与冲激函数或阶跃函数的卷积
与冲激函数或阶跃函数的卷积
系统并联
3、结合律
[ f1(t) f2 (t)] f3(t) f1(t) [ f2 (t) f3(t)]
f1(t)
f1(t)*f2(t)
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
y1(t) f1(t) h(t)= =
y1(t)
f2(t)*f3(t)
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
推广：任意两函数卷积
若：s(t) f1(t) * f2 (t)
则：f1(t t1) * f2 (t t2 ) s(t t1 t2 ) 证明：f1(t t1) * f2 (t t2 )
f1(t)* (t t1)* f2 (t)* (t t2 ) f1(t) * f2 (t) * (t t1) * (t t2 ) s(t) * (t t1 t2 )
t
f2 () * 1()d
类似地：对高阶导数和积分
f (t) f1(t) * f2(t)
则：
f
(i ) (t )
f1( j) (t) *
f
(i 2
j
)
(t)
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t)
f1(1) (t) *
e(t)
lim
t1 0
e(t1)t1
t1
(t
t1)
卷积的物理含义图解：
k (t t1)
kh(t t1)
A
e(t1)t1 (t t1)
A
e(t1)t1h(t t1)
LTI系统的性质
e(t)为激励系统的零状态响应
阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt
间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之
后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。
第2章 连续系统的时域分析
系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的 函数值，可用{y(i)(0-), i=0,1,…,n-1} 表示；而系统的初始条件就 是 系 统 响 应 及 其 各 阶 导 函 数 在 0+ 时 刻 的 函 数 值 ， 用 {y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情况下，我们求的系统响应是指 系统接入激励以后的响应，即0+≤t<+∞。所以，应当利用系统 的初始条件求齐次解中的各个系数。
c1c1
c2 c2
2
2
1
1
c1=1, c2=-2 所以，全响应y(t)为
y(t) e-t 2e-2t t 2 2t 2
(t≥0)
第2章 连续系统的时域分析
2.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
例:建立电流 i t 的微分方程并求解 i t 在 t 0
时的变化。
2 S R1 1
第2章 连续系统的时域分析
【例】描述某线性时不变系统的方程为
d2
d
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
dt
f (t) 2 f (t)
若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1, y′(0+)=1。试求系统 全解。
【解】
特征方程为
d2
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
第2章 连续系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网 络拓扑约束列写系统的微分方程。
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt
C
L
iL 0
et
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在 t 0 时刻的等效
电路如下图所示.电路将在 作.
vc
0
和iL
0
的作用下工
R1
C
L
iL 0
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
根据上图系统满足微分方程
d2 dt 2
izi
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
dt
给定0-状态起始值为r 0- ，确定它的0+状态r 0+ 。
第2章 连续系统的时域分析
设： d r t a ' t b t cu t （#）
dt
积分一次 0 t 0 得
r t a t but （*）
将（#）式和（*）式代入原方程
a ' t b t cu t 3a t bu t 3 ' t
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，
因而有：
i 0+
=
1 R1
e 0+
vc
0+
1 1
4
6 5
14 5
A
d dt
i
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
matlab中阶跃函数算卷积,与冲激函数、阶跃函数的卷积.ppt
matlab中阶跃函数算卷积,与冲激函数、阶跃函数的卷积.ppt 与冲激函数、阶跃函数的卷积信号与系统总 复 习 第⼀章 绪论 1、信号的概念 2、分类：典型的连续时间信号： 指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t), u(t), eat,sin(ω0t), Sa(kt) 3、信号的运算： 移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘 4、奇异信号： 单位斜变、 阶跃、冲激(特性)、冲击偶 5、信号的分解： 脉冲分量、 6、系统模型及其分类 7、线性是不变系统的基本特性： 线性(叠加性、均匀性)、时不变特性、微分特性、因果特性 8、系统分析⽅法： 输⼊输出描述法、状态变量描述法 两对关系式 第⼀章 绪论 系统分析过程 (⼀)冲激响应 h (t) 1)定 义 系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产⽣的零状态响应。
