初中数学专题训练：锐角三角函数

三地在同一直线上，D 在 A 北偏东 30°方向，在 C 北偏西 45°方向，C 在 A 北偏东 75°方向，
且 BD＝BC＝40m，从 A 地到 D 地的距离是
m．
三．解答题（共 5 小题） 21．今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下 A 点出发沿斜坡 AB 到达
B 点，再从 B 点沿斜坡 BC 到达山顶 C 点，路线如图所示，斜坡 AB 的长为 200 米，斜坡 BC 的长为 200 米，坡度是 1：1，已知 A 点海拔 121 米，C 点海拔 721 米 （1）求 B 点的海拔； （2）求斜坡 AB 的坡度； （3）为了方便上下山，若在 A 到 C 之间架设一条钢缆，求钢缆 AC 的长度．
10. 因为 cos60°＝ ，cos240°＝﹣ ，所以 cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°；由此猜想、推理
知：当 α 为锐角时有 cos（180°+α）＝﹣cosα，由此可知：cos210°＝（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
二．填空题（共 10 小题）
11．计算：
＝
．来自百度文库
12．4cos30°+
27．阅读材料：在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、 平面镜等测量工具可以测量建筑物的高度． 综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆 心处，细线的另一端系一个重物（如图一）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚 好看到需测量物体的顶端（如图二），这样可以得出需测量物体的仰角 α 的度数（如图 三）．利用这种简单的测角仪，可以帮助我们测量角度．
tanA＝
∠A的对边 ∠A的邻边
4.特殊角的三角函数值：
∠A
sinA
cosA
tanA
0°
0
1
0
30°
______
3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
______
3
90°
1
0
不存在
5.锐角三角函数的性质：
①同角三角函数关系：sin2A+cos2A=1；tanA= sin A cos A
②互为余角三角函数关系：sinA=cos（90°-∠A）; cosA=____________
D．m•tanα
4．如果 30°＜∠A＜45°，那么 sinA 的范围是（ ）
A．0＜sinA
B． sinA
C． ＜sinA
D． ＜sinA＜1
5．已知 Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（ ）
A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB
C．tanA＜tanB
D．sinA＜cosA
C．①③④
D．①②③④
8．△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且 sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC 的形状是（ ）
A．直角三角形 C．锐角三角形 9．下列等式成立的是（ ） A．sin45°+cos45°＝1 C．2sin30°＝tan45°
B．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
B．2tan30°＝tan60° D．sin45°cos45°＝tan45°
25．如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60°方向上有
一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里．
（1）填空：∠BAC＝
度，∠C＝
度；
（2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）．
四．附加题（共 2 小题） 26．如图是小米洗漱时的侧面示意图．洗漱台（矩形 ABCD）靠墙摆放，高 AD＝80cm，宽 AB＝
48cm，小米身高 160cm，下半身 FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成 80°（∠FGK＝80°）， 身体前倾成 125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离 GC＝15cm（点 D，C，G，K 在同一直线 上）． （1）此时小米头部 E 点与地面 DK 相距多少？ （2）若小米的头部 E 恰好在洗漱盆 AB 的中点 O 的正上方，她应向前或向后移动多少厘米？ （sin80°≈0.98，cos80°≈0.18， ≈1.41，结果精确到 0.1）
第二十八章 锐角三角函数
基础知识通关
28.1 锐角三角函数
在 Rt△ABC 中，
1.正弦：∠A
的对边与斜边的比值是∠A
的______，记作
sinA＝
∠A的对边 斜边
2.余弦：∠A
的邻边与斜边的比值是∠A
的______，记作
cosA＝
∠A的邻边 斜边
3.正切：∠A
的对边与邻边的比值是∠A
的______，记作
在我校九年级数学《测量》实践活动中，有一位同学参考阅读材料自制了测角仪，他想利用所
学的知识测量北海公园白塔的塔顶到山下地面的高度，请你从下面问题（1）（2）中选取一个
问题作答：
（1）这位同学第一次站在琼华岛山下的平地上进行测量活动，他设计了一种测量方案，求出了
北海白塔的塔顶到山下地面的高度，下面的图片反映了他的测量方法．
示）
；测量时使用的工具是
；
②结合示意图，简要说明计算的思路（不必写出结果）．
（1）图
（2）图
基础知识通关答案
1．正弦 2．余弦 3．正切 4． 12，12 5． sin（90°-∠A） 6． 增大, 减小, 增大 8． 上方，下方 9．90° 10. 铅直高度 h，水平宽度 l
单元检测答案
一．选择题（共 10 小题）
①根据上述思路，在图中标出字母，写出需要并且能测量的角或线段（用图中的字母表示）
_________；测量时使用的工具是
；
②结合示意图，简要说明计算的思路（不必写出结果）．
（2）这位同学第二次站在琼华岛的对岸，巧妙地利用白塔在水中的倒影计算出了塔顶到山下地
面的高度，下面的图片反映了他的测量方法．
①根据上述思路，在图中标出字母，写出需要并且能测量的角或线段（用图中的字母表
线在水平线______的角叫做俯角.
