第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长
《旋转体的体积》课件
旋转体的性质
深入探讨了旋转体的几何性质，如旋 转体的表面积、质心和转动惯量等。
计算实例
通过具体的计算实例，演示了如何运 用旋转体的体积公式解决实际问题。
未来研究方向和展望
深入研究旋转体的性质
随着几何学的发展，旋转体的 性质将得到更深入的研究，如 探讨旋转体的对称性、稳定性 等。
扩展旋转体的应用领域
条件和范围。
计算中需要注意的事项
单位统一
在计算过程中，确保所有的长度单位都 是统一的，避免因单位不统一导致的误 差。
VS
精确度要求
根据问题的实际需求，合理选择计算方法 和工具，确保计算结果的精确度。
提高计算准确性的技巧和方法
01
02
03
多做练习
通过大量的练习，提高学 生的计算能力和对公式的 熟悉程度。
数学建模
在物理、化学和生物等学科中，旋转 体常被用来建立数学模型，以描述和 分析各种现象。
02
旋转体的体积计算公式
圆柱体的体积计算公式
总结词
圆柱体的体积计算公式是底面积乘以高。
详细描述
圆柱体的体积计算公式是底面积（πr^2）乘以高（h），即V=πr^2h，其中r是 底面圆的半径，h是高。
圆锥体的体积计算公式
随着科技的进步，旋转体在工 程、物理、生物等领域的应用 将更加广泛，如探讨旋转体在 流体动力学、机械工程和生物 学等领域的应用。
探索新的计算方法
随着数学和计算机技术的发展 ，将会有新的计算方法出现， 以更高效、精确地计算旋转体 的体积和其他几何量。
加强与其他学科的交叉研 究
旋转体作为几何学的重要分支 ，将与其他学科如物理学、化 学、生物学等产生更多的交叉 研究，以推动科学的发展。
《经济数学-微积分》旋转体的体积
旋转体定义
一个平面图形绕着它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的曲 面围成的几何体称为旋转体。
旋转体分类
根据旋转轴的不同，旋转体可以 分为绕x轴旋转的旋转体和绕y轴 旋转的旋转体。
体积计算公式推导
01
圆柱体体积公式推导
02
圆锥体体积公式推导
03
圆球体体积公式推导
圆柱体可以看作是一个矩形绕其一边 旋转而成的，因此其体积可以通过矩 形的面积与旋转的高度的乘积来计算 。
多重积分概念与性质
了解多重积分的概念和性质，如二重积分、三重积分等。
在旋转体体积求解中应用
对于复杂形状的旋转体，可以通过多重积分进行求解，如球体、椭 球体等。
求解步骤与技巧
掌握多重积分的求解步骤和技巧，如选择合适的坐标系、确定积分 顺序等。
数值近似解法介绍
01
数值近似解法概念
当无法直接通过积分公式求解旋 转体体积时，可以采用数值近似 解法进行估算。
04 积分法在求解旋转体体积 中应用
定积分求解旋转体体积基本原理
旋转体体积的定积分表示
通过截面面积函数对定区间进行积分，得到旋转体体积的公式。
几何意义与物理应用
定积分求解旋转体体积的方法在几何和物理领域有广泛应用，如计 算圆柱、圆锥等体积。
求解步骤与技巧
掌握定积分的求解步骤和技巧，如确定积分区间、选择合适的积分 变量等。
物理应用
旋转体体积的计算公式在物理学中也 有广泛应用，例如在计算物体的质量 、密度、浮力等方面都需要用到体积 的计算公式。
常见问题及解决方法
问题1
如何判断一个几何体是否为旋转体？
解决方法
观察几何体的形状和特征，看其是否符合旋转体的定义和 性质。
平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积
平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积在平面解析几何中，曲线的旋转体体积是一个重要的概念。
在本文中，我们将介绍什么是曲线的旋转体体积，以及如何计算曲线的旋转体体积。
我们还会解释如何应用这一概念来解决一些实际问题。
一、曲线的旋转体体积的概念介绍在平面解析几何中，当一个曲线绕某一条直线旋转一周时，所形成的立体图形称为曲线的旋转体。
而曲线的旋转体体积就是这个立体图形的体积。
二、如何计算曲线的旋转体体积计算曲线的旋转体体积需要使用积分的方法。
具体而言，我们可以将曲线分割成无穷多个微小的弧段，然后将每个微小弧段旋转一周所形成的微小体积相加，从而得到整个旋转体的体积。
设曲线在直角坐标系中由函数y=f(x)(a≤x≤b)给出，将其绕x轴旋转一周。
则将曲线划分为无穷多个微小的弧段dx，每个微小的弧段dx所对应的体积元素为dV=πf^2(x)dx。
然后，对所有的微小弧段进行求和积分，即可得到曲线的旋转体体积V。
V=∫[a,b]πf^2(x)dx三、应用示例下面我们通过一个具体的应用示例来进一步说明如何计算曲线的旋转体体积。
例题：计算函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积。
解答：根据前述的计算公式，我们可以得到函数f(x)=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V为：V=∫[0,1]π(x^2)^2dx=∫[0,1]πx^4dx=π[1/5*x^5]从0到1=π/5所以，函数y=x^2在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为π/5。
四、总结曲线的旋转体体积是平面解析几何中的重要概念，应用广泛。
通过使用积分的方法，我们可以计算曲线的旋转体体积。
