四边形知识点与经典例题

第十九章 四边形

一、 基础知识

（一）四边形由一般到特殊的演变示意图

（二）特殊四边形

（三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、例题

例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF.

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABE =∠CDF ，AB= CD.

又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB =∠CFD = 90°， ∴△ABE ≌△CDF. ∴∠BAE =∠DCF.

例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F.

求证：BE = CF.

证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB = OC. 又∵BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，∴∠BEO =∠CFO = 90º. ∵∠BOE =∠COF. ∴△BOE ≌△COF. ∴BE = CF.

评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3已知：如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE = 2EA ，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.

证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.

又∵AB = DC ，BE = 2EA ，CF = 2FD ， ∴BE = CF. ∵BC = CB ， ∴△BEC ≌△CBF. ∴∠BEC =∠CFB.

例4如图6，E 、F 分别是 ABCD 的AD 、BC 边上的点，且

（1）求证：△ABE ≌△CDF

； （2）若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连结MF 、EN ，

试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB = CD ，∠A =∠C. ∵AE = CF ，∴△ABE ≌△CDF.

（图1）

A D

B C

E F

(图6) M

N O A B C D

E F

（图2）

（2）解析： 四边形MFNE 是平行四边形. ∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB =∠CFD ，BE = DF. 又∵M 、N 分别是BE 、DF 的中点，∴ME = FN. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE. ∴∠CFD =∠FBE. ∴EB ∥DF ，即ME ∥FN. ∴四边形MFNE 是平行四边形.

评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. 例5如图7， ABCD

的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F.

求证：四边形AFCE 是菱形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAC =∠FCA. ∵EF

是AC 的垂直平分线， ∴OA = OC ，∠EOA =∠FOC ，EA = EC. ∴△EOA ≌△FOC . ∴AE = CE. ∴四边形AFCE 是平行四边形. 又∵

EA = EC ， ∴四边形AFCE 是菱形. 例6如图9，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点.

（1）如果 ，则△DEC ≌△BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一. （1）①AE=CF ；②OE = OF ；③DE ⊥AC ，BF ⊥AC ；④DE ∥BF 等. （2）①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB = CD ，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF. ∵AE=CF ，∴AC －AE = AC －CF ，即AF = CE.

∴△DEC ≌△BFA. 例7如图10，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C.

（1）求证：四边形EFOG 的周长等于2OB ；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG 的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

B

B C

解析：（1）证明：∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ， ∴梯形ABCD 是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB. 又∵BC = CB ，AB = DC ， ∴△ABC ≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC. 又∵EG ∥AC ，∠ACB =∠GEB. ∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG. ∵EG ∥OC ，EF ∥OG ， ∴四边形EGOF 是平行四边形. ∴OE = OF ，EF = OG. ∴四边形EGOF 的周长 = 2（OG ＋GE ）= 2（OG ＋GB ）= 2OB. （2）如图11，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（点E 不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点C. 求证：四边形EFOG 的周长等于2OB

注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？ 例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释. 解析：本题是一道方案设计题，现提供三种方

案供参考：

方案一：如图14（1），连结梯形上、下底的中点E 、F ，则

S 四边形ABFE = S 四边形EFCD =

4

)(h

b a +. 方案二：如图14（2），分别量出梯形的上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE =2

1

（a ＋b ），连结AE. 则

S △ABE = S 四边形AECD =

4

)(h

b a +. 方案三：如图14（3），连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的一半.

分析此方案可知，∵AE = EC ，∴S △AEB = S △EBC ，S △AED = S △ECD .

∴S △AEB ＋S △AED = S △EBC ＋S △ECD =2

1 S 四边形ABCD .

图14

B

A

备用图（1）

备用图（2）

图13

（1）

A

B

C

D

E

F （2） A

B

C

D

E （3）

A

B

C D

E