时，对称轴302m x -=<，故只需(1)0f <，解得40m -<<. 2．(2005年春，北京理) 若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题．设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞ ()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集 ()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x .。

恒成立能成立问题总结详细

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。

这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。

感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。

在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。

一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 假设不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的围。

解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。

由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的围是)231,271(++-∈x 。

小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。

练习:(1)假设不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，数a 的取值围。

〔2〕对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值围。

〔答案：或〕〔二〕构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。

不等式中恒成立、能成立、恰成立通关(精华)

不等式恒成立、能成立、恰成立目录第一类不等式恒成立 (2)第二类不等式能成立 (48)第三类不等式恰成立 (63)第一类不等式恒成立1．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+．（1）试讨论函数()f x 的极值点情况；（2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）恒成立？【答案】(1)见解析;(2) (],2-∞．【解析】试题分析：（1）由题得，求得()()()222111x m x f x x x +-++'=，设()()2211g x x m x =+-+，由()42m m ∆=-，分0m ≤、02m <≤、2m >三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况．（2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-可化为()101f x x >-，再由（1）函数的性质，即可得到实数m 的取值范围．②当02m <≤时， 0∆≤， ()()22110g x x m x =+-+≥恒成立，故()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增， ()f x 无极值；③当2m >时，令()0g x =，得2112x m m m =-- 2212x m m m =--，令()0f x '>，得10x x <<或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，所以()f x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，故()f x 的极大值点为212x m m m =---，极小值点为212x m m m =-+-．综上所述，当2m ≤时， ()f x 无极值点；当2m >时， ()f x 的极大值点为212x m m m =---，极小值点为212x m m m =-+-．（2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）可化为()101f x x >-（*）．由（1）知：2．已知函数，．（I ）令，讨论函数的单调性；（II ）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I ）时，在递增，递减；时，在递增；时，在和递增，递减；时，在和递增，递减；（II ）．【解析】试题分析：（I ）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（II ）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，只需即可，由（I）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围．试题解析：（I）解：h(x)=f(x)-g(x)= ，定义域为，（x>0）a0时，>0得x>1；<0得0<x<1．所以h(x)在（1，）递增，（0，1）递减a=1时，，所以h(x)在（0，）递增0<a<1时，>0得0<x<a，或x>1；<0得a<x<1．所以h(x)在（0，a）和(1，)递增，(a，1)递减a>1时，>0得0<x<1，或x>a；<0得1<x<a．所以h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减综上：a0时，h(x)在（1，）递增，（0，1）递减a=1时，h(x)在（0，）递增0<a<1时，h(x)在（0，a）和(1，)递增，(a，1)递减a>1时，h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，只需即可由（I）知，时，h(x)在递增，=h（I）=4-a0，解得a4．又，所以，a e时，h(x)在递减，=h(e)= 解得，又a e，所以，1<a<e时，h(x)在递减，递增．=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna0．因为，所以h(a)在(1，e)递减．所以，则h(a) 0恒成立，所以1<a<e，综上：a．3．已知函数是定义在上的偶函数．当时，．（I）求曲线在点处的切线方程；（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（I）根据是偶函数，当时，，可得当时，，，求出可得切线斜率，求出，可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（II）令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为．试题解析：因为为偶函数，所以，当时，则，故，所以，从而得到，，（I）当时，，所以所以在点的切线方程为：，即（II）关于的不等式恒成立，即恒成立令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，记，，当时，，则递增；当时，，则递减；所以，当时，取极大值，也是最大值，所以，即实数a的范围为．4．已知函数，，其中是自然常数．（I）判断函数在内零点的个数，并说明理由；（II），，使得不等式成立，试求实数的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）对函数求导，，得到函数在上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（II）不等式等价于，即，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值，取得最小值，故只需要，解出即可．（II）因为不等式等价于，所以，，使得不等式成立，等价于，即，当时，，故在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，又，当时，，，，所以，故函数在区间上单调递减．因此，当时，取得最大值，所以，所以，所以实数的取值范围为．5．已知函数．（I）求证：函数有唯一零点；（II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．试题解析：（I ），易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在上存在唯一零点．（II ）设的零点为，即．原不等式可化为，令，则，由（I ）可知在上单调递减，在上单调递增，故只求，，设，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．因此，即求所求．6．