1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
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中国矿业大学(北京)《大学物理》课件 第1章 质点运动学
y 0.22 152 9.115 30 57m
r 66i 57 j
r
的大小
r的方向
r 662 (57)2 87m
arctan y arctan 57 41
x
66
（2） 速度沿坐标轴 x、y 的投影为
vx
dx dt
d dt
(0.31t 2
7.2t
28)
0.62t 7.2
物体平动时可视为质点。 物体上任一点的运动都可以代表物体的运动。
➢ 研究汽车突然刹车“前倾”或转弯 涉及转动问题，汽车各部分运动情况不同，各
车轮受力差异很大，不能把汽车作质点处理。
质点是从客观实际中抽象出的理想模型，研 究质点运动可以使问题简化而又不失客观真实性。
二、确定质点位置的方法
静止和运动是相对的 地心学说被日心说取代，让人们明白，判断物体
求 船的运动方程。
解 取坐标系
v
依题意有
l0
l(t) l0 v t
h l(t)
坐标表示为
O
x
x(t) (l0 v t)2 h2
x(t)
说明
质点运动学的基本问题之一 , 是确定质点运动 学方程。 为正确写出质点运动学方程, 先要选定参 考系、坐标系, 明确起始条件等, 找出质点坐标随时 间变化的函数关系。
x 0.31t2 7.2t 28 y 0.22t 2 9.1t 30
试求 t =15s时小田鼠的 （1）位矢;（2）速度; （3）加速度。
解 （1）根据已知条件，小田鼠的位矢可写成
r
(0.31t
2
7.2t
28)i
(0.22t 2 9.1t 30) j
t = 15s 时
曲线运动描述讲解
20
• 极坐标系中: 角位置 ( t )
*角位移
2 1
d dt
d d 2 dt dt2
p2
p1
方向为右手螺旋法则 角速度 角加速度
0
1 2
d dt
0
t
0
-------------------------------------------------------------------------------
9
例: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长s 按s＝t＋2t2的规律变化.问它在2 s末的速率、切向加速 度和法向加速度各是多少？ 解 由速率定义，有 ds 1 4t dt 将t＝2代入上式，得2 s末的速率为 ＝1＋4×2＝9 (m· s － 1) 法向加速度
R d 2s a 2 ＝ 4 m· s－2 ，为一常数 dt
②
d d dx d a dt dx dt dx
d
dx
k 2
d
kdx
0
d
kdx
0
x
ln kx 0
0e
kx
-------------------------------------------------------------------------------
dr dx dy 由速度定义得 dt dt i dt j 3i 8tj d a 8 j 由加速度的定义得 dt ------------------------------------------------------------------------------
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
1.3.1 位移
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
第2讲 曲线运动的描述
a n g a
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
1.4 自然坐标系 曲线运动
r ∆v
v v v ∆τ = τ (t + ∆t ) − τ (t )
v τ (t + ∆t )
3
第1章质点运动学
P
v τ (t )
•
Qv
∆θ
•
r τ (t )
L v n(t )
O
τ (t + ∆t )
∆θ
v τ (t + ∆t )
r ∆τ
r r 夹角为 ∆τ 与τ (t )
(π－∆θ )/2 ，当 r r ∆θ → 0, dτ ⊥ τ
方向
P
v dr
r r 由右手法则确定) ω× r (由右手法则确定)
13
v v v v v r r r r v dv d (ω × r ) dω v v dr a= = = × r + ω× = β × r + ω ×v dt dt dt第1章质点运动学 dt
一质点作半径为0.1 的圆周运动， 例3 一质点作半径为 m 的圆周运动，已知运动学方 3 。 程为 求
∆θ
v
υ (t )
v
υ=const.
