水动力学基本微分方程
地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动-专)
( ) (
)
任一断面单宽流量： ∂h 上式对x求导，并代入Darcy定律 q = − Kh ∂x 得：
q x ,t K = q x ,0 + ∆ h02,t G x, t − ∆ hl2,t G ′ x, t 2l
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
式中：qx,0—x断面处回水前单宽流量； qx,t—x断面处回水后t时刻的单宽流量； G (x, t ) —河渠流量函数；
hx2, 0 = h02, 0 −
h02, 0 − hl2, 0 l
x
(3) 两侧河渠水位同时出现水位上升，发生瞬时回 水，左河水位自h0,0上升至h0,t，右河自hl,0上升至hl,t。 （二）数学模型的建立和求解 如图坐标，可得如下数学模型：
∂ ∂h ∂h K h = µ ∂x ∂x ∂t h 2 ( x,0 ) = h02, 0 − h(0 ,t ) = h0 ,t h(l ,t ) = hl ,t h02, 0 − hl2, 0 l x
d dh W =0 h + dx dx K h x =0 = h1 h x =l = h2
模型求解： W dh d h = − dx 将微分方程化为： dx K 两边不定积分： dh W
h dx =− K x + C1
再化简： 再积分：
W hdh = − xdx + C1dx K
特例， h1=h2
l=2
时， a =
l 2
，代入(2)式，可得
K 2 hmax − h12 W
(
)
可见，当水位条件一定时，在入渗强度愈大和渗 透性愈弱的含水层中，排水渠间距愈小，反之愈大。 (3) 河渠间单宽流量的计算 通用公式： 2 2 当x=0时，得流入左河的单宽流量：
水动力学基本微分方程
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
水动力学基本微分方程
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
从上游断面流入：(q dq x)dt
dx 2
从下游断面流出：(q dq x)dt
dx 2 在∆t时间内，垂直方向的
补给量为：Wx dt
由于潜水面的上升而 引起的均衡区内的水的增 量为：
H x dt
t
其差 dq x dt dx
根据连续性原理，上面两个增量应相等，即
q W H
x x K K t
式中：：水位下降时称为给水度，水位上升时称为饱和差；
W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（—）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数；
注意：
a.Ｈ为整个含水层厚度上的平均值； b.Ｈ、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的Ｈ。
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
《地下水动力学》课程总结
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
空气动力学——空气流动的数学模型和水动力学原理
空气动力学——空气流动的数学模型和水动力学原理人类一直在探索自然，寻找其中的规律和奥妙。
在气体和液体的流动领域中，空气动力学和水动力学一直是研究的热点。
本文将分别介绍这两个领域的数学模型和原理。
一、空气动力学空气动力学是研究气体在物体表面流动的科学。
空气动力学的研究对象主要是飞行器、船舶、建筑物及其它工程结构物的气流特性。
空气动力学的基本研究方程式是Navier-Stokes方程式，它描述了气体在三维空间中运动的微分方程组。
这些方程可以解释风洞实验中的气流现象和飞行器在高速飞行时的空气动力学性能。
但是由于方程式过于复杂，目前仍无法对所有气流现象进行精确分析。
在通常的研究中，经常使用的是雷诺平均Navier-Stokes方程组（RANS方程组）。
这个模型假设气体流向可以拆解为平均流动和扰动流动两部分，将对平均流动的分析看作是气体流动问题的主要部分，扰动流动部分视为干扰，用一些附加的模型来进行分析。
针对不同的气体流动情况，可以采用不同的数值模拟方法，进行数值分析。
最常用的方法是有限体积法（FVM）和有限元法（FEM）。
这些方法将航空、航天以及一般的流体动力学设计用计算机模拟，降低了实验和生产成本，提高了产品的可靠性和性能。
二、水动力学原理水动力学是研究液体的运动及其所产生的效应的科学，应用于水流方面的研究，例如洪灾、水利、河流、湖泊和海洋等。
与空气动力学类似，水动力学的研究对象是船舶、水利工程结构、海洋平台、波浪、洪水等。
在水动力学中，常见的问题是流体结构相互作用（FSI）问题。
研究FSI问题的方法有许多种，包括基于网格的方法和非网格的方法。
基于网格方法包括有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）和有限体积法（FVM）。
而非网格方法有物体空间分解法（BEM）和粒子法（PF）。
流体动力学的模拟分析在工业上有广泛的应用，如造船、岸边水利工程设计、水电站的设计评估、混合设备的设计等。
同时也广泛应用于水环境模拟、污染扩散模拟和洪水预测等领域。
水动力学基本
3.2.3 流线与迹线
一、流线 1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组
成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地 描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y
ux uy uz 1 dx dy dz dt
量，简称压能。
u2 2g — 不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u 为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流
速水头，表示单位重量液体动能。
测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的 高度，表明单位势能，以Hp表示：
Hp
z
p
断面总水头—表明单位总能量，以H表示：
H z p u2
以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动.
