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2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析

§3.1不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥21．2≥1.( √ ) 2．ab >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.题型二比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )．当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 引申探究1．若a ＞0，b ＞0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . 命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系．解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0<x <1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x，∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <11－x， ∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫ab a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴ab ＞1，a －b ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a ＞1，又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a . 题型三不等式的基本性质例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b .证明因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思感悟有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例已知12<a <60,15<b <36，求ab 的取值范围．[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴1215<a b <6036，∴45<a b <53. [点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴136<1b <115，又12<a <60，∴1236<a b <6015，∴13<ab <4，即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a 0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b答案 C解析当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab 1b ，C 成立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad <b c C.a c ＞b d D.a c <b d 答案 B解析因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0，即1－d ＞1－c＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，从而有a d 0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2. 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12∴a b >a b 2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立；对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ，则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a 0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a 0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， . 答案a ＋mb ＋m >ab解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得， 2a －b ∈⎝⎛⎭⎫－32，52. 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为．答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为．答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2 解析因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2 ＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．13．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞eb －d .证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c ＞eb －d.14．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y＝N ，即M <N .15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是．答案 [－6,9]解析设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.。

2022届高三数学(人教A版文)复习习题：第一章集合与常用逻辑用语课时规范练2 Word版含答案

课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法基础巩固组1.(2021安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-1,+∞)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2021贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2021重庆一中调研,文5)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]〚导学号24190850〛8.(2021陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b 的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不行能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为. 11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.综合提升组12.(2021吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2021河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<2〚导学号24190851〛15.(2021江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2021辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),假如不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号24190852〛17.(2021湖北襄阳高三1月调研,文15)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t 的取值范围是.〚导学号24190853〛课时规范练2不等关系及简洁不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.C由题意得A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|0<y<1}=(0,1),所以A∩B=(0,1),故选C.3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D由于不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9. ∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b≥+b2-2b=≥-.∴a2+b2-2b的取值范围是.10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-.当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-1≤≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C由于<0,故可取a=-1,b=-2.由于|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;由于ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又由于y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)= -2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-.17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不行能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t≥x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).。

2024年计算机二级MS office真题及解析一

2024年计算机二级MS office真题及解析试卷一考试方式：上机考试，考试时长120分钟，满分100分。

操作系统：中文版Windows7考试环境：Microsoft Office 2016一、单项选择题（每题1分，共20分）1.对长度为n的线性表排序，在最坏情况下，比较次数不是n(n －1)/2的排序方法是（）A.快速排序B.冒泡排序C.直接插入排序D.堆排序【解析】各种排序方法中最坏情况下需要比较的次数分别为：冒泡排序n(n-1)/2、快速排序n(n-1)/2、简单插入排序n(n-1)/2、希尔排序O(n1.5)、简单选择排序n(n-1)/2、堆排序O(nlog2n)。

2.下列关于栈的叙述正确的是（）A.栈按“先进先出”组织数据B.栈按“先进后出”组织数据C.只能在栈底插入数据D.不能删除数据【解析】栈是限定在一端进行插入和删除的线性表，允许进行插入和删除元素的一端称为栈顶，另一端称为栈底。

栈是按照 “先进后出”的原则组织数据的。

3.某二叉树有5个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数是（）A.10B.8C.6D.4【解析】根据二叉树的性质，在任意二叉树中，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。

4.下列叙述中正确的是（）A.算法复杂度是指算法控制结构的复杂程度B.算法复杂度是指设计算法的难度C.算法的时间复杂度是指设计算法的工作量D.算法的复杂度包括时间复杂度与空间复杂度【解析】算法复杂度，即算法在编写成可执行程序后，运行时所需要的资源，资源包括时间资源和内存资源。

一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。

5.在软件开发中，需求分析阶段产生的主要文档是（）A.可行性分析报告B.软件需求规格说明书C.概要设计说明书D.集成测试计划【解析】需求分析的最终结果是生成软件需要规格说明书，可以为用户、分析人员和设计人员之间的交流提供方便，可以直接支持目标与确认，又可以作为控制软件开发进程的依据。

