第六章第二讲旋转体的体积与平面曲线的弧长

dy
任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
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第六章第二讲
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例 13 计算曲线 y x 2 上相应于 x从a 到b 的一段弧的
r
y x
o
h
P
r
h
x
取积分变量为 x， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
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第六章第二讲
以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体
积为
dV
r h
x
2
dx
圆锥体的体积
V
h 0
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 3
10
第六章第二讲
补充 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线
x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为
b
Vy 2 a x | f ( x) | dx
利用这个公式，可知上例中
2a
Vy 2 0 x | f ( x) | dx
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
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第六章第二讲
2
2
2
例 11 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
解
x a cos3 t
星形线的参数方程为
y
a
sin
3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1 第一象限部分的弧长
3
长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
s
b
1
xdx
2[(1
3
b)2
3
(1 a)2 ].
a
3
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a
b
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第六章第二讲
x
例 14 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
解 y n sin x 1 sin x ,
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例17 计算摆线
x a( sin )
y
a(1
cos
)
的一拱 0 2 的长度.
解 弧长元素为
ds a2(1 cos )2 a2 sin2 d
a 2(1 cos )d
2a sin d
2 从而，所求弧长
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s
2 0
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
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2a
sin2d泰山2医a学院 信2息co工s程2学院02刘照8军a
第六章第二讲
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三、小节 微分元的概念、体积的求法、曲线的弧长
第六章第二讲
四、作业 CT6-2 p284 21 23 25 30
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x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转
一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x，x [a,b] y y f (x)
在[a, b]上任取小区间
[ x, x dx]，
o
x x dx
x
取以dx 为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片
的体积为体积元素，dV [ f ( x)]2 dx
底圆方程为
x2 y2 R2
R
o
y
x
R
垂直于 x轴的截面为直角三角形
x
截面面积 立体体积
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A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
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第六章第二讲
例 10 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底圆直
2
d
3 a. 2
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例 16 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于 从
0到2的弧长.
解 r a,
r a
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
第六章第二讲
设 A、B 是曲线弧上的两个 y
端点，在弧上插入分点
A M0 , M1, Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限
增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | Mi1Mi |的极限存在，则称此极限为曲
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
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第六章第二讲
例 6 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线 x h及
x轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底
半径为r 、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．
y
解 直线OP的方程为
23
第六章第二讲
例 15 求极坐标系下曲线r a sin 3的长.
3
(a 0) (0 3)
解
r
3a sin
2
cos
1
3 3 3
a sin 2 cos ,
3 3
s
r 2( ) r2( )d
3 0
a2
sin
3
6
a2
sin
3
4
cos
3
2 d
a
3 0
sin
3
x x dx b
x
的截面面积，A( x)为 x的已知连续函数
dV A( x)dx, 立体体积
V
b
A( x)dx.
a
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第六章第二讲
例 9 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底
面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解 取坐标系如图
8
第六章第二讲
例 8 求摆线 x a(t sin t)， y a(1 cos t)的一 拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y 轴旋转构成旋
转体的体积.
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
Vx
2a y2 ( x)dx
0
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
2
1 a2 cos2 tdt
0
2 0
1 a2 cos2 xdx s1,
故原结论成立.
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第六章第二讲
2、直角坐标方程
设曲线弧为 y f ( x)
y
(a x b)，其中 f ( x)在
[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x，在[a, b]上
h
0
hr2 . 3
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第六章第二讲
2
2
2
例 7 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
V
aa
a
2 3
2
x3
第六章第二讲 第二讲：平面体积的计算及平面曲线的弧长
重点：特殊图形的体积计算、平面曲线的弧长
难点：对具体问题找出微分元素 关键：理解解决问题的思想方法
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第六章第二讲
第二节 定积分在几何学上的应用
*****(本讲非常重要！必须掌握！！)
二、体积
三、平面曲线的弧长
3
dx
32 a3 . 105
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第六章第二讲
类似地，如果旋转体是由连续曲线 x ( y) 、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y
轴旋转一周而成的立体，体积为
V d [ ( y)]2 dy c
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2a3
2
(t
sin t)(1 cos t)2 dt
63a3.
0
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2、平行截面面积为已知的立体的体积
第六章第二讲
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定 积分来计算.
A( x) 表 示 过 点 o a x且垂直于 x 轴
径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于 x轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积 V h R R2 x2dx 1 R2h.
R
2
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三、平面曲线弧长的概念
4 2 x2 y2dt 4 2 3a sin t cos tdt
0
0
6a.
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第六章第二讲
例 12 证明正弦线 y a sin x (0 x 2)的弧长等
x cos t
于椭圆 y
1 a2 sin t
(0 t 2)的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1
2
s1 0
1 y2dx
2 0
1 a2 cos2 xdx
2
1 a2 cos2 xdx,
0
设椭圆的周长为 s2
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第六章第二讲
s2
2 0
x2 y2dt,
根据椭圆的对称性知
s2 2 0
sin t2 1 a2 cos t2dt
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二、体积
第六章第二讲
1 、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转 一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
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第六章第二讲
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线
i 1
线弧 AB的弧长.
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1、参数方程
第六章第二讲
曲线弧为
x y
(t) ,
(t)
( t )
其中 (t ), (t )在[ , ]上具有连续导数.
ds (dx)2 (dy)2 [ 2(t ) 2(t )](dt )2 2(t ) 2(t )dt
a3 2 (1 3cos t 3cos2 t cos3 t)dt 52a3 . 0
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泰山医学院信息转的旋转体体积
y
2a C
B x x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y)
o
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
nn
n
s
b a
1 y2dx
n 0
1 sin xdx n
x nt
0
1 sin t ndt
n 0
sin
t 2
2
cos
t 2
2
2
sin
t 2
cos
t dt 2
n
0
sin
t 2
cos
t 2
dt
4n.
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第六章第二讲
极坐标方程
A
2a x
Vy
2a
x
2
2
(
y)dt
0
2
a
x
2
1
(
y)dt
0
a2(t sin t)2 a sin tdt a2 (t sin t)2 a sin tdt
2
0
a3 2 (t sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
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