广东高考数学试卷分析
广东高考数学题
广东高考数学题深度解析一、概述广东省的高考数学题历来以考察面广、难度适中而著称。
在2023年的广东高考数学题中，我们可以看到许多与往年不同的新变化，这些变化反映了命题者对于数学教育的深入思考和对考生综合素质的更高要求。
本文将对2023年广东高考数学题进行深度解析，探讨其考察重点、题型特点以及解题思路。
二、考察重点基础知识：2023年的广东高考数学题依然注重对基础知识的考察，包括代数、几何、概率统计等方面。
考生需要熟练掌握这些基础知识，才能在解题时游刃有余。
思维能力：题目中出现了不少对思维能力有较高要求的题目，如推理、归纳、演绎等。
这些题目要求考生具备严密的逻辑思维能力，能够根据题意进行合理的推理分析。
应用能力：应用题的比重在2023年的高考数学题中有所增加，这些题目要求考生能够将数学知识与实际问题相结合，通过建模和分析解决实际问题。
创新能力：部分题目设计新颖，需要考生打破常规，灵活运用所学知识进行解答。
这些题目旨在考察考生的创新能力，鼓励考生在解题过程中发挥主观能动性。
三、题型特点选择题：选择题的难度适中，主要考察考生的基础知识和思维能力。
部分选择题要求考生通过推理分析得出结论，或者在多个选项中进行合理的筛选和判断。
填空题：填空题的难度略高于选择题，主要考察考生的计算能力和对基础知识的掌握程度。
部分填空题要求考生在计算过程中保持细心，避免因计算错误而失分。
解答题：解答题的难度较大，主要考察考生对数学知识的综合运用能力和解题技巧。
解答题通常包含多个小问，逐步增加难度，要求考生逐步推导和解答。
部分解答题还要求考生具备一定的文字表达能力，能够将解题过程和思路清晰地呈现出来。
四、解题思路仔细审题：审题是解题的第一步，考生需要仔细阅读题目，了解题意，明确考察知识点。
对于较长的题目，考生应耐心阅读，提取关键信息，避免遗漏或误解。
制定计划：在审题的基础上，考生应根据题目要求制定合理的解题计划。
对于选择题和填空题，应先进行初步的分析和筛选；对于解答题，应先梳理相关知识点，确定解题步骤和方法。
2024年广东高考数学真题及答案
2024年广东高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >> B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
高考广东数学试卷评析
广东高考数学分析一、试题特点（1）强调“双基”知识的考查：高等教育进入“大众化”的时代，2013年试题基础题的的比例达到110多分，让考生感到入手容易，信心倍增。
近三年基础知识点分值分布表：（2）突出主干知识的考查：不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识、主干知识的考查，这是近几年高考数学试题的一个重要特色，今年高考主干知识的分值继续保持稳定。
近4年主干知识（6大模块）分值表：（3）重视数学思想方法与数学能力的考查重视考查考生的数学思想方法是广东命题组一贯的优良传统，今年也不例外，如文理试题第19题、文理试题第20题、理科试题第13题、文理21题等，考查了转化思想、函数方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法。
今年试题对考生数学能力的考查也很到位，如理科第5题、第6题、第17题、第18题、第19题、文科第6题、第8题、第18题、第19题、第17题等考查了空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等数学能力。
（4）巧设试题,注重知识点的交汇“在知识点的交汇处设计试题”这一高考数学试题命制的理论，在今年的高考试卷中得到了贯彻和体现，如第20题，文理试题相同，考查了抛物线的方程、直线的方程、点到直线的距离公式、导数的应用、函数的最值等，综合性较强，较好地拉开了考生的距离。
又如理科第13题，将不等式线性规划与集合巧妙地融合在一起，是本试卷的一大亮点。
（5）文理试题难度差距缩小今年高考文理试题有较多相同之处，如文科第5题与理科第11题、文科第9题与理科第7题、文理第16题基本相同，文理第20题完全相同；理科试题的难度降低，如理科第17题对概率的考查、第21题对函数与导数的考查等。
二、试卷布局:通过对近3年知识点分布的对比，发现2011年、2012年两年的试题知识点分布高度一致，但今年的试题在布局上有一定的改变。
如理科第17题没有对分布列、期望的考查，而将之体现在选择题第4题。
高考数学广东卷(文科)试题 详细解析 试卷分析
图 21俯视图侧视图正视图211． 2{|20,}S x x x x R =+=∈， 2{|20,}T x x x x R =-=∈， 则S T =I A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}-2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U 3．若()34i x yi i +=+， ,x y R ∈， 则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．54．已知51sin()25πα+=， 那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图， 若输入n 的值为3， 则输出s 的值是A ．1 D ．76．某三棱锥的三视图如图2所示， 则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．20x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++= 8．设l 为直线， ,αβ是两个不同的平面， 下列命题中正确的是A ．若//l α， //l β， 则//αβB ．若l α⊥， l β⊥， 则//αβC ．若l α⊥， //l β， 则//αβD ．若αβ⊥， //l α， 则l β⊥9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ， 离心率等于21， 则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设r a 是已知的平面向量且≠0r r a ， 关于向量r a 的分解， 有如下命题， 这四个命题中的向量r b ， r c 和ra 在同一平面内且两两不共线， 则真命题的个数是：①给定向量r b ， 总存在向量r c ， 使=+r r ra b c ；②给定向量r b 和r c ， 总存在实数λ和μ， 使λμ=+r r ra b c ；③给定单位向量r b 和正数μ， 总存在单位向量r c 和实数λ， 使λμ=+r r ra b c ；④给定正数λ和μ， 总存在单位向量r b 和单位向量r c ， 使λμ=+r r ra b c ；A ．