不等关系与一元二次不等式,高考历年真题

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【考点18】不等关系与一元二次不等式2009年考题1.（2009天津高考）a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（）（A ）01<<-a （B ）10<<a （C ）31<<a （D ）63<<a【解析】选C 。

由题得不等式2()x b -＞2()ax 即02)1(222<-+-b bx x a ，它的解应在两根之间，故有04)1(4422222>=-+=∆b a a b b 且21a >，不等式的解集为11+<<--a bx a b 又由a b +<<10得110<+<a b ，故213-<--<-a b ，即223323,,110a b a b a a -<<-⎧<<∴⎨-->⎩由122b a b a <+⎧⎨>-⎩得3a <，13a ∴<<。

2.（2009安徽高考）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（）（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d （B ）p:a ＞1,b>1 q:()(01)x f x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限（C ）p: x=1, q:2x x =（D ）p:a ＞1, q: ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数【解析】选A.由a ＞b 且c ＞d ⇒a c +＞b+d ，而由a c +＞b+d a ＞b 且c ＞d ，可举反例。

3.（2009安徽高考）“”是“且”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】选A.易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+，则可能有a d c b >>且.4.（2009四川高考）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【解析】选B. 显然，充分性不成立.又若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”.5.（2009上海高考）当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______________.【解析】作出2sin 1xy π=与kx y =2的图象，要使不等式kx x≥2sinπ成立，由图可知须k≤1。

(完整word)一元一次不等式知识点总结,推荐文档

一元一次不等式知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

不等式概念及性质知识点详解与练习[1]

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不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥"及“≤"等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a —b 〉0a>b, a —b=0a=b, a-b 〈0a<b 。

（2）分类:①矛盾不等式:不等式只是表示了某种不等关系,它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式:它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞"读作“大于"，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”, 它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数;⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意:要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

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数学知识等号与不等号
等号与不等号Ec
等号与不等号的发明权属于英国人。

１５５７年，数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中，首先把“＝”作为
等号，他说：“最相像的两件东西是两条平行线，所以这两条线应该用来表示
相等。

”他的书《智慧的激励》也因此引起了人们极大的兴趣。

在数学中，等号“＝”既可表示两个数相等，也可以表示两个式子相等，但无
论何种相等，它们都遵循以下规则：
（１）若a=b，那么对于任何数c，有a±c=b±c；
（２）若a=b，那么b=a；
（３）若a=b，b=c，那么a=c；
（４）若a=b，那么对于任何数c，有ac=bc。

人们起初用“”和“”。

表示大于和小于，英国人乌特勒首次在他的《数学入门》一书中使用了它们。

另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号：＞、＜。

他在自己的书中明确地写道：“a＞b表示a量大于b量，a＜b表示a量小于b量。

”
不等号在数学中有着普遍应用，在使用它们时，应遵循如下原则（a、b为实数）（１）若a＞b，则b＜a
（２）若a＞b，那么对于任何实数c，有a±c＞b±c；
（３）若a＞b，c为大于零的实数，那么ac＞bc；
（４）若a＞b，c为小于零的实数，那么ac＜bc；
（５）若a＞b，b＞c，那么a＞c。

