经典的双曲线复习课件(修改)
合集下载
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)PPT
【练习】“n>1”是“方程 x2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的圆锥曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
双曲线的标准方程
【典例】根据下列条件,求双曲线的标准方程 (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6); (3)过点 P 3,145 ,Q -136,5 且焦点在坐标轴上.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
利用定义求轨迹方程
1．已知动圆 E 与圆 A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 B：(x－4)2＋y2＝2 内切，则动 圆圆心 E 的轨迹方程为________．
类比：一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切，与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切，求 这个动圆圆心的轨迹方程。
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
变式训练 2:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 | PF1 PF2 |=66,求动点 P 的轨迹方程.
变式训练 3:已知两定点 F1(5,0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
双曲线复习精品PPT教学课件
2020/12/6
3
双曲线第二定义 到定点 F(c,0) 的距离与到定直线
x a2 (c a) 的比是常数 c 的点的轨迹
c
a
2020/12/6
4
1:已知圆Ｃ1： (x3)2y2 1 圆Ｃ2
(x3)2y2 9动圆Ｍ同时与这两个
圆相外切，那么动圆圆心Ｍ的轨迹方程 为
x 2 y 2 1 (x 0)
的两个焦点，P为椭圆上一点，已知
P、F1、F2是一个直角三角形的三个
顶点，且|PF1|>|PF2|，求
| PF 1 | | PF 2 |
的值。
2020/12/6
15
解：当∠PF2F1=900时，
| PF1 | | PF2 | 6
由
|
PF1
|2
|c2 5Fra bibliotekPF2
|2
(2c)
2
得：| PF1
|
14 3
令x=-3，y=±4，因
2 34
3
故点（-3， 2
3
）在射线y 4 x
(x 0)
及x轴负半轴之间，
3
∴ 双曲线焦点在x轴上
设双曲线方程为
x2 y2 1 a2 b2
(a0,b0)
b a
4 3
(
3
)
2
a 2
(2 3)2 b2
解之得： 1
a
2
b 2
9 4 4
2020/12/6
11
∴ 双曲线方程为 x 2 y 2 1 94
4
x
2
（2）设双曲线方程为
y2
1（a>0，b>0）
a2 b2
a 2 b 2 20
2025高考数学总复习双曲线精品课件
返回
第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
第二部分
探究核心题型
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与
圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，
自主诊断
3.(选择性必修第一册P127T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 _y_＝__±_43_x__.
依题意知，双曲线1y62 －x92＝1 的焦点在 y 轴上，实半轴长 a＝4，虚半 轴长 b＝3， 所以双曲线 9y2－16x2＝144 的渐近线方程是 y＝±43x.
自主诊断
知识梳理
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大 于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹
是双曲线.( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
高三一轮复习双曲线名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
研究双曲线几何性质时的两个注意点： (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点; (2)由于 e＝ac是一个比值，故只需根据条件得到关于 a，b，c 的 一个关系式，利用 b2＝c2－a2 消去 b，然后变形即可求 e，并注 意 e>1.
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
栏目 导引
第八章 平面解析几何
3．(1)(2014·云南省昆明市高三调研测试)已知 F(c，0)是双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，若双曲线 C 的渐近线与圆 F： (x－c)2＋y2＝12c2 相切，则双曲线 C 的离心率为____2____； (2)(2012·高考天津卷)已知双曲线 C1：xa22－by22＝1(a>0，b>0)与双 曲线 C2：x42－1y62 ＝1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为 F( 5， 0)，则 a＝____1____，b＝_____2___．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)． 【解】(1)设双曲线的标准方程为 xa22－yb22＝1 或ay22－xb22＝1(a>0，b>0)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲 线的标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42 －3x62＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个 顶点， 故焦点在 y 轴上，且 a＝12.
则双曲线xa22－yb22＝1
的离心率
13 e＝____3____．
5．设 F1，F2 是双曲线 x2－2y42 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线
双曲线课件-2025届高三数学一轮复习
9
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 a ＝±6，又｜PF 1｜＝5，则｜PF 2｜＝11.