在实际应用中，我们可以利用曲线的旋转体体积来解决一些具体的问题。
希望本文对您理解平面解析几何基础知识曲线的旋转体体积有所帮助。
（字数：525字）。
考研数学第六讲定积分的应用
第六讲 定积分的应用一、基础知识几何应用（一）平面图形的面积 1．直角坐标情形由曲线)0)(()(≥=x f x f y 及直线 x a =与 x b = ( a b < ) 与 x 轴所围成的曲边梯形面积A 。
()baA f x dx =⎰ 其中：f x dx ()为面积元素。
由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =(a b <)且f x g x ()()≥所围成的图形面积A 。
()()[()()]=-=-⎰⎰⎰b b baaaA f x dx g x dx f x g x dx2．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。
取极角θ为积分变量，则 βθα≤≤,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A ∆，它是极角变化区间为],[θθθd +的窄曲边扇形。
曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([21= ⎰=βαθθϕd A )(212（二）旋转体的体积计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周而生成的立体的体积。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈，对于区间],[b a 上的任一区间],[dx x x +，它所对应的窄曲边梯形绕x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以)(x f 为底半径，dx 为高的圆柱体体积。
即：体积元素为 []dx x f dV 2)(π=所求的旋转体的体积为 []dx x f V ba⎰=2)(π（三）平面曲线的弧长 1.直角坐标情形设函数)(x f 在区间],[b a 上具有一阶连续的导数，计算曲线)(x f y =的长度s 。
取x 为积分变量，则],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，弧长元素为[]dx x f ds 2)(1'+= 弧长为 []⎰'+=badx x f s 2)(12.参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，弧微分[][]dt t t dy dx ds 2222)()()()(φϕ'+'=+=则 [][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3.极坐标情形若曲线由极坐标方程)()(βθαθ≤≤=r r 给出，将极坐标方程化成参数方程，曲线的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩≤≤()cos ()sin ()θθθθαθβ，弧长元素为θθθθθθθd r r d r r d r r dy dx ds 22222222)()cos sin ()()sin cos ()()('+=+'+-'=+= 从而有 ⎰'+=βαθd r r s 22（四）.曲率与曲率半径 曲率记作,k 0lims d k s dsαα∆→∆==∆, 222''''tan '''sec sec 1'd d y y y y dx dx y ααααα=⇒=⋅⇒==+, 2''1'y d dx y α=+,又,ds =故322''(1')y d k dsy α==+.曲率半径 3221(1')''y k y ρ+==. 曲率圆二、例题1．平面图形的面积与旋转体的体积例 1. 已知抛物线2,y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为s .问: (1)p q 和为何值时,s 达到最大值? (2)求出此最大值.【答案】,3p q =4=-5,22532s =例2.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-0,0,)(22x ex e x F x x ，S 表示夹在x 轴与曲线()y F x =之间的面积. 对任何)(x f0t >，)(1t S 表示矩形t x t -≤≤，0()y F t ≤≤的面积. 求(I) 1()()S t S S t =-的表达式； (II) ()S t 的最小值.【答案】(I) t te t S 221)(--=，t ∈ (0 , +∞).(II) eS 11)21(-=. 例3.设曲线的极坐标方程为(0)a e a θρ=>,则该曲线上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为41(1)4a e aπ-. 例 4.设1D 是由抛物线22y x =和直线x a =, 2x =及0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物线22y x =和直线x a =,0y =所围成的平面区域,其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V . (2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 【答案】54(32)5a π- 4a π 1295π 例5.