经济数学基础 概率统计第二章 习题解答
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a 1
1 1 1 1 F ( x) dt arctant arctanx 2 2 (1 t )
1 1 1 P X 1 dx 2 dx 2 2 1 (1 x ) 0 (1 x ) 1
x
x
1 arctanx 2 0
解：X可以取0，1，2，3各值。
3 1 2 C3 C9 C3 1 27 PX 0 3 PX 1 3 C12 220 C12 220
C C C 108 PX 2 3 220 PX 3 C12 C
2 9 1 3
C C 或PX n C
n 9
PX 2
1 2 1 ( ) 16 4
4、第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止， 求抽取次数X的概率分布
解：X可以取1，2，……可列个值。
1 3 n 1 PX n ( ) 4 4
n=1，2……
5、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不 放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的 概率分布。 （1）抽取次数X； （2）取到的旧球个数Y。 解（1）X可以取1，2，3，4各值。 （2）Y可以取0,1，2，3各值。 3 3 PX 1 PX 1 P 0 Y 4 4 3 9 9 PX 2 12 11 PY 1 PX 2 9
解
c c c c c 137c c 1 2 3 4 5 i 1 n 60
5
60 因 此c 137 c 300 EX n 5c n i 1 137
5
41.随机变量X 只取 1， 1三个值，且相应概率的 0， 比为 1： 3，计算 . 2： EX
解：串联电路正常工作 的充要条件是， 3个元件都正常工作， 3个元件的寿命是相互独 立，同分布的随机变量 ， 故串联电路正常工作，3个元件都正常工作的概 即 率为：
[ PX 150 ]3
而PX 150
100 100 2 dx 2 x 150 3 150 x
n
p 1 有 1 p
8、已知 P
X n p
1 p 2
n
，n=2，4，6，……，求p得值。
2 p2 （舍去） 2
p2 2 解：p 2 p4 p6 ...... 1 p1 1 p2 2
9、已知 PX n cn, n 1,2,..., 100，求c的值。
34.随 机 变 量 服 从0, 上 的 均 匀 分 布 cos X , 求Y 的 X Y 2 概 率 密 度fY ( y ).
解
y cos x 在0, 上单调，在（1 0， ）上， 2 1 h( y ) x arccosy 有 h( y ) 1 y2 2 有 f X [h( y )] 因此
2 ye y , y 0 f Y ( y) 0, y 0. 1 2 , 当x 0时，z x 单调，其反函数为 z , x z x 2 z 1 z e , z0 f Z (z) 2 z 0, z 0.
2
c 40. PX n , n 1,2,3,4,5, 确 定C 的 值 并 计 算 . EX n
解：若 ( x )是密度函数，则( x ) 0, 即a 0, 此时 f f
a2 a
f ( x )dx 2 xdx x
a
a2
2 a2 a
4a 4 1
与 f ( x )dx 1矛 盾 ， 故f ( x )不 是 密 度 函 数 .
19. 某 种 电 子 元 件 寿 命是 随 机 变 量 ， 概 率 密 为 X 度 100 2 , x 100 f ( x) x 0, x 100 3个 这 种 元 件 串 联 在 一 线 路 个 中 ， 计 算 这个 元 件 使 用 了 小 3 150 时 后 仍 能 使 线 路 正 常作 的 概 率 工 .
2
1
27.设 随 机 变 量X 的 分 布 函 数 ( x )为 F A 1 2 , x 2 F ( x) x 0, x 2. 试 确 定 常 数A, 并 求 P{0 X 4}.
解 由 F (2 0) F (2)
得 A4
A 有 1 0, 4
解： F () 0 1, 不能是分布函数 .
确 定a值 ； 求 分 布 函 数 ( x );计 算P x 1. F
a 26. 随 机 变 量 ~ f ( x ) X , 2 (1 x )
a a 解 ： f ( x )dx 1 dx arctanx a 2 (1 x )
1
c 1 x
2
1
dx c
1
1
1 1 x
2
dx
1
1
c arcsi nx 1 c ,
1 2
c
1 2
1 1 2 1 P X dx arcsinx 2 1 1 x 2 3 0
2
23.设 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 ( x )为 X F 0, x 0 F ( x) A x , 0 x 1 1, 1 x 确 定 系 数A； 求 P{0 X 0.25}； 求 概 率 密 度( x ). f
100 n 1
解： cn c(1 2 ... 100 ) 5050 c 1
1 c 5050
14.一 条 公 共 汽 车 线 路 的 站 之 间 ， 有 四 个 路 口 有 信 号 灯 ， 假 定 汽 车 经 两 设 过 每 个 路 口 时 ， 遇 到 灯 可 通 过 ， 概 率 为6， 遇 到 红 、 黄 灯 则 停 概 率 绿 0. ， 为0.4， 求 汽 车 开 出 后 ， 在 一 次 停 车 之 前 已 通 过 路 口 数 的 概 率 分 布 第 的 X .
