截长补短法例题
截长补短经典例题
截长补短经典例题
1.问题：一个长方形的长是宽的2倍，如果长减少4厘米，宽增加6厘米，那么面积就会增加18平方厘米。
请问原来的长方形的长和宽各是多少厘米？
解：设原来的长方形的宽为X厘米，那么长为2x厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
(x+6)*(2x-4)=2x^2+18
解这个方程，我们得到：
2x2-4x+12x-24=2x2+18
IOx=42
X=4.2
所以原来长方形的宽为4.2厘米，长为4.2*2=8.4厘米。
2.问题：一个圆的半径是另一个圆半径的2倍，如果大圆的面积比小圆的面积大16兀平方厘米，那么大圆和小圆的半径各是多少厘米？(兀取
3.14)
解：设小圆的半径为r厘米，那么大圆的半径为2r厘米。
根据题意，我们可以得到一个方程：
π*(2r)^2一n*r^2=16π
解这个方程，我们得到：
3.14*(4r^2-r^2)=16π
3.14*3/2=16π
3/2=16
r^2=5.3333（保留四位小数）
所以小圆的半径约为2.3厘米，大圆的半径约为4.6厘米。
专题02 辅助线之截长补短
几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。
例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。
例：延长AC 至点D ，使得AD AB=D CB A二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．变式训练1 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C∠=∠例2 在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC ，CD 上的两点，且∠EAF＝G F E C B D A A DBCE FG FE C B D A A D B C EF 12∠BAD ，求证：BE+DF ＝EF ．变式训练2 正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，45EAF ∠=︒，求证：EF BF DE=-题型二 截长补短探究线段长度关系例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 是边BC 下方一点，∠BDC =90°，探索三条线段DA 、DB 、DC 之间的等量关系，并证明你的结论．变式训练3 在四边形ABDC 中，180B C ∠+∠=︒，DB DC =，120BDC ∠=︒，以D 为顶点作EDF ∠为60︒角，角的两边分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，请直接写出线段BE ，CF ，EF 之间的数量关系．GAB DC E F FEC D BA三、 巩固练习1. 正方形ABCD 中，已知AB=3，点E ，F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积.2. 如图，在ΔABC 中，AB ＞AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．截长补短方法归纳总结：线段间的和差倍分，就把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．但凡出现了线段的和差关系时，一定要尝试一下用截长补短的方法来进行处理，但不是每一个和差关系的题目都可以同时使用截长法和补短法，有时截长法能更加便捷的解决问题，而有时补短法又优于截长法，这都是需要根据具体的题目取选择具体的方法的。
截长补短法经典例题
1.在解决几何问题时，截长补短法常用于：A.证明线段相等B.证明角度相等（答案）C.计算面积D.求解体积2.下列哪个图形问题最适合使用截长补短法来解决？A.求解圆的半径B.证明两个三角形全等（答案）C.计算长方体的表面积D.求解一次方程的根3.使用截长补短法时，通常需要：A.添加辅助线来构造相似图形B.延长或截取线段来构造等长线段（答案）C.使用勾股定理D.计算图形的周长4.在三角形ABC中，AB > AC，为了证明某条线段与AB相等，可以使用截长补短法，下列哪个步骤是正确的？A.延长AC至D，使得CD = ABB.截取AB的一部分，使其与AC相等（答案）C.在三角形外部构造一个与三角形ABC全等的三角形D.计算三角形ABC的面积5.截长补短法在解决哪类问题时特别有用？A.代数方程求解B.图形面积计算C.线段长度比较和证明（答案）D.体积计算6.下列哪个不是截长补短法的常见应用？A.证明线段和差关系B.构造平行线来证明角度相等C.通过截取和延长来构造等边三角形（答案，这更多是等边三角形的性质或构造法，不是截长补短法的直接应用）D.利用线段的相等关系来证明三角形的全等7.在使用截长补短法时，如果延长了某条线段，通常是为了：A.增加图形的面积B.构造一个与已知线段相等的线段（答案）C.改变图形的形状D.计算图形的周长8.下列哪个步骤是使用截长补短法证明线段相等时的常见策略？A.延长较短的线段至与较长线段相等B.计算两条线段的长度差C.通过截取较长线段的一部分来构造与较短线段相等的线段（答案）D.使用三角形的相似性质。
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
截长补短法例题完整
截长补短法例题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）截长补短法例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°F E D C B A 图1-2 A B C D图1-1例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PEA B C D P 12N图3-1P 12NA B C D E 图3-2AD B CE 图2-1 ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 AD B CEF 1234图2-2D C B A 12图4-1 ED CB A 12图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .F D C B A 12图4-3超重和失重 问题超重和失重是两个很重要的物理现象。
微专题 截长补短法
(1)BC＝2； (2)证明：如解图，在AM上截取AN＝DF，连接DN. ∵F为边BC的中点， ∴BC＝2CF. ∵CD＝2CE， ∴CE＝CF， ∵∠MCF＝∠MCE，CM＝CM， ∴△MCF ≌△MCE(SAS). ∴∠CFM＝∠CEM＝90°，MF＝ME.