2
v an = R
o
指向圆心
R
向心加速度意义： 向心加速度意义： 速度方向的变化率
υ (t + ∆t )
v
∆υ
v
v
υ (t ) ∆θ
2
从加速度定义出发， 练习 ：从加速度定义出发，导出
10 第1章质点运动学
v an = R
2. 变速圆周运动
υ (t )
∆θ
O R
υy = 0
y
∴v = v x = v0 cosθ
dυx Q at = =0 dt ∴ an = g
曲线运动的法向和切向加速度
x
an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g 2 t 2
2
与切向加速度垂直
圆周运动的角量描述
v2
v B 1 A s R
O
A t t t B
X
角位置 角位移
沿逆时针转动，角位移取正值 沿顺时针转动，角位移取负值
两类运动学问题
1、已知运动方程，求速度、加速度 求导数 2、已知加速度和初始条件，求速度和运动方程 运用积分方法 注意 讨论问题一定要选取坐标系 注意矢量的书写
r r r r dr , ds, dv , dt 与Vr ,Vs,Vv ,Vt 的物理含义
• 1.自然坐标系：就是将坐标原点固定在运动 质点上，取质点的速度方向（曲线的切线方 向）为一个坐标轴（切向轴）的正方向，其 单位矢量用 表示，取与切向正交、且指向 曲线的凹侧的法线方向为另一个坐标轴（法 向轴）的正方向，其单位矢量用 n 表示。由 于这种坐标系的切向坐标轴和法向坐标轴会 随着质点的运动自然变换方向，故叫做自然 坐标系。
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
v0
x
an
a
1x g y 2 2 v0
2
y
g
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
dv v a n dt R
[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
![[精品]掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤](https://img.taocdn.com/s3/m/08ccb10d5901020207409c3a.png)
方法二：直角坐标法 ①列动点的运动方程。 建立直角坐标系Oxy，如图所示。 图示几何关系：x=Rsin2φ y=Rcos2φ y 故点M的运动方程为 O' x=Rsin2ωt a 2 a y=Rcos2ωt O ②求点的速度。 vx= dx/dt = 2Rωcos2ωt vy= dy/dt =-2Rωsin2ωt A 点M速度的大小为： v =√vx2+vy2 = 2Rω 速度的方向余弦： cos（v，i）= vx/v= cos2ωt=cos2φ
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得 v = v0 + at s = s0+ v0t +at² /2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0） 4、匀变速曲线运动 an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt² /2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。 方法一：自然坐标法 ①分析动点的运动、建立弧坐标轴。 动点套环M的轨迹为沿固定圆环 的圆周运动。以圆环上的O′点 为弧坐标原点，顺时针为弧坐标 正向，建立弧坐标轴。 ②列动点的运动方程。 图示几何关系：s = R（2φ） 故有： s= 2Rωt
③求点的速度、加速度。 由v = ds/dt得 v = d（2Rωt）/dt=2Rω 速度v的方向沿该点的切线方向，且指向运动的一方。 由an = v2/ρ，aτ=dv/dt得 aτ=dv/dt=0，an = v2/ρ=4Rω2 即点M的全加速度为：a=an=4Rω2 a的方向即 an的方向，自M点半径指向圆心。 （套环M沿固定圆环作匀速圆周运动。）
西北民族大学土木工程学院公共课
西北民族大学土木工程学院公共课《普通物理1》教学大纲制定的时间：2017年2月一、课程基本资料课程编号：1900003B适用专业：土木工程、无机非金属材料工程主教材：马文蔚，周雨青．物理学（第六版）（上册）．北京：高等教育出版社．2014年7月。
辅助教材：马文蔚．物理学习题分析与解答．北京：高等教育出版社．2006年6月。
实验教材：张国恒，魏秀芳．大学物理实验．北京：科学出版社．2011年2月。