设曲线2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形.问a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?【答案】4a =是体积最大,其最大体积为:522161518755V π=⋅= 例6.过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1).求D 的面积A ;(2).求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V . 【答案】(1)112A e =- (2)2(5123)6V e e π=-+ 例7.（15-2） 设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π例8.(09-3-10 分)设曲线()y f x =，其中()y f x =是可导函数，且()0f x >，已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形，绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线方程。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
7-2平面曲线的弧长及旋转体的侧面积
2 2
2
π
1
1
周所得的旋转面的面积为
2 0
1 5 S 2= ∫ 2π ⋅ x ⋅ dx = 5π . 2 2
因此, 因此,所求旋转体的表面积为
练习题答案
a 2 1 3 5 3 2、 3、 一、1、1 + ln ； 2、 π ； 3、 + ln . 2 2 12 2 2 3 8 5 二、 [( ) 2 − 1]. 9 2 三、6a . 四、8a .
2 3 3 )a, a ) . 六、(( π − 3 2 2
2 2
= n∫
0
sin t + cos t + 2 sin t cos t dt 2 2 2 2
sin t + cos t dt = n∫ = 4n. 0 2 2
π
三、参数方程情形
曲线弧为
x = ϕ (t ) , y = ψ (t )
= r (θ ) + r ′ (θ )dθ ,
2 2
故弧长 s = ∫α r (θ ) + r ′ (θ )dθ .
β
2 2
例 4 求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0)上相应
的弧长. 于 θ 从 0 到 2π 的弧长. 解Q
r′ = a,
β α
2π
∴ s=∫
′ 2 (θ )dθ r (θ ) + r
第二节 平面曲线的弧长与 旋转体的侧面积
一、 平面曲线弧长的概念 二、 直角坐标系情况 三、 参数方程情况 四、 极坐标情况 五、旋转体的侧面积 六、 小结
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
旋转体的体积ppt课件
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体
d
积为
d
V yc
x2d yd c
g(y)2d y
c
x=g (y)
◆旋转体的体积计算公式
例2 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，
直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥，
计算圆锥的体积。
2 .若 f ( x ) x n f ' ( x ) n x n -1 ( n R )
3 .若 f ( x ) s in x f ' ( x ) c o s x
4 .若 f ( x ) c o s x f ' ( x ) - s in x
5 .若 f ( x ) a x f ' ( x ) a x ln a
（演示）。
◆旋转体的体积计算公式
1、旋转轴为 x 轴（演示） 由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （f (x)>0)所围成
的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的
体积为
b
V xa
y2d xb a
f(x)2d x
y=f (x)
2、旋转轴为 y 轴（演示）
由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ g (y)>0)所a 围成b
10
V1
V2
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◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式
1 y x 3 , x 1 , y 0
绕x轴旋转一周
Vx
1
x6dx
0
1 7
2 y x 3 , y 1 , x 0
1
绕x轴旋转一周
几何应用(平面曲线的弧长-立体体积)
x 且垂直于x 轴
dV A( x )dx ,
A( x ) 表示过点 o
a
x x dx
b
x
的截面面积， A( x ) 为x 的已知连续函数
立体体积 V
b
a
A( x )dx.