点—线—面 运动轨迹 运动要素
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知 道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采 用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手 ，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式 ，来获得整个流场的运动特性。
3.恒定元流连续性方程：
根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量：
ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：
u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
uz t
(ux
地下水动力学习题及答案(1)
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
水力学总复习题 答案
三、绘图计算题
1．绘出图中曲面上的的压力体图，并标出水压力铅直分力的方向。
4
2.
图示一倒 U 形差压计，左边管内为水，右边管内为相对密度（即比重） s 1 0.9 的油。
倒 U 形管顶部为相对密度 s 2 0.8 的油。已知左管内 A 点的压强 p A 98KN / m 2 ，试求右边 管内 B 点的压强。 3. 有 一 盛 水 的 开 口 容 器 以 的 加 速 度 3.6m/s2 沿 与水 平 面 成 夹 角 的 斜面 向 上 运 动， 试 求 容 器中 水 面 的 倾 角.
30o
4.矩形平板闸门 AB 如图所示,A 处设有转轴。已知闸门长 l=3m，宽 b=2m，形心 点水深 hc=3m，倾角 α=45°，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需 拉力 FT。
5
hc A B α
5. 一曲面的形状为 3/4 个圆柱面，半径 R=0.8 m，宽度(垂直于纸面)为 1 m。圆心位于
(
) D. -43.3
21.图示的容器 a 中盛有重度为 1 的液体，容器 b 中盛有密度为 1 和2 的两种液体， 则两个容器中曲面 AB 上 压力体及压力应为 ( ) (1) 压力体相同，且压力相等； (2) 压力体相同，但压力不相等； (3) 压力体不同，压力不相等； (4) 压力体不同，但压力相等。
第1章 一、选择题 1．按连续介质的概念，流体质点是指（ A .流体的分子；
绪
论
）
B. 流体内的固体颗粒； C . 无大小的几何点； D. 几何尺寸同流动
空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 2．作用在流体的质量力包括（ ）
A. 压力； B. 摩擦力； C. 重力； D. 惯性力。 3．单位质量力的国际单位是：（ ）
流体动力学方程
流体动力学方程
《流体动力学方程》
一、定义
流体动力学方程又称为气体动力学方程。
它描述了理想流体在特定条件下的流动规律。
它是一组称为Navier-Stokes方程的微分方程，用来描述流体的压力、速度、温度和其他物理量之间的关系。
二、表达式
Navier-Stokes方程又称为流体动力学方程，包括控制方程和物理方程两部分。
控制方程：
u/t + (u)u = -P + μ2u
其中，u为物质的速度，t为时间，P为压强，μ为粘性系数。
物理方程：
u/t + (u)u = -P + c(T) + 2u
其中，t为时间，P为压强，T为温度，C为热扩散系数。
三、应用
1、气体动力学：流体动力学研究的最重要应用之一就是对于气
体动力学的研究，包括非定常气流、边界层气流、喷气发动机气流等。
2、水力机械：流体动力学方程在水力机械方面也有重要应用，
它可以用来研究水力机械系统中的液体流动特性。
3、流体动力：流体动力学方程可用于研究流体中的动力学特性，从而求解流体在某种特定条件下的动力学参数。
地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件课件
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
主要内容：
➢ 建立连续性方程 ➢ 分析含水层与岩石、流体压缩性关系 ➢ 建立不同含水层地下水流微分方程 ➢ 讨论边界条件及初始条件 ➢ 用数学模型描述实际问题
2.1 水和多孔介质的压缩性
水的压缩方程（地下水的状态方程)
假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含 水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水； ➢ p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗 粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性 比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。
e ( p0 p) V V0
水的压缩方程
按Taylor级数展开
f (x) f (x) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
1!