2)求 解 形式与齐次解相同 第⼆章 第三章 傅⽴叶变换 周期信号的傅⽴叶级数 三⾓函数形式、指数形式 典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t), u(t), Sa(t) 傅⽴叶变换 ⾮周期信号的傅⽴叶变换 傅⽴叶变换的性质 对称性，线性、尺度变换特性、时移性(符号相同)，频移性(符号相反) 奇偶虚实性、微分特性、积分特性 卷积定理 周期信号的傅⽴叶变换——与单脉冲 信号的傅⽴叶级数的系数的关系 抽样信号的傅⽴叶变换——与抽样脉冲序列的傅⽒变换及原连续信号的 傅⽴叶变换的关系 抽样定理 时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！ 第三章 傅⽴叶变换 周期信号的傅⽴叶级数 指数形式傅⽴叶级数的傅⾥叶系数 傅⽴叶变换特性主要内容 第三章 典型周期信号傅⽴叶变换 周期单位冲激序列的傅⾥叶变换 周期矩形脉冲序列的傅⽒变换 (⼆) 抽样信号的傅⽴叶变换 1、 矩形脉冲抽样 即 p(t) 为周期矩形脉冲 2、 单位冲激抽样 即 p(t) 为周期冲激脉冲 总结 周期信号的傅⽴叶变换 第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 定义： 单边拉⽒变换、双边、收敛域、常⽤函数的拉⽒变换 拉⽒变换的性质 线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、尺度变换、初值、终值 卷积特性 拉⽒逆变换 部分分式展开法(求系数) 系统函数H(s) 定义(两种定义⽅式) 求解(依据两种定义⽅式) 第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 三．⼀些常⽤函数的拉⽒变换 4．tnu(t) 第四章 因果系统的s域判决条件： 稳定系统：H(s)的全部极点位于s平⾯左半平⾯(不包括虚轴)； 不稳定系统：H(s)的极点落于s平⾯的右半平⾯，或在虚轴上具有⼆阶以上的极点； 临界稳定系统： H(s)的极点落于s平⾯的虚轴上，且只有⼀阶极点。
卷积的性质
第 17 页
阶跃响应的定义
(t )
初始状态为0 LTI
阶跃响应g(t)
第 18 页
冲激与阶跃响应之间的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
第 19 页
冲激响应举例
LTI系统分析概述
系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响 应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
输入输出法（外部法） 系统的分析方法：
状态变量法（内部法）（chp.8)
时域分析（chp.2,chp.3) 外部法 变换域法 离散系统—频域法(4)和z域法(6) 系统特性：系统函数（chp.7)
设
h ' ( 0 ) h ' ( 0 ) a 1
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t ) (e e ) (t )
2t 3t
第 21 页
四、卷积积分
1
2 3
卷积概念
卷积图解法 Matlab求卷积
第 22 页
1.卷积概念
卷积概念视频
第 23 页
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
第 1页
连续系统—频域法(4)和复频域法(5)
求解的基本思路：
把零输入响应和零状态响应分开求。 把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本 信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
采用的数学工具： • 时 域： 卷积积分与卷积和 • 频 域： 傅里叶变换 • 复频域：拉普拉斯变换与Z变换
卷积代数运算
f 2 ( ) f1 (t ) d f 2 t f1 t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。 •一般选比较简单函数进行反转和平移。
■
第 3页
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统级联，框图表示：
f (t ) h1 ( t ) h2 ( t )
y (t )
系统级联
f ( t ) h1 ( t )
f (t )
h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 (t ) h2 (t )
结论：1.子系统级联时，总的冲激响应等于子系 统冲激响应的卷积。 2.子系统级联时，可以交换子系统响应次序。
2．分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联运算
3．结合律 f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )]
▲ ■ 第 9页
t
t
t
卷积微分性质例1
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tu(t)，求f1(t)* f2(t)
f 1(t)
解： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
信号处理知识点总结
信号处理知识点总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】第一章信号1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体2.信号的特性：时间特性，频率特性3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析第二章连续信号的频域分析1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性5.周期信号由无穷多个余弦分量组成周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值相频谱线大小表示谐波分量的相位6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换；非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；非周期信号的频谱是连续的；非周期信号可以用其自身的积分表示10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积à傅里叶级数à离散谱非周期信号：无限区间绝对可积à傅里叶变换à连续谱12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, …..脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍周期信号的傅立叶变换也是离散的；谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同13.信号的持续时间与信号占有频带成反比14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变第三章 连续信号分析1.正弦信号的性质：两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变，幅值和相位改变;频率比为有理整数的正弦信号合成为非正弦周期信号，以低频（基频f0）为基频，叠加一个高频 (频nf0)分量2.函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积: f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身; f(t)与冲激偶的卷积,d(t)称为微分器f(t)与阶跃函数的卷积, u(t)称为积分器 3. 