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
PX m
m 2 C5 C15 m
2 C 20
( m 0,1,2)
3、上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品 中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布。 解：X的取值仍是0，1，2 3 2 9 3 6 1 1 ( ) P X 0 P X 1 C 2 ( )( ) 16 4 4 4 16
解： 连续型随机变量的分布函数是连续函数 X ， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F (0.25) F (0) 0.5
1 ,0 x 1 ( x ) 2 x f ( x) F 0, 其 它
25.函数(1 x 2 )1 可否为连续型随机变量 的分布函数，为什么？
解：X可取0， 2， 4，X 0表示第一个路口就遇红 1， 3， 、黄灯， X 4表示一路绿灯 .
PX 0 0.4， PX 1 0.6 0.4 0.24, PX 2 0.6 0.6 0.4 0.144, PX 3 0.6 0.6 0.6 0.4 0.0864 PX 4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.1296 , ,
PX 3
PX 4
3 2 9 9 12 11 10 220
3 2 1 9 1 12 11 10 9 220
44
P 2 Y
P 3 Y
44 P X 3 9 220 1 P X 4 220
6、上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取得新球数目 X的概率分布。
（2 3 8 [ PX 150 ]3 ） 3 27
22. 随 机 变 量 ~ X 确 定c值 ； 计 算 P
c , x 1 2 f ( x) 1 x 0, 其它 1 x . 2
解 ： f ( x )dx 1
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。 解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
a2
2
因此 a
F ( x ) 0
2t
2
dt
x2
2
0, x 0, 2 x F ( x) 2 , 0 x , 1, x .
31.随机变量 服从参数为 .7 的0 1分布，求 2, X 22 X X 0 X 的概率分布 .
x
2
arctane x
29.随 机 变 量X ~ f ( x ), 2x 2 , 0 xa f ( x) 0, 其 他. 试 定 a的 值 并 求 分 布 函 数( x ). F
解 由 1 0
a
2x
当 0 x
x
dx 2
x
2 a 2 0
时
3 n 3 3 12
3 9 3 12
84 220
（n=0，1，2，3）
7、已知 X n pn ，n=1，2，3，……，求p的值 P
解：根据 pX n 1
n 1
p(1 p n ) lim p i lim 1 ，有 n i 1wk.baidu.comn 1 p
P{0 X 4} P{0 X 4} F (4) F (0) 0.75 .
A 28.设 随 机 变 量X ~ f ( x ), f ( x ) x , 确 定A的 值 ； x e e 求 分 布 函 数 ( x ). F
A ex 解 由 1 x dx A dx x 2x 1 e e e x Aarctan e A 2 2 因此 A 2 2 x F ( x ) dt arctane t t t (e e )
解
X 2仍服从 1分布，且 X 2 0 PX 0 0.3 0 P P X 2 1 PX 1 0.7
X 22 X 的取值为 1与0，
P X 2 2 X 0 PX 0 0.3 P X 2 2 X 1 1 PX 0 0.7
2 , 0 y1 f Y ( y) 1 y 2 其 他. 0,
36.随 机 变 量X ~ f ( x ), e x , f ( x) 0, Y x0 x 0.
X , Z X 2 , 分 别 计 算 随 机 变 量与Z的 概 率 密 度 Y . 解 当x 0时，y x单调，其反函数为 y 2 , x 2 y , x y
PX k 0.6k 0.4, ( k 0,1,2,3) 公式法： PX 4 0.64
2 x, a x a 2 17. f ( x) 其它 0, 问f ( x )是 否 为 密 度 函 数 ， 若 确 定a值 ； 若 不 是 说 明 理 由 是 .