2!
n!
ex 1 x x2 x3 ... 2! 3!
e ( p0 p)
1
( p0
p)
2
2!
(
p0
p)2
3
3!
( p0
p)3
由于
Vm
V p
V0
V p
V
d(m)
dV V
m
d( 1 ) d
水的压缩方程
dp 1 d
d
dp
(1 5)
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
1 dVb d Vb
α为岩土的体积弹性压缩系数。
如果上部荷载不变，则 d dp
dp 1 dVb
Vb
地下水弹性储存
地下水动力学习题与实验
地下水动力学习题与实验习题1.已知水得动力粘滞系数µ＝0、00129N、S/㎡，求其运动粘滞系数υ。
2.1立方米体积得水，当温度为10℃时，压强增加１0个工程大气压强，其体积减少０．50８升。
求水得体积压缩系数β与体积弹性系数K。
3.有一矩形断面得宽渠道，其水流流速分布曲线为式中为水得容重,为水得动力粘滞系数，ｈ为渠中水深,如图1所示.已知h=0。
5米，求ｙ=0，ｙ＝0.２5米,ｙ=０．5米处得水流切应力,并绘出沿垂线得切应力分布图。
4.如图2所示为几个不同形状得盛水容器，它们得底面积及水深均相等.试说明：(1）各容器底面积所受得静水总压力就是否相等？(2)每个容器底面得静水总压力与地面对容器得反力就是否相等？（容器得重量不计)并说明理由。
5、绘出图中二向曲面上得压力体图及曲面在铅垂面上得投影面得压强分布图。
6、普遍所采用得水得状态方程近似地与温度无关.可表示为式中:A３000 n＝7 = =1个大气压试根据此式求:（ａ）使水得密度增加一倍所需得压力；(b）大气压下水得。
7、水从容器侧壁得孔口沿着断面变化得水平管流出（如图４）.假设容器中得水位固定不变,并略去水头损失。
已知Ｈ＝2米，=7、5厘米，=２５厘米,=10厘米，＝６。
２7米／秒，=，＝０.求流量Q以及管子断面１与２处得平均流速与动水压力。
８、设承压含水层中得弹性给水度,渗透系数Ｋ就是空间坐标得函数，试根据渗透连续性原理及应用达西定律推导出承压含水层中水头Ｈ得基本微分方程。
9、在直角坐标系中,地下水非稳定运动得基本微分方程为试用柱坐标表示之。
1０、证明地下水向无压井运动时，浸润面移动规律满足方程其中：H——-渗流场内得水头；－——浸润面上各点得水头；－-－给水度或饱与差.１1、写出如图6所示得坝基渗流模型得定解问题。
()12、在亚沙土壤中修建一水平集水廊道。
断面为矩形，廊道底达不透水层,求渗入廊道之流量。
已知廊道内水深，，k=０．002cm/s。
水力学考试重点总结
水力学考试重点总结(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除水力学考试重点总结水力学考试重点总结篇一：水力学课程总结1，水力学基础知识（液体的基本特征及其物理力学性质，量纲分析法。
a，液体只承拉不受压；b，牛顿内摩擦定律；c，作用于液体上的力为表面力和质量力。
d，p定理法）2，水静力学（静水压强的基本性质、量测以及压强分布，静水总压力的计算。
a，静水压强的指向性和各向等值性；b，相对压强、绝对压强概念；c，图解法、解析法求解静水总压力。
）3，水动力学基本方程（液体运动的基本概念与分类，恒定总流的连续方程、能量方程以及动量方程。
a，描述液体运动的方法拉格朗日法、欧拉法；b，流管、元流、总流的概念；c，恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流；d，恒定总流能量方程。
）4，液流型态与水头损失（水头损失的分类：局部、沿程；均匀流沿程水流损失；雷诺试验确定水流型态：层流、紊流；层流水流特性及沿程水头损失计算；紊流水流特性及沿程水流损失计算；实际工程中沿程水头损失计算的经验公式：舍齐公式；局部水头损失的成因及计算。
）5，有压管道流动（有压管流的特点及分类：长管、短管；简单管道恒定流的水力计算分自由出流与淹没出流；复杂管道恒定流的水力计算：管道串联与并联。
有压管中的非恒定流：水击现象的分类、消弱和水击压强计算。
）6，恒定明渠水流（明渠水流概念、水力要素的定义与计算；渠道的允许流速、水力最佳断面的计算；明渠水流的流态及其判别：缓流、临界流以及急流；断面比能以及最小断面比能对应的临界水深与临界低坡计算；水跌现象以及水跃现象的水力计算：共轭水深、水跃长度计算；棱柱体明渠恒定流非均匀渐变流水面曲线的分析：12种水面曲线；明渠恒定非均匀渐变流的水面曲线计算：分段求和法。
）7，过流建筑物的水力计算（堰闸出流的特点与区别：堰流、闸孔出流；堰流的类型及水力计算：薄壁堰、宽顶堰、WES堰的过流能力计算；闸孔出流水力计算；泄水建筑唔下游水流衔接与消能：底流消能与调流消能。
boussinesq水波方程
boussinesq水波方程Boussinesq水波方程，是以法国数学家约瑟夫·巴斯德·布桑克（Joseph Valentin Boussinesq）的名字命名的一种描述水波传播的方程。