2022版新高考数学一轮总复习课后集训：4+不等关系与不等式+Word版含解析

课后限时集训(四) 不等关系与不等式建议用时：25分钟一、选择题1．如果a ＞0＞b 且a 2＞b 2，那么以下不等式中正确的个数是( )①a 2b ＜b 3；②1a ＞0＞1b ；③a 3＜ab 2.A ．0B ．1C ．2D ．3C [由a 2＞b 2，b ＜0知a 2b ＜b 3，①正确；由a ＞0＞b 知1a ＞0＞1b ，②正确；由a 2＞b 2，a ＞0知a 3＞ab 2，③错误．故选C.]2．(2020·汉中模拟)若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( )A ．|a |＞|b |B ．1a －b ＞1aC ．1a ＞1bD ．a 2＞b 2B [∵a ＜b ＜0，∴a ＜a －b ＜0，∴1a －b＜1a ，因此B 不正确，故选B.] 3．(多选)(2020·山东菏泽线上模拟)已知a ＞1,0＜c ＜b ＜1，则下列不等式正确的是( )A ．a b ＞a cB ．c b ＞c ＋a b ＋aC ．log b a ＜log c aD ．b b ＋a ＞c c ＋aACD[由a＞1,0＜c＜b＜1，可得a b＞a c，故A正确；由a＞1,0＜c＜b＜1，可得cb －c＋ab＋a＝cb＋ca－bc－bab(b＋a)＝a(c－b)b(b＋a)＜0，则cb＜c＋ab＋a，故B错误；由a＞1,0＜c＜b＜1，得log a c＜log a b＜0，则1log a b ＜1log a c＜0，所以log b a＜log c a，故C正确；由a＞1,0＜c＜b＜1，得bb＋a －cc＋a＝bc＋ba－cb－ca(b＋a)(c＋a)＝a(b－c)(b＋a)(c＋a)＞0，所以b b＋a ＞cc＋a，故D正确．故选ACD.]4．若a＞0，且a≠7，则()A．77a a＜7a a7B．77a a＝7a a7C．77a a＞7a a7D．77a a与7a a7的大小不确定C[77a a7a a7＝77－a a a－7＝⎝⎛⎭⎪⎫a7a－7.若a＞7，则a7＞1，a－7＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a7a－7＞1；若0＜a＜7，则0＜a7＜1，a－7＜0，∴⎝⎛⎭⎪⎫a7a－7＞1.综上知77a a7a a7＞1.又7a a7＞0，∴77a a＞7a a7，故选C.]5．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy＞yz B．xy＞xzC．xz＞yz D．x|y|＞|y|zB[因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确．故选B.] 6．(2020·湖北荆州期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a ＜b ，则1a ＞1bB ．若0＜a ＜1，则a 3＜aC ．若a ＞b ＞0，则b ＋1a ＋1＜b aD ．若c ＜b ＜a 且ac ＜0，则cb 2＜ab 2B [令a ＝－2，b ＝1，则1a ＜1b ，A 错误；若0＜a ＜1，则a 2＜1，a (a 2－1)＜0，即a 3＜a ，B 正确；若a ＞b ＞0，则ab ＋a －ab －b ＝a －b ＞0，所以b ＋1a ＋1＞b a ，C 错误；若b ＝0，则cb 2＝ab 2，D 错误．]7．已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，则a b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 B [由15＜b ＜36得136＜1b ＜115，又12＜a ＜60，所以1236＜a b ＜6015，即13＜a b ＜4，故选B.]8．若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是( )A ．27B ．12C ．17D ．81 A [由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x ＞0，y ＞0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81，可得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.故选A.]二、填空题9．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有________．(填序号)①④ [因为1a ＜1b ＜0，所以b ＜a ＜0，a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，|a |＜|b |，在b ＜a 两边同时乘以b ，因为b ＜0，所以ab ＜b 2.因此正确的是①④.]10．若a ＜b ，d ＜c ，并且(c －a )(c －b )＜0，(d －a )(d －b )＞0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为________．d ＜a ＜c ＜b [因为a ＜b ，(c －a )(c －b )＜0，所以a ＜c ＜b ，因为(d －a )(d －b )＞0，所以d ＜a ＜b 或a ＜b ＜d ，又d ＜c ，所以d ＜a ＜b .综上，d ＜a ＜c ＜b .]11．若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2 [由－π2＜α＜β＜π2得－π＜2α＜π，－π2＜－β＜－α＜π2，∴－32π＜2α－β＜2α－α＝α＜π2，即－32π＜2α－β＜π2.]12．已知三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b ；③bc ＞ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．3 [①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得bc －ad ab ＞0，又由③得bc －ad ＞0.所以ab ＞0，②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．]1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ；且x ＜y＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋czB [采用特殊值法验证：令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .故选B.]2．(多选)(2020·济南外国语学校月考)已知a ，b 为正实数，则下列命题正确的是( )A ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1B ．若1b －1a ＝1，则a －b ＜1C ．若e a －e b ＝1，则a －b ＜1D ．若ln a －ln b ＝1，则a －b ＜1AC [对于A ，当a 2－b 2＝1，即(a －b )·(a ＋b )＝1时，∵a ＞0，b ＞0，∴0＜a －b ＜a ＋b ，∴a －b ＝1a ＋b＜1，故A 正确．对于B ，当1b －1a ＝1时，不妨取a ＝3，b ＝34，则a －b ＝94＞1，∴B 错误．对于C ，由e a －e b ＝1，可得e a －b ＋b －e b ＝e b (e a －b －1)＝1，∵b ＞0，∴e b ＞1，∴e a －b －1＜1，即e a －b ＜2，∴a －b ＜ln 2＜ln e ＝1，故C 正确．对于D ，不妨取a ＝e 2，b ＝e ，则a －b ＝e 2－e ＞1，∴D 错误．故选AC.]。