已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <且22m >，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈）【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）0k =或1k =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()21x ax f x x-+'=，令210x ax -+=，讨论∆，结合单调性可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程210x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=⋅=，可得()()22211 ln 2fm f n m m m ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，令2t m =，设()11ln 2g t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），可得()30ln24g t <<-，即()()30ln24f m f n <-<-，进而得所以0{ 335224k k ln ln ≤+≥-，求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程210x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=⋅=．()()()()2222111ln ln ln 222m f m f n m am m n an n m n a m n n ⎛⎫-=-+--+=---+ ⎪⎝⎭ ()()()222222111ln ln 22m n m n m n m m m m ⎛⎫=--+-+=--+ ⎪⎝⎭令2t m =，因为2m ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设()11ln 2g t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）因为()()2222211111210222t t tg t t t t t ---+⎛⎫=-++==-< ⎪⎝⎭'所以()g t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以()()112g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为()1310,ln224g g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以()30ln24g t <<-，即()()30ln24f m f n <-<-．因为()()()35ln2f n k f m f n k +<<++，所以()()35ln2k f m f n k <-<-所以0{ 335224k k ln ln ≤+≥-，解得12ln204k -≤≤因为ln20.7≈，所以12ln20.2520.7 1.154-≈-⨯=-，又因为k Z ∈，所以0k =或1k =-所以存在整数0k =或1k =-使得不等式()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立． 7．设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）令()()212a F x f x ax bx x =+++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）11m e =+或2211m e ≤<+；（2）12a ≥．【解析】试题分析: (1)第(1)问，令ln x x mx +=，化为ln 1xm x=+，原方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1x g x x=+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦有且只有一个交点，再研究利用导数研究g(x)的单调性画图分析得到实数m 的取值范围． (2)第(2)问，()ln aF x x x=+， (]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，再分离参数求实数a 的取值范围．试题解析:（1）()ln f x x x =+，令ln x x mx +=，化为ln 1x m x=+，原方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1xg x x=+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦有且只有一个交点， ()21ln 'x g x x-=，容易得到()g x 在[]1,e 上单调递增，在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， ∴()()max 11g x g e e ==+， ()11g =， ()22211g e e =+>，∴m 的取值范围是11m e =+或2211m e≤<+．（2）()ln aF x x x=+， (]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，∴200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭， (]00,3x ∈，当01x =时， 20012x x -+取得最大值12， ∴12a ≥． 8．已知函数()ex x af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ．（1）求函数()g a 的解析式；（2）若对任意的R a ∈， 1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值．【答案】(1)见解析;(2)12e．【解析】试题分析：（1）由题意，得()1exa xf x --'=，对a 分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数()g a 的解析式；（2）令()()h a g a ka t =--．令()h a 的最小值恒大于等于零，从而得到kt 的最大值．试题解析：（1）由题意，得()1exa xf x --'=．当11a -≤-，即2a ≥时， ()()0f x f x '≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数，所以()f x 最大值为()()()1e 1g a f a =-=-．当111a -<-<，即02a <<时，当()1,1x a ∈--时， ()0f x '>， ()f x 单调递增；当()1,1x a ∈-时， ()0f x '<， ()f x 单调递减，所以()f x 的最大值为()()11ea g a f a -=-=．当11a -≥时，即0a ≤时， ()0f x '≥， ()f x 在[]1,1x ∈-时为单调递增函数，所以()f x 的最大值为()()11eag a f +==．综上得()()1e 1,2,{e ,02, 1,0.ea a a g a a aa --≥=<<+≤（2）令()()h a g a ka t =--．①当02a <<时， ()()1e a h a g a ka t ka t -=--=-- ()1e a h a k -⇒='-，由()0h a '=，得1ln a k =+，所以当()0,1ln a k ∈+时， ()0h a '<；当()1ln ,2a k ∈+时， ()0h a '>，故()h a 最小值为()()1ln 1ln h k k k k t +=-+- 0ln t k k ≥⇒≤-．故当1e ek <<且ln t k k ≤-时， ()g a ka t ≥+恒成立． ②当2a ≥，且ln t k k ≤-时， ()()()h a g a ka t =-+ ()e e a k t =---．因为e 0k ->，所以()h a 单调递增，故()()()()min 22e 2ln h a h k e t e k e k k ==---≥--+ e 2ln k k k =-+．令()e 2ln p k k k k =-+，则()ln 10p k k -'=≤，故当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()p k 为减函数，所以()()e p k p >，又()e 0p =，所以当1e ek <<时， ()0h a >，即()0h a ≥恒成立． ③当0a ≤，且ln t k k ≤-时，()()()11e eh a g a ka t a k t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为10ek -<，所以()h a 单调递减，故()()min 110ln e eh a h t k k ==-≥+．