例 12 求以半径为 R 的圆为底、 平行且等于底圆
h 的正劈锥体的体积. 直径的线段为顶、高为
解 取坐标系如图 底圆方程为
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
所求弧长为
a
3 2 3 2
1 2
b
s a
b
2 1 xdx [(1 b) (1 a ) ]. 3
例 8 计算曲线 y
x n
0
n sin d 的弧长( 0 x n ) .
2 2 ( t ) ( t )dt
弧长 s
2 ( t ) 2 ( t )dt .
例 9 求星形线 x y a (a 0) 的全长.
解 星形线的参数方程为
y
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t (0 t 2) 3 y a sin t
解
3a sin cos a sin cos , 3 3 3 3 3
2
3
2
1
s
2 ( ) 2 ( )d
6 4
3
0
3
2 a2 sin a sin 3 3
y
o x 2 y 2 R2 , 垂直于x 轴的截面为等腰三角形
[工学]高等数学第六章
![[工学]高等数学第六章](https://img.taocdn.com/s3/m/4fe037dd48d7c1c709a1453a.png)
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
h
33
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 Ua bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
h
7
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
h
8
思考题
微元法的实质是什么？
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
02ax22(y)dy
x ( 2a
2
0
旋转体的表面积和体积计算
旋转体的表面积和体积计算旋转体是指通过绕某一轴旋转而形成的立体图形。
在几何学中，计算旋转体的表面积和体积是一种重要的技巧。
本文将介绍旋转体的表面积和体积计算方法，以及一些常见的旋转体示例。
一、旋转体的表面积计算方法要计算旋转体的表面积，我们可以使用定积分的方法。
设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成，其中f(x)在闭区间[0,a]上连续且非负。
基于定积分的表面积计算公式为：S = 2π∫[a→0] y·ds其中，ds表示曲线的微小弧长。
在极坐标下，微小弧长ds可以表示为：ds = √(1+(dy/dx)²)·dx通过将dy/dx替换为f'(x)，我们可以将表面积计算公式简化为：S = 2π∫[a→0] f(x)·√(1+f'(x)²)·dx通过求解上述定积分，即可得到旋转体的表面积。
二、旋转体的体积计算方法旋转体的体积计算同样可以使用定积分的方法。
仍假设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成。
体积计算公式为：V = π∫[a→0] y²·dx通过将y替换为f(x)，我们可以将体积计算公式写为：V = π∫[a→0] f(x)²·dx求解上述定积分即可得到旋转体的体积。
三、旋转体计算示例下面将以圆锥为例，演示旋转体的表面积和体积计算方法。
圆锥由一条斜边和底面形成，底面是一个半径为r的圆。
我们将底面放置在坐标轴上，圆锥的斜边与x轴的交点记为（0，h）。
要计算圆锥的表面积和体积，首先我们需要确定圆锥的方程。
通过类似三角函数的方法，我们可以得到圆锥的方程为：y = h/r·x其中，0≤x≤r，0≤h≤√(r²-x²)。
根据上述方程，我们可以计算出圆锥的表面积和体积。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了旋转体的表面积和体积计算方法，并以圆锥为例进行了演示。
高等数学第六章第二节
因此所求弧长
s r 2 ( ) r2 ( ) d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
y c ch x (b x b)
y c
c
求这一段弧长 .