【精品文档】与他人发生不正当性关系,保证书-推荐word版 (20页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==与他人发生不正当性关系,保证书篇一：情妇,保证书篇一：官员被曝与情人签解除两性关系保证书官员被曝与情人签解除两性关系保证书新京报快讯(记者赵力刘刚实习生赵吉翔)一份实名举报河北省水利厅一干部包养情人的帖子日前在网上热传。

帖子中晒出了该干部和情人签订的“解除两性关系保证书”。

今日(9月11日)下午4时许，河北省水利厅相关负责人告诉新京报记者，涉事干部今年6月因生活作风问题已被河北省水利厅机关党委处分，并撤销相关职务。

新京报记者注意到，这则题为“实名举报河北省水利厅董四栓包养情人”的网帖，在9月8日至今在各类贴吧论坛转载，而该帖最早出现在今年4月份。

网帖作者自称齐晓红，1984年2月出生，石家庄人，身份证号为：1301**********5123，齐晓红在网帖中附上了自己的照片和一份“解除两性关系保证书”的照片。

一份201X年的公开资料显示，被举报人董四栓系河北省水利厅科技外事处调研员，为正团职转业干部。

齐晓红在网帖中称，自己201X年和董四栓相识，后来成了他包养的情人，“每个月他都会给我三、四万块钱??在三年的包养生活中我多次怀孕，并被要求打胎。

”网帖中齐晓红讲述，201X年1月11日是董四栓带着老婆找到了她??6天后的1月17日董四栓找到她，要其签两性关系解除保证书。

齐晓红晒出的这份“解除两性关系保证书”签署于201X年1月17日，内容为：双方自愿解除两性关系，南方一次性补偿女方贰拾万元整，并保证：1、男女双方今后不再进行任何电话联系;2、不以任何方式相互骚扰双方家庭;3、即日去医院打掉胎儿;4、不散播任何对双方不利的信息;5、从次互不干涉互不往来。

在这份保证书上，除了当事男女双方的签字和手印外，还有3名见证人的签字和手印。

据新京报记者了解，3个见证人中其中一人系河北省水利厅干部。

案例展示Microsoft Word 文档 (2)

案例展示案例名称：小学数学人教版第二册《百数表》讲课教师：高丽杰（北京小学，高级教师）【说课稿】在解构——建构过程中认识百数表北京小学高丽杰《百数表》这个教学内容安排在一年级学生刚刚认识百以内数的组成，会读、会写百以内数的基础上，这是教材中第一次把100以内的数全部展示在学生面前。