令()1ln em k k k =+，则()1ln 0m k k =+≥'，所以当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()p k 为增函数，所以()10e m k m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()0h a >，即()0h a ≥．综上可得当1e ek <<时，“ln t k k ≤-”是“()g a ka t ≥+成立”的充要条件．此时2ln tk k k ≤-．令()2ln q k k k =-，则()()2ln 2ln 1q k k k k k k =--=-+'，令()0q k '=，得12ek -=．故当112e ,e k --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0q k '>；当12e ,e k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0q k '<，所以()q k 的最大值为121e 2e q -⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当12e k -=， 121ln e 2t k k -=-=时，取等号，故tk 的最大值为12e． 9．已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增；当 0a >时，函数()f x 在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减(2) {}0a a ≤ 【解析】试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()21122ax f x ax x x-='=-．对a 分类讨论，明确函数的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，即求()f x 的最小值大于等于零即可．当0a >时，函数()f x 在区间12a ⎛⎝上单调递增，在区间1,2a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减．（2）当0a ≤时，由（1)，知函数()y f x =在区间[)1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=，所以()0f x ≥恒成立，即0a ≤符合题意．法一:当0a >时，令()120f x ax x=-='，解得： 12x a=，令112a =，解得12a =．所以存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1113ln 2ln202222h a h ⎛⎫<=--+=-< ⎪⎝⎭，即存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即当102a <<时，不符合题意． ②当12a ≥时， 112a≤，即()0f x '≤在区间[)1,+∞上恒成立，所以函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=，显然12a ≥不符合题意．综上所述，实数的取值范围为{}0a a ≤．法二：当0a >时，令()()ln 1,1g x x x x =-->，()()()11010g x g x g x=-<⇒<='，所以ln 1x x <-，取1max 1,1b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故在(),b +∞上，()()()()()()22ln 111111f x x a x x a x x a x ⎡⎤=--<---=--+⎣⎦ ()111110x a a ⎡⎤⎛⎫<---+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不合题意，舍去．综上所述，实数a 的取值范围为{}0a a ≤． 10．已知函数()ln x mf x ex +=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln x e e x e -≥；（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正【答案】(1)见解析;(2) [)ln ,a a --+∞．【解析】试题分析：（1）由1x =是函数()f x 的极值点可得1m =-，只要证明()1f x ≥即可；（2））()1(0)x m f x e x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增，由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点，所以001x mex +=，即00ln x m x +=-， ()0f x ≥恒成立，即()f x 的最小值恒大于等于零即可．试题解析：（Ⅰ）证明： ()1(0)x m f x e x x+=->'因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110mf e +-'==，解得1m =-经检验， 1m =-符合题意则()11(0)x f x e x x-=->'， ()1ln (0)x f x e x x -=-> 当01x <<时， 1001x e e -<<=， 11x -<-，所以()0f x '<；当1x >时， 101x e e ->=， 110x-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以()()min11f x f ==，从而()1f x ≥，即ln 1xe x e-≥，所以ln x e e x e -≥（Ⅱ）()1(0)x m f x e x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点所以001x mex +=，则001ln ln x me x +=，即00ln x m x +=-当00x x <<时， ()()00f x f x ''<=；当0x x >时， ()()00f x f x ''>= 所以函数()f x 在()0,x x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而函数()f x 在0x x =处取得最小值所以()()()000000011ln x mf x f x ex x m x m x x +≥=-=++=++ 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥ 所以00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥，也即00ln 1ln x x a a ≤= 令()ln (0)h x x x x =>，则有()()01h x h a ≤=因为函数()ln h x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且当()0,1x ∈时， ()0h x <；当()1,x ∈+∞时， ()0h x >，所以0x a ≤ 从而0x a -≥-， 0ln ln x a -≥-，于是00ln ln x x a a --≥-- 所以ln m a a ≥--，故m 的取值范围为[)ln ,a a --+∞ 11．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析;(2) ()1+∞，;(3)见解析．【解析】试题分析：（1）当1k =时，得到()f x ，求得()f x '，利用()0f x '>和()0f x '<，即可求解函数的单调区间；（2）由()ln 1f x x k '=+-，分1k ≤和1k >两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数k 的取值范围；（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，分类参数得出ln 1x x xk x +<-对1x >恒成立，设函数()ln 1x x xg x x +=-，求得()g x '，求得函数()g x 单调性与极值，即可求解实数k 的最大值．试题解析：（1）当1k =时， ()ln 1f x x x x =-+， ()ln f x x '=．令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<， ∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，．（2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以， ()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断，又()10f =，∴当1x >时， ()()10f x f >=，∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意．