它是研究水波动力学中的重要方程之一，广泛应用于海洋学、河流动力学、水工结构等领域。
Boussinesq水波方程是一种非线性偏微分方程，描述了长波的传播行为。
在这个方程中，假设水波的振幅较小、频率较低，且水流速度较小。
这种假设使得方程可以简化。
Boussinesq水波方程可以用于描述长波在水深变化的区域中的传播行为。
方程的数学形式如下：∂²η/∂t² - c²∇²η + β∂³η/∂x²∂t = 0其中，η是水波表面的位移，t是时间，x是空间坐标，c是波速，β是波浪幅度的非线性系数。
这个方程可以分为三个部分：第一项描述了波动的加速度，第二项描述了波动的传播，第三项描述了波动的非线性效应。
通过求解这个方程，可以得到水波在空间和时间上的变化规律。
Boussinesq水波方程的研究对于理解海洋和河流中的波浪现象具有重要意义。
通过对方程的求解，可以预测海岸线的变化、海洋中的波浪能量传播、海洋和河流中的涡流形成等问题。
此外，Boussinesq水波方程还可以应用于水工结构的设计和海洋能源的开发利用等领域。
近年来，随着计算机技术和数值模拟方法的发展，研究者们对Boussinesq水波方程进行了深入的研究。
通过数值模拟，可以更准确地预测水波在复杂环境中的传播行为。
研究者们还通过实验室和野外观测，收集了大量的实测数据，用于验证Boussinesq水波方程的精度和适用范围。
然而，Boussinesq水波方程也存在一些局限性。
由于方程的简化假设，它只适用于描述长波的传播行为，对于短波或高频波动的描述较为有限。
此外，方程中的非线性项对于波浪的幅度较大时可能会产生较大误差，因此在实际应用中需要进行修正。
潜水器在水中运动的微分方程式
潜水器在水中运动的微分方程式潜水器在水中运动的微分方程式是描述潜水器在水中运动过程中所遵循的物理规律的数学表达式。
潜水器在水中运动涉及到多个因素，包括水的密度、潜水器的质量、水流对潜水器的作用力等，这些因素的相互作用决定了潜水器在水中的运动状态。
潜水器在水中的运动可以分为两个方向：水平方向和垂直方向。
在水平方向上，潜水器受到水流对其的阻力作用，以及潜水器自身的推进力。
在垂直方向上，潜水器受到浮力和重力的作用。
对于水平方向上的运动，我们可以使用牛顿第二定律来描述。
牛顿第二定律表达了质体的加速度与作用在其上的力之间的关系。
在水平方向上，潜水器所受到的合力等于推进力减去阻力。
根据牛顿第二定律，我们可以得到如下微分方程式：F推 - F阻 = m * a其中，F推表示潜水器的推进力，F阻表示潜水器所受到的阻力，m 表示潜水器的质量，a表示潜水器的加速度。
这个微分方程式可以用来描述潜水器在水平方向上的运动状态。
在垂直方向上，潜水器受到浮力和重力的作用。
根据阿基米德原理，浸入在流体中的物体所受到的浮力等于其排开的流体的重量。
潜水器的浮力等于其排开的水的质量乘以重力加速度。
重力等于潜水器的质量乘以重力加速度。
因此，在垂直方向上，潜水器所受到的合力等于浮力减去重力。
根据牛顿第二定律，我们可以得到如下微分方程式：F浮 - F重 = m * g其中，F浮表示潜水器的浮力，F重表示潜水器的重力，m表示潜水器的质量，g表示重力加速度。
这个微分方程式可以用来描述潜水器在垂直方向上的运动状态。
综合考虑水平方向和垂直方向上的运动，我们可以得到潜水器在水中运动的微分方程式组：F推 - F阻 = m * aF浮 - F重 = m * g这个微分方程式组可以用来描述潜水器在水中运动的状态。
通过求解这个微分方程式组，我们可以得到潜水器在水中的运动轨迹、速度和加速度等信息。
潜水器在水中运动的微分方程式是物理学和工程学领域的重要内容。
通过对潜水器在水中运动的微分方程式进行研究和分析，可以帮助我们理解和预测潜水器的运动行为，为潜水器的设计和控制提供理论依据。
水力学系统讲义课件第三章水动力学基础
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4
a du du(x, y, z,t) u u dx u dy u dz
z p C
g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA /
pB /
压强势能（压能）： p
测压管高度(压强水头) ： g
zA
O
zB
O
单测位压势管能水：头：z
p
g
35
恒定总流的能量方程
理想液体恒定微小流束能量方程推导
动能定理：某物体在运动过程中动能的改变等于其在同 一时间内所有外力所做的功。
解：ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
4y 6x 4y 6xt 6t 6y 9xt 4t
4y 6x 1 6t2 6t2
将t 2, x 2, y 4代入得，ax 4m / s2 同理可得， ay (6 y 9x) (4 y 6x)9t 2 (6 y 9t)6t 2