课程性质：学科平台必修课学时：88学时，其中理论课72学时、实验16学时学分：4学分先修课程：《高等数学》授课方式：课堂讲授、讨论、电子课件演示、实验指导等课程考核:・平时成绩：20%，考核方式：作业、考勤、课堂提问・实验成绩：20%，考核方式：平时成绩、实验报告・期末成绩：60%，考核方式：闭卷考试参考书目:[1]冯旺军，戴剑锋，张国恒．大学物理（上册）．北京：科学出版社．2010年08月。
[2]程守洙，江之永．普通物理学（上册）．北京：高等教育出版社．2006年12月。
[3]费恩曼（美），莱顿（美），桑兹著（美）著，郑永令，华宏鸣，吴子仪等译．费恩曼物理学讲义（全三卷）（中文版新千年版）．上海：上海译文出版社．2013年04月。
推荐刊物：1.《物理》2.《物理学报》3.《高等教育研究》相关网站：1.中国物理学会 /2.中国科学院物理研究所 /文献：1.杨建华，苏惠惠.大学物理学重大难点专题辅导.成都：成都科技大学出版社.1993；2.阿特﹒霍布森.物理学：基本概念及其与方方面面的联系。
上海：上海科学技术出版社.2001；3.董少光.大学物理教学与理工科学生学习现状的思考.中国西部科技.2008；4.贾利群,张耀宇.物理学的社会功能.河南教育学院学报.2002；二、课程教学目标、组织形式、考核方式三、学习建议与要求1.课前预习，查阅参考书对每次教学内容做到大致了解；2.做好课堂笔记，认真听讲，有问题及时和老师交流；3.课后及时复习上课内容，认真完成课后作业；4.实验课前预习，查阅教材及参考书对每次实验的基本原理进行理解；5.撰写实验预习报告，没有预习报告者不允许进入实验室；6.实验课堂上认真听教师讲解原理及实验演示操作；7.实验课后认真撰写实验报告，进行细致的数据处理及必要的结果讨论。
大学物理1.4 自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
解 由题意可知
aτ dv dt dv ds ds dt v dv ds
y
dy
P
aτ g sin
ds
vdv g sin ds dy sin sin ds dy ds
O
2
x
v
v0
vdv gdy
y0
y
v v 0 2 g ( y0 y)
dv v a a an τ n dt R
3. 变速曲线运动
P
an
2
v
aτ
a
dv v a τ n dt
2
曲率圆
例 一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动学 方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。 解 速度
2
2 例 已知质点运动方程为 r 2t i t j (SI)
求 t1 1s t 2 3s 之间的路程 。 解 速度 速率 路程
d dr 2 v (2ti t j ) 2i 2t j dt dt
2 2
v v x v y
2
ln t 1 t
c
例 已知质点的运动方程为
x A cos t , y A sin t , z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解
ds v x v y v z dt
2 2 2
s
A 2 cos 2 t A 2 sin 2 t B 2
v
P
s
r
[整理]11确定质点位置的方法
![[整理]11确定质点位置的方法](https://img.taocdn.com/s3/m/ec20ee1e647d27284b7351e4.png)
第1章 质点运动学运动学：以几何观点来研究和描述物体的机械运动。
本章引入质点、参考系、坐标系等概念，介绍确定质点位置的方法及描述质点运动的重要物理量：位移、速度和加速度，讨论质点直线变速运动和匀变速圆周运动。
1.1 确定质点位置的方法一、 质点运动学的基本概念1.质点： 忽略物体的几何形状、大小和内部结构而建立的有质量的几何点。
理想模型：根据研究问题的性质，突出主要因素，忽略次要因素建立的模型。
是一种科学思维方法，简化而不是客观真实性，反映问题的实质。
条件：一个物体能否被看作质点，取决于研究问题的性质。
2.参照物：为描述物体运动被选作参考的物体或物体系3.数学量化形式：坐标系；直角坐标系，极坐标系二、确定质点位置的常用方法：三种参考系：为研究物体的运动而被选作参考的、假定为不动的物体。
其数学量化形式是坐标系。
1. 坐标法：三维直角坐标系P (x , y , z )；极坐标系（ρ,θ）2. 位矢法：（质点位置由位置矢量描述）位矢的定义：由坐标原点指向质点所在位置的有向线段，称为位置矢量，简称位矢。