第4题解图
∵DC＝AD，∠CDF＝∠DAN，DF＝AN， ∴△CDF ≌△DAN(SAS). ∴∠CFD＝∠DNA＝90°＝∠DNM. ∵∠CFM＝∠DNM＝90°，∠CMF＝∠DMN，CM＝DM ∴△CMF ≌△DMN(AAS). ∴MF＝MN＝ME. ∵AM＝AN＋MN， ∴AM＝DF＋ME.
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，
B E
∴∠B＝∠E，在△ABD与△AED中，1 2
∴△ABD ≌△AED(AAS)，
AD AD
∴AB＝AE.
又∵AE＝AC＋CE＝AC＋DC，
∴AB＝AC＋CD.
例题解图②
针对训练
1. 在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝ EF，则∠EAF的度数为( C ) A．30° B．37.5° C．45° D．60°
∴CM＝BN，∠ACM＝∠B＝45°，
∴∠MCE＝45°，
CM BN
∴∠B＝∠MCE，在△MCE和△NBE中，MCB B
∴EN，
∴AE＝AM＋EM＝CN＋EN.
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过 M作ME⊥CD于点E，∠BAC＝∠CDF. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
第3题图
证明：如解图，在AE上截取AM=CN,连接CM, ∵∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°，即∠1＋∠NCA＝90°， ∵CN⊥AE ∴∠2＋∠NCA＝90° ∴∠1＝∠2.
数学中考截长补短法例题
截长补短法例1.已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CDAD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°例2.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BPBP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE .FEDCBA图1-2ABCDP12N图3-1P12NABCD E 图3-2ABC D图1-1ADBCE图2-1在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DE DE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .ADB CE F1234图2-2例4.已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .DCB A 12图4-1EDCBA12图4-2FDCBA 12图4-3。
专题5——截长补短法
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC 方向以 3cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作
圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明
理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切， 求t的值．
2、如图①，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是 等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点，做一个 60°角使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接
MN，请求出△AMN的周长。
3、如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的
等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC
G A D A D(G) F A D F
G B
F C E B C E B C E
图①
图②
图③
5、 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB
也为正方形，设△AFC的面积为S，则 （
A．S=2 B．S=2.4 C．S=4
）
D．S与BE长度有关
6、正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所
示，点G在线段DK上，正方形 BEFG 的边长为4，则 △DEK
的面积为：
（Ａ）10
（Ｂ）12
（Ｃ）14
（Ｄ）16
D
C G F P
R
K
A
B
E
7、如图，矩形 ABCD 中，AB=3cm，AD=6cm，点 E为AB边上的任意一点，四边形 EFGB 也是矩
EF 2 BE ，则 S△ AFC 形，
培训学习资料-截长补短法_2023年学习资料
N-如图3，点M、N分别在边-AB、CA的延长线上时，-猜想的结论还成立吗？-若不成立，又有怎样的-数量关 ？写出你的猜-想并加以证明.
截长法与补短法，具体做法是在某条-线段上载取一条线段与特定线段相等，或-是将某条线段延长使之与特定线段相等 -再利用三角形全等的有关性质加以说明-这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、-分等类的题目.