6.
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1( a ＞0， b ＞0)的焦距为4
线 C 的渐近线方程为
3 ，实轴长为4 2 ，则双曲
2 x ± y ＝0 .
[解析] 由题意知，2 c ＝4 3 ，2 a ＝4 2 ，则 b ＝ 2 − 2 ＝2，所以 C 的渐近线
C.
2 2
2
双曲线 － ＝1的渐近线方程是y＝± x
9
4
3
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(
A.
2
2
B. 1
C. 2
C )
D. 2
[解析] 因为双曲线的渐近线方程为 x ± y ＝0，所以无论双曲线的焦点在 x 轴上还是
轴上.又离心率 e ＝
2 ，所以 ＝
2 ，所以 a ＝ 2 ，则 b 2＝ c 2－ a 2＝2，所以双曲
2
2
线 C 的标准方程为 － ＝1.
2
2
解法二
因为双曲线 C 的离心率 e ＝ 2 ，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a ＝ b .又
双曲线 C 的焦点为(－2，0)和(2，0)，所以 c ＝2，且焦点在 x 轴上，所以 a 2＋ b 2＝
1
以｜ PF 1｜·｜ PF 2｜＝8，所以 △ ＝ ｜ PF 1｜·｜ PF 2｜·sin
2
1 2
解法二
60°＝2 3 .
2
2
由题意可得双曲线 C 的标准方程为 － ＝1，所以可得 b 2＝2，由双曲
经典的双曲线复习课件修改
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由PF1
的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(
5
，4)，即
b2 a
＝4，b2＝
4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－y42＝1.
答案 B
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
5．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线xm2－ m2y＋2 4＝1的离心率为 5，则m的值为________．
解题时更简便．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程
时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确
定λ的值．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【训练2】 已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)和椭圆1x62 ＋y92＝ 1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 倍，则双曲线的方程为________．
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解析 法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
ax22－by22＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.
双曲线复习ppt课件
设所求双曲线的标准方程为ay221－bx221＝1(a1＞0，b1＞0)， 由 题 意 知 ， 半 焦 距 c1 ＝ 6,2a1 ＝ ||P′F1′| － |P′F2′|| ＝ | 112＋22－ 12＋22|＝4 5，a1＝2 5，b21＝c21－a21＝36－20＝16. 所以所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
27
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
三 双曲线的几何性质及其应用
【例 3】 已知双曲线 C：x42－y2＝1，P 为 C 上的任意点． (1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一 个常数； (2)设点 A 的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
28
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
【思路点拨】 (1)先设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点，再 求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示 出点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理 即可得到答案．
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
18
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
27
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
三 双曲线的几何性质及其应用
【例 3】 已知双曲线 C：x42－y2＝1，P 为 C 上的任意点． (1)求证：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一 个常数； (2)设点 A 的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
28
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
【思路点拨】 (1)先设 P(x1，y1)是双曲线上任意一点，再 求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示 出点 P(x1，y1)到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理 即可得到答案．
【跟踪训练 2】 双曲线 y2－4x2＝64 上一点 P 到它的一个
焦点的距离等于 1，则 P 到它的另一个焦点的距离等于
为
.
18
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
解析：将双曲线 4x2－y2＋64＝0 化成标准形式：6y42 －1x62 ＝ 1，所以 a2＝64，b2＝16.