1B ．2C ．3D ．411．设数列{}n a 是首项为1， 公比为2-的等比数列， 则1234||||a a a a +++=图 1是否结束输出s i=i +1i ≤ ni=1, s=1输入n 开始s=s+(i -1)12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴， 则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ， 则z x y =+的最大值是．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点， 极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系， 则曲线C 的参数方程为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3， 在矩形ABCD 中， 3,AB =3BC =， BE AC ⊥， 垂足为E ， 则ED = ．16．（12分）()2,12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭， 求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（分组（重量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数（个） 5 10 2015(1) (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个， 其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中， 任取2个， 求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．图 3EBD图 4G E AB C D 图 5D GBF CAE18．（14分）如图4， 在边长为1的等边三角形ABC 中， ,D E 分别是,AB AC 边上的点， AD AE =，F 是BC 的中点， AF 与DE 交于点G ， 将ABF ∆沿AF 折起， 得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中22BC =．(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时， 求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．19．（14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ， 满足21441,,n n S a n n N *+=--∈ 且2514,,a a a 构成等比数列． (1) 证明：2145a a =+(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ， 有1223111112n n a a a a a a ++++<L ．20．（14分）已知抛物线C 的顶点为原点， 其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322． 设P 为直线l 上的点， 过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ， 其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时， 求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时， 求AF BF ⋅的最小值．21．（14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ．2013广东文参考答案1A 2C 3D 4C 5C 6B 7A 8B 9D 10C6B 解：由三视图判断底面为等腰直角三角形， 三棱锥的高为2， 则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅ 7A 解：圆心到直线的距离等于1r =， 排除B 、C ；相切于第一象限排除D ， 选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>， 再利用圆心到直线的距离等于1r =， 求得2k =.10B 解：考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理， 易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点， 这个不一定能满足， ③是错的；利用向量加法的三角形法则， 结合三角形两边的和大于第三边， 即必须=+λμλμ+≥b c a ， 所以④是假命题.11. 1512. 12考查切线方程、方程的思想.依题意 ''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13. 5 画出可行域如图， 最优解为()1,414解：1cos ()sin 为参数θθθ=+⎧⎨=⎩x y ， 本题考了备考弱点.讲参数方程的时候， 参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=， 再化成参数方程15解：21由3,AB =3BC =， 可知60BAC ∠=o ， 从而3,30AE CAD =∠=o ，22212cos302DE AE AD AE AD =+-⋅⋅=o . 16解：(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭Q ， 24sin 1cos 5θθ=--=-， 1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【注意】两角差的余弦公式不要记错了. 17解：（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1， [)100,95分段的为2、3、4， 从中任取两个， 可能的情况有： （1， 2）（1， 3）（1， 4）（2， 3）（2， 4）（3， 4）共6种；设任取2个， 重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ， 则事件A 包含有（1， 2）（1， 3）（1， 4）共3种， 所以31(A)62P ==.【注意】注意格式！