7.5 空间向量及其应用

§7.5空间向量及其应用1．空间向量的有关概念

2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理

空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂直，

记作a ⊥b . ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．

5.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

(3)

概念方法微思考

1．共线向量与共面向量相同吗？

提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量． 2．零向量能作为基向量吗？

提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )

(4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( √ ) 题组二 教材改编

2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →

＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C ．－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

2

b ＋

c 答案 A

解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)

＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1

2

b ＋

c .

3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 答案

2

解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →

)2

＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴|EF →

|＝2，∴EF 的长为 2.

题组三 易错自纠

4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )

A ．垂直

B ．平行

C ．异面

D ．相交但不垂直

答案 B

解析 由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →

＝(1,1，－1)，

∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →

共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .

5．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →

，若P ，A ，B ，C

四点共面，则实数t ＝______. 答案 1

8

解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18

. 6．设μ，v 分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案 α⊥β α∥β

解析 当v ＝(3，－2,2)时，μ·v ＝－2×3＋2×(－2)＋5×2＝0，μ⊥v ，所以α⊥β； 当v ＝(4，－4，－10)时，v ＝－2μ，μ∥v ，所以α∥β.

7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________，以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________． 答案 120° 60°

解析 由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10，即2a ·c ＋b ·c ＝－10.因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18，所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12

，所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线

的夹角为60°.