2025高考数学一轮复习8.6双曲线【课件】
6．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则 双曲线的离心率为_____2_或__2_3_3______．
【解析】 ∵双曲线的渐近线的倾斜角为π3，当双曲线焦点在 x 轴上时，ba＝tanπ3＝ 3；
当双曲线的焦点在 y 轴上时，ab＝tanπ3＝ 3.当ba＝ 3时，e2＝ac22＝a2＋a2b2＝1＋3＝4，∴e＝2；
【解析】 由|PF2|＝|F1F2|＝2c 及双曲线的定义，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a.如图，过 点 F2 作 F2Q⊥PF1 于点 Q，则|F2Q|＝2a，等腰三角形 PF1F2 中，|PQ|＝12|PF1|＝c＋a，∴|PF2|2 ＝|PQ|2＋|QF2|2，即(2c)2＝(c＋a)2＋(2a)2，解得 a＝35c，则 b＝ c2－a2＝45c，∴ba＝43，该双 曲线的渐近线方程为 y＝±43x，即 4x±3y＝0.故选 B．
a，b，c 的关系 c2＝ a2＋b2
提醒：(1)在双曲线的标准方程中，看 x2 项与 y2 项的系数的正负，若 x2 项的系数为正， 则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着 正的跑”．
(2)离心率 e＝ac＝ a2a＋b2＝ 1＋ba22，e 越大开口越大． (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦(也叫通径)的长为2ab2. (4)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.
当ab＝
3时，e2＝ac22＝a2＋a2 b2＝1＋13＝43，∴e＝2
3
3.∴e＝2
或2 3
3 .
易错点睛：(1)到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值，那么其轨迹是双曲线 的一支．
(2)当焦点位置不确定时，需分类讨论．
高考数学复习：双曲线的有关问题课件(共19张ppt)
3
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 OMN 90o， 则 MFO 60o ，又直线 MN 过点 F (2, 0) ，所以
| OM | 2 cos 60 3 ，所以| MN | 3 | OM | 3 。
20:51
布置作业
完成专题八作业2
20:51
3.双曲线的几何性质:求离心率:建立 a, b, c 的齐次方程
(不等式)； 4.求最值：（1）建立方程（不等式），（2）直线的斜率与渐
近线的斜率比较。
20:51
思考一
已知双曲线
C： 的左、右焦点 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐
近线分别交于
PQ
OF
，得 2
a2 c2 4
c ，即 2a2
c2
，所以
c2 a2
2，
解得 e c 2 .故选 A． a
20:51
题型二 求双曲线的离心率
例 3：设直线 x 3y m 0(m 0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条渐近线分别交于点
A ， B ，若点 P(m,0) 满足| PA|| PB |，则该
解法一：因为 PO = PF ，所以 P 在 OF 的垂直平分线上，
则 P 点横坐标为
6 ，代入 y
2
2 x 得 P( 2
6, 2
3 ) ，所以△PFO 的面积 2
为： 1 6 3 3 2 ．故选 A．
2
24
解法二： 双曲线 C : x2 y2 1的右焦点为 F ( 6, 0) ，渐近线方程为：
一轮复习双曲线ppt(共47张PPT)
3．(2009年全国Ⅰ高考)设双曲线
(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ；
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的那一支．
顶 顶点(坐a,0)标，
点 A1
，A2
y≤－a或y≥a
坐标轴
对称轴： 原点 对称中心：
(0，－a)
顶点坐标：A1 (0，a) ， A2
渐近 线
离心 率
e＝，e∈(1，＋∞)
，其中c＝
实虚 轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的 长|2Aa 1A2|＝ ；线段B1B2叫做双曲
2b
线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ；a 叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲
线的虚半轴长. a、b、
3．等轴双曲线 实轴和虚等轴长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
离心率e＝ ，渐近线方程为
.
y＝±x
A．k＞5
B．2＜k＜5
C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2或k＞5
【解析】 由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，
解得－2＜k＜2或k＞5.
【答案】 D
课时作业
点击进入链接
(a＞0，b＞0)
(2)可根据(1)中k的范围及|AB|＝6 求出k的值，得到直线AB的方程，再求m的值及C点的坐标，从而可得△ABC的面积．
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．
1．将本例中的条件改为：动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？
2025届高中数学一轮复习课件：第九章 第7讲双曲线(一)(共83张ppt)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线 性 质 离心率
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中 c＝ a2＋b2
实轴、 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 虚轴 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半
高考一轮总复习•数学
第10页
2．若双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为( )
A． 5
B．5
C． 2
D．2
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即 b＝2a，又 a2＋b2＝c2，∴5a2 ＝c2，∴e2＝ac22＝5，∴e＝ 5.