函数正交的充要条件是它们的内积为0第二章 离散傅里叶变换及其快速算法1.时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列2.周期卷积特性：同周期序列的时域卷积等于频域的乘积同周期序列的时域乘积等于频域的卷积3.周期卷积与线性卷积的区别：线性卷积在无穷区间求和;周期卷积在一个主值周期内求和4.有限长序列隐含着周期性5.有限长序列的循环移位导致频谱线性相移而对频谱幅度无影响6．FFT 的计算工作量：FFT 算法对于N 点DFT,仅需(N/2)log2N次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法)()()(t f t t f '='*δ⎰∞-=*td f t u t f λλ)()()(第三章随机信号分析与处理1 随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来描述。
信号处理知识点总结
第一章信号1.信息是消息的内容，消息是信息的表现形式，信号是信息的载体2.信号的特性：时间特性，频率特性3.若信号可以用确定性图形、曲线或数学表达式来准确描述，则该信号为确定性信号若信号不遵循确定性规律，具有某种不确定性，则该信号为随机信号4.信号分类：能量信号，一个信号如果能量有限；功率信号，如果一个信号功率是有限的5.周期信号、阶跃信号、随机信号、直流信号等是功率信号，它们的能量为无限6.信号的频谱有两类：幅度谱，相位谱7.信号分析的基本方法：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析第二章连续信号的频域分析1.周期信号频谱分析的常用工具：傅里叶三角级数;傅里叶复指数2.利用傅里叶三角级数可以把周期信号分解成无穷多个正、余弦信号的加权和3频谱反映信号的频率结构，幅频特性表示谐波的幅值，相频特性反映谐波的相位4.周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性5.周期信号由无穷多个余弦分量组成周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值相频谱线大小表示谐波分量的相位6.周期信号的功率谱等于幅值谱平方和的一半，功率谱反映周期信号各次谐波的功率分配关系，周期信号在时域的平均功率等于其各次谐波功率之和7.非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号8.周期T0增大对频谱的影响：谱线变密集，谱线的幅度减少9.非周期信号频谱的特点：非周期信号也可以进行正交变换；非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集；非周期信号的频谱是连续的；非周期信号可以用其自身的积分表示10.常见奇异信号：单位冲激信号，单位直流信号，符号函数信号，单位阶跃信号11.周期信号的傅里叶变换：周期信号：一个周期绝对可积◊傅里叶级数◊离散谱非周期信号：无限区间绝对可积◊傅里叶变换◊连续谱12.周期信号的傅立叶变换是无穷多个冲激函数的线性组合脉冲函数的位置：ω＝nω0 , n=0,±1,±2, …..脉冲函数的强度：傅里叶复指数系数的2π倍周期信号的傅立叶变换也是离散的；谱线间隔与傅里叶级数谱线间隔相同13.信号的持续时间与信号占有频带成反比14.信号在时域的翻转，对应信号在频域的翻转15.频域频移，时域只有相移，幅频不变；时域相移，只导致频域频移，相位不变第三章 连续信号分析1.正弦信号的性质：两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变，幅值和相位改变;频率比为有理整数的正弦信号合成为非正弦周期信号，以低频（基频f0）为基频，叠加一个高频 (频nf0)分量2.函数f(t)与冲激函数或阶跃函数的卷积: f(t)与冲激函数卷积，结果是f(t)本身; f(t)与冲激偶的卷积,δ(t)称为微分器 f(t)与阶跃函数的卷积, u(t)称为积分器 3. 函数正交的充要条件是它们的内积为0第二章 离散傅里叶变换及其快速算法1.时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列2.周期卷积特性：同周期序列的时域卷积等于频域的乘积同周期序列的时域乘积等于频域的卷积3.周期卷积与线性卷积的区别：线性卷积在无穷区间求和;周期卷积在一个主值周期内求和4.有限长序列隐含着周期性)()()(t f t t f '='*δ⎰∞-=*td f t u t f λλ)()()(5.有限长序列的循环移位导致频谱线性相移而对频谱幅度无影响6．FFT的计算工作量：FFT算法对于N点DFT,仅需(N/2)log2N次复数乘法运算和Nlog2N 次复数加法第三章随机信号分析与处理1 随机信号是随时间变化的随机变量，用概率结构来描述。
信号第二章3卷积
若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]
e( ) H [ (t )]d
e( )h(t )d
零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt
r (t ) e( )h(t )d
1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)
课件：第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
R + iL uL L -
iL (0
)
1 L
L
R
iL
1
e
t
L
uL
iLR
R L
t
e
冲激响应为
iL
1 e
L
t
(t)
uL
(t)
R L
e
t
(t)
1 iL L
0
uL δ(t )
t
0
R
t
L
例3 已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。
解（1） t 在 0- ~ 0+间
)]
iC
CU(t)
iCdt q CU
0
t
特例
US
S
i
+
t = 0时合S
uC
–
C
则
i= CUS(t)
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0
i( )d
0
= US
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0)
iC1 e2t (t ) mA
10k
+ 10ε(t 0.5)
-
iC
10k
100F
uC(0-)=0 由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2(t 0.5) (t 0.5) mA
iC e2t (t ) e 2(t0.5) (t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e2t (t ) e2(t 0.5) (t 0.5) mA iC e2t [ (t ) (t 0.5)] [e2t e2(t0.5) ] (t 0.5)