1 1 1 1 F ( x) dt arctant arctanx 2 2 (1 t )
1 1 1 P X 1 dx 2 dx 2 2 1 (1 x ) 0 (1 x ) 1
x
x
1 arctanx 2 0
解：X可以取0，1，2，3各值。
3 1 2 C3 C9 C3 1 27 PX 0 3 PX 1 3 C12 220 C12 220
C C C 108 PX 2 3 220 PX 3 C12 C
2 9 1 3
C C 或PX n C
n 9
PX 2
1 2 1 ( ) 16 4
4、第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止， 求抽取次数X的概率分布
解：X可以取1，2，……可列个值。
1 3 n 1 PX n ( ) 4 4
n=1，2……
5、盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不 放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的 概率分布。 （1）抽取次数X； （2）取到的旧球个数Y。 解（1）X可以取1，2，3，4各值。 （2）Y可以取0,1，2，3各值。 3 3 PX 1 PX 1 P 0 Y 4 4 3 9 9 PX 2 12 11 PY 1 PX 2 9
解
c c c c c 137c c 1 2 3 4 5 i 1 n 60
5
60 因 此c 137 c 300 EX n 5c n i 1 137
5
41.随机变量X 只取 1， 1三个值，且相应概率的 0， 比为 1： 3，计算 . 2： EX
解：串联电路正常工作 的充要条件是， 3个元件都正常工作， 3个元件的寿命是相互独 立，同分布的随机变量 ， 故串联电路正常工作，3个元件都正常工作的概 即 率为：
[ PX 150 ]3
而PX 150
100 100 2 dx 2 x 150 3 150 x
n
p 1 有 1 p
8、已知 P
X n p
1 p 2
n
，n=2，4，6，……，求p得值。
2 p2 （舍去） 2
p2 2 解：p 2 p4 p6 ...... 1 p1 1 p2 2
9、已知 PX n cn, n 1,2,..., 100，求c的值。
34.随 机 变 量 服 从0, 上 的 均 匀 分 布 cos X , 求Y 的 X Y 2 概 率 密 度fY ( y ).
解
y cos x 在0, 上单调，在（1 0， ）上， 2 1 h( y ) x arccosy 有 h( y ) 1 y2 2 有 f X [h( y )] 因此
2 ye y , y 0 f Y ( y) 0, y 0. 1 2 , 当x 0时，z x 单调，其反函数为 z , x z x 2 z 1 z e , z0 f Z (z) 2 z 0, z 0.
2
c 40. PX n , n 1,2,3,4,5, 确 定C 的 值 并 计 算 . EX n
解：若 ( x )是密度函数，则( x ) 0, 即a 0, 此时 f f
a2 a
f ( x )dx 2 xdx x
a
a2
2 a2 a
4a 4 1
与 f ( x )dx 1矛 盾 ， 故f ( x )不 是 密 度 函 数 .
19. 某 种 电 子 元 件 寿 命是 随 机 变 量 ， 概 率 密 为 X 度 100 2 , x 100 f ( x) x 0, x 100 3个 这 种 元 件 串 联 在 一 线 路 个 中 ， 计 算 这个 元 件 使 用 了 小 3 150 时 后 仍 能 使 线 路 正 常作 的 概 率 工 .
2
1
27.设 随 机 变 量X 的 分 布 函 数 ( x )为 F A 1 2 , x 2 F ( x) x 0, x 2. 试 确 定 常 数A, 并 求 P{0 X 4}.
解 由 F (2 0) F (2)
得 A4
A 有 1 0, 4
解： F () 0 1, 不能是分布函数 .
确 定a值 ； 求 分 布 函 数 ( x );计 算P x 1. F
a 26. 随 机 变 量 ~ f ( x ) X , 2 (1 x )
a a 解 ： f ( x )dx 1 dx arctanx a 2 (1 x )
1
c 1 x
2
1
dx c
1
1
1 1 x
2
dx
1
1
c arcsi nx 1 c ,
1 2
c
1 2
1 1 2 1 P X dx arcsinx 2 1 1 x 2 3 0
2
23.设 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 ( x )为 X F 0, x 0 F ( x) A x , 0 x 1 1, 1 x 确 定 系 数A； 求 P{0 X 0.25}； 求 概 率 密 度( x ). f
100 n 1
解： cn c(1 2 ... 100 ) 5050 c 1
1 c 5050
14.一 条 公 共 汽 车 线 路 的 站 之 间 ， 有 四 个 路 口 有 信 号 灯 ， 假 定 汽 车 经 两 设 过 每 个 路 口 时 ， 遇 到 灯 可 通 过 ， 概 率 为6， 遇 到 红 、 黄 灯 则 停 概 率 绿 0. ， 为0.4， 求 汽 车 开 出 后 ， 在 一 次 停 车 之 前 已 通 过 路 口 数 的 概 率 分 布 第 的 X .