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第11页
3．与双曲线x22－y2＝1 有相同的渐近线，且与椭圆y82＋x22＝1 有共同的焦点的双曲线方
程是( )
A．x22－y42＝1来自B．y22－x42＝1
C．x42－y22＝1
D．y42－x22＝1
解析：可设双曲线方程为 y2－x22＝λ，故 2λ＋λ＝6，λ＝2，所以所求双曲线方程为y22－
2．集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0： (1)当 a<c 时，点 P 的轨迹是双曲线； (2)当 a＝c 时，点 P 的轨迹是两条 射线 ； (3)当 a>c 时，点 P 不存在．
双曲线专题复习课件(精品,完美,好用)
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·文科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·文科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
已知动圆M与圆C1 ：(x＋4)2 ＋y2 ＝2外切，与圆C2 ：(x －4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
自 主 落 实 · 固 基 础
其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋ |PF2|的值为________．
【解析】 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2| ＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2， 所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8， 所以x＝ 3 －1，x＋2＝ 3 ＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝ 2 3.
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·文科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(人教A版 材 题 编 教习改
)设 曲 双线
的渐近线方程为3x± 2y＝0，则a的值为( A．4 B．3 C．2
【析 解】 渐线程化 近方可为
x2 y2 － ＝1 ＞0) a ( a2 9 ) D．1
自 主 落 实 · 固 基 础
典 例 探 究 · 提 知 能
1 22 ( (1· 大 全 卷 )已知F1、F2为 曲 ) 0 纲国 双 线 C：x2－y2＝ 2的 、 焦 ， 左右点点 P在C上，|F 1|＝2 2|，则c ∠F1PF2 P P |F o s ＝( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 (2)已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)；以点C为 一个焦点作过A、B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程．
双曲线高三数学一轮复习考点课件
。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
双曲线复习课件
基础知识梳理
2．双曲线的标准方程及其简单 ． 几何性质
基础知识梳理
范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a 或 － 对称轴：x轴、y轴对称中心： 坐标原点 顶点坐标： A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± x ＝ a e＝ y≥a或y≤－a 或 － 对称轴：x轴、y轴对 称中心：坐标原点 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) b y＝± x ＝ a
三基能力强化
2． ． (2009 年高考福建卷 若双曲 年高考福建卷)若双曲 x2 y2 线 2－ ＝ 1(a＞0)的离心率为 2， ＞ 的离心率为 ， 3 a 等于( ) 则 a 等于 A．2 B. 3 ． 3 C. D．1 ． 2
答案： 答案：D
三基能力强化
3． ． (2009 年高考天津卷 设双曲 年高考天津卷)设双曲 x2 y2 线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长 ＞ ， ＞ 的虚轴长 a b 为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐 ， ， 近线方程为( ) 近线方程为 A．y＝± 2x B．y＝±2x ． ＝ ． ＝ 2 1 C．y＝± x D．y＝± x ． ＝ ． ＝ 2 2 答案： 答案：C
课堂互动讲练
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 根据下列条件，求双曲线的标准方程： 15 (1)经过点 ，3)，且一条渐近线方程 经过点( 经过点 ， 4 为 4x＋3y＝0； ＋ ＝ ； (2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直， 与两个焦点的连线互相垂直， 与两个焦点的连线互相垂直 π 与两个顶点连线的夹角为 . 3 2 2 (3)求与双曲线 x －2y ＝2 有公共渐近 求与双曲线 线，且过点 M(2，－ 的双曲线方程． ，－2)的双曲线方程． ，－ 的双曲线方程
《双曲线》复习课件
双曲线的定义和性质
共 68 页
1
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a< |F1F2| ； （2）2a >0 ；
(2)双曲线的渐近线方程为 且经过P(
2x 3 y 0
6， 2 )。
共 68 页 7
小试牛刀：
（1）焦点在坐标轴上，且经过点（3，-
4 2 ），
9 ,5 （ ） 4
x2 y2 1 有相同渐近线且经过A （2）求与双曲线 16 9
（ 3 3， -3 ）的双曲线方程。
共 68 页
8
点睛一刻：
②设交点坐标代入曲线方程—作差（点差法）。
2、弦长问题：弦长公式
AB 1 k 2 x1 x2
共 68 页
15
F1 o F2 M
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线 （2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是？ (3)线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程与几何性质
共 68 页
3
共 68 页
4
