方程函数不等式之间关系

◆知识讲解
1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－
b
a
，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．
2．坐标轴的函数表达式
函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．
3．一次函数与二元一次方程组的关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．
4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2
⇔k 1≠k 2．
（2）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，
b 1≠b 2．
（3）二元一次方程组11
22
y k x b y k x b =+⎧⎨
=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合
⇔k 1=k 2，b 1=b 2．
◆例题解析
例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的
费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．
（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；
（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．
（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．
（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．
【解答】（1）
y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．
（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；
当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；
当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．
∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．
（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．
∴x≤50．
设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，
即：y=－2x+9680．
又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，
∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．
答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．
例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：
该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．
【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即
y=
3(0) 3()()
c x a
b x a
c x a
+≤≤⎧
⎨
+-+>
⎩
由此可推断出a，b，c的值．
【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得
y=
3(0) 3()()
c x a
b x a
c x a
+≤≤⎧
⎨
+-+>
⎩
∵c≤5，∴c+3≤8
因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，
y=19分别代入②得
143(25) 193(35)
b a c
b a c
=+-+⎧
⎨
=+-+⎩
④－③得：10b=5 ∴b=0.5
把b=0.5代入③得a=3+2c
又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即
4=3.5－c+c不成立
则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4
∴c=1
把x=1代入a=3+2c得a=5
∴a=5，．b=0.5，c=1．
【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．
1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不
等式组1
2
x<kx+b<0的解集为_______．
图1 图2 图3
2．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4
x
交于A（x1，y1），B（x2，y2）
两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：
（1）乙出发时，与甲相距______km；
（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；
（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；
（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；
（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．
4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）
A．
15
2
-
B．－1 C．
15
2
--
D．1
5．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集
是（）
A．x>0 B．x<2
C．x>－3 D．－3<x<2
6．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种
国债的年利率为（ ） A ．k B ．
3k C ．k －1 D ．13
k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．
（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；
（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；
（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．
8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数
y=x 2－m x+
222m +与y=x 2
－m x －222
m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；
（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。