力法(对称结构的计算)(上课)

§5-5 对称结构的计算
支座、 刚度 都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性： 对称荷载——绕对称轴 对折后，对称轴两边的荷载 等值、作用点重合、同向。 反对称荷载——绕对称 轴对折后，对称轴两边的荷 载等值、作用点重合、反向。
对称轴 反对称荷载 对称轴
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
P
P1 对称轴
P1
对称荷载
1
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
P a
P/2
a
a P/2
P/2
a
a P/2
P1
P2
F
F
W
W
一般荷载
对称荷载
反对称荷载
P1=F+W，P2=W—F
2
3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意)
X1
P
X2
P
M=0
P
MP=0
22
作业
350，
5-Hale Waihona Puke Baidu-1
（e）、（f）、（h）
（利用等代结构法计算，看书时参考P380）
23
P P －P M=0 P －P M=0 M=0 P
2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力.
3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。
21
3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 Δ1P=0 δ11>0 M=M1X1+MP=0
为什么？
X1= Δ1P/δ11=0
任何荷载均可分解为正对称荷载和反对称荷载的叠加， 因此，在一般荷载作用下，对称结构计算可以有两种 处理方法： 方法A：对荷载不作处理，直接取非对称荷载进行计算。 计算时取对称的基本体系； 方法B：进一步将荷载也分成对称和反对称的组合，对 这两部分荷载分别进行计算，最后将两种计算结果叠 加。
两种方法各有利弊。（教材P277底段的评述）
P
P2
X1=1
M1
力法方程降阶
进一步地
如果荷载对称，MP对称， Δ3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，MP反对称 Δ1P=0， Δ2P=0， X1= X2 =0。
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 4 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
11 l h l 1 l l l 1
6k2 Ph 6k1 4
X1
基本体系 等代结构
P/2
l/2 X1=1
M
P/2
MP
l/2
Ph/2
6
6k Ph 6k 1 4
k很小 弱梁强柱
Ph 2
6k 2 Ph 6k 1 4
Ph 2
Ph 4
k很大 强梁弱柱
I2 h k I1l
①对称结构在对称荷载作用下，其等代结构的取法。
9
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 ， 内力
C P
NC MC NC
QC=0
EI EI
EI
P
P
QC
P
P
C
等代结构
a）奇数跨对称结 构的等代结构是将 对称轴上的截面设 置成定向支座。
定向支座的受力和变形条件与C点完全相同。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P
等代结构
等代结构
17
例：求图示结构的简化结构。 EI=常数。
l/2
P C
P B
l/2
P
P
l/2
P
Pl/8 P
l/2
l/2
P C
l/2
A
Pl/8
l/4
11 x1+Δ1P=0
P/2
基本体系
l/2
l/2 P/2 1
Pl X 1= 6
pl 4
先叠加等代结构的弯矩图， 再利用对称性绘出全部弯矩图。
Mp
l/2
M
X1=1 l/2
19
例：绘制图示结构的内力图。
EI EI
EI 6m 6m
20
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
2EI
EI
6m 81 ↑↑↑↑↑↑↑ 81
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
5
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
P EI1 EI2 EI1
P/2
6k Ph 6k1 4
P/2
－P/2 M=0
P/2
P/2
l
h
2 2EI1 2 2 2 3 EI2 2 3 lh l 4EI1 24EI2 2 1 Ph l Ph l 11 h 2 2 2EI1 8EI1 1P - 6k Ph X1 k I2 h 11 I1l 6k 1 2l
QC
QC
P EI
P EI EI
P
等代结构 由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC
先分析刚节点
当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变 形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后 15 再利用对称关系作出另半边结构的内力图。
C
P
2EI
P
P
EI
等代结构
中柱的荷载减半（如果在中柱上 有荷载作用），惯性矩减半，
B
P
P
Pl/8 C P
Pl/8
B
18
P
A
Pl 12
P
Pl 12
l/2
P/2
Pl 6 EI=常数
l/2
l/2 P X1 P/2 l/4
l/2
P/2
解:
11=
1 1 l 3l 1 1 1 1 EI 2 4 4 EI 2 1 l Pl l l Pl Δ1P= 1 Pl EI 2 8 4 4 8EI
k=3
18 Ph 19 4
Ph 4
20 Ph 19 4
•荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有 关，而与各杆的刚度绝对值无关。
•内力分布与各杆刚度大小有关，刚度增大， 7 内力也增大。
以下介绍一种采用简化结构进行计算的方法，有 关内容需参考教材 P380 – 381（第六章第六节）
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讨论对称结构在对称荷载（正对称或反对称）作用下，取 简化的等代结构（半结构）进行计算的方法。 这种方法不仅适用于力法，也适用于位移法（下一章）。 2）取等代结构计算(对称或反对称荷载)
C P P
C
P P
对称：uc=0,θc=0 中柱： vc=0 对称：uc=0, θc=0 中柱： vc=0
C
P C P
对称：uc=0 中柱： vc=0
P 等代结构
等代结构
P
12
下面讨论反对称荷载情况：
②对称结构在反对称荷载作用下，简化结构的取法 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
13
a）、位于对称轴上的截面的位移 vc=0， 内力 NC=0，MC=0
C P EI EI EI P P
QC NC MC NC
P
C
P
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆
14
C）偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
C P 2EI P P 2EI EI
C
P EI
10
下面讨论偶数跨结构承受对称荷载作用时的简化方法： 偶数跨结构的中柱与横梁连接的节点有3种情况
C P P P
C P P
C
P
刚节点
组合节点
铰节点
11
b）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴 位于对称轴上的截面的位移 uc=0、θc=0 上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
3
3、利用对称性简化计算： 1）取对称的基本体系(荷载任意) 13 31 23 32 0 X1 11 X 1 12 X 2 1P 0 X2 X2 21 X 1 22 X 2 2 P 0 X3 33 X 3 3 P 0