典例剖析
x2 y 2 1 上一点P到点（5,0） 例1、双曲线 16 9
于A,B两点，且M为AB中点 （ 68 页
13
小试牛刀：
2 y 2 x 1 ，过P（1,3）点作一直线交 已知双曲线 3
双曲线于A、B两点，若P为AB的中点， （1）求直线AB的方程； （2）求弦AB的长。
共 68 页
1
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 思考： （1）2a< |F1F2| ； （2）2a >0 ；
(2)双曲线的渐近线方程为 且经过P(
2x 3 y 0
6， 2 )。
共 68 页 7
小试牛刀：
（1）焦点在坐标轴上，且经过点（3，-
4 2 ），
9 ,5 （ ） 4
x2 y2 1 有相同渐近线且经过A （2）求与双曲线 16 9
（ 3 3， -3 ）的双曲线方程。
共 68 页
8
点睛一刻：
②设交点坐标代入曲线方程—作差（点差法）。
2、弦长问题：弦长公式
AB 1 k 2 x1 x2
共 68 页
15
F1 o F2 M
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线 （2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是？ (3)线段F1F2的垂直平分线
2.双曲线的标准方程与几何性质
共 68 页
3
共 68 页
4
典例剖析
x2 y 2 1 上一点P到点（5,0） 例1、双曲线 16 9
于A,B两点，且M为AB中点 （ 68 页
13
小试牛刀：
2 y 2 x 1 ，过P（1,3）点作一直线交 已知双曲线 3
双曲线于A、B两点，若P为AB的中点， （1）求直线AB的方程； （2）求弦AB的长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
y
M
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
即 (x c)2y2(x c)2y2 2 a
4.化简
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ 抓(住32)个考线点 段F1突F破23的个考垂向 直平揭秘分3年高线考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
两种方法 求双曲线方程的两种方法： (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲 线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方 程； (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出 标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定 量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为mx22－ny22 ＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
y
F1 O
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
M
F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a0， b0)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线定义及标准方程
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
y2 b2
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
第6讲 双曲线
【高考会这样考】 1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问
题． 2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
平面内与两 定点F1，F2的 距离的差为 非零常数的 点的轨迹是 什么？
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的
焦距.
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2 a>0，b>0，但a不一
定大于b，c2=a2+b2
2、渐近线：
-
13
2、渐近线：
y
b
P(a,b)
o
-a
a
x
-b
-
14
考点梳理
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 ． 这 两 个 定 点 叫 双 曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ．
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
双曲线图象
抓住2个考点
拉链画双曲线
突破3个考向
揭秘3年高考
思 考：
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0；
①当 a<c 时，P点的轨迹是双曲线； ②当 a＝c 时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当 a>c 时，P点不存在．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．(课本改编题)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
( )．
A．2
B．2 2
C．4
Dy82＝1，
则a2＝4，所以实轴长2a＝4.
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥ a 或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
性
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
质
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率 e＝ac，e∈ (1，＋∞) ，其中c＝ a2＋b2 性
质
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
实虚轴 2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做
双曲线的半虚轴长
a，b，c的 关系
c2＝ a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝ 2 ⇔双曲线 的两条渐近线互相垂直(位置关系)．