第三章随机过程的功率谱密度PPT课件

T
T dt2
T
EX
T
t2
X
t1
e jt2 t1 dt1
T
2T
在区间 T ,T 定义
则有
EX EX
t1 t1
X X
t2 t2
BX 0
t1
,
t
2
t1 , t2 T others
SX
lim T
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2 2T
令 则 t2 t1
证明：由功率谱密度函数定义
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
lim EFX j,T FX j,T
T
2T
lim
E
T T
X
t1
e jt1 dt1
T
X
T
t2
e
jt2
dt
2
T
2T
lim
E
T
T dt2
T T
X
t2
X
t1
e
j
t2
t1
dt1
T
2T
lim
S
X
lim
T
E
FX j,T 2
2T
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即 SX SX
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系
S X ~B~~X~~~t~,~t~~~~~~e j d
~~~~~~~~~~~~
BX t, t cos
j sin
d
~~~~~~~~~~~~
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
1 Fx jw,T 2 dw
2 2T
• 样本函数在时间区间 T,T 的平均功率。
• 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数， 取决于随机试验，平均功率具有随机性。
• 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
E
1 2T
T T
X
t
2
dt
E
1 2
Fx
jw,T
2
dw
2T
两边取极限
lim 1
E
X t2
dt
1
E lim
Fx jw,T 2
dw
T 2T
2 T
2T
若设
S
X
w
lim
T
E
FX jw,T 2
2T
上式表示为
lim 1
T 2T
E
X t2
dt
PX
1 2
S X BX t,t cos d
SX SX
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
SX d
证明: 对于平稳随机过程有
平稳E随X 机2 t过 2程1 的SX 均d方 值有限
平稳随机过程的功率谱密度可积,即
S
X
d
4. 功率谱与相关函数
随机过程
~~~~~~~~~~~~~
• 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
功率谱密度
time 随机过程
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理
平稳各态历经随机过程X t的自相关函数 BX 和功率谱密度 SX 有如下关系：
SX
BX
e j d
BX
1 2
SX
e j d
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
第三章 随机过程的功率谱密度
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱
带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
xt 1
2
Fx
jw e jwt dt
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式)
xt 2dt 1
2
2
Fx jw dw
Fx jw2 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 xt不满足傅立叶存在的
绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
xt
t
0
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 xT t规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
xt 保留有限区
间的数据
置其它区 间为0
T
0
t
T
图 3-2 xt 及截断函数
截断函数定义为：
xT
t
xt
0,
,
t T others
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
Fx jw,T
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号xt是在 t 的非周期实函数， xt的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件 xtdt
(2). 总能量有限，即
xt
2
dt
则信号xt的傅立叶变换为
Fx jw
x
t
e jwt dt
傅立叶反变换为
SX w dw
SX 称为随机过程X t的功率谱密度。
如随机过程是宽平稳过程时，则
lim 1
T 2T
E
X
t 2
dt
E
Xwenku.baidu.com
t 2
1
2
S X w dw
§3.2 功率谱密度与自相关函数之间 的关系及其性质
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
• 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
~~~~~~~~~~~~
BX t,t cos d BX t,t sin d
BX t,t BX t,t cos cos sin sin
~~~~~~~~~~~~
S X BX t,t cos d
同理
~~~~~~~~~~~~
dt2 d
lim
T T
T
T BX
t1,t2 e jt2 t1 dt1dt2
T
2T
SX
lim T
T t1 T t1
T
T BX
t1, t1 e j dt1d
2T
lim
1
2T 1 T
T
T BX
t, t e j dtd
令t1 t
B t, t e d ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
xT
t
e jwt dt
T x t e jwt dt T
傅立叶反变换为
xT
t
1
2
Fx
jw,T e jwt dt
由巴塞伐定理得
xT
t
2dt
T
T xT
t
2 dt
1
2
2
Fx jw,T dw
对上式两边除2T
1
2T
xT
t 2dt
T
T xT
t 2dt
1
X
j
B e d ~~~~~~~ 1 X
j
平稳随机过程
B 1 X
e j d
得证。 BX
1 2
S X
e j d
各态历经性
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度为非负实函数，即
SX 0
证明: 根据功率谱密度定义