36π 2 π
12(1x2
x21)2
dห้องสมุดไป่ตู้
x
448 2π
π2
(
x2
1) 2
d
x
0
15 1
三、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
2πa
O
r
r a
2π
sa
1 2 d
0
a2
1 2 1 ln
2
1 2
2π 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
上下限按顺时针方向 确定
边界方程 参数方程
极坐标方程
2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s
(d x)2 (d y)2
注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小
直角坐标方程
1
3
3 y
s
弧线段部分
3
1 1 4 y2 dy
直线段部分
3
dy
1
O 1
x2y3 0 x
x y2
2. 试用定积分求圆
绕x轴
旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
曲线的求弧长与旋转体体积教学方法总结
曲线的求弧长与旋转体体积教学方法总结曲线的求弧长与旋转体体积是高中数学中的重要内容，它们在几何和微积分领域中具有广泛的应用。
本文将总结一些教学方法，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
一、曲线的求弧长教学方法1.引入概念：首先，我会向学生介绍曲线的概念和相关术语，包括曲线的参数方程、弧长元素以及弧长的定义。
通过例题演示，让学生了解如何根据参数方程求解弧长，并通过计算机绘图工具展示实际曲线的弧长。
2.数学推导：接下来，我会以数学推导的方式介绍弧长公式的推导过程，并解释其中的步骤和思路。
通过推导，学生能够更深入地理解弧长公式的来源和原理。
3.例题讲解：为了帮助学生掌握求解曲线弧长的方法，我会选择一些简单且具有代表性的例题进行讲解和演示。
在解题过程中，我会详细说明每一步的计算方法和思维逻辑，引导学生理解和掌握解题技巧。
4.实际应用：为了增加学生对曲线弧长的实际应用的认识，我会选取一些实际问题，如汽车行驶轨迹、物体的自由落体等，通过求解曲线的弧长来解决这些问题。
这样可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提高学习兴趣和应用能力。
二、旋转体体积的教学方法1.引入概念：开始教学旋转体体积时，我会先向学生引入旋转体的概念和相关术语，如旋转轴、旋转面、截面积等。
通过具体的图形示例，让学生清楚地了解旋转体的定义和特点。
2.数学推导：接着，我会用数学推导的方式介绍旋转体体积的计算公式的推导过程。
通过推导和解释，学生能够理解体积公式的来源和原理，加深对旋转体体积的理解。
3.例题讲解：为了帮助学生掌握求解旋转体体积的方法，我会选择一些典型的旋转体例题进行讲解和演示。
在解题过程中，我会注重解题思路和关键步骤的讲解，并给予学生足够的时间来思考和尝试解题。
4.实际应用：为了增加学生对旋转体体积实际应用的认识，我会选择一些与实际问题相关的例题，如圆环、圆锥等，通过求解旋转体的体积来解决这些问题。
通过实际应用的例题，学生可以更好地理解旋转体体积的概念和计算方法，并将其应用于实际问题的解决中。
体积问题与平面曲线的弧长
−R
π
Y X
O
x R
x轴上的点 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形。 过 x轴上的点 x 作垂直于 x 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形。
R
R
−R
R 2 − x 2 dx
2 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。 正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。
14
例2
两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量， 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成
曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后， 曲线形，这样的曲线叫悬链线，适当选取坐标系后，悬链线的 悬链线
x y = c ⋅ ch 方程为： (其中 c为常数 为常数) 方程为： 其中 为常数 c = 之间一段弧的长度. 计算悬链线上介于 x = −b 与 x=b 之间一段弧的长度
当y = 0时，t = 2π ; 2π 2π 2π 3 2 2 3 当y = 2a时，t = π . 周期函数 = −πa t sin tdt − 2 t sin tdt + sin tdt 奇函数 0 0 0 对于x = x 1 ( y ) = LLLL
0
3
∫ ∫
2π
− π ∫0 a (t − sint ) ⋅ a sintdt
O
a
x x + dx b
x
从而得弧长元素 弧长元素： 上任取小区间[x , x + dx ], 从而得弧长元素： 在[a, b ]
ds =
(dx )
2
+ (dy ) = 1 + y' 2 dx ---弧微分公式 ---弧微分公式
2
微积分应用曲线的弧长与旋转体的体积
微积分应用曲线的弧长与旋转体的体积微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个领域中。
在微积分中，曲线的弧长与旋转体的体积是两个非常重要且常用的概念。
本文将分别介绍曲线的弧长以及旋转体的体积，并探讨它们在实际应用中的意义和计算方法。
曲线的弧长是指曲线上两点之间的路径长度，它在物理、几何、工程学等领域中有广泛的应用。
计算曲线的弧长需要使用积分方法，具体步骤如下：首先，确定曲线方程，并求出其导函数。
将导函数的绝对值表示为y'(x)，表示曲线在不同点上的斜率。
接着，选取一段曲线上的微小弧段Δs，该段的长度可以近似看作是线段的长度。
根据勾股定理，Δs在x轴和y轴上的投影分别为Δx和Δy。
然后，利用导函数y'(x)求得弧段Δs的长度。
根据导数的定义，Δs≈ √(Δx^2 + Δy^2) = √(1 + [y'(x)]^2) Δx。
最后，将弧段Δs的长度求和，即对Δs进行积分。
弧长L可以表示为积分的形式L = ∫√(1 + [y'(x)]^2)dx。
通过上述步骤，可以准确计算出曲线的弧长，这对于真实世界中的曲线问题，如公路的弯道长度、管道的弯曲区域长度等，具有重要的实际意义。
旋转体的体积是指通过绕定轴旋转曲线所形成的立体的体积。
计算旋转体的体积同样需要使用积分方法，具体步骤如下：首先，确定曲线方程，并确定该曲线绕哪个轴旋转，通常是x轴或y轴。
接着，将曲线分割成无限小的微小弧段，并将其旋转得到的微小体积ΔV表示为圆盘面积乘以微小高度。
然后，利用微积分的方法，将所有微小弧段的体积ΔV求和，即进行积分得到整个旋转体的体积V。
具体而言，对于绕x轴旋转的曲线，体积V可以表示为积分的形式V = π∫[y(x)]^2dx，其中y(x)为曲线方程。
而对于绕y轴旋转的曲线，体积V可以表示为积分的形式 V =π∫[x(y)]^2dy，其中x(y)为曲线方程。
通过以上计算方法，我们可以准确计算出绕任意轴旋转的曲线所形成的旋转体的体积。
高等数学课件 第六章(6-3平面曲线的弧长)
《高等数学》第六章第三节
6.3 平面曲线的弧长
§ 6.3 平面曲线的弧长
平面曲线的弧微分概念和计算已在4.6.2中作了介绍.
这里,主要讨论平面曲线的弧长的计算.
《高等数学》第六章第三节来自设曲线弧 , f (x) 在 [a, b] 上有一阶连续
导数, 则有弧长元素 (即弧微分)
以 为被积表达式，在闭区间 上作定积
分，即得所求曲线的弧长:
《高等数学》第六章第三节
设曲线弧由参数方程
给出，其中 在 上有连续导数，因
故相应曲线的弧长为
解 因 , , 于是根据公式 (1) 有
《高等数学》第六章第三节
例2 计算摆线
的一拱的长度.
解 由公式(2)
此时
所以所求的弧长为
《高等数学》第六章第三节
例3 求心形线 的全长.
解 因 , , 根据公式 (3), 并注意到心形
线是关于y轴对称的, 故心形线全长为
《高等数学》第六章第三节
思考题 1.求抛物线 从顶点到这曲线上一点
处的弧长.
2. 求曲线 上对应于从t=0到t=1的一段弧长.
《高等数学》第六章第三节
设曲线由极坐标方程
给出，其中 在 上有连续导数.
由直角坐标与极坐标的转换关系,得曲线的参数方程：
这时
于是
这里要注意, 三个公式中的积分上限应大于积分下限.