学生在刚刚认识数时所认识的数是“独立的”，而对数之间关联的意识直接影响到孩子们选择解决问题的策略，因此需要教师适时的帮助学生构建数与数之间的关系。

百数表正是这样的好材料，因此想充分挖掘百数表中的规律，引导孩子感受数之间的关系。

由于数较多，《百数表》里面呈现的很多规律不利于学生发现，因此在认识百数表时必须经历一个给百数表解构的过程。

同时，100个数有规律的排列在一起，已经成为数的系统，初步显现了十进位值制数系统的一些特性，因此又需要我们对其中的数朋友进行归纳、整理，构建数之间的关系，以使学生对百以内的数有整体的认识，这就要引领学生经历建构的过程。

也正是在不断地解构与建构的过程中，学生对数的认识才能得以深化。

一、在解构的过程中，培养学生数感（一）解构百数表，发现数的排列规律由于百数表有顺序的把数展示出来，数在排列的过程中就呈现出很多的规律，而这些规律的呈现又是很多规律交叉进行，不利于学生观察与发现，因此在教学中以按顺序出现数队伍的方式解构百数表：横行、竖行、斜行，引导孩子们通过比较每一队中的数朋友，发现数的十位与个位上的变化是与数所在的位置有关系，位置排列的有规律，数的排列也有规律。

通过探寻为什么从而深化学生对数位、计数单位的认识，感受数的神奇。

（二）解构百数表，深入认识数没有点的深入就没有面的提高，没有对百以内个别数的深入认识就没有对百以内数的整体认识的提高。

通过对个别数的深入研究，把握相同的质，帮助学生对百以内的数有新的认识。

由于不同的数在表中都有各自的位置，因此从位置入手来研究数，可以帮助学生形成新的认识，本节课中给“35”找家时，提供了百数表中的第一行和第一列，实际上就为学生提供了坐标轴，让学生根据数的意义去找位置，渗透了坐标的思想，深化了对数的认识。

7.1生活中的不等式Microsoft Word 文档

§7.1生活中的不等式班级姓名成绩1、用“>”或“<”填空：（1）π 3；（2）-22 （-2）2；（3）31 0.3；（4）－6＋4 －1＋3；（5 ）5－2 0－2；（6）6×2 3×2（7）－6×（－4）－2×（－4）. （8）小明八年级时的体重W 20kg; (5)你所在居住地夏天的最高气温t 50°C ； 9）已知a 、b 、c 为三角形的三边，c 为斜边，则c a ，b c 。

2、用表示大小关系的符号填空：（1）a 2 0；（2）—|x| 0 ; (3)x 2+1 0;(4)已知a 、b 、c 为三角形的三边，则b+c a ，b-c a;(5)你和你父母的年龄的和S 50.3、用不等式表示：（1）m 是正数：；（2）a 与b 的差是负数：；（3）代数式3a-1的值不大于0：；（4）x 的3倍小于y 的2倍：；（5）a 、b 两数的平方差不小于1： .4、2006年2月5日扬州气象台预报本市气温是－2～4℃，这表示2月5日的最低气温是 ℃，最高气温是 ℃.设扬州市2月5日某一时刻气温为t ℃，则关于t 的不等量关系是 .5、小明在图书室接了一本科普书共有a 页，每天读了10页，读了15天仍未读完，对于上述事例，写出关于a 的一个不等式： .6、（1）你所在班级身高最高的同学是 cm ，若你所在的班级中某一个同学的身高为xcm ，请你写出一个一定成立的关于x 的不等式：；（2）你所在班级体重最轻的同学是 kg ，若你所在的班级中某一个同学的体重为ycm ，请你写出一个一定成立的关于y 的不等式：；(3)春节前，某家具商场开展“满1000元送100元”的让利促销活动，某顾客在该商场的购物款为x 元，若该顾客享受了让利，则x 满足的不等关系为： .7、符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”.请用文字语言翻译下列不等式：（1）x 2≥0: ;(2)-|x|≤0： .8、小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg 、55kg 和75kg. 春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？这说明：因为30kg 55kg （填写不等号），所以会向上跷；又因为30kg ＋55kg 75kg. （填写不等号），所以会向上跷.9、一只纸箱质量为1kg.当放入一些苹果（每个苹果的质量为0.25kg ）后，箱子和苹果的总质量不超过10kg.（1）填表：(2)估计这只纸箱内最多能装多少个苹果？10、小明在假期中给外地的两位同学分别寄了一封信，第一封信的质量为17kg ，两封信共付邮资2.40元。