等-如图，AD∥BC,AE,BE分别平分-∠DAB,∠CBA,-CD经过点E,-求证：AB=AD+BC
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-思考题-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60 ，∠BDC=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数 关系.-如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，-BM、NC、MN之间的数量关系是
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上-分别有两点M、N,D为△ABC外一点，且-∠MDN=60°，∠B C=120°，BD=DC.-探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，-BM、NC、MN之间的数量关系. 如图2，点M、N边AB、AC上，且-当DMDN时，猜想I的结论还成立吗？-写出你的猜想并加以证明；
例2、五边形ABCDE中，AB=AE,-BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°，求证-AD平分∠C E-学法辅导-1、可考虑补短法，延长DE-至F,使EF=BC,连AC,AF,B-证两次全等即可求解。-2、 意，用截长法得不到-两次全等，故本题不宜用-截长法来做
思考-㳇列1和例2，一牧出现十么杀件-时可以同时使用截长补短两种办法？-A-D-F-E-B-C-M
1.在△ABC中，∠B=2∠C,AD平分BAC.-求证：AB+BD=AC-证明：在AB的延长线截取BE=B ,-连结DE.-补短法-在射线AB截取BE=BD,
截长补短模型例题
以下是一个截长补短模型的例题：
问题：
某学生想要评估自己在数学课程上的成绩表现。
他在过去的五个学期中取得了如下成绩：78、82、90、85和88。
他希望使用截长补短模型来预测他未来一学期的数学成绩。
解答：
截长补短模型是一种用于预测和估计未来值的统计模型，基于已有的数据趋势来进行预测。
在这个例子中，我们可以使用截长补短模型来预测学生未来一学期的数学成绩。
首先，我们需要计算这五个学期成绩的平均值，作为基准线：
(78 + 82 + 90 + 85 + 88) / 5 = 84.6
接下来，我们计算与平均值的差异，即每个学期成绩与平均值的差值：
78 - 84.6 = -6.6
82 - 84.6 = -2.6
90 - 84.6 = 5.4
85 - 84.6 = 0.4
88 - 84.6 = 3.4
然后，我们根据差值的趋势来预测未来一学期成绩。
在这里，我们看到负值意味着低于平均值，正值意味着高于平均值。
因为差值有一定的波动，我们可以假设这个波动会继续。
根据过去五个学期的波动情况，我们可以做出以下预测：
-6.6 + (-2.6) + 5.4 + 0.4 + 3.4 = -0.6
因此，我们预测学生未来一学期的数学成绩将大约在平均值左右，即84.6左右。
需要注意的是，截长补短模型只是一种基于过去数据的预测方法，结果并不一定准确。
实际的成绩可能会受到其他因素的影响，如学习态度、教学质量等。
因此，这个预测结果仅供参考，学生仍需根据自身情况和努力来提高学习成绩。
截长补短例题
以下是截长补短的例题：
题目：已知等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，AD=3，BC=7，求等腰梯形的面积。
解法一：
1.延长BC至E，使得CE=AD。
2.连接AE，由于AB=CD且AD平行于BC，所以四边形ABCE是平行四边形。
3.根据平行四边形的性质，有AE=BC=7。
4.由于AD平行于BC，所以角DAE=角BCE。
5.角AED=角B+角BCE。
6.由于角AED和角B都是直角，所以角AED=90度。
7.根据勾股定理，有AE^2=AD^2+DE^2。
8.因为AD=3, 所以DE=BC-AD=4。
9.计算AE^2=3^2+4^2=9+16=25。
10.梯形面积=(上底+下底)×高/2=(3+7)×5/2=25。
解法二：
1.作AF垂直于BC于F，作DG垂直于BC于G。
2.因为AD平行于BC，所以AF=DG。
3.由于AB=CD，所以BF=CG。
4.由于AD=3, BC=7, 所以BF=2, CG=5。
5.计算AF=DG=(BC-BF)/2=(7-2)/2=5/2。
6.梯形面积=(上底+下底)×高/2=(3+7)×(5/2)/2=25。
总结：截长补短的解题思路是通过构造辅助线将等腰梯形转化为其他几何图形，从而利用已知条件和几何性质求解问题。
在解法一中，我们通过延长BC和连接AE将等腰梯形转化为平行四边形，然后利用勾股定理求解；在解法二中，我们作AF和DG垂直于BC，将等腰梯形转化为矩形和直角三角形，然后利用几何性质求解。
两种解法都可以得到正确的答案。
截长补短经典例题20道
截长补短经典例题20道一、三角形中的截长补短例1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点O。
求证：AC = AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO = ∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO，所以△AEO≌△AFO(SAS)。
所以∠AOE = ∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠AOE =∠COD =∠AOF = 60°。
所以∠COF = 180° - ∠AOF - ∠COD=60°，即∠COF = ∠COD。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO，所以△FOC≌△DOC(ASA)。
所以CD = CF。
因为AC = AF+CF，AF = AE，CF = CD，所以AC = AE + CD。
例2：已知：如图，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC = AB+AD。
解析：过点D作DE⊥BC于E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC，所以AD = DE。
因为AB = AC，∠A = 90°，所以∠C = 45°。
在Rt△DEC中，因为∠C = 45°，所以DE = EC。
又因为BD = BD，AD = DE，∠A = ∠BED = 90°，所以△ABD≌△EBD(HL)。
所以AB = BE。
因为BC = BE+EC，AB = BE，AD = EC，所以BC = AB+AD。
二、四边形中的截长补短例3：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，且∠EAF = 45°。
三角形全等之截长补短(习题)