最新§2.4 卷积积分的性质
ε(t) *ε(t) = tε(t)
▲
■
第3页
三、卷积的微积分性质
1. d d tn nf1 ( t)* f2 ( t) d n d f t1 n ( t)* f2 ( t) f1 ( t)* d n d f t2 n ( t)
证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
§2.4 卷积积分的性质
▲
■
第1页
证明交换律
f1tf2t f1()f2(t)d
令t， 则 : : ， dd
f1tf2t f2()f1(t)df2tf1t
•卷积结果与交换两函数的次序无关。
•一般选比较简单函数进行反转和平移。
■
第2页
二、与冲激函数或阶跃函数的卷积
1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证： (t)* f(t) ()f(t )d f(t)
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2. f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
'( t)* f( t) '()f( t)d f'( t)
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3. f(t)*ε(t) f()(t )d tf()d
= f1(t)* f2(t –t1 –t2)
= f(t –t1 –t2)
例
求卷积是本章的重点与难点。
求解卷积的方法可归纳为：
（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的
函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
信号分析与处理公式 笔记
信号分析是认识世界的方法，信号处理是改造世界的手段用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x (t ) = 2ε(t )- 3ε(t -1) +ε(t -2)冲激函数的性质1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质若x (t )在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x (t )δ(t ) = x (0)δ(t ) ， x (t )δ(t –t 0) = x (a) (t –t 0) 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分——抽样性质3）冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
如 x (t ) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) x′(t ) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)注意：图中K 为强度，要括住！冲激函数的导数δ’(t ) （也称冲激偶信号） 1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质2） 抽样性质 例如：★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示周期信号的傅里叶级数 1、傅里叶级数的三角形式)(d )()(00t x t t t t x =-⎰∞∞-δ⎰∞-=tt ττδεd )()(dt t d t )()(δδ='()()(0)()(0)()x t t x t x t δδδ'''=-00()()d ()x t t t t x t δ∞-∞''-=-⎰)42(4)(2-=t t t xδ24(2(2))t t δ=-24(2)8(2)2t t t δδ=-=-1sin()()2j t j tt e e j ωωω-=-1cos()()2j t j t t e e ωωω-=+))sin()cos(()(1110t k b t k a a t x k k k ωω++=∑∞=∑∞=++=110)cos()(k k k t k C C t x ϕω⎰∞∞--=ττδτd )()()(t x t x2、傅里叶级数的指数形式两种傅氏级数的系数间的关系:非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的频谱1.单边指数信号 x (t) = e –αt ε(t)， α >0实数2. 矩形脉冲信号 （门函数）3. 符号函数4. 单位冲激信号5. 单位阶跃信号 ⎰-=221111d )cos()(2T T k t t k t x T a ω∑∞-∞==k tjk k X t x 1e )(ω000a c X ==)(21k k j k k jb a e X X k -==ϕ)(21k k j k k jb a e X X k+==---ϕ()()()()()()1F 1F 2j tj tX x t x t e dt x t X X e d ωωωωωωπ∞--∞∞--∞⎧==⎡⎤⎣⎦⎪⎨⎪==⎡⎤⎣⎦⎩⎰⎰⎰∞∞--∞→==t t x T X X tj k T d e )(lim )(11ωω()()()j X X e ϕωωω=⎰∞∞-=dt t x X )()0(⎰∞∞-=ωωπd )(21)0(X x ωαωαωωαωαj j t X t j t j t +=+-==∞+-∞--⎰1e 1d e e )(0)(0()()22222sin Sa 22j t j t j t E X x t e dt E e dt e j E E ττωωωττωωωτωττω∞----∞--===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()1,0sgn 1,0t x t t t >⎧==⎨-<⎩ωωαωωααj j X t 22lim )(lim )sgn(22010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=←→→→0()()1j t j X t e dt e ωωωδ+∞---∞===⎰)(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→⎰∞∞--t tj 111傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)2. 对偶性(Symmetrical Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则 其中 “a ” 为不等于零的实常数。
卷积积分介绍
h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；
§2.4 卷积积分的性质
求卷积是本章的重点与难点. 求卷积是本章的重点与难点.
