高中数学最新学案第2章第11课时等比数列的概念和通项公式(3)(教师版)新人教A版必修5

听课随笔
第11课时等比数列的概念和通项公式
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学习要求
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法； 3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 【自学评价】
1. 等比数列的性质：
（1）n m n m a a q -=（,m n N +
∈）；
(2）对于k 、l 、m 、n ∈N *，若m n p q +=+，则a k a l =a m a n .；
（3）每隔k 项（k N +
∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列； 4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2. (1) 若{a n }为等比数列，公比为q ，则{a 2n }也是等比数列，公比为q 2
.
(2) 若{a n }为等比数列，公比为q (q ≠－1),则{a 2n －1+a 2n }也是等比数列，公比为q 2
. (3) 若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是等比数列.
(4) 三个数a 、b 、c 成等比数列的，则⎩⎨⎧≠=0
2
abc ac
b
【精典范例】
【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数. 【解】 设所求四个数为
q
a 2－aq ，
q
a ，aq ，aq 3
由①得a 2
＝16 ∴a ＝4或a ＝－4由②得2a 2q 2－a 2q 4
＝－128 将a 2＝16代入整理得 q 4－2q 2－8＝0解得q 2＝4 ∴q ＝2或q ＝－2 因此所求的四个数为
－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
【点评】 根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a 、q 表示四个数，根据
中间两数之积为16，将中间两个数设为
q
a ，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为
方便.
【例2】若a 、b 、c 成等比数列，
试证：a 2＋b 2，ac ＋bc ，b 2＋c 2
也成等比数列. 【证明】 由a 、b 、c 成等比数列，
则a ·b ·c ≠0且b 2
＝ac
(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝(a 2＋ac )(ac ＋c 2)＝ac (a ＋c )2＝b 2(a ＋c )2＝(ab ＋bc )2
显然a 2＋b 2、b 2＋c 2
都不等零，
且ab ＋bc ≠0∴a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2
成等比数列.
【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a ，b ，c 成等比，
可证明b 2
＝ac ，要注意说明a 、b 、c 全不为零. 追踪训练一
1．在等比数列{a n }中，a 1=8
1,q =2,则a 4与a 8的等比中项是( B )
A.±4
B.4
C.±4
1 D.
4
1
2．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于( B ) A.512 B.－512 C.256 D.－256
3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于( A )
A.54
B.27
C.9
D.3
4．已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( A )
A.5
B.10
C.15
D.20
5．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1，a 3，a 9成等比数列，则10
42931a a a a a a ++++的值为
16
13.
【选修延伸】
【例3】在{}n a 中，23,111+==+n n a a a ，试求{}n a 的通项n a 【解】设)(31αα+=++n n a a 则
α231+=+n n a a 可得α＝1 )1(311+=+∴+n n a a ，
}1{+∴n a 为等比数列，首项为11+a =2,公比为3 1
321-⋅=+∴n n a ，
13
21
-⋅=∴-n n a
【例4】在{}n a 中，3
,111+==+n n n a a a a ，试求{}n a 的通项n a
【解】原式可变为：
1311+=+n n a a ， ∴
可构造为
)2
11(
32
111
+
=+
+n
n a a
听课随笔
}211{+
∴n a 为等比数列，首项2
32
111
=
+a ，公比3
1
3
2
32
11-⋅=+∴n n
a ，
1
3
2-=
∴n
n a
【例5】在{}n a 中11
1132
n n n a a ++=+
，15,6
a =
求｛n a ｝的通项n a
【解】法一： 原式变形为：12
3
221
1+⋅=⋅++n
n n n a a ，设)2
(3
22
1
1αα+⋅=
+⋅++n
n n n a a ，
即3
2
3
22
1
1α
-
⋅=
⋅++n
n n n a a ，
3-=∴α，
即)32
(3
232
1
1-⋅=
-⋅++n
n n n a a ，
}32
{-⋅∴n
n a 为等比数列，首项321-⋅a ＝3
4-
，公比
3
2
1
)
3
2(
3
432--=-⋅∴n n
n a ，
n
n
n a 3
22
3-=
∴
法二： 设2
(3
12
1
1n
n n n a a α
α
+=
+
++，即
1
121
33
1++-=
n n n a a α
3-=∴α
即)2
3(3
1231
1n
n n n a a -
=-
++，
}2
3{n n a -
∴为等比数列，
首项2
31-
a ＝3
2-
，公比
3
1，
1
31322
3-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=-∴n n
n a ，
n
n
n a 3
22
3-=
∴
追踪训练二
1．在等比数列｛a n ｝中，若a 2·a 8=36,a 3
＋a 7＝15，则公比q 值的可能个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
2．在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于( B )
A.8
B.10
C.12
D.2＋log 35
3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( C )
听课随笔
A.三边边长之比为3∶4∶
5 B.三边边长之比为1∶3∶
3
C.较小锐角的正弦为215-
D.较大锐角的正弦为2
15-
4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( C ) A.1
B.2
C.3
D.4 5．已知数列满足a 1=8
7,且a n +1=
2
1a n +3
1
,n ∈N *
(1)求证{a n －
3
2}是等比数列.
(2)求数列{a n }的通项公式. 【解】
(1)【证明】 由a n +1 =
2
1a n +31
得
a n +1－
)3
2(213
2-
=
n a 又a n －3
2≠
∴
213
232
1=-
-
+n n a a 即，数列{a n －
3
2}构成等比数列.
(2)由(1)知a n －3
2=(a 1－
3
2)（
2
1）
n －1
,
且a 1=
8
7
即a n =(a 1－)
2
1
)(3
2n －1
+
3
2
=3
2)
2
1(
24
51
+
-n =
3
2
)21(352+
+n。