不等关系数学教案

不等关系数学教案
标题：不等关系数学教案
一、教学目标：
1. 了解并掌握基本的不等关系及其表示方法。

2. 能够运用不等式的性质解简单的不等式。

3. 培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：
1. 教学重点：理解和掌握不等式的性质，能灵活运用这些性质解简单的不等式。

2. 教学难点：理解和应用不等式的性质。

三、教学过程：
（一）引入新课
通过生活中的实例，如身高、体重等，引出不等关系的概念，让学生对不等关系有一个直观的认识。

（二）新知探究
1. 不等关系的表示：讲解大于号“>”、小于号“<”、大于等于号“≥”、小于等于号“≤”的含义和用法。

2. 不等式的性质：讲解不等式的性质，并通过具体的例子进行说明。

（三）例题解析
选择一些典型的题目，引导学生运用不等式的性质来解题，以此加深学生对不等式性质的理解和应用。

（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生独立完成，以此检验学生对本节课知识的掌握程度。

（五）小结与作业
总结本节课的主要内容，布置适当的课后作业，巩固和深化学生对不等关系的理解和应用。

四、教学反思：
在教学过程中，教师要时刻关注学生的学习状态，及时调整教学策略，以达到最佳的教学效果。

同时，教师还要注重培养学生的思维能力和创新能力，使他们能在实际生活中运用所学的知识解决实际问题。

【步步高】2015届高考数学总复习第二讲不等式的证明及著名不等式配套文档理新人教A版选修4-

第二讲不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2____ab ，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当______时，它们的积P 取得最____值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当______时，它们的和S 取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn ____na 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a b ，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．已知a <0，b <0，且1a 2>1b2，则a ，b 的大小关系为______．2．已知a 、b 、m 均为正数，且a 0，b >0，则P ＝lg(1＋ab )，Q ＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]的大小关系为________．5．设a 、b 、c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c的最小值为________.题型一柯西不等式的应用例1 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.思维升华使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为______．题型二用综合法或分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2) abc＋ b ac＋ cab≥3(a ＋b ＋c )．题型三放缩法或数学归纳法例3若n ∈N *，Sn ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，求证：n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.思维升华 (1)与正整数n 有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦．(2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1.求证：32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．利用算术—几何平均不等式求最值典例：(5分)已知a ，b ，c 均为正数，则a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2的最小值为________．思维启迪 (1)a 2＋b 2＋c 2，1a ＋1b ＋1c 分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．解析因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式取得最小值6 3.答案 6 3温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a ，b ，c 的值时计算出错.方法与技巧1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．失误与防X1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组专项基础训练1．若1a <1b<0，则下列四个结论：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③b a ＋a b >2；④a 2b <2a －b .其中正确的是________．2．若T 1＝2sm ＋n ，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________．3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．4．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则(1＋1x )(1＋1y)的最小值为________．5．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系为__________．6．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．7．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________． 8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 9．(2013·某某)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．10．设a >0，b >0，则以下不等式①ab >2ab a ＋b ，②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2中恒成立的序号是________．B 组专项能力提升1．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为_________________________．2．函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝⎛⎭⎫0，13上的最大值是________． 3．(2013·某某)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．4．已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为________． 5．P ＝x x ＋1＋y y ＋1＋z z ＋1(x >0，y >0，z >0)与3的大小关系是________．6．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，则3x ＋2y ＋z 的最小值为_________________________．7．设a ，b ，c 都是正数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ________.(填序号)①都不大于2； ②都不小于2； ③至少有一个大于2； ④至少有一个不小于2.答案基础知识自主学习要点梳理1．(2)≥a ＝b 正数不小于(即大于或等于) (3)①x ＝y 大 ②x ＝y 小2．(1)≥a ＝b ＝c 不小于 (2)不小于 ≥a 1＝a 2＝…＝a n 4．(1)①a －b >0 ②ab >1 (2)充分条件 (4)相反(5)放大或缩小夯基释疑1．a >b 2．M <N解析 M －N ＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )<0，即M <N .3．