三角形全等之截长补短（习题）➢ 例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．FED C BA【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短． ① 考虑截长的方法，如图所示：A BCDEFH在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可． 结合题目条件，先证明△ABD ≌△HCD ，再证明△ADF ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：FEDCBA H延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立．【过程书写】 （截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．A BCDEFH∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF➢巩固练习1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=80°，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．2.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．AB CDADCDECDE3.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，连接EC．求证：BC=AB+CE．4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．EADC BEADCFEDCBA➢思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC12AB．30°CBA【参考答案】➢巩固练习1.证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，再证明CE=DE；方法二：延长AB到E，使BE=BD，连接DE，证明△ADE≌△ADC．2.证明略提示：在AE上截取AF=AD，证明△CDA≌△CF A，再证明BE=FE．3.证明略提示：在BC上截取BF=BA，连接DF，证明△ABD≌△FBD，再证明△DFC≌△DEC．4.证明略提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG ≌△ADF，再证明AE=GE即可．➢思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。
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B
F 补短法：过点Ｂ作BF⊥BC交CN的延长线于点F，
N E
1
C
2A
可证得△CBF≌△ACE，从而得到AE=CF, 再证△BEN≌△BFN，可得EN=FN.
2024/4/29
全等三角形之巧添辅助线——截长补短法
练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的
中点，CN⊥AE交AB于N。 （1）求证：∠1=∠2 （2）求证：AE=CN+EN （请用多种方法证明）
√（2）延长AC至F，使AF=AB，连接EF
Ｂ
可得到△AEF≌△AEB，再证△CEF≌△DEB
2024/4/29
全等三角形之巧添辅助线——截长补短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB
和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。
Ｆ
Ｅ
Ｃ
12
Ａ
证明：延长AC至F，使AF＝AB，连接EF
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB 和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。
Ｅ Ｄ 截长法
截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使
Ｃ
其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，
然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等
ＡＦ
Ｂ 在AB上截取一段AF等于AC或者等于BD
B
F
N E
1
补短法：过点B作BF⊥BC交EN的延长线于点F， 可证得△BEF≌△CEA，从而得到AE=EF,
C
2A
再证△BCN≌△BFN，可得CN=FN.
2024/4/29
全等三角等三角形之巧添辅助线——截长补短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB
专题02 辅助线之截长补短
几何专题02 辅助线之截长补短一、 知识导航截长：在长边截取一条与某一短边相等的线段，再证明剩下的线段长度与另一短边相等。
例：如图，在AB 上截取AD AC=补短：通过延长或是旋转等方式使两短边拼接在一起，然后证明与长边相等。
例：延长AC 至点D ，使得AD AB=二、 典型例题题型一 截长补短证明线段（角）和差关系例1 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．求证：AB BD AC +=．【分析】要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，此时有截长和补短两种方法。
截长法：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD CE =即可，这就将证明线段和差问题AB BD AC +=转化为证明线段相等问题，只要证出ABD AED ∆≅∆，得出B AED Ð=Ð及BD DE =，再证出EDC C Ð=Ð，进而得出ED EC =，则结论成立．补短法：如图2，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可．此时先证F C Ð=Ð，再证出ADF ADC ∆≅∆，则结论成立．【证明】截长法：如图1，在AC 上截取AE AB =，连接DE ∵AD 平分BAC Ð∴BAD DAC Ð=Ð在ABD ∆和AED ∆中AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î∴ABD AED ∆≅∆（SAS ）∴B AED Ð=Ð，BD=DED CBA图1E ABCD∵2B C Ð=Ð∴2AED CÐ=Ð而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð∴EDC C Ð=Ð∴DE=CE∴AB+BD=AE+CE=AC补短法：如图2，延长AB 至点F ，使得BF BD =，连接DF ∴F BDFÐ=Ð∴2ABD F BDF F Ð=Ð+Ð=Ð∴2ABD C Ð=Ð∴F C Ð=Ð在AFD ∆和ACD ∆中FAD CAD F C AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴AFD ACD ∆≅∆（AAS ）∴AC=AF∴AC=AB+BF=AB+BD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定截取辅助线的方式．本题采用截长和补短两种方式都可以简化难度，但是并不代表所有的题采用两种辅助线方式会同样简化难度哟，这个得根据具体的题目选择合适的方式。
截长补短法(含答案)
专题3：截长补短法【典例引领】例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。