Q A
49 60
umax
24
（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
1/ 7
水力学：第三章 流体动力学理论基础
若过水断面为渐变流，则在断面上 得
g
积分可
p
(z
p
Q
g
) gdQ ( z
p
g
) g dQ ( z
u x t p t 0 u y t 0 t u z
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随 时间而变化的。
6
二、 迹线与流线
拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况 ，引出了迹线的概念。 欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动 情况引出了流线的概念。
u x x
t
0
0
u y y
常数
u z z 0
22
二、 恒定不可压缩总流的连续性方程
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 取恒定流中微小流束如图所示: 因液体为不可压缩的连续介质，有
1 2
根据质量守恒定律在dt时段内
流入的质量应与流出的质量
）于1738年首先推导出来的。
28
二、实际流体恒定元流的能量方程
理想流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，
其机械能保持不变。
对实际流体，令单位重量流体从断面1-1流至断面2-2
所失的能量为
hw
'
。则1-1断面和2-2断面能量方程为：
p1
z1
g
u1
2
2g
z2
p2
g
u2
2
2g
hw
相等。
u 1 dA 1 dt u 2 dA 2 dt u 1 dA 1 u 2 dA 2
流体力学复习要点(计算公式)
第一章 绪论单位质量力：mF f B m =密度值：3mkg1000=水ρ，3mkg13600=水银ρ，3m kg29.1=空气ρ牛顿内摩擦定律：剪切力：dy du μτ=， 内摩擦力：dy du A T μ= 动力粘度：ρυμ= 完全气体状态方程：RTP =ρ压缩系数：dpd 1dp dV 1ρρκ=-=V （Nm 2） 膨胀系数：TT V V Vd d 1d d 1ρρα-==(1/C ︒或1/K)第二章 流体静力学+流体平衡微分方程：01;01;01=∂∂-=∂∂-=∂∂-zpz y p Y x p X ρρρ 液体平衡全微分方程：)(zdz ydy xdx dp ++=ρ液体静力学基本方程：C =++=gpz gh p p 0ρρ或 绝对压强、相对压强与真空度：a abs P P P +=；v a abs P P P P -=-= 压强单位换算：水银柱水柱m m 73610/9800012===m m N at2/1013251m N atm =注：hgPP →→ρ ； P N at →→2m /98000乘以 2/98000m N P a =平面上的静水总压力：（1）图算法Sb P = 作用点e h y D+=1)()2(32121h h h h L e ++=32Le y D==（2）解析法A gh A p P c c ρ== 作用点Ay I y yC xc C D+= 矩形123bL I xc= 圆形644d I xc π=曲面上的静水总压力：x c x c x A gh A p P ρ==；gVP z ρ= 总压力zx P P P += 与水平面的夹角xz P P arctan=θ 潜体和浮体的总压力：0=x P 排浮gV F P z ρ==第三章 流体动力学基础质点加速度的表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a zu u y u u x u u t u a z z zy z x z z y z yy y x y y x zx y x x x xAQV Q Q Q Q Q G A====⎰断面平均流速重量流量质量流量体积流量g udAm ρρ流体的运动微分方程：tzt y t x d du z p z d du y p Y d du x p X =∂∂-=∂∂-=∂∂-ρρρ1;1;1不可压缩流体的连续性微分方程 ：0zu y u x u z y x =∂∂+∂∂+∂∂恒定元流的连续性方程：dQ A A ==2211d u d u 恒定总流的连续性方程：Q A A ==2211νν无粘性流体元流伯努利方程：g2ug p z g 2u g p z 22222111++=++ρρ 粘性流体元流伯努利方程：w 22222111'h g2ug p z g 2u g p z +++=++ρρ恒定总流的伯努利方程：w2222221111h g2g p z g 2g p z +++=++ναρναρ气流伯努利方程：w 22212211P 