18解：（1）在等边三角形ABC 中， AD AE =AD AEDB EC ∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立， //DE BC ∴ ,DE ⊄Q 平面BCF ， BC ⊂平面BCF ， //DE ∴平面BCF ； （2）在等边三角形ABC 中， F 是BC 的中点， 所以AF BC ⊥①， 12BF CF ==. Q 在三棱锥A BCF -中， 22BC =， 222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥Q 平面；（3）由（1）可知//GE CF ， 结合（2）可得GE DFG ⊥平面.1111113133232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【品题】考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19解：（1）当1n =时， 22122145,45a a a a =-=+， 21045n a a a >∴=+Q （2）当2n ≥时， ()214411n n S a n -=---， 22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+Q∴当2n ≥时， {}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a Q 构成等比数列， 25214a a a ∴=⋅， ()()2222824a a a +=⋅+， 解得23a =, 由（1）可知， 212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=Q ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+L L 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【品题】本题考查很常规， 第（1）（2）两问是已知n S 求n a ， {}n a 是等差数列， 第（3）问只需裂项求和即可， 估计不少学生猜出通项公式， 跳过第（2）问， 作出第（3）问.本题易错点在分成1n =， 2n ≥来做后， 不会求1a ， 没有证明1a 也满足通项公式.21解：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-< ()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时， ()'2321f x x kx =-+， 其开口向上， 对称轴3kx =， 且过()01，（i ）当(24124330k k k ∆=-=+≤， 即30k ≤<时， ()'0f x ≥， ()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时， ()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时， ()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(24124330k k k ∆=-=>， 即3k <-令()'23210f x x kx =-+=解得：221233k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<, (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=， 1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>Q()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<Q()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述， 当0k <时， ()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时， 对[],x k k ∀∈-， 都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥， 故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-， 而 ()0f k k =<， 3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--， min ()()f x f k k ==【品题】常规解法完成后， 结合图像感知x k = 时最小， x k =-时最大， 只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可， 避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值， 需要因式分解比较深的功力， 这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.20解：（1）依题意023222c d --==， 解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =； （2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ， ),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得， 点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的，∴直线AB 的方程为y x xy -=002， 即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩， 消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=Q()22220000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值为92。
广东高考试题分析
广东高考数学试题分析广东高考数学试题共21道题，共分三个部分，其中第一部分为选择题共8题，每题5分共40分，第二部分为填空题共6题，每题5分共30分，填空题中最后两题为选做题，第三部分为解答题共6题，共80分。
解题心得：第一步学会读题，把掩盖的条件抽丝剥茧出来，然后找出条件所对应的方法结论即可，所以只要找出条件，又掌握了各种类型条件的题所对应的解题方法，就能做出这个题。
[详细分析]第一部分选择题，共8题。