a >b >c解析分子有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6∴a >b >c . 4．P ≤Q解析 12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝lg(1＋a )(1＋b ).∵(1＋a )(1＋b )＝1＋(a ＋b )＋ab ≥1＋2ab ＋ab ＝(1＋ab )2，∴(1＋a )(1＋b )≥1＋ab ，∴lg(1＋ab )≤lg(1＋a )(1＋b )＝12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]，即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．∴P ≤Q .5．2解析 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·[( 2a)2＋( 2b)2＋( 2c)2] ≥⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b · 2b ＋c · 2c 2＝18. ∴2a ＋2b ＋2c≥2. ∴2a ＋2b ＋2c 的最小值为2. 题型分类深度剖析例1证明由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )，由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤[(23)2＋(12)2](3x 2＋2y 2)≤(43＋12)×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11，∴2x ＋y ≤11.跟踪训练1425解析由柯西不等式(32＋42)·(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，① 得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.不等式①中当且仅当x 3＝y4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，解得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.例2证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， (1a －1)·(1b －1)·(1c －1)＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.跟踪训练2 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2 (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)a bc ＋b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac 2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立．例3 证明 ∵n (n ＋1)>n 2， ∴S n >1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.又∵n (n ＋1)<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12)＝n (n ＋1)2＋n 2＝n 2＋2n 2<(n ＋1)22.∴n (n ＋1)2<S n <(n ＋1)22.跟踪训练3 证明 ∵k (k ＋1)>k 2>k (k －1)，k ≥2， ∴1k (k ＋1)<1k 2<1k (k －1)，即1k －1k ＋1<1k 2<1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得 12－13<122<1－12； 13－14<132<12－13； …1n －1n ＋1<1n 2<1n －1－1n ；将上述不等式相加得： 12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1<122＋132＋ (1)2 <1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即12－1n ＋1<122＋132＋…＋1n 2<1－1n ， ∴32－1n ＋1<1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n . 练出高分 A 组 1．②③④解析取特殊值a ＝－1，b ＝－2，代入验证得②③④正确． 2．T 1≤T 2解析因为2s m ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0.所以T 1≤T 2. 3．c解析由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0得c >b ，知c 最大．4．4解析 (1＋1x )(1＋1y )≥(1＋1xy )2＝4.5．M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .6．M >N解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba＋a >2a ＋2b ，∴a b ＋b a >a ＋b .即M >N . 7. 3解析 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． ∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 8.39解析 3a ＋2b ＋c ＝3a ＋2b ＋133c ≤⎝⎛⎭⎫3＋1＋13(a ＋2b ＋3c )＝39，故最大值为39.9．－2解析由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2. 10．②④解析 ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab .∴ab ≥2ab a ＋b .故①不恒成立． ②中a ＋b >|a －b |恒成立．③中a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2≥0，故③不恒成立．④中由ab >0及ab ＋2ab≥22>2恒成立，因此只有②④正确．B 组1．16解析 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9x y＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y时，上式等号成立．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 2.4243解析由y ＝x 2·(1－3x )＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝4243. 3．2解析由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.4．9解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，① 同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.② 由①②及不等式的性质得⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2＝33b ×331b＝9. 5．P <3解析 ∵P －3＝x x ＋1－1＋y y ＋1－1＋z z ＋1－1＝－1x ＋1＋－1y ＋1＋－1z ＋1<0，∴P <3. 6．－2 3解析 ∵(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋⎝⎛⎭⎫132] ≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2＝(3x ＋2y ＋z )2，当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤2 3.当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z＝－23，∴最小值为－2 3. 7．④解析∵a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝⎝⎛⎭⎫a＋1a＋⎝⎛⎭⎫b＋1b＋⎝⎛⎭⎫c＋1c≥2＋2＋2＝6.∴a＋1b，b＋1c，c＋1a三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.。