9．方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于______的角叫做方向角.
10.坡度：坡面的_________和_________的比值叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 .
单元检测
一．选择题（共 10 小题） 1．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，那么 AB 的长为（
海里后，恰好在灯塔 B 的正南方向，此时测得灯塔 A 在测绘船北偏西 63.5°的方向上，则灯塔
A，B 间的距离为
海里（结果保留整数）．（参考数据 sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，
tan26.5°≈0.50， ≈2.24）
20．“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新游戏：“奔跑”路线 A、B、C、D 四地，如图 A、B、C
A．5sinA
B．5cosA
C．
） D．
2．如图，△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．sinA＝
D．tanA＝
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝α，若 BC＝m，则 AB 的长为（ ）
A．
B．m•cosα
C．m•sinα
该规律反过来也成立．
28.2 解直角三角形及其应用
7.解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角，
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
8. 仰角与俯角：
在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角.
如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫做仰角，视
∴AC＝
＝
＝
sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ＝
只有选项 D 正确，故选：D． 【知识点】1,2,3 3．【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可 【解答】解：如图所示：
∵
∴AB＝
故选：A 【知识点】2 4．【分析】由 sinα 随 α 的增大而增大且 30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案 【解答】解：∵sinα 随 α 的增大而增大，且 30°＜∠A＜45°
6．sin240°+cos240°的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
7．若角 α，β 都是锐角，以下结论：
①若 α＜β，则 sinα＜sinβ；②若 α＜β，则 cosα＜cosβ；③若 α＜β，则 tanα＜tanβ；④若 α+β＝
90°，则 sinα＝cosβ．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①②③
+|﹣2|＝
．
13．如图，网格的小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点都在格点
上，那么∠ABC 的正切值是
．
14．如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽 AB（这段河流的两岸平行），他们
在点 C 测得∠ACB＝30°，点 D 处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽 AB 约为
1．【分析】依据 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，可得 sinA＝
，即可得到 AB 的长的表达式
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5 ∴sinA＝ ＝
∴AB＝
故选：C
【知识点】1
2．【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可
【解答】解：∵△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3
＝ ，cos37°＝ ，tan37°＝ ， ≈1.7）
23.郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知着台 高为 1.6 米，现要做一个不锈钢的扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 1 米的不锈钢架杆 AD 和 BC（杆子的底端分别为 D，C），且∠DAB＝66.5°求所用不锈钢材料的总长度 （即 AD+AB+BC，结果精确到 0.1 米）参考数据:sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
22．小亮家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1），完全开启后，把手 AM 的仰角为 37°， 此时把手端点 A、出水口点 B 和落水点 C 在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图 2，其相 关数据为 AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm．求 CH 的长．（参考数据：sin37°
24．如图，小明在家乡的楼顶上 A 处测得池塘的一端 B 处的俯角为 10°，测得池塘 D 处的俯角∠ EAD＝60°，B、D、C 三点在同一水平直线上．已知楼高 AC＝15 米，求池塘宽 BD 为多少 米？
（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67， ≈1.73．结果保留一位小数．）
角分别为∠α＝48°和∠β＝65°，矩形建筑物宽度 AD＝20m，高度 CD＝30m，则信号发射塔顶
端到地面的高度 FG 为
米（结果精确到 1m）．
参考数据：sin48°＝0.7，cos48°＝0.7，tan48°＝1.1，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1
19．如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔 B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行 20
m（结
果保留整数， ≈1.73）．
15．如图，是一个液压升降机，图中两个菱形的边长及等腰三角形的腰长都是定值且相等．如图 1，载物台到水平导轨 AB 的距离 h1 为 468cm，此时 tan∠OAB＝ ，如图 2，当 tan∠OAB＝
时，载物台到水平导轨 AB 的距离 h2 为
cm．
16．2022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学 乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了 200 米，若斜坡与水平面的夹角为 α，则他下降的高度为 米．（用含 α 的式子表示）
6. 锐角三角函数的变化规律：
当角度在 0°∼90°范围内变化时，正弦值随角度增大（或减小）而______（或减小）；余弦值随
角度增大（或减小）而______（或增大）；正切值随角度增大（或减小）而______（或减小）．
比较角的正弦、余弦、正切值的大小，其规律是：
若∠A、∠B 为锐角，且∠A＞∠B，则 sinA＞sinB，cosA＜cosB，tanA＞tanB
17．如图，在直升机的镜头下，观测牡丹园 A 处的俯角为 30°，B 处的俯角为 45°，如果此时直升 机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、B、D 在同一条直线上，则 A、B 两点间的距离为 _________米．（结果保留根号）
18．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A、C 两点测得该塔顶端 F 的 仰