（1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。
【强化训练】1、（2018黑龙江龙东地区）如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F.（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=√2DF.2（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。
线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.2．如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N, FN⊥BC. （1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。
①求y与x的函数关系式；②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．4．【问题情境】在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图①图②图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）【变式探究】当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：【结论运用】如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；专题3：截长补短法【典例引领】例题：（2013黑龙江龙东地区）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。
专题02 截长补短证全等(解析版)
专题02 截长补短证全等类型一 截长证全等1．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，在AB 上截取,AH AD =证明,ADE AHE V V ≌再证明,HBE CBE V V ≌可得,BC BH = 从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB 上截取,AH AD =AE ∵平分,DAB Ð,DAE HAE \Ð=Ð,AE AE =Q,ADE AHE \V V ≌,ADE AHE \Ð=Ð//,AD BC Q180,ADE BCE \Ð+Ð=°180,AHE BHE Ð+Ð=°Q,BCE BHE \Ð=ÐBE Q 平分,ABC Ð,ABE CBE \Ð=Ð,BE BE =Q,HBE CBE \V V ≌,BC BH \=,AB AH HB =+Q.AB AD BC \=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.2．如图，已知：在ABC V 中，60B Ð=°，CE 、AF 是ABC V 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF =+．【答案】见解析【解析】【分析】在AC 上取一点H ，使AH ＝AE ，根据角平分线的定义可得∠EAO ＝∠HAO ，然后利用“边角边”证明△AEO 和△AHO 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE 0＝∠AHO ，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO 和△CHO 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF ＝CH ，再根据AC ＝AH ＋CH 代换即可得证．【详解】证明：如图，在AC 上取一点H ，使AH AE =，连接OH ．∵AF 是ABC V 的角平分线，∴EAO HAO Ð=Ð，在AEO △和AHO V 中，∵,,,AE AH EAO HAO AO AO =ìïÐ=Ðíï=î∴()AEO AHO SAS V V ≌，∴AEO AHO Ð=Ð，∵CE 是ABC V 的角平分线，∴12Ð=Ð，∵13,2AHO B AEO Ð+Ð=ÐÐ+Ð=Ð，∴360B Ð=Ð=°，∵CE 、AF 是ABC V 的角平分线，∴114118018060602(2)()CAF B Ð=Ð+Ð=°-Ð=´°-°=°，∴34Ð=Ð，在CFO △和CHO V 中，21,,43,CO CO Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()CFO CHO ASA V V ≌，∴CF CH =，∵AC AH CH =+，∴AC AE CF =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求证：MB －MC ＜AB －AC ．【答案】见解析【解析】【分析】法一：因为AB ＞AC ，所以在AB 上截取线段AE ＝AC ，则BE ＝AB －AC ，连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ，再证明ME ＝MC ，则结论成立．法二：延长AC 至H ，在AH 上截取线段AB ＝AG ，证明△ABM ≌△AGM ，得到BM =GM ，根据三角形的三边关系即可求解．【详解】证明：法一：在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ，在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）,∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BAD CAD Ð=Ð,在△AMC 和△AME 中，∵AC AE CAM EAMAM AM =ìïÐ=Ðíï=î∴△AMC ≌△AME （SAS ），∴MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵BE ＝AB －AE ，∴BE ＝AB －AC ，∴MB －MC ＜AB －AC ．法二：延长AC 至H ，在AH 上截取线段AB ＝AG ，同理可证得△ABM ≌△AGM （SAS ），∴BM =GM ，∵在△MCG 中MG -MC ＜CG∴MB －MC ＜AG -AC = AB －AC即MB －MC ＜AB －AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．4．如图，120CAB ABD Ð+Ð=°，AD 、BC 分别平分CAB Ð、ABD Ð，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB Ð的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB +∠OBA =60°，从而得到∠AOB ；（2）在AB 上截取AE =AC ，证明△AOC ≌△AOE ，得到∠C =∠AEO ，再证明∠C +∠D =180°，从而推出∠BEO =∠D ，证明△OBE ≌△OBD ，可得BD =BE ，即可证明AC +BD = A B ．