当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数，若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时， ()()10f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>， ()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意．综上所述， k 的取值范围为()1+∞，．（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，则由1x >知10x ->，从而ln 1x x xk x +<-对1x >恒成立（*）记()ln 1x x x g x x +=-，得()()22ln 1x xg x x ---'=，设()2ln h x x x =--， ()1110x h x x x='-=->， ∴()h x 在()1+∞，是单调增函数，又()()()31ln3042ln40h h h x =-=-，，在[]3,4上图象是不间断的， ∴存在唯一的实数()034x ∈，，使得()00h x =， ∴当01x x <<时， ()()()00h x g x g x '<<，，在()01x ，上递减，当0x x >时， ()()()00h x g x g x '>>，，在()0,x +∞上递增， ∴当0x x =时， ()g x 有极小值，即为最小值， ()00000ln 1x x x g x x +=-，又()0002ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴ ()00g x x =，由（*）知， 0k x <，又()03,4x ∈， *N k ∈，∴ k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立．12．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-．【答案】(1) 1,12⎛⎫⎪⎝⎭(2) 12a e ≤-;(3)见解析．【解析】试题分析：（1）代入1a =， 3b =时，得到()f x ，求得()f x '，即可求解函数的单调区间；（2）把不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，转化为2ln x a x ≤-在区间[)1,+∞上恒成立，令()2ln xh x x=-，利用导数求得函数的最小值，即可求解实数a 的取值范围．（3）方法一：求得()'f x ，得1x ， 2x 是方程2210x bx -+=的两个根，即1212x x =，化简()()()()2212222221ln 2,2,4f x f x x x x x -=--∈+∞，令()()()12t f x f x ϕ=-，利用导数求得()t ϕ的最小值，即可证明结论；（2）0b =时， ()2ln f x ax x =+，不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立即为： 2ln xa x ≤-在区间[)1,+∞上恒成立令()2ln x h x x =-，则()32ln 1'x h x x-=，令()'0h x =得： x e = 因为(x e ∈时， ()'0h x <， ),x e ∈+∞时， ()'0h x >，所以()h x 在(e 上单调递减，在),e +∞上单调递增所以()()min 12h x he e ==-，所以12a e≤-．方法二：因为1a =，所以()2ln f x x bx x =-+，从而()221'x bx f x x-+=（0x >）．由题意知， 1x ， 2x 是方程2210x bx -+=的两个根．记()221g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=>⎪⎝⎭，因为92b >，所以1190442g b ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2920g b =-<，所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()22,x ∈+∞，且()f x 在[]12,x x 上为减函数．所以()()()()121117632ln 42ln23ln241644416b b f x f x f f b ⎛⎫⎛⎫->-=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为92b >，故()()127963633ln23ln2421616f x f x ->⋅--=-．13．已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++<． ()1 讨论()f x 的单调性；()2 若对任意的()[]123213a x x ∈--∈，，，，，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）133m ≤-．【解析】试题分析：（1）当a<0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f （x ）单调区间；（2）若对任意a ∈（-3，-2）及x 1，x 2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3>|f （x 1）-f （x 2）|成立，求函数f （x ）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m 的取值范围．试题解析：(1()()22222121)'2ax a x a f x a x x x+---=-+=，当2a <-时， 112a -<，令()'0f x <得10x a <<-或12x >，令()'0f x >得112x a -<<；当20a -<<时，得112a ->，令()'0f x <得102x <<或1x a>-，令()'0f x >得112x a<<-；当2a =-时， ()22(21)'0x f x x -=-≤，综上所述，当2a <-时()f x ，的递减区间为10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，递增区间为112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当2a =-时， ()f x 在()0+∞，单调递减；当20a -<<时， ()f x 的递减区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，递增区间为11.2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (2)由(Ⅱ)可知，当()32a ∈--，时， ()f x 在区间[]13，上单调递减，当1x =时， ()f x 取最大值；当3x =时， ()f x 取最小值；()()()()()()()121213122ln3642ln333f x f x f f a a a a a ⎡⎤-≤-=+--++=-+-⎢⎥⎣⎦，()()()12ln3ln3m a f x f x +->-Q 恒成立， ()()2ln32ln342ln33m a a a ∴+->-+- 整理得243ma a >-， 2043a m a<∴<-Q ，恒成立，13238324339a a -<<-∴-<-<-Q ，，133m ∴≤-．14．已知()()ln xf x e a x a R =-∈．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =-时，若不等式()()1f x e m x >+-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) ()0e a x y a --+=;(2) 1m e ≤+．【解析】试题分析：（1）求得()f x '，得()1f e a '=-，确定切点为()1,e ，即可求解切线的方程；（2）由题意原不等式得()ln 10xe x e m x +--->，设()()ln 1xF x e x e m x =+---，转化为()0F x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，利用导数得到函数()F x 的单调性，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）由()ln xf x e a x =-，则()(),1x af x e f e a x''=-=-，切点为()1,e ，所求切线方程为()()1y e e a x -=--，即()0e a x y a --+=．