水动力学基本微分方程

（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
2 H 2 H 2 H s H
x2 y 2 z 2 K t
２.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）
x
(Tx
H x
)
y
(Ty
H y
)
H t
，
当Tx Ty T时,
则 2H x 2
2H y2
T
H t
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元，
如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时
段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 z
量守恒定律，建立承
c
c
压含水层中渗流基本
微分方程。
Qx
d
b a dx
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a dy
yo
x
Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应；
④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s ∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性
释水。
二、承压含水层中渗流基本微分方程
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成；
③ 为常数（constant）；
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
s
H t
dxdydzdt
据水均衡原理得：
Qxdt
(Qx
Qx x
dx)dt
Qydt
(Qy
Qy y
dy)dt
Qzdt
(Qz
Qz z
dz)dt
s
H t
dtdxdydz
化简为：
( Qx x
dx
Q y y
dy
Qz z
dz)
s
H t
dxdydz
根据达西定律：
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
H y
)
z
(K zz
H z
)
W
s
H t
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量
二维：
(T H ) (T H ) W H
x x y y
t
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
令a
T
，a称为压力传导系数，
也叫导压系数(在二维情况)
单位：m2 / s
分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
Байду номын сангаас
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
这时有： 2H 2H 1 H x2 y2 a t
4. 对于稳定流，H 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
2H 2H 2H 0 通常称为laplace方程 x2 y 2 z 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 r
r
(r
H ) r
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m
m为含水层厚度，用于二维流计算。
第二章 水动力学基本微分方程
2-1 地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方）
现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为
σ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时， p p h
1 r2
2H
2
2H z 2
s
K
H t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇；
当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
Qx
Kxx
H x
dydz
Qy
K yy
H y
dxdz
Qz
K zz
H z
dxdy
Qx x
x
(Kxx
H )dydz x
Qy y
y (K yy
H )dxdz y
Qz z
z
(K zz
H z
)dxdy
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
H y
)
z
(K zz
H z
)
s
H t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量
a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
(Qx
Qx x
dx)dt
Q,通x dt过
dt时段内分别沿oy、
z
oz进入单元的水量为
c
c
Qy dt和Qz dt 而流出的水量为
(Qy
Qy y
dy)dt
和(Qz
Qz z
dz)dt
d
Qx b
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a
a dy
当从含水层中抽水、水头下降△h时，
(P rh) ( rh) 两个物理过程
图
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水；
（2）σ保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。
这两点就是弹性释水的机理。