第五章 时间序列的模型识别

第五章时间序列的模型识别

前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：

图5.1 建立时间序列模型流程图

在ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。

对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数，从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如AIC、BIC 等信息准则。我们分别给出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后q+1阶时突然截断，即在q处截尾，那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在p处截尾，那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。如果ACF和PACF 都不截尾，只是按指数衰减为零，则应判定该序列为ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关

的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有AIC 、BIC 、FPE 等。实际应用中，往往是几种方法交叉使用，然后选择最为合适的阶数(p,q )作为待建模型的阶数。

§5.1 自相关和偏自相关系数法

在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的内容，一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数（ACF ）和偏自相关系数（PACF ）可以对拟合模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说，平稳AR 、MA 和ARMA 模型的ACF 和PACF 有如下特性：

模型（序列） AR(p ) MA(q ) ARMA(p,q ) 自相关系数（ACF ） 拖尾 q 阶截尾 拖尾 偏自相关系数（PACF ） p 阶截尾 拖尾 拖尾 但是，在实际中ACF 和PACF 是未知的，对于给定的时间序列观测值12,,

,T x x x ，我们

需要使用样本的自相关系数{}ˆk ρ和偏自相关系数{}

ˆkk

φ对其进行估计。然而由于{}ˆk ρ和{}ˆkk

φ均是随机变量，对于相应的模型不可能具有严格的“截尾性”，只能呈现出在某步之后

围绕零值上、下波动，因此，我们需要借助{}ˆk ρ

和{}ˆkk

φ的“截尾性”来判断{}k ρ和{}kk

φ的截尾性，进而由此可以给出模型的初步识别。首先，我们需要给出样本的自相关系数{}ˆk ρ和偏自相关系数{}

ˆkk

φ的定义。 设平稳时间序列{}t X 的一个样本1,

,T x x 。则样本自协方差系数定义为

()()11ˆ,11

ˆˆ,11

T k

k j j k j k k x x x x k T T k T γγγ-+=-=--≤≤-=≤≤-∑ (5.1)

其中1

1T

j j x x T ==∑为样本均值，则样本自协方差系数{}ˆk γ

是{}t X 的自协方差系数{}k γ的估计。样本自相关系数定义为

0ˆˆˆ,1k k k T ρ

γ=≤- (5.2)

是{}t X 的自相关系数{}k ρ的估计。

作为{}t X 的自协方差系数{}k γ的估计，根据数理统计知识，样本自协方差系数还可以写为

()()1

1ˆ,11ˆˆ,11

T k

k j j k j k k x x x x k T T k k T γγγ-+=-=--≤≤--=≤≤-∑

(5.3)

在上述两种估计中，当样本容量T 很大，而k 的绝对值较小时，上述两种估计值相差不大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的讨论，因为AR(p )，MA(q )或者ARMA(,p q )模型的自协方差系数{}k γ都是以负指数阶收敛到零，所以在对平稳时间序列的数据拟合AR(p )，MA(q )或者ARMA(,p q )模型时，希望实际计算的样本自

协方差系数{}ˆk γ

能以很快的速度收敛。因此，我们一般选择由(5.1)定义的第一种估计值作为{}k γ的点估计。

根据第三章偏自相关系数的计算，利用样本自相关系数{}ˆk ρ的值，定义样本偏自相关系数{}

ˆkk

φ如下： ˆˆ,1,2,

,ˆk kk D k T

D

φ==

(5.4)

其中

111112121212ˆˆˆˆ1

1

ˆˆˆˆ1

1

ˆˆ,ˆˆˆˆˆ1

k k k

k k k k k D

D ρρ

ρρ

ρ

ρρ

ρρρρ

ρρ

------=

=

关于样本的自相关系数{}ˆk ρ

的统计性质，我们将在下一章给予讨论。 Quenouille 证明，{}

ˆkk

φ也满足Bartlett 公式，即当样本容量T 充分大时， ()ˆ~0,1kk

N T φ （5.5）

这样根据正态分布的性质，我们有

ˆ

68.3%kk

P φ⎧≤=⎨⎩ （5.6） ˆ

95.5%kk

P φ⎧≤=⎨⎩

（5.7） 这样，关于偏自相关系数{}kk φ的截尾性的判断，转化为利用上述性质（5.6）或者（5.7），

可以判断{}

ˆkk

φ的截尾性。具体方法为对于每一个p >0，考查1,1p p φ++，2,2p p φ++，…，,p M p M φ++