卷积的方法可归纳为 求解卷积的方法可归纳为: 求解卷积的方法可归纳为: (1)利用定义式,直接进行积分.对于容易求积分的 )利用定义式,直接进行积分. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. 函数比较有效.如指数函数,多项式函数等. (2)图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. )图解法.特别适用于求某时刻点上的卷积值. (3)利用性质.比较灵活. )利用性质.比较灵活. 三者常常结合起来使用. 三者常常结合起来使用. ▲ ■
∞ ∞
f (t +τ ) f (t) dt
显然, 偶函数. 显然,R(-τ)= R(τ)偶函数. 偶函数
▲ ■
2. 相关与卷积的关系
R12 (t) =
∫ ∞ f1(x) f2 (x t) d x
∫ ∞ f1(x) f2 (t x) d x
∞
∞
f1(t) * f 2 (t) =
R12(t)= f1(t)* f2(–t) R21(t) = f1(–t)* f2(t) . 可见, 均为实偶函数, 可见,若f1(t)和 f2(t)均为实偶函数,则卷积与相 和 均为实偶函数 关完全相同. 关完全相同.
▲
■
1.定义 1.定义
实能量有限函数f 和 实能量有限函数 1(t)和f2(t)的互相关函数 的互相关函数
R (τ ) = 12
R21(τ ) =
∫ ∞ f1(t) f2 (t τ ) dt = ∫ ∞ f1(t +τ ) f2 (t) dt
∞
∞
∞
∫ ∞
f1(t τ ) f 2 (t) d t =
卷积代数运算 一,卷积代数运算
1.交换律
与冲激函数或阶跃函数的卷积
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
n k
0 k n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
冲激序列与其他函数的卷积关系
冲激序列与其他函数的卷积关系一、引言在信号处理领域中，卷积运算是一种非常重要的数学运算。
它可以用来描述两个信号之间的相互作用。
在本文中，我们将探讨冲激序列与其他函数的卷积关系。
二、什么是冲激序列冲激序列是一种特殊的离散时间信号，它在时刻0处取值为1，其余时刻均为0。
冲激序列通常表示为δ[n]或δ(n)，其中n表示时刻。
三、什么是卷积卷积是一种数学运算，它描述了两个函数之间的相互作用。
对于离散时间信号f[n]和g[n]，它们的卷积定义为：h[n] = ∑f[k]g[n-k]其中k表示一个整数变量。
四、冲激序列与单位阶跃函数的卷积关系单位阶跃函数u[n]在时刻0处取值为0，在其余时刻取值为1。
单位阶跃函数可以表示为：u[n]=\begin{cases}0, & n<0 \\1, & n\geq 0\end{cases}我们可以使用单位阶跃函数来表示冲激序列：δ[n]=u[n]-u[n-1]现在我们来计算冲激序列与单位阶跃函数的卷积。
根据卷积的定义，我们有：h[n] = ∑δ[k]u[n-k]= ∑(u[k]-u[k-1])u[n-k]= u[n]-u[n-1]因此，冲激序列与单位阶跃函数的卷积结果为：h[n]=\begin{cases}1, & n=0 \\0, & n\neq 0\end{cases}五、冲激序列与正弦函数的卷积关系现在我们来考虑冲激序列与正弦函数的卷积关系。
设正弦函数为：f[n]=sin(ωn)其中ω表示角频率。
根据卷积的定义，我们有：h[n] = ∑δ[k]f[n-k]= f[n]因此，冲激序列与正弦函数的卷积结果为正弦函数本身。
六、冲激序列与余弦函数的卷积关系类似地，我们可以考虑冲激序列与余弦函数的卷积关系。
设余弦函数为：f[n]=cos(ωn)根据卷积的定义，我们有：h[n] = ∑δ[k]f[n-k]= f[n]因此，冲激序列与余弦函数的卷积结果也为余弦函数本身。
信号与系统(郑君里)课后答案 第二章习题解答
( p + 5) h(t ) = 1 δ (t ) + 2δ (t )
p +1
3
⇒
h(t) =
1⋅ p+5
1δ p +1
(t ) +
2δ p+5
(t) =
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
−1 4+
p+5
1⎞
4 p +1
⎟ ⎟δ ⎟
(t ) +
2δ p+5
(t)
⎝
⎠
⇒
h(t)
=
⎛ ⎜⎝
7 4
e−5t
+
1 4
e−t
⎞ ⎟⎠
卷积的微分与积分；与冲激函数或阶跃函数的卷积）对表达式进一步的化简，甚至直接得到
结果。
解题过程：
（1） f (t ) = u (t ) − u (t −1) = u (t )∗ ⎡⎣δ (t ) − δ (t −1)⎤⎦