解： X可以取0，1，2三个值，有古典概型公式可知
PX m
m 2 C5 C15 m
2 C 20
( m 0,1,2)
3、上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品 中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布。 解：X的取值仍是0，1，2 3 2 9 3 6 1 1 ( ) P X 0 P X 1 C 2 ( )( ) 16 4 4 4 16
解： 连续型随机变量的分布函数是连续函数 X ， F (1) F (1 0), 故A 1
P{0 X 0.25} F (0.25) F (0) 0.5
1 ,0 x 1 ( x ) 2 x f ( x) F 0, 其 它
25.函数(1 x 2 )1 可否为连续型随机变量 的分布函数，为什么？
解：X可取0， 2， 4，X 0表示第一个路口就遇红 1， 3， 、黄灯， X 4表示一路绿灯 .
PX 0 0.4， PX 1 0.6 0.4 0.24, PX 2 0.6 0.6 0.4 0.144, PX 3 0.6 0.6 0.6 0.4 0.0864 PX 4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.1296 , ,
PX 3
PX 4
3 2 9 9 12 11 10 220
3 2 1 9 1 12 11 10 9 220
44
P 2 Y
P 3 Y
44 P X 3 9 220 1 P X 4 220
6、上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取得新球数目 X的概率分布。
（2 3 8 [ PX 150 ]3 ） 3 27
22. 随 机 变 量 ~ X 确 定c值 ； 计 算 P
c , x 1 2 f ( x) 1 x 0, 其它 1 x . 2
解 ： f ( x )dx 1
1、已知随机变量X服从0-1分布，并且PX 0 0.2 求X的概率分布。 解：X只取0与1两个值,
PX 0 PX 0 PX 0 0.2
PX 1 1 PX 0 0.8
2、一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件， 共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布。
a2
2
因此 a
F ( x ) 0
2t
2
dt
x2
2
0, x 0, 2 x F ( x) 2 , 0 x , 1, x .
31.随机变量 服从参数为 .7 的0 1分布，求 2, X 22 X X 0 X 的概率分布 .
x
2
arctane x
29.随 机 变 量X ~ f ( x ), 2x 2 , 0 xa f ( x) 0, 其 他. 试 定 a的 值 并 求 分 布 函 数( x ). F
解 由 1 0
a
2x
当 0 x
x
dx 2
x
2 a 2 0
时
3 n 3 3 12
3 9 3 12
84 220
（n=0，1，2，3）
7、已知 X n pn ，n=1，2，3，……，求p的值 P
解：根据 pX n 1
n 1
p(1 p n ) lim p i lim 1 ，有 n i 1wk.baidu.comn 1 p
P{0 X 4} P{0 X 4} F (4) F (0) 0.75 .
A 28.设 随 机 变 量X ~ f ( x ), f ( x ) x , 确 定A的 值 ； x e e 求 分 布 函 数 ( x ). F
A ex 解 由 1 x dx A dx x 2x 1 e e e x Aarctan e A 2 2 因此 A 2 2 x F ( x ) dt arctane t t t (e e )
解
X 2仍服从 1分布，且 X 2 0 PX 0 0.3 0 P P X 2 1 PX 1 0.7
X 22 X 的取值为 1与0，
P X 2 2 X 0 PX 0 0.3 P X 2 2 X 1 1 PX 0 0.7
2 , 0 y1 f Y ( y) 1 y 2 其 他. 0,
36.随 机 变 量X ~ f ( x ), e x , f ( x) 0, Y x0 x 0.
X , Z X 2 , 分 别 计 算 随 机 变 量与Z的 概 率 密 度 Y . 解 当x 0时，y x单调，其反函数为 y 2 , x 2 y , x y
PX k 0.6k 0.4, ( k 0,1,2,3) 公式法： PX 4 0.64
2 x, a x a 2 17. f ( x) 其它 0, 问f ( x )是 否 为 密 度 函 数 ， 若 确 定a值 ； 若 不 是 说 明 理 由 是 .