（5分/题，40分）1-2题一般是简单的复数和集合计算题，一般是考察学生的定义掌握的能力，3-7题一般会有向量计算题、函数要素相关题、线性规划题、数列题、三视图题、概率计算题、不等式题、立体几何题、条件命题题、新概念题等。
题型考查内容需掌握知识要点备注复数题概念、简单计算复数的实部、虚部概念，模长的计算，复数的代数运算较易集合题概念集合的交、并、补集的概念和运算较易向量题运算向量的加减乘除运算，向量平行、垂直、夹角公式较易函数题概念、运算（函数题是所有数学问题的基础，可考察的内容也很多，考查方式和难易程度也最为灵活，是需重点掌握的题型之一）函数的要素定义域、对应法则、值域，函数奇偶性、增减性、极值、平移对折转换，函数的周期性、三角函数的运算函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x=处有定义，则(0)0f=，如果一个函数()y f x=既是奇函数又是偶函数，则()0f x=（反之不成立）2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、在公共定义域内：一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
4、两个函数()y f u=和()u g x=复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数()f x的定义域关于原点对称，则较易()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
创新立意、稳中求变广东高考数学试卷评析
创新立意、稳中求变广东高考数学试卷评析?2021年广东高考数学试卷分文、理两卷，与去年相比，今年高考文理试卷整体难度下降，难点减少，平稳过渡，有利于平常学习稳打稳扎的同学脱颖而出。
试题整体稳中求新、贴近考生，有利于素养教育和高校选拔新生；充分表达了考基础、考能力、考素养、考潜能和以考生进展为本的考试目标。
杰出教育考试研究院高考数学专家汪庚汉老师就试卷作如下评析：1、难度下降，注重基础，力求与全国卷的平稳过渡（1）降低难度，平稳过渡以往三年广东卷容易题专门容易，难题较难，坡度较大，专门是后两道大题，全国卷各题难易平稳，中档题比较多。
2021年广东高考数学后三道大题降低了难题的入口，考生能够解决前两问，难度、坡度降低，力求与全国卷的平稳过渡。
（2）注重基础，强调双基强调数学的基础性是近几年广东高考试题的显著特点，高等教育进入“大众化”的时代，2021年试题基础题的的比例达到110多分，让考生感到入手容易，信心倍增，但对考生的答题规范和细心程度要求更高。
2、创新立意，稳中求变，突出实践应用能力的考查在大多考试疲于应对“题海战术“的情形下，如何才能有效地考查数学素养与创新意识是命题的追求之一．在2021 年广东高考文理数学试题中，改变往年传统考点的考查，大胆创新，出其不意，对数学创新意识进行了适当的考查。
（1）试题出其不意，改变传统考点的考查理科卷改变了后三题往年数列、解析几何、导数的排列顺序，首次将数列放到压轴题，第三问难度加大。
文理卷三角函数大题连续4年考查的“三角函数图像和求值”，今年没有显现，文科卷改为正切的化简求值，理科卷改为平面向量坐标运算和三角求值；文理卷解析几何大题改变传统以圆锥曲线为载体的模式，改为考查直线与圆的位置关系；理科卷概率统计由传统的考查分层抽样，改为考查系统抽样；文科卷压轴题由原先考查导数改为考查函数性质的综合运用；（2）联系生活实际，突出实践能力考查试题重视现实生活中热点问题，紧密结合社会实际和现实生活，考查运用数学工具和思想方法分析、解决问题的能力。
广东高考数学试卷分析
广东高考数学试卷分析一、考点散布(以文科为例)二、试卷表达侧重于支撑学科体系的主干内容的考察函数与二次不等式、导数、数列、三角函数、平面几何、解析几何、概率统计是高中数学教学的重点内容，也是每年高考所考察的重点。
中心知识命题者是不会无看法去逃避的，如圆锥曲线的定义、同角三角函数的关系、等比〔等差〕数列、空间中直线与平面的位置关系、几何体得有关计算、概率统计的运用等，在每年的试题中都考察到了。
这也表达了教学以必修模块为主题的思想，这是契合新课程肉体的。
三、考点变化往年与以往相比有几个特别清楚的变化，以往大家都注重的算法没有考察，逻辑用语没有考察，这是绝大少数人想不到的。
往年还加了阅读题的考察，这是在考察先生自学才干，这与大学的学习挂钩的，由于大学的学习主要靠自学。
总的来说广东数学卷是步人后尘的。
四、近五年来没有考察到的知识点以下是从2021年第一年新课程考试以来还没有考察到〔或考察力度不够〕的知识点：必修一：幂函数、二分法、函数值域必修二：空间几何体的直观图、球的面积与体积必修三：系统抽样、几何概型、统一事情、互斥事情必修四：恣意角三角函数的定义、扇形面积、正切函数图象、两角和差的正切公式必修五：解三角形的实践运用、数列的裂项求和选修1-1：全程量词与特称量词、双曲线、导法求切线法选修2-1：全程量词与特称量词、双曲线选修1-2：类比推理、共轭双数的概念选修2-2：类比推理、共轭双数、复杂的复合函数求导选修2-3：条件概率、二项散布、独立性检验五、试卷大题特点文理第一个大题都是三角函数，这是毫无悬念的了，属于容易题，将三角函数特殊角求值，诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和差的正弦公式糅合在一同，侧重基础知识、基天分力的考察。
第17题是中档题，文理考察知识点相反，都是统计与概率，但考察方向不同，文科侧重于灵敏运用，文科侧重于概念和计算，近几年的题都如此。
第18题，文理都是平面几何，第一问文科外表上考察四点共面，其实是在考察线线平行效果；第二问是证明线面垂直效果，文科平面几何虽然图象看上去很复杂，但是考察地下落点都比拟低；文科第一问是线面垂直效果，第二问依然是二面角的效果，二面角的题，不时是先生的老大难。
名师点评广东高考理数试卷：有创新难度降低
名师点评广东高考理数试卷：有创新难度降低2021年一般高考理科数学(广东卷)较好地贯彻了《2021年一般高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)考试大纲的说明》的命题指导思想和考试内容与要求，连续了广东卷的命题风格，平稳平和、稳中有新、强调基础、注重能力，试题充分源于教材而高于教材，达到有利于科学选拔人才、有利于促进学生健康进展、有利于爱护社会公平和稳固的目的。
一、大胆创新、难度降低从总体来看，试卷结构(8+8+6)并没有变化，但最后三题知识点分布和以往不同。
试卷的整体难度比去年稍有下降。
选择填空题(1-15题)的考查点均以基础题为主，中档题的比例稍有降低，创新类题目难度降低。
解答题的前3题(16-18题)，难度差不多保持一致。