表达式：k z j y i x r ++= 大小：222z y x r ++=方向：3. 自然坐标法（用于运动轨迹已知的质点）说明：自然坐标中 s 是代数量4. 运动学方程(函数)直角坐标；；；)()()(x t z z t y y t x === 位矢法：k t z j t y i t x t r r )()()()(++==意义:已知运动学方程，可确定质点的运动参量（求质点运动轨迹、位移、速度和加速度）[例题1]：一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 ω 。
用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。
解：设O '点为起始点，设t 时刻质点位于P （x , y ）。
直角坐标表示的运动学方程为：x=rcos ωt y=rsin ωt位矢表示为以O '为自然坐标原点，自然坐标系表示的运动学方程为S=r ω t[例题2]一只小田鼠在雪地里飞跑，身后留下一串清晰的脚印，用直角坐标系表示的运动学方程是x=-0.31t 2+7.2t+28；y=0.22t 2-9.1t+30，式中各量均为国际单位。
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度
A2ω2 + B2dt = A2ω2 + B2t
ds v =vτ = τ = A2ω2 + B2 τ dt
将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线， 例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿 钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为 a = g sinθ 钢丝向下滑动。 τ g 为重力加速度，θ 为切向与水平方向的夹角. 为重力加速度， 为切向与水平方向的夹角. 质点在钢丝上各处的运动速度. 求 质点在钢丝上各处的运动速度. 解 由题意可知
2 2 2
=1.44 m/s2
讨论
在一般情况下 a =
d dv dτ d s v (vτ ) = τ +v = 2τ + n dt dt dt dt ρ
2
2
其中ρ 为曲率半径， 其中ρ 为曲率半径，n的方向指向曲率圆中心 引入曲率圆后， 引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半 径的圆弧所构成
意义： 意义： 反映速度大小变化的快慢
τ (t)
ds dτ 第二项： 第二项： 叫法向加速度 an dt dt
θ
τ
τ (t + t)
τ =τ (t + t) τ (t)
当 t →0 时
τ (t)
τ = τ (t) θ = θ
τ // n
θ
τ
τ (t + t) τ = θ n dτ τ θ θ s 1 = lim 因而 = lim n = lim n = vn t→0 t→0 dt t t→0 t s t ρ
2 t2
ds =vdt = 2 1+ t dt ∫ ds = ∫ 2 1+ t 2dt 路程有 路程有 s t
自然坐标系中的速度、加速度
速度的矢量表示
总结词
速度的矢量表示包括大小和方向两个方 面，通常用箭头表示方向，用绝对值表 示大小。
VS
详细描述
矢量表示法是速度最常用的表示方法，它 能够完整地描述速度的大小和方向。在自 然坐标系中，速度的大小由箭头的长度表 示，箭头的指向代表速度的方向。
速度的标量表示
总结词
速度的标量表示只考虑速度的大小，忽略方向，通常用绝对值表示。
特点
自然坐标系与质点运动的具体轨迹相 关，可以直观地描述速度和加速度的 方向和大小。
自然坐标系的应用
描述曲线运动
自然坐标系常用于描述质点在曲线上 的运动，如行星绕太阳的椭圆轨道运 动。
分析动力学
在分析力学中，自然坐标系用于描述 质点的速度和加速度，进而研究其动 力学行为。
自然坐标系与直角坐标系的区别与联系
02
03
健康管理
在健康管理中，个人的速度和加速度 可以用来监测身体的运动状态，从而 进行科学的健身计划和健康管理。
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定义法
根据加速度的定义式计算，即加速度等于速度的变化量除以时间的变化量。
公式法
根据加速度的公式计算，即加速度等于速度的导数或切向加速度。
02
速度在自然坐标系中的 表示
速度的定义
总结词
速度是描述物体运动快慢的物理量，定义为物体在单位时间内通过的位移。
详细描述
速度是矢量，具有大小和方向，通常用符号"v"表示。在自然坐标系中，速度的 大小等于物体在单位时间内通过的直线距离，方向则与物体位移的方向相同。
详细描述