∴s (t ) = f (t ) ∗ f (t ) = u (t ) ∗ ⎡⎣δ (t ) −δ (t −1)⎤⎦ ∗u (t )∗ ⎡⎣δ (t ) − δ (t −1)⎤⎦ = ⎡⎣u (t ) ∗u (t )⎤⎦ ∗ ⎡⎣δ (t ) − 2δ (t −1) + δ (t − 2)⎤⎦ = tu (t ) ∗ ⎡⎣δ (t ) − 2δ (t −1) + δ (t − 2)⎤⎦ = tu (t ) − 2(t −1)u (t −1) + (t − 2)u (t − 2)
⎞ ⎟⎠
u
(t)
受迫响应： 3 u (t )
2 综观以上两种方法可发现 p 算子法更简洁，准确性也更高
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•两有限长序列的卷积和也是 有限长的序列
•序列长度---->序列值不为零的个数 •卷积和的序列长度＝两序列长度之和－1 L=L1+L2-1
三、列表法：卷积的数值计算
h(t)
f1(n) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
f2(n)
1 1 2 3
E(t)
1 1 2 3
四、解析法
证：
d d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 f 2 t d dt dt d d f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 2 (t )d dt d (t ) d f1 (t ) * f 2 (t ) dt
r ( n)
k n
e(k )u(k )h(n k )u(n k )
k 0
e( k ) h ( n k )
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1 (n) f 2 (n)
k
f (k ) f
1
2
(n k )
满足交换律、分配率、结合律
f1 (t ) * f 2 (t ) * (t t1 ) * (t t2 ) s(t ) * (t t1 t2 ) s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t ) * ' (t )
f ' (t ) * (t ) f ' (t )
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
推广：任意两函数卷积
若：s(t ) f1 (t ) * f 2 (t )
则：f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) s(t t1 t2 )
证明：f1 (t t1 ) * f 2 (t t2 ) f1 (t ) * (t t1 ) * f 2 (t ) * (t t2 )
(3)性质---与(n)的卷积和 f (n) (n) (n) f (n)
k
(k ) f (n k )
k 0时， (k ) 1
f ( n)
推广：
f (n) * (n n1 ) (n n1 ) * f (n) f (n n1 )
h2 (t)=f2(t)
h3 (t)=f3(t)
=
系统级联或串联
二 卷积的微分和积分
（1）微分：两个函数相卷积后的导数等于其中一个函 数的导数与另一个函数的卷积
d df 2 (t ) df1 (t ) [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * * f 2 (t ) dt dt dt
作业：2-6(1) (4),2-10, 2-12(d)
作业：2-7, 2-14(2) (3)(6), 2-17(1) 2-18(2)
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution) 2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和： 求和变积分
e(t )
e(t1 )
t1
e(t ) lim
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1
e( ) (t )d
卷积图解实例
2.4.3卷积的性质
一、卷积的代数性质
二、卷积的积分和微分
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积 一、卷积的代数性质
卷积运算是一种代数运算，与乘法运算的某些 性质相同 1、交换律
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
2、分配律
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f3 (t )
同理可证：左边＝
df1 (t ) * f 2 (t ) dt
（2）积分：两个函数相卷积后的积分等于其中一个 函数的积分与另一个函数的卷积
t
f1 ( ) * f 2 ( )d f1 ( ) * f 2 ( ) *
t
t
f 2 ( )d f1 ( )d
类似地：对高阶导数和积分
卷积的积分性质
1 t
（3）与阶跃函数u（t）的卷积
1