至于后3题(19-21题)，改变了以往数列、解析几何、导数的排列顺序，大胆创新，除了压轴最后一题难度较高外，普遍难度降低，今年高考对基础扎实的学生专门有利。
二、重视主干双基考查，创新题有新意重视主干双基考查，创新题有新意由上表能够发觉，今年广东卷仍旧注重主干知识考查，考点稳固，同时注重双基考查。
从命题题型上来看，第8、19、20、21题这些常规难题位置难度降低。
第8题：今年考了一个与空间结合的计数问题，相比于前些年的选择创新题比较简单，即使学生可不能做，猜出答案的可能性也是专门大的。
第19题：往年19题考都在考查数列，今年换了一种题型，考查了函数与导数的知识，三问都比较简单，尽管第三问是一个不等式证明，但其中涉及到的不等式模型也是在高中讲课中经常提到的，问题不大。
第20题：今年的解析几何题难度较低，第一个题型陈旧、常规关于扎实做好复习的考生不成问题，第二个出题模型选择的是圆，相关于圆锥曲线会更加容易。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
广东省高考数学试卷评析
广东省高考数学试卷评析往年的广东省高考试卷在重点知识的考察顺序上做了一些调整，如文科卷的选择题中解析几何的位置继续后移，文科卷的选择题中平面几何与概率统计也发作了后移现象。
说明往年的命题者以为平面几何与概率统计的内容关于先生来说是有一定难度的。
命题者依据考试纲要和说明设计试题，试卷最大的特点是：结构合理、考察片面、表达双基、增强思想。
下面我将从以下几个方面来停止评析：一、试题结构填空题方面，原先14、15两题不时都是几何证明放在前面，往年却将坐标系与参数方程放在了前面，虽然是选做题，却也隐性的加大了试卷的难度，可以猜想相关于全卷，这里的得分率相关于往年会有所降低。
考察的内容主要为以下三类：代数：1.函数与导数〔文12.文19.〕2.三角函数与解三角形〔理16 文16〕3.数列与不等式〔理11 文11 文20〕几何:1.平面几何〔理18 文18〕2.解析几何〔理21〕3.坐标法与向量〔理5〕统计概率:1.统计图表与数字特征〔文17〕2. 概率与数理推理〔理17〕二、才干考察依据高考考纲和实践考察状况，本次高考试题将考生的才干片面的考量了一番：如空间想象才干(文9，理7)、推实际证才干(文理18)、运算求解才干(文理19)、数据处置才干(文17，理13)、应意图识和创新看法(文10、理8)等。
三、运用效果在运用效果上分值有所变化：文科从08年到10年依次占30%，27%，23%，逐年降低，文科从08年到10年依次占18%，21%，23%，逐年降低，2021年运用效果区分为12%分，15%分，一方面可见四年来运用效果在文科考卷中占的比分是比文科卷要多的;比如说：统计与概率思想坚持将统计中用抽样样本估量总体的思想与概率的数理剖析无机地结合停止考察.更为注重数据处置才干在效果处置中的反映，强调与统计案例相结合考察〔文〕17.〔本小题总分值13分〕在某次检验中，有6位同窗的平均效果为75分。
用xn表示编号为n(n=1,2,,6)的同窗所得效果，且前5位同窗的效果如下：(1)求第6位同窗的效果x6，及这6位同窗效果的规范差s; 〔2〕从前5位同窗中，随机地选2位同学，求恰有1位同窗效果在区间〔68，75〕中的概率。
2023广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知函数f(x)=2x3，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 3C. 1D. 33. 若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的模长为（）A. 5B. 10C. 15D. 204. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)≥0。
（）3. 两个平行线的斜率相等。
（）4. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）5. 两个复数相等的充分必要条件是它们的实部和虚部分别相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(3,4)，则3a的坐标为______。
3. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，则a5=______。
4. 若复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 二项式展开式(2x3y)⁴的项数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²2x+1在x=2处的导数。
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求前5项的和。
3. 求复数z=1+i的共轭复数。
4. 求解不等式2x3>0。
5. 简述平面直角坐标系中，两点间距离的公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求函数的最小值及对应的x值。
2. 已知向量a=(2,3)，b=(1,2)，求向量a和向量b的夹角。
2023年广东卷高考数学计算题真题解析
2023年广东卷高考数学计算题真题解析2023年广东卷高考数学卷中的计算题相较于往年有着一定的难度，但是只要我们掌握了一些解题方法和技巧，就能够成功解答这些问题。
本文将针对数学卷中的计算题进行详细解析和讲解，希望能够对同学们在备考和应试中有所帮助。
1. 第一题题目描述：求解方程组x + y = 5，2x - 3y = 4。
解析：这是一个二元一次方程组，我们可以采用消元法求解。
首先，通过第一个方程可以得到x = 5 - y，然后将x的解代入到第二个方程中得到：2(5 - y) - 3y = 4，化简得到：10 - 2y - 3y = 4，继续化简得到：-5y = -6，最终解得y = 6/5。
将y的解代入到第一个方程中可以得到x =5 - 6/5 = 19/5。
所以，方程组的解为x = 19/5，y = 6/5。
2. 第二题题目描述：已知函数f(x) = (2x - 1)/(x + 2)，求f(x)的反函数。
解析：要求函数f(x)的反函数，我们需要将f(x)表示成y，然后通过交换x和y的位置并解出y来。
所以，首先将函数f(x)表示成y，得到y = (2x - 1)/(x + 2)。
然后，交换x和y的位置得到x = (2y - 1)/(y + 2)。
接下来，解出y。
将x代入到方程中得到x(y + 2) = 2y - 1，化简得到xy + 2x = 2y - 1。
继续化简得到xy - 2y = -2x - 1，再继续化简得到y(x - 2)= -2x - 1，最终解得y = (-2x - 1)/(x - 2)。