匀速直线运动是指物体在直线轨道上以恒定速度进行的运动，其方程为 $s = v_0t$，其中 $s$ 是位移， $v_0$ 是初始速度，$t$ 是时间。
第一次课-1.1 -1.2确定质点位置的方法
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
r r (t t ) r (t )
P
s
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
说明
O
r (t )
r
P
r (t t )
Δr
(1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 r s r 与Δr ( r)的区别 (2) 分清
x y z
2 2
2
方向
x cos r
y cos r
z cos r
3. 自然坐标法 （用于运动轨迹已知的质点）
• O
s
P
说明 自然坐标 s 是代数量 4. 运动学方程(函数) 直角坐标 自然坐标 位矢法
x x(t )
s f (t )
y y (t )
一、 质点运动学的基本概念
质点 ： 大小和形状可以忽略的物体
z
参照物
O
y
x
参照物 ：为了描述物体运动而被选作参考的物体或物体系
二、确定质点位置的常用方法
1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法 （质点位置由位置矢量描述）
z
r
参照物
y
O
x
位置矢量 大小 r
r xi yj zk
v
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
a v t
r (t )
r (t t )
自然坐标系下的速度-加速度PPT演示课件
an 0，a 0 变速直线运动；
a 0，an 0 为匀速率曲线运动（圆周运动）
a
a
an
dv dt
0
v2
n0
a
a
an
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
9
大学物理
解：(1)
x v0t y 1 gt 2
2
17
o
1 x2g
y 2
v02
y
v0
x
an
a
g
大学物理
(2) vx v0 , vy gt
o v0
x
v vx2 vy2 v02 g2t2
arctg gt
y
v0
an
a
g
dv a dt
g2t v02 g2t2
dt
R
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
a
dv dt
a n
v2 R
o a
n
a n
P a
aan
切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
8
大学物理
a
a0
an ann0
切向加速度、反映速度大小变化， 法向加速度、反映速度方向变化，
v
a
dv dt
d
dt
v
5
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
第1章 质点运动学
r
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
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O
v G
dv dv a an dt dt
n
分析可知an 永远指向圆心； a 沿着圆周的切线方向 an反映速度方向变化的快慢 法向加速度 a 反映速度大小变化的快慢 切向加速度
大学物理 第三次修订本
8
v vτ vn dv dvτ dvn
d (v ) dv d a n v dt dt dt
可以证明 d = d n
dv a = = r ; dt
d r d d a n r n v v dt dt dt v2 r n r 2
P
v
r
s
Q
r (t )
O
L
t 0 时， r沿切线方向， 即 dr 沿着轨迹的切
线方向。
1
dr ds dr v ds dt ds
r (t t )
大学物理 第三次修订本
dr v v ds 因为 dr ds , d r 沿着轨迹的切线方向，
v(t )
A
Q
B vnP源自 vv (t t )
分析 t 0 的极限情形，可得：
O
v G
dvτ = dv ；dvn =v d n dv dv a = =r a dt dt
2 v dvn vd an = n vn n dt dt r
其中 s以m计，t 以s计，试求汽车在 t =1s 时 的速度,加速度的大小和方向。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示 形式，有 ds v 20 0.4t 速度大小 dt 加速度 2 2 dv v (20 0.4t ) a 0.4 an dt R R