【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO =∠EAO ，AO =AO ，∴△AOC ≌△AOE （SAS ），∴∠C =∠AEO ，∵∠C +∠D =（180°-∠CAB -∠ABC ）+（180°-∠ABD -∠BAD ）=180°，∴∠AEO +∠D =180°，∵∠AEO +∠BEO =180°，∴∠BEO =∠D ，又∠EBO =∠DBO ，BO =BO ，∴△OBE ≌△OBD （AAS ），∴BD =BE ，又AC =AE ，∴AC +BD =AE +BE =A B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE =AC ，利用全等三角形的性质证明结论．5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D Ð+Ð=°，CE AB ^于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【答案】2AB AD BE =+，证明见解析【解析】【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS V V ≌，得到B BFC Ð=Ð，又证明AFC ADC V V ≌，得到AF AD =，最后结论可证了．【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB^Q 90BEC FEC \Ð=Ð=°在BCE V 和ECF △BE EF BEC FECCE CE =ìïÐ=Ðíï=î()BCE ECF SAS \V V ≌ B BFC\Ð=Ð 180B D Ð+Ð=°Q 180BFC AFC Ð+Ð=°Q 又D AFC \Ð=ÐQ AC 平分∠BADFAC DAC\Ð=Ð在AFC △ 和ADC V 中AFC D FAC DACAC AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()AFC ADC AAS \V V ≌AF AD\=AB AF BE EF=++Q 2AB AD BE\=+【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【答案】见解析【解析】【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=´（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．7．已知：如图，2AB AC =，BAD CAD Ð=Ð，DA DB =，求证：90ACD Ð=°.【答案】详见解析【解析】【分析】由于DA=DB ，想到作DE ⊥AB ，构造直角∠AED ，只需要证明∠ACD=∠AED ，本题就得解．从而转化为说明△AED ≌△ACD 的问题．【详解】如图所示，作DE ⊥AB 于E ，∵DA=DB ，DE ⊥AB ，∴AE=EB=12AB ，∠AED=90°，∵AB=2AC ，∴AC=12AB ，∴AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，∵AC=AE ，∠2=∠1，AD=AD ，∴△ACD ≌△AED(SAS)，∴∠ACD=∠AED=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解题时主要运用了全等三角形问题中常用辅助线-截长补短，通过辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要的方法，注意掌握．8．如图，AD BC ∥，DC AD ^，AE 平分BAD Ð，且E 是DC 中点试问：AD 、BC 和AB 之间有何关系？并说明理由.【答案】详见解析【解析】【分析】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，证明()R t t BEF BEC HL D D ≌R，可得BF=BC ，继而可得答案.【详解】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，AE ∵平分BAD Ð，BAE EAD \Ð=Ð，AE AE =Q ，EAF EAD \D D ≌，EF ED \=，90AFE ADE Ð=Ð=°，∴∠BFE=90°，AD BC ∵∥，90BCE ADE \Ð=Ð=°，90BFE BCE \Ð=Ð=°，E Q 是DC 中点，ED CE \=，EF EC \=，又BE BE =Q ，()R t t BEF BEC HL \D D ≌R，BF BC \=，AD BC AF BF AB \+=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线这一条件，在角两边截取相等线段构建全等三角形，实现截长补短见是解题的关键.9．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，EF AE ^交DCE Ð外角的平分线于F ．（1）求证：AE EF =；（2）如图，当E 是BC 上任意一点，而其它条件不变，AE EF =是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点H ，连接EH ，根据已知及正方形的性质利用ASA 判定@V V AHE ECF ，从而得到AE EF =；（2）成立，在AB 上取BH BE =，连接EH ，根据已知及正方形的性质利用ASA 判定@V V AHE ECF ，从而得到AE EF =．【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ，如图；ABCD Q 是正方形，AE EF ^；190AEB \+=°∠∠，290AEB Ð+Ð=°12ÐÐ\=，BH BE =Q ，∴45BHE Ð=°，又∵45FCG Ð=°，135AHE ECF \==°∠∠，在AHE V 和ECF △中12AH ECAHE ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AHE ECF \@△△，AE EF \=；（2）解：成立．在AB 上取BH BE =，连接EH ，如图，ABCD Q 为正方形，AB BC \=，，AH EC \=，45BHE BEH Ð=Ð=°，又∵45FCG Ð=°，∴135Ð=Ð=°AHE ECF ，在AHE V 和ECF △中12AH ECAHE ECF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，AHE ECF \@△△，AE EF \=．【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造@V V AHE ECF ．类型二 补短证全等10．已知：如图所示，在ABC D 中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG D D ≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC D 中，AD 为中线，∴BD=CD，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDG D D ≌，BE CG \=，BED CGD Ð=Ð，BE AC =Q ，AC GC \=，AGC CAG \Ð=．又BED AEF Ð=ÐQ ，∴AEF EAF Ð=Ð，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．11．如图，在△ABC 中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD Ð=°，BD DC AB +=．