所以，f(x)的反函数为y = (-2x - 1)/(x - 2)。
3. 第三题题目描述：已知等差数列的前五项之和为60，公差为3，求这个等差数列的第一项。
解析：设等差数列的第一项为a，公差为d。
根据等差数列的性质，可知前五项之和为60，根据等差数列的求和公式可得：(5/2)*(2a + 4d)= 60，化简得到a + 2d = 12。
广东2023高考数学卷子
广东2023高考数学卷子摘要：一、引言1.广东高考数学卷子的背景和重要性2.2023 年广东高考数学卷子的总体概况二、试卷结构与题型1.选择题2.填空题3.解答题三、试卷难度分析1.简单题2.中等题3.难题四、备考策略1.扎实掌握基础知识2.提高解题技巧与速度3.模拟考试与总结反思五、结论1.2023 年广东高考数学卷子的特点2.对考生的建议与期望正文：一、引言广东高考数学卷子一直以来都是考生们关注的焦点，因为它不仅关系到学生能否进入理想的大学，而且对学生的未来发展也有着深远的影响。
随着2023 年高考的临近，广东高考数学卷子成为了众多考生和家长关注的焦点。
本文将对2023 年广东高考数学卷子进行详细的分析，以帮助考生更好地备考。
二、试卷结构与题型2023 年广东高考数学卷子共分为选择题、填空题和解答题三种题型。
选择题共12 道，每道题4 分，总计48 分；填空题共4 道，每道题4 分，总计16 分；解答题共6 道，前4 道每道题8 分，最后两道题每道题10 分，总计56 分。
整张试卷满分120 分，考试时间为120 分钟。
三、试卷难度分析2023 年广东高考数学卷子的难度分布较为合理，分为简单题、中等题和难题三种。
简单题约占40%，主要考察学生的基础知识；中等题约占50%，主要考察学生的解题技巧与速度；难题约占10%，主要考察学生的综合运用能力和创新能力。
考生在备考过程中应确保基础知识扎实，同时提高解题技巧与速度，以应对不同难度的题目。
四、备考策略1.扎实掌握基础知识：高考数学考试中，基础知识占据了很大的比重。
因此，考生在备考过程中要重视基础知识的学习，通过不断复习和练习，确保基础知识扎实。
2.提高解题技巧与速度：高考数学考试时间有限，要求学生在短时间内完成大量的题目。
因此，考生在备考过程中要注重提高解题技巧与速度，通过不断做题和总结，提高解题效率。
3.模拟考试与总结反思：模拟考试是检验备考效果的重要手段。
广东高考数学试题浅度分析
广东高考数学试题浅度分析下面分六大板块区分剖析文理试题结构及其考点散布1.文科函数导数：延续两年经过小题方式调查函数定义域和奇偶性，最后一道选择题经过定义，给出了复合函数及函数相乘的运算法那么。
19题惯例题，应用导数研讨函数单调性向量三角：依然一道小题调查平面向量平行条件；16题延续去年调查函数及复杂三角函数化简求值平面几何：延续两年调查三视图及体积运算，另外一道小题调查几何体性质；18题调查四点共圆条件及线面垂直解析几何：小题调查了抛物线第二定义。
21题调查抛物线第二定义，三角不等式的运用以及直线与圆锥曲线相交判别式效果数列：延续三年以小题方式调查等比数列基本概念。
20题调查分数方式递推求通项及不等式放缩。
概率统计：往年统计小题调查了线性回归。
17题依然和前两年相似，一局部调查统计知识〔往年为统计数字特征〕，一局部调查罗列法求概率其他：不等式方面，有一道小题调查一元二次不等式解法。
另有一道线性规划2.文科函数导数：延续两年经过小题方式调查函数奇偶性，一道小题调查运用导数的极值效果。
21题综合调查函数导数，但十分规。
向量三角：延续三年小题调查向量运算，16题延续去年调查函数及复杂三角函数化简求值平面几何：延续两年调查三视图及其几何体体积；18题调查线面垂直及二面角，惯例解析几何：小题结合在集合题调查圆与直线；19题调查双曲线第二定义及三角不等式的运用数列：延续三年调查等差等比数列的性质〔往年调查等差〕；20题调查分数方式递推求通项及不等式放缩。
概率统计：一道选择调查时间概率及独立性，一道填空调查统计回归效果。
17题依然一局部调查统计一局部调查概率散布。
延续两年调查超几何散布及其散布列，统计局部往年调查分层抽样。
其他：不等式方面，有一道小题调查相对值不等式解法。
另有一道线性规划。
陈列组合调查二项式定理运用。
(广东卷)高考数学试题详细解答及考点解读
普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学本试卷共21小题，满分150分，考试用时120分钟．试卷类型: Ｂ参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知全集U =R ，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）.Ａ．３个 Ｂ．２个Ｃ．１个 Ｄ．无穷个２．设z 是复数，()z α表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，(i)α=（ ）.Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２３．若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且1)a ≠的反函数，其图象经过点)a ，则()f x =（ ）.Ａ．2log x Ｂ．12log x Ｃ．12x Ｄ．2x ４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）.Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）.Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④6． 一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F 成60°角，且12,F F 的大小分别为２和４，则3F 的大小为（ ）.Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）.Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ）.A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～12题）9．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则图3所示的程序框图输出s ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）10．若平面向量,a b 满足||1,+=+a b a b 平行于x 轴，(2,1)=-b ，则=a ．11．巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为_________________．12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．14．（不等式选讲选做题）不等式112x x +≥+的实数解为 ．15．(几何证明选讲选做题）如图4，点,,A B C 是圆O 上的点， 且4,45︒=∠=AB ACB ，则圆O 的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(本小题满分12分）已知向量(sin ,2)θ=-a 与(1,cos )θ=b 互相垂直，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求sin cos θθ和的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5．（1）求直方图中x 的值；（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示．已知1282,78125577==,9125123912581825318257365218253=++++, 573365⨯= ）18．（本小题满分14分）如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E是正方形11BCC B 的中心，点F ,G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点,E G 在平面11DCC D 内的正投影．（1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线11FG FEE ⊥平面；（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.19．（本小题满分14分）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 20．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图象与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q，求m 的值；（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（1）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（2）证明：13521n n nx x x x x y -⋅⋅⋅⋅<．普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学试题答案及解读一、选择题1. B. 【解读与点评】本小题是人教A版必修1习题1.1A组第6题、北师大版必修1复习题一A 组第6题的综合变式题, 主要考查集合语言及数形结合的思想方法．考生的主要失误在于不会将符号语言与图形语言进行合理转换．本题作为起始题，把表示集合的符号语言和图形语言揉合在一起，考生只有准确识别出图1的阴影部分所示的集合的含义（即N M ），才能正确地作出解答，既考查了基本知识，也考查了考生的识图能力．主要解法如下：因为}31|{≤≤-=x x M ，},5,3,1{ =N ，所以 }3,1{=N M ，故选B.2．Ｃ．【解读与点评】本小题是人教A 版选修2-2复习参考题B 组第2题的变式题，主要考查虚数单位i 的周期性及阅读理解能力和创新意识．主要解法如下：因12-=i ，i i -=3，14=i ，所以满足1=ni 的最小正整数n 的值是4．故选C ． 考生的主要失误在于不理解()i α含义.3. Ｂ．【解读与点评】本小题是人教A 版(必修1)2.1.2例6、北师大版(必修1)5.2例3的变式题，主要考查指数函数与对数函数的关系(互为反函数)，及指数与对数运算．主要解法有：解法一：由函数()y f x ＝是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，可知x x f a log )(=，又其图象经过点)a ，即a a a =log ，所以12a =, x x f 21log )(=，故选B ．解法二: 依题意函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象经过点(a ,aa =, 所以12a =, x x f 21log )(=，故选B ． 考生的主要失误在于不理解反函数概念, 指数与对数运算欠熟练．4. Ｃ．【解读与点评】本小题是人教A 版必修5复习参考题B 组第1(1)题,北师大版必修5复习题一A 组第6(2)题的综合变式题, 主要考查等差数列与等比数列的基本运算.主要解法有：解法一：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由25252(3)n n a a n -⋅=≥，得()2426121112n n n a q a q a q --==，则n n a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ， 所以2123221log log log n a a a -+++=2(121)13(21)2n n n n +-+++-==， 故选C.解法二：因为25252(3)n n a a n -⋅=≥，所以25225log log 2n a a n -+=，又{}2l o g n a 是等差数列，所以22123221252252(log log log )2(log log )2n n a a a n a a n --+++=+=， 所以2123221log log log n a a a -+++=2n ，故选C.考生的主要失误是运算差错.5. D. 【解读与点评】本小题是课本相关定理的变式题，主要考查线线、线面平行和垂直的判定和性质．主要解法如下：显然 ①和③是假命题，故否定A,B,C, 故选D.考生的主要失误是立体几何定理掌握不牢，平几定理在空间类比产生了负迁移．6. D ．【解读与点评】本小题是人教A 版必修4习题A 组第4题的变式题，主要考查平面向量的数量积及向量在物理学中的应用．主要解法如下： 依题意，可知321=++F F F ，所以)(213F F F +-=，o F F 60)(221++=+=+= =214224222⨯⨯⨯++=28.所以，力3F 7228==，故选D ．考生的主要失误是物理背景欠熟悉，不会将实际问题转化为向量运算问题．此题不仅要求考生要掌握力学中的有关原理，更要求考生要善于把物理问题转化为数学问题，利用平行四边形（或三角形）法则，把力的合成转化为平面向量的加法运算，画出图形后再进行求解，很好区分了考生将文字语言和符号语言转化为图形语言水平的高低．7．A ．【解读与点评】本小题以2010年广州亚运会为背景，是人教A 版选修2-3习题1.2A组第15(3)题的变式题，主要考查两个计数原理、排列组合知识及数学应用意识．主要解法如下：若小张和小赵两人都被选中，则不同的选派方案有2223A A 12⋅=种，若小张和小赵两人只有一人被选中，则不同的选派方案有113223C C A 24⋅=种，故不同的选派方案共有12+24=36种。