（2）由()ln xf x e a x =-，原不等式即为()ln 10xe x e m x +--->，记()()ln 1xF x e x e m x =+---， ()10F =，依题意有()0F x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求导得()()()211,11,x x x F x e m F e m F x e x x=+-=+=''-''-，当1x >时， ()0F x ''>，则()F x '在()1,+∞上单调递增，有()()11xF x F e m >=+'-'，若1m e ≤+，则()0F x '>，若()F x 在()1,+∞上单调递增，且()()10F x F >=，适合题意；若1m e >+，则()10F '<，又()1ln 0ln F m m'=>，故存在()11,ln x m ∈使()0F x '=，当11x x <<时， ()0F x '<，得()F x 在()11,x 上单调递减，在()()10F x F <=，舍去，综上，实数m 的取值范围是1m e ≤+． 15．已知函数()1ex f x x +=， ()()ln 1g x k x k x =++．（1）求()f x 的单调区间．（2）证明：当0k >时，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点．（3）设()()()h x f x g x =-，其中0k >若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞; （2）见解析；（3）(0,e]．【解析】试题分析：（1）根据导函数的符号可得函数的单调区间．（2）令()()1ex t x f x k x k +=-=-，由条件可证得函数()t x 单调递增，根据零点存在定理可证得零点唯一．（3）结合（2）可求得函数()h x 的最小值，然后根据最小值大于等于零可得实数k 的取值范围是(0,e]．试题解析：（1）∵()1e xf x x +=，∴()()111ee 1e x x xf x x x +++==+'+，令()0f x '>，得1x >-；令()0f x <，得1x <-，故()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞．（2）设()()1e x t xf x k x k +=-=-， 0k >，则()()11ex t x x +=+'，由（1）可知()t x 在()1,-+∞上单调递增，又()00t k =-<， ()()11e e 10k k t k k k k ++=-=->， ∴()t x 在()0,+∞上只有1个零点，故当0k >，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点．（3）由题意得()()()()1e ln 1x h xf xg x x k x k x +=-=--+， (x 0,0)k >>，∴()()11e x k h x x k x +=+--' ()11e x x x k x++=-，令()0h x '=，则1e 0x x k +-=，由（2）得()1ex t x x k +=-在区间()0,+∞上单调递增且只有一个零点，不妨设()t x 的零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()0t x <，即()0h x '<， ()h x 单调递减．当()0x x ∈+∞时， ()0t x >，即()0h x '>， ()h x 单调递增， ∴函数()h x 的最小值为 ()0h x ，且()()010100e ln 1x h x x k x k x +=--+，由010e0x x k +-=，得001e x k x +=，故()()0001ln1ln ex k h x k k k x k k k +=--+=-，根据题意()00h x ≥，即ln 0k k k -≥，解得0k e <≤，故实数k 的取值范围是(0,e]．16．已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+．（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论；（II ）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（III ）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2) 34a ≥（3）102a ≤≤【解析】试题分析：（I ）求得()()2212xf x x a x a e ⎡⎤=-+-+⎣'⎦，取得()22120x a x a -+-+=的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值．（II ）由（I ）知，要使得在[]1,1-上单调函数，则22111{111a a a a --+≤--++≥，即可求解a 的取值范围；（III ）由()()f x g x ≤，分类参数得()212x x e x a x-+≤，构造新函数()()21x x e x h x x-+=()1x ≥，利用导数求得函数()h x 的单调性和最值，即得到a 的取值范围．（II ）由（I ）知22221111{11112a a a a a a a a-+≤-≤+⇒-+≥+≥-2a ⇒≥或2202{133a a a a ≤<+≥-+2a ⇒≥或023{ 344a a a ≤<⇒≥≥17．已知函数()32xf x xe ax bx c =+++（其中e 为自然对数的底， ,,a b c R ∈）的导函数为()'y f x =．（1）当0a c ==时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）设点()()0,0A f ， ()(),B m f m 是函数()f x 图象上两点，若对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析;(2) 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x=，问题转化为函数()g x 的图象与x 轴的交点个数问题；（2）对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2221e e e 024m mmm am --+>，记()h m =2221e e e 24m m mm am --+，研究函数()h m 的单调性与最值即可．试题解析：（1）0a c ==时，由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x =，()()2e 1x x g x x ='-，当01x <<时， ()0g x '<，当1x >时， ()0g x '>，所以当1x =时， ()g x 取得极小值e ，①当e b -<即e b >-时，函数()f x 在区间()0,+∞上无零点；②当e b -=即e b =-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有一个零点； ③当e b ->即e b <-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有两个零点；（2）()2e e 32x xf x x ax bx =+'++，2223e e 224m m m m f am bm ⎛⎫=++'+ ⎪⎝⎭， 322e e m m AB m am bm c c k am bm m +++-==++，依题意：对任意的()0,m ∈+∞，都有22223e e e 24m m mm am bm am bm ++>+++，即2221e e e 024m m mm am --+>，记()h m = 2221e e e 24mm mm am --+， ()2211e e e 42m mmh m m am =--+'，记()()m h m φ='，则()22311e e e 482m mmm m a φ=--+'．记()()r m m φ='，则()22222111111e e e e e e 102161622162m m m m mmmr m m m m ⎛⎫⎛⎫=--=--≥+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以()0,m ∈+∞时， ()r m 递增，所以()()11042r m r a >=+， ①当11042a +≥即12a ≥-时， ()0r m >，即()0m φ'>，所以()m φ在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00m φφ>=，得到()0h m '>，从而()h m 在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00h m h >=恒成立； ②当11042a +<即12a <-时，因为()0,m ∈+∞时， ()r m 递增，所以()110042r a =+<，所以存在00x >，使得00m x <<时， ()0r m <即()0m φ'<，所以()m φ在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时，()()00m φφ<=即()0h m '<，所以00m x <<时， ()h m 在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时， ()()00h m h <=，从而()0h m >不恒成立。