求证：60ACD Ð=°【答案】见解析【解析】【分析】首先延长BD 至E ，使CD ＝DE ，连接AE ，AD ，由BD ＋DC ＝AB ，易得△ABE 是等边三角形，继而证得△ACD ≌△ADE ，则可证得：∠ACD ＝∠E ＝60°．【详解】延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，∵BD CD AB +=，BE BD DE =+，∴BE AB =，∵60ABD Ð=°，∴△ABE 是等边三角形，∴AE AB AC ==，60E Ð=°，在△ACD 和△ADE 中，AC AE CD DE AD AD =ìï=íï=î，∴△ACD ≌△ADE （SSS ），∴60ACD E Ð=Ð=°．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．在ABC V 中，60ABC Ð=°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C Ð=Ð．（1）求CDE Ð的度数；（2）求证：AD DE BD +=．【答案】（1）60°；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AB BE =，60ABC Ð=°，可得ABE △为等边三角形，由AEB EAC C Ð=Ð+Ð，CDE EAC AED Ð=Ð+Ð，AED C Ð=Ð，可证60CDE AEB Ð=Ð=°（2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由60BED AED Ð=°+Ð，60BAF C Ð=°+Ð，且C AED Ð=Ð，可证()FBA DBE SAS V V ≌ 由=DB FB ，可证FBD V 为等边三角形，可得BD FD =， 可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC Ð=°，∴ABE △为等边三角形，∴60BAE AEB Ð=Ð=°，∵AEB EAC C Ð=Ð+Ð，CDE EAC AED Ð=Ð+Ð，∵AED C Ð=Ð，∴60CDE AEB Ð=Ð=°（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由（1）得ABE △为等边三角形，∴60AEB ABE Ð=Ð=°，∵60BED AEB AED AED Ð=Ð+Ð=°+Ð，又∵60BAF ABE C C Ð=Ð+Ð=°+Ð，且C AED Ð=Ð，∴BED BAF Ð=Ð，在FBA V 与DBE V 中，AB BE BAF BEDAF DE =ìïÐ=Ðíï=î∴()FBA DBE SAS V V ≌∴=DB FB ，DBE FBAÐ=Ð∴DBE ABD FBA ABD Ð+Ð=Ð+Ð，∴60ABE FBD Ð=Ð=°又∵=DB FB ，∴FBD V 为等边三角形∴BD FD =，又∵FD AF AD =+，且AF DE =，∴FD DE AD BD =+=，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．13．如图，四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°， 150BCD Ð=°，CB CD =，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN Ð=°．求证： MN BM DN =+．【答案】见解析【解析】【分析】延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，根据同角的补角相等得CBE CDN Ð=Ð，根据SAS 证明CBE CDN D @D ，则BCE DCN Ð=Ð，进而证明75ECM MCN Ð=Ð=°，根据SAS 证明ECM NCM D @D ，得到MN ME =，则MN BM BE BM DN =+=+．【详解】证明：延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，Q 四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°，180ABC CBE Ð+Ð=°，CBE CDN \Ð=Ð，在CBE D 和CDN D 中，CB CD CBE CDN BE DN =ìïÐ=Ðíï=î，()CBE CDN SAS \D @D ，BCE DCN \Ð=Ð，CN CE =，150BCD Ð=°Q ，75MCN Ð=°，75MCE MCB BCE MCB DCN \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，MCN MCE \Ð=Ð，在ECM D 和NCM D 中，MC MC MCN MCE CN CE =ìïÐ=Ðíï=î，()ECM NCM SAS \D @D ，MN ME BM BE BM DN \==+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．14．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，连接AC ．①小明发现，此时AC 平分BCD Ð．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分BCD Ð．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当90BAD Ð=°时，请你判断线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰CDE △、等腰ABD △的顶点分别为A 、C ，点B 在线段CE 上，且180ABC ADC Ð+Ð=°，请你判断DAE Ð与DBE Ð的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②CD BC +=，证明见解析；（2）2DAE DBE Ð=Ð，证明见解析【解析】【分析】（1）①参考小明的想法，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分；②沿用①中辅助线，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证得直角三角形CAE ，再利用勾股定理可求得AC ，BC ，CD 之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，证明ABC ADF ≌△△、ACD ACE V V ≌，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到DAE Ð与DBE Ð的数量关系．【详解】（1）如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．180ADC ABC Ð+Ð=°Q ，180ABE ABC Ð+Ð=°，ADC ABE\Ð=Ð在ADC V 与ABE △中，AD AB ADC ABECD EB =ìïÐ=Ðíï=îQ ()ADC ABE SAS \△≌△ACD AEB \Ð=Ð，AC AE=ACB AEB\Ð=ÐACD ACB \Ð=Ð．AC \平分BCDÐ（2）CD BC +=证明：如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．