高考数学试卷(广东卷)评析
20XX年高考数学试卷（广东卷）评析徐勇（广东省教育厅教研室）高建彪（广东省中山市东升高中）20XX年广东省的高考数学试卷，遵循了《20XX年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲》和《20XX年普通高等学校招生全国统一考试数学考试大纲的说明（广东卷）》的要求，沿袭了前两年新课程高考成功的题型结构和试卷模式，重点考查了高中数学的主干知识和方法，命题做到稳中有变，在数学应用及创新上略比前两年有所加强.一、整体分析1.注重基础历年高考都十分重视对学生基础知识和基本技能的考查，并力求在客观题部分尽可能覆盖大部分知识点. 下面对20XX年高考数学广东卷文、理科的客观题（必做题）进行统计，得到客观题考查的知识点分布情况，具体见表1.表1：客观题考查的知识点分布情况（注：▲部分与其他内容有交会。
）从表1可以看出，客观题覆盖了80%的章节，文科试题以单独考查某一知识点为主，理科试题适度地出现了知识点的交会考查.2.突出主干解答题部分是区分选拔优秀人才的主战场，侧重于考查高中数学的主干知识，一般涉及到函数、三角、数列、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等七大部分，20XX 年高考数学广东卷文、理科各6道解答题，均考查了以上主干知识，具体见表2.表2：解答题考查的知识点分布情况（注：理科第21题交会了不等式的考查。
）3.重视能力在考试大纲中，明确指出“能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识”. 能力的考查如何在试卷中全面实现呢？一般来说，推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化，运算求解能力的考查主要以代数运算为主，数据处理能力的考查主要是运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力，以及对图表数据的处理. 在各项能力的考查中，以运算求解、读表识图、推理论证、应用创新等能力为主，着重考查学生的数学思维能力. 20XX年高考数学广东卷主要考查的各项数学能力见表3.表3：着重考查的能力与题号对应情况（注：按题目着重考查的能力进行统计。
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2019年广东高考数学试卷分析
一、考点分布(以文科为例)
二、试卷体现侧重于支撑学科体系的主干内容的考查
函数与二次不等式、导数、数列、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计是高中数学教学的重点内容，也是每年高考所考查的重点。
核心知识命题者是不会有意识去回避的，如圆锥曲线的定义、同角三角函数的关系、等比（等差）数列、空间中直线与平面的位置关系、几何体得有关计算、概率统计的应用等，在每年的试题中都考查到了。
这也体现了教学以必修模块为主题的思想，这是符合新课程精神的。
三、考点变化
今年与以往相比有几个特别明显的变化，以往大家都注重的算法没有考查，逻辑用语没有考查，这是绝大多数人想不到的。
今年还加了阅读题的考查，这是在考查学生自学能力，这与大学的学习挂钩的，因为大学的学习主要靠自学。
总的来说广东数学卷是不落窠臼的。
四、近五年来没有考查到的知识点
以下是从2019年第一年新课程考试以来还没有考查到（或考查力度不够）的知识点：
必修一：幂函数、二分法、函数值域
必修二：空间几何体的直观图、球的面积与体积
必修三：系统抽样、几何概型、对立事件、互斥事件
必修四：任意角三角函数的定义、扇形面积、正切函数图象、两角和差的正切公式
必修五：解三角形的实际应用、数列的裂项求和
选修1-1：全程量词与特称量词、双曲线、导法求切线法
选修2-1：全程量词与特称量词、双曲线
选修1-2：类比推理、共轭复数的概念
选修2-2：类比推理、共轭复数、简单的复合函数求导
选修2-3：条件概率、二项分布、独立性检验
五、试卷大题特点
文理第一个大题都是三角函数，这是毫无悬念的了，属于容易题，将三角函数特殊角求值，诱导公式、同角三角函数之间的关系以及两角和差的正弦公式糅合在一起，侧重基础知识、基本能力的考查。
第17题是中档题，文理考查知识点相同，都是统计与概率，但考查方向不同，理科侧重于灵活运用，文科侧重于概念和计算，近几年的题都如此。
第18题，文理都是立体几何，第一问文科表面上考查四点共面，其实是在考查线线平行问题；第二问是证明线面垂直问题，文科立体几何虽然图象看上去很复杂，但是考查地着落点都比较低；理科第一问是线面垂直问题，第二问仍然是二面角的问题，二面角的题，一直是学生的老大难。
第19题：文科考查的是导数问题的常规题，求导以后分式
通分以后就是二次函数的讨论问题，这是常规思路，但涉及到字母讨论的问题，并且一涉及到二次函数问题就是文科生比较头痛的问题。
理科考查的是圆锥曲线的问题，第一问属于送分的，很容易就求得轨迹方程，第二问需要用的几何知识，这和初中内容联系比较密切。
近几年全国各地的试卷不约而同的出现了此类与初中内容联系密切的试题。
这值得大家引起对初中知识的重视。
第20题：文理科考查的基本相同，题型也基本相同，都是分式型递推数列。
这是课本上没有的，在平时的训练中此类题也没有引起大家的重视，这是有点超纲的题。
并且这题还有个难点就是涉及到字母讨论的题目。
这也是为什么今年广东卷比较难得一个很大原因，有两个赤裸裸的需要讨论的题，这在以前是没有的。
最后一个大题，文科是圆锥曲线的问题，考查了轨迹方程，抛物线定义以及直线与圆锥曲线交点问题，这都是常规问题，但考生因为前面花的时间很多，到后面就没有时间了，应该说此题得10分属于正常的，但笔者估计很大部分得不到一两分。
理科题又是一个创新题，考查学生的阅读能力，此题难在读不懂题。
笔者发现这方面的考查广东走在最前沿，体现了素质教育的方向，因为考生是要进入大学的，在大学的学习主要靠自己自学。
六、2019高考复习建议
从近五年的考题我们可以看出必修内容决定了高考的胜负，我们应该稳稳地把基本功抓牢固了，大家不要好高骛远，一味追求难题，我们只要把低档题和中档题掌握好了，即使高考题很难但得120也非难事。