2)()(2++=--++ρνρρρνP z z g P a 有能量输入或输出的伯努力方程w 2222221111h g2g p z g 2g p z +++=±++ναρναρm H 总流的动量方程：()∑-=1122Q F νβνβρ 投影式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=∑∑∑)()()(112211221122z z zy y y x x x v v Q F v V Q F v v Q F ββρββρββρ动能修正系数α：11.105.1A v dAu 33=-==⎰ααα，一般，较均匀流动A动量修正系数β：105.102.1Av dAu 22=-==⎰βββ，一般，较均匀流动A水力坡度dldh dl dH J w=-= 测压管水头线坡度dldh dl dH J wp =-=第四章 流动阻力和水头损失圆管沿程水头损失：gv d l hf22λ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==2g 8Re 64C λλ；紊流层流 局部水头损失：gv h j 22ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==-==0.15.015.0v v g 2v v h 1g 2v h 1g 2v h 12221j 2122222j 2211211j出入；管道出口注：管道入口）（用细管流速（突缩管—其余管用断面平均流速—弯管）（）（，）（，突然扩大管ζζζζζζζA A A A A A 雷诺数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======575R e e 2300d e d e c cR R c c υνυνυνυνR R R R R ，非圆管，圆管 流态判别⎪⎩⎪⎨⎧=><，流动为临界流为紊流，为层流，cc c Re Re 流动Re e 流动Re e R R谢才公式：RJC V = 谢才系数：λgC 8=;均匀流动方程式：lh gRgRJ f 0ρρτ== 圆管过流断面上剪应力分布：00ττr r =圆管层流：（1）流速分布式)r (r 4g u220-=μρJ （2）最大流速20max r 4g u μρJ =（3）断面平均流速：2u v max = （4）Re 64=λ紊流流速分布一般表达式：C +=Iny k1u*ν非圆管当量直径：)4Re ;2(42υυλR v vd g v d l h R d e e f e ==== 绕流阻力： A U C D D 220ρ=第五章 孔口、管嘴出流和有压管流薄壁小孔口恒定出流：2gH v ϕ=2gH A Q μ=97.0=ϕ 62.0==ϕεμ AA c=ε-0H 作用水头，自由出流gv H H 2200α+=，若00≈v ，HH =0；淹没出流gv gv H H H 22222211210αα-+-=，若021≈≈v v ，HH H H =-=210孔口变水头出流：)(2221H H gA Ft -=μ，若02=H ，放空时间max1222Q V gA H Ft ==μ圆柱形外管嘴恒定出流：2gH v n ϕ=；2gH A Q n μ=；82.0==n n μϕ；μμ32.1=n ；075.0H gP v =ρ简单管道：5228,d g a a alQ h H f πλ=-==比阻，（62/m s ）串联管道：ii ni i i ni i i i ni fi l a S Q S Q l a h H i ====∑∑∑===阻抗,12121并联管道：233322222111321,Q l a Q l a Q l a h h h f f f ==== 注：串联、并联管道有时需结合节点流量方程求解。
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(P rh) ( rh) 两个物理过程
图
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水；
（2）σ保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。
这两点就是弹性释水的机理。
H y
)
z
(K zz
H z
)
W
s
H t
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量
二维：
(T H ) (T H ) W H
x x y y
t
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
令a
T
，a称为压力传导系数，
也叫导压系数(在二维情况)
单位：m2 / s
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
2 H 2 H 2 H s H
