矩阵可逆性总结

矩阵的可逆性

摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆

矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。

关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文：

一、逆矩阵的定义：

因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。只要能求出除数a 的倒数a −1使aa −1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a −1。而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。如果能找到一个A −1满足条件A −1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A −1就得到A −1AX =A −1B 从而X =A −1B 。如果这个A −1还满足条件AA −1=I ,则A(A −1B)=B ,X =A −1B 就是AX =B 的唯一解。类似地，如果上述A −1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA −1。

所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。表示成B=A 1-

二、矩阵可逆的等价条件:

1、A 可逆⇔F ∈∃B ,使得I AB =;（定义法）

2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ;

3、若0≠A ，则方阵A 可逆;

4、n 级矩阵A 可逆⇔矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ；

5、n 级矩阵A 可逆⇔A 的行向量组线性无关;

6、n 级矩阵A 可逆⇔A 的列向量组线性无关;

7、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆⇔A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆⇔齐次线性方程组A x=0只有唯一零解.

三、逆矩阵的性质：

1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。

证明： 设B ,B 1都是A 的逆，则AB =I (n)AB 1.因而

B (AB )=B(AB 1)⇒ (BA )B =(BA )B 1⇒IB =IB 1⇒B =B 1. 这就证明了A 的逆的唯一性。

由A 所满足的条件AA −1=I ,A −1A =I 知道： 引理 A 可逆→A −1可逆。且(A −1)−1=A 。

2、 n 阶方阵A,B 可逆→它们的乘积可逆，且(AB )−1=B −1A −1. 一般地，如果A 1,A 2,⋯,A k 可逆→则它们的乘积A 1A 2⋯A K 可逆，且

(A 1A 2⋯A k )−1=A k −1⋯A 2−1A 1−1

.

交换律对矩阵乘法不成立，因此AB ∙A −1B −1不一定等于单位矩阵，A −1B −1不一定是AB 的逆。而

AB ∙B −1A −1=AIA −1=I ,B −1A −1∙AB =B −1IB −1=I 当AB ≠BA 时也能成立，因此(AB)−1=B −1A −1. 3、 设0≠k ∈F ，A 可逆，则(kA )−1=k −1A −1. 4、 设A 可逆，则它的转置A T 可逆，且(A T )−1=(A −1)T .

5、 设m 阶方阵A 与n 阶方阵B 可逆，则准对角阵(A B

)可逆，且

(A

B )−1

=(

A −1

B −1

).

6、 设A 可逆，则有|A −1|=|A |−1.

7、 在这里我们要引入一个新的定义：

设A ij 是矩阵A =(a 11a 12a 21a 22

⋯a 1n

a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )中元素a ij 的代数余子式，矩阵A ∗

=

(A 11A 21A 12

A 22⋯A n1A n2

⋮⋮⋱⋮A 1n

A 2n

⋯

A nn

)称为A 的伴随矩阵。 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：AA ∗=A ∗A =(d 0

0d

⋯00⋮⋮⋱⋮00⋯

d

)=dE , (1)其中d =|A |.

如果d =|A |≠0，那么由（1）得A (1

d A ∗)=(1

d A ∗)A =I .则，A 与(1

d A ∗)互为

可逆矩阵。

8、 A 是一个s ×n 矩阵，如果P 是s ×s 可逆矩阵，Q 是n ×n 可逆矩阵，那么秩(A )=秩(PA )=秩(AQ ).

9、A 可逆⇒A 的逆A 1-也可逆，且（A 1-）1-=A . 10、()

()

k

1k

A A --=1

，记为k A -.

四、逆矩阵的求法:

1、初等变换法

1）初等行变换

设A 可逆，故存在初等矩阵E 1,E 2,⋯,E k 使得E k E k−1⋯E 1A =I ，即A −1=E k E k−1⋯E 1=E k E k−1⋯E 1I .

因此，如果用一系列初等行变换将A 化为I ，则用同样的初等行变换就将I 化为A −1，这就给我们提供了一个计算A −1的有效方法：若对(A,I )施以行初等变换将A 变为I ，则I 变为A −1，即

(A,I )→(I,A −1) (初等行变换)

例如：求A =⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-012411210的逆矩阵。

解：

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

--

--→⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→

⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211

2310012401011

20011232001240101120011232001240102360111232001240100104111

232000

012100

1041112083000121001041100001200121001041

1100012010411001210所以⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2112312411

2

1

A

2）列初等变换