八年级不等关系知识点

八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。

在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。

一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。

在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。

以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。

二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。

1. 对称性。

不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。

2. 传递性。

不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。

3. 反对称性。

不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。

三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。

在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。

1. 应用于数学领域。

不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。

2. 应用于物理学领域。

在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。

3. 应用于经济学领域。

不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。

总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。

(完整word)专题：基本不等式常见题型归纳(学生版),推荐文档

专题：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b 2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当a ＝b 时ab a ＋b2取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】已知且，则的最小值为 .1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 练习：1．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．2.若实数满足，则的最小值为．,x y 133(02xy x x +=<<313x y +-3.已知，且，则的最小值为 .0,0,2a b c >>>2a b +=2ac c c b ab +-+【典例2】已知x ，y 为正实数，则＋的最大值为．4x 4x ＋y y x ＋y 【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +2.设，，则的最小值为_______0,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________ R y x ∈,1422=++xy y x y x +24.已知正数，满足，则的最小值为 a b 195a b+=-ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】已知正数满足，则的最小值为 y x ,1=+y x 1124+++y x 练习1．已知正数满足，则的最小值为 .y x ,111=+y x 1914-+-y y x x2.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy +的最小值为．3．已知函数的图像经过点，如下图所示，(0)x y a b b =+>(1,3)P 则的最小值为 .411a b +-4．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则a x 2b y 12a b ＝________.6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211a b +--最小值为．练习1．设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是．2．已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．3．已知正实数满足，则的最小值为．,x y (1)(1)16x y -+=x y +4.若，且，则使得取得最小值的实数= 。

(完整word版)第11章一元一次不等式与一元一次不等式组教案及单元备课

4、议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果 a＜b，那么 a+c＜b+c;
（2）如果 a＜b，那么 a－c＜b－c;
（3）如果 a＜b,那么 ac＜bc; 2.设 a＞b,用“＜”或“＞”号填空.
（4）如果 a＜b,且 c≠0,那么 a ＞ b . cc
（1）a+1 b+1;
（2）a－3 b－3;
教学重点掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
教学难点一元一次不等式的解法。
教法、学法
分析
自主探究与小组合作交流相结合．
媒体使用和选择
教学过程
二次备课
1、创设情境，引入新课
(1) 不等式的三条基本性质是什么?
(2) 运用不等式基本性质把下列不等式化成 x>a 或 x<a 的形式。
（1）a－3 b－3; （2） a
b;
22
5b;
（5）当 a＞0,b 0 时，ab＞0;
（7）当 a＜0,b 0 时，ab＞0;
三、课堂小结：
（3）－4a －4b; （4）5a
（6）当 a＞0,b （8）当 a＜0,b
0 时，ab＜0; 0 时，ab＜0.
四、作业：
板书设计
2．不等式的基本性质
教学反思
（3）3a 3b;
（4） a
b;
4
4
（5）－ a 7
－ b ; （6）－a －b. 7
5、变式训练：
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;
（2）6x＜5x－1; （3） 1 x＞5; 2
（4）－4x＞3.