x2 y 2 z 2 K t
２.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）
x
(Tx
H x
)
y
(Ty
H y
)
H t
，
当Tx Ty T时,
则 2H x 2
2H y2
T
H t
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元，
如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时
段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 z
量守恒定律，建立承
c
c
压含水层中渗流基本
微分方程。
Qx
d
b a dx
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a dy
yo
x
Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇；
当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
1 r2
2H
2
2H z 2
s
K
H t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
第二章 水动力学基本微分方程
2-1 地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方）
现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为
σ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时， p p h
Qx
Kxx
H x
dydz
Qy
K yy
H y
dxdz
Qz
K zz
H z
dxdy
Qx x
x
(Kxx
H )dydz x
Qy y
y (K yy
H )dxdz y
Qz z
z
(K zz
H z
)dxdy
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
H y
)
z
(K zz
H z
)
s
H t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量
a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
(Qx
Qx x
dx)dt
Q,通x dt过
dt时段内分别沿oy、
z
oz进入单元的水量为
c
c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Qy dt和Qz dt 而流出的水量为
(Qy
Qy y
dy)dt
和(Qz
Qz z
dz)dt
d
Qx b
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a
a dy
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m
m为含水层厚度，用于二维流计算。
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
s
H t
dxdydzdt
据水均衡原理得：
Qxdt
(Qx
Qx x
dx)dt
Qydt
(Qy
Qy y
dy)dt
Qzdt
(Qz
Qz z
dz)dt
s
H t
dtdxdydz
化简为：
( Qx x
dx
Q y y
dy
Qz z
dz)
s
H t
dxdydz
根据达西定律：
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应；
④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s ∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性
释水。
二、承压含水层中渗流基本微分方程
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成；
③ 为常数（constant）；
这时有： 2H 2H 1 H x2 y2 a t
4. 对于稳定流，H 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
2H 2H 2H 0 通常称为laplace方程 x2 y 2 z 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 r
r
(r
H ) r
分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；