《高等数学》第六章第三节
例1 求曲线 在 与 间的一段弧长.
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dy
任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
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20
第六章第二讲
23
例 13 计算曲线 y x 2 上相应于 x从a 到b 的一段弧的
r
y x
o
h
P
r
h
x
取积分变量为 x， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
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第六章第二讲
以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体
积为
dV
r h
x
2
dx
圆锥体的体积
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 3
10
第六章第二讲
补充 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线
x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为
b
Vy 2 a x | f ( x) | dx
利用这个公式，可知上例中
2a
Vy 2 0 x | f ( x) | dx
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
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第六章第二讲
2
2
2
例 11 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
解
x a cos3 t
星形线的参数方程为
y
a
sin
3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1 第一象限部分的弧长
3
长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
s
b
1
xdx
2[(1
3
b)2
3
(1 a)2 ].
a
3
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a
b
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第六章第二讲
x
例 14 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
解 y n sin x 1 sin x ,
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例17 计算摆线
x a( sin )
y
a(1
cos
)
的一拱 0 2 的长度.
解 弧长元素为
ds a2(1 cos )2 a2 sin2 d
a 2(1 cos )d
2a sin d
2 从而，所求弧长
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s
2 0
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
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2a
sin2d泰山2医a学院 信2息co工s程2学院02刘照8军a
第六章第二讲
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三、小节 微分元的概念、体积的求法、曲线的弧长
第六章第二讲
四、作业 CT6-2 p284 21 23 25 30
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x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转
一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x，x [a,b] y y f (x)
在[a, b]上任取小区间
[ x, x dx]，
o
x x dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片
的体积为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
底圆方程为
x2 y2 R2
R
o
y
x
R
垂直于 x轴的截面为直角三角形
x
截面面积 立体体积
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A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
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第六章第二讲
例 10 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直
2
d
3 a. 2
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第六章第二讲
例 16 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于 从
0到2的弧长.
解 r a,
r a
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
第六章第二讲
设 A、B 是曲线弧上的两个 y
端点，在弧上插入分点
A M0 , M1, Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限
增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | Mi1Mi |的极限存在，则称此极限为曲
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
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第六章第二讲
例 6 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线 x h及
x轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底
半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．
y
解 直线OP的方程为
23
第六章第二讲
例 15 求极坐标系下曲线r a sin 3的长.
3
(a 0) (0 3)
解
r
3a sin
2
cos
1
3 3 3
a sin 2 cos ,
3 3
s
r 2( ) r2( )d
3 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2 d
a
3 0
sin
3
x x dx b
x
的截面面积，A( x)为 x的已知连续函数
dV A( x)dx, 立体体积
V
b
A( x)dx.
a
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第六章第二讲
例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底
面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 取坐标系如图
8
第六章第二讲
例 8 求摆线 x a(t sin t)， y a(1 cos t)的一 拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转构成旋
转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
Vx
2a y2 ( x)dx
0
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
2
1 a2 cos2 tdt
0
2 0
1 a2 cos2 xdx s1,
故原结论成立.
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第六章第二讲
2、直角坐标方程
设曲线弧为 y f ( x)
y
(a x b)，其中 f ( x)在
[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x，在[a, b]上
h
0
hr2 . 3
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6
第六章第二讲
2
2
2
例 7 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
V
aa
a
2 3
2
x3
第六章第二讲 第二讲：平面体积的计算及平面曲线的弧长
重点：特殊图形的体积计算、平面曲线的弧长
难点：对具体问题找出微分元素 关键：理解解决问题的思想方法
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第六章第二讲
第二节 定积分在几何学上的应用
*****(本讲非常重要！必须掌握！！)
二、体积
三、平面曲线的弧长
3
dx
32 a3 . 105
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第六章第二讲
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x ( y) 、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y
轴旋转一周而成的立体，体积为
V d [ ( y)]2 dy c
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2a3
2
(t
sin t)(1 cos t)2 dt
63a3.
0
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