f (t ) * u(t ) f (t ) * (t ) f (t ) f ( )d
应用：函数与奇异信号的卷积与下式结合紧密
f (t ) f
(1) 1
(t ) * f 2
( 1)
t d (t ) f1 t * f 2 ( )d dt
it c e r f (t ) i
i 1 n
离散系统解的形式： r (t )
ci i
i 1
n
n
r f (t )
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
单位样值响应h(n)： （n）
h(t)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的 形式 （3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
h(n)
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r (t ) e(t ) h(t )
3.1 3.2
e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
卷积的性质 与图解 与冲激函数的卷积及其推广
f (t ) * (t t0 ) (t t0 ) * f (t ) f (t t0 )
f2(k)--> f2(k)
(2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k)
(3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
n>0时，右移n，n<0时，左移 |n|； (4)相乘求和：对给定的n，计算两波形重合部分的乘 积f1(k)f2(n－k)的各点值，取和得到该n值下的f(n)；
例如：已知系统的单位样值响应 h(n) a nu(n) 激励 x(n) bnu(n) a b 求零状态响应 y ( n) ?
解:
y ( n) x ( n) * h( n)
n k 0
x(n)和h(n)均为因果信号
n k 0
y ( n ) x ( k ) h( n k ) b k a n k
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1
卷积的物理含义图解：
k (t t1 )
A
kh(t t1 ) e(t1 )t1h(t t1 )
A
e(t1 )t1 (t t1 )
LTI系统的性质 e(t)为激励系统的零状态响应
r (t ) lim
f (n n1 ) * (n n2 ) (n n1 ) * f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明
f (n) f1 (n) f 2 (n)
卷积和的图解步骤：
k
f (k ) f
1
2
(n k )
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k),
§2.5 卷积和—已知单位样值响应， 求系统零状态响应 一、 卷积和定义
e(n)
h( n)
r (n) e(n) * h(n)
e(n)
Convl89.m
k
e(k ) (n k )
r ( n ) e( n ) * h ( n )
k
e( k ) h ( n k )
f (t ) f1(t ) * f 2 (t ) 则： f (i ) (t ) f1( j ) (t ) * f2(i j ) (t )
其中，I，j取正整数时，为导数阶次 若I，j取负整数时，为重积分次数，如
f (t ) f
(1) 1
(t ) * f 2
( 1)
t d (t ) f1 t * f 2 ( )d dt
t1 d t1
t1
e(t1 )t1 (t t1 ) e(t1 )t1h(t t1 )
r (t )
r (t ) lim
t1 0
t1
e(t1 )t1h(t t1 )
r (t ) e( )h(t )d
e(t ) lim
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
2.4.2卷积的图解说明
卷积的图解步骤： (1)变量置换： f1(t)--> f1(), f2(t)--> f2() (2)反褶：将f2()以纵轴为对称轴反褶，得f2(－) (3)平移：将f2(－)沿轴自左向右平移t，得f2(t－)，t 从-向+ 变化； (4)相乘：函数f1()与f2(t－)相乘，两波形重叠部分有 值，不重叠部分乘积为0； (5)积分：计算积分 f1 ( ) f 2 ( t ) d ，f1()与f2(t－)乘 积曲线下的面积为t时刻卷积值。
b n 1 1 ( b n k n a) a ( ) a b a 1 k 0 a n
a
n 1
b a b
n 1
u ( n)
第二章 连续时间系统的时域分析方法 要内容
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ微分(差分）方程的解——求时域响应