13
大学物理 第三次修订本
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一 、速度 s s(t t ) s(t )
r s r v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t
2
2
) -2 1 . 96 m s
2
tan
(20 0.4) 4.8 80
2
14
大学物理 第三次修订本
例2 质点沿半径R=3m的圆周运动，如图。已知 2 切向加速度 a 3m s , t 0 时质点在 O 点, 其 速度 v0 0，试求（1）t =1s 时质点速度和加速 度的大小；（2）第2秒内质点所通过的路程。 解 取t=0时质点的位置O´为自然 坐标原点，以质点运动的方向为 自然坐标正向，并设任意时刻t质 点的速度为v。自然坐标为s。
dr 所以 是沿着切线方向的单位矢量。记做 ds
ds v v dt
2
大学物理 第三次修订本
二、 圆周运动的角量描述 角量与线量关系
— 角坐标 — 角位移
平均角速度
y
s A d ω lim t 0 t dt o
大学物理 第三次修订本
与匀变速率直线运动类比
0 0t 1t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
v v0 at 1 2 s s0 v0t at 2 2 2 v v0 2a(s s0 )
6
0 t
大学物理 第三次修订本
7
大学物理 第三次修订本
三、圆周运动中的加速度
v vτ vn
v(t ) A
Q
B vn
P
根据加速度定义 v vn v lim lim a lim t 0 t t 0 t t 0 t
v
v (t t )
B
ω t
r
x
角速度
d lim 角加速度 t 0 t dt
3
大学物理 第三次修订本
ω 平均角加速度 t 2 dω d 2 角加速度 lim t 0 t dt dt
角量与线量的关系
s v lim lim r r t 0 t t 0 t
(20 0.4t ) a a a (0.4) R
2 n 2 2
2
)
2
(20 0.4t ) 2 an t an 80 a
当 t = 1s 时 v 20 0.4 19.6m s
-1
(19.6) a (0.4) 200
v an =vn n r
11
大学物理 第三次修订本
切向加速度（速度大小变化引起）
dv d(r ) d dS a r r 2 dt dt dt dt
法向加速度（速度方向变化引起）
2
v 2 an v r r
2
12
大学物理 第三次修订本
例1 一辆汽车在半径为R=200 m的圆弧形公路 上行驶，其运动学方程为 s 20t 0.2t 2 ,
16
大学物理 第三次修订本
代入数据,得 v a t 3 1 3m/s， a 4.24 m/s
ds （2）由 v dt
2
得
ds a tdt
0 τ 0
s
t
1 2 积分，得 s a t 2
代入数据，得 s 1 3 (2 2 12 ) 4.5 m 2 如果初速度大于零，而切向加速度小于零 （负值）。怎样计算路程？
17
思考！
大学物理 第三次修订本
三、一般平面曲线运动中的加速度
2 v an an n n
dv a a τ τ dt 2 v dv a ann a n dt
ρ为轨迹曲线在任意点的曲率半径。
18
大学物理 第三次修订本
例1半径为r = 0.2m，可绕O轴转动，如图所示。 已知轮缘上任一点 M 的运动方程为θ= -t2+4t , 求 t = 1s 时 M 点的速度和加速度。
解 飞轮运动时，M点将作半 径为 r 的圆周运动， 其角速 度、角加速度分别为
d -1 2t 4 rad s dt d -2 2 rad s dt
dv （1）由 a dt
得
v
0
dv a dt
0
15
t
大学物理 第三次修订本
积分，得 v aτt 法向加速度的大小
v 2 aτ2t 2 an R R
加速度的大小
2
a t a a a ( aτ ) R
2 n 2 τ 2
2 2 τ
v r
4
大学物理 第三次修订本
dω 常量 匀变速率圆周运动 dt
dω dt ，
如 t =0 时,
ω
ω0
dω dt
0
t
0 , 0
0 0t 1t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
5
0 t
大学物理 第三次修订本
9
v dv a an n a τ n τ r dt
加速度的大小和方向分别为
2
a
a a
2 n
2
an t an a
10
大学物理 第三次修订本
d (v ) dv d 或者： a v dt dt dt