高中学习数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题

精品文档专题：不等式的“恒成立〞、“能成立〞、“恰成立〞问题不等式恒成立问题假设不等式f(x) A在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上[f(x)]假设不等式f(x) B在区间D 上恒成立，那么等价于在区间D上[f(x)]m inmaxAB当f(x)的最值取不到时，注意表达要准确，如f(x)1，那么m f(x)恒成立m1不等式中能成立问题〔有解〕．．．假设在区间D上存在实数X使不等式假设在区间D上存在实数X使不等式不等式中恰成立问题f(x) A成立，那么等价于在区间D上[f(x)]f(x) B成立，那么等价于在区间D上[f(x)]maxminAB假设不等式f(x)A在区间D上恰成立,那么等价于不等式f(x)A的解集为D假设不等式f(x)B在区间D上恰成立,那么等价于不等式f(x)B的解集为D利用一次函数的性质对于一次函数f(x)axb(a0)(x[m,n])有：①f(x)f(m)00恒成立0恒成立②f(x)f(n)0f(m)0f(n)0结论：假设一个不等式中有两个变量，如果最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：f(x)(x1)log32a6xlog3ax1,当x[0,1]时，f(x)恒为正数，求a的取值范围。

[a33]变式：当x [2,4]时，假设不等式 (x 2)a22a 4 0恒成立，求实数a的范围a 2,1变式：定义在R上的奇函数f(x)在0,上是增函数且f(ax1)f(x2)对任意x1,1都成立，那么2实数a的取值范围, 2利用二次函数的判别式对于二次函数f(x)ax2bx c(a0,xR)有①f(x)a00恒成立b24ac.精品文档a 0②f(x) 0恒成立b24ac 0结论：假设一个不等式中有两个变量，如果高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或别离参数。

例：不等式(45)4(m1)3对一切实数x恒成立，求参数m的取值范围。

[1m19]m变式：假设不等式x28x200对一切xR恒成立，求实数m的取值范围。