由（1）知，(SAS)ADC ABE V V ≌DAC BAE \Ð=Ð，AC AE=90BAD DAC CAB Ð=Ð+Ð=°Q 90CAE BAE CAB DAC CAB BAD \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°在直角三角形CAE 中，90CAE Ð=°CE \==CD BC \+=（3）2DAE DBEÐ=Ð证明：如图，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，由（1）知，()ABC ADF SAS △≌△AF AC \=，ACB FÐ=ÐACD F\Ð=ÐACD ACE\Ð=Ð在ACD △与ACE V 中，CD CE ACD ACEAC AC =ìïÐ=Ðíï=îQ ()ACD ACE SAS \△≌△AD AE\=AD AE AB\==ADB ABD \Ð=Ð，AEB ABEÐ=Ð1802BAD ADB \Ð=°-Ð，1802BAE ABE Ð=°-Ð，360DAE BAD BAEÐ=°-Ð-ÐQ ()()36018021802DAE ADB ABE \Ð=°-°-Ð-°-Ð22ADB ABE=Ð+Ð2DBE=Ð【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．15．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC（1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC Ð=°+Ð，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件得出BDC V 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ V V ，从而得出21PBQ CBQ CBQ Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ．【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC Ð+Ð=°，90BAD Ð=°，∴90BCD BAD Ð=Ð=°，在Rt BAD V 和Rt BCD V 中，BD BD AB BC=ìí=î∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC Ð+Ð=°，∴180BAD BCD Ð+Ð=°，∵180BCD BCK Ð+Ð=°，∴BAD BCK Ð=Ð，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴12Ð=Ð，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS V V ，∴21PBQ CBQ CBQ Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∴PBQ ABP QBC Ð=Ð+Ð；（3）1902PBQ ADC Ð=°+Ð；如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC Ð+Ð=°，∴180BAD BCD Ð+Ð=°，∵180BAD PAB Ð+Ð=°，∴PAB BCK Ð=Ð，在BPA △和BCK V 中，AP CK BAP BCKAB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴ABP CBK Ð=Ð，BP BK =，∴PBK ABC Ð=Ð，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ V 中，BP BK BQ BQPQ KQ =ìï=íï=î∴()≌PBQ BKQ SSS V V ，∴PBQ KBQ Ð=Ð，∴22360PBQ PBK PBQ ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()2180360PBQ ADC Ð+°-Ð=°，∴1902PBQ ADC Ð=°+Ð．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．类型三 截长补短证全等16．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【解析】【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC=+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，RtΔRtΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔBDF BDE \≌．BF BE \=，2BC BE CE BA AF CE BA CE \=+=++=+，2BC BA CE \-=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．17．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD Ð的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD Ð的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD Ð=°，11802D BCD Ð+Ð=°，求证：CB CE =．【答案】（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F Ð=Ð=Ð，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE Ð=Ð，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =Ð=Ð，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC Ð=Ð，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC Ð=Ð，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG Ð，从而有12EFC AFG Ð=Ð，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC Ð=Ð=°，ECF BCF Ð=Ð，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD Ð的平分线BAF DAE\Ð=Ð//AD BCQ DAE F\Ð=ÐBAF F\Ð=ÐAB BF FC BC\==+Q E 是边CD 的中点DE CE\=在ADE V 和FCE △中，DAE F AED FECDE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADE FCE AAS \@V V AD FC\=AB FC BC AD BC \=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD Ð的平分线DAE GAE\Ð=Ð在ADE V 和AGE V 中，AD AG DAE GAEAE AE =ìïÐ=Ðíï=î()ADE AGE SAS \@V V ,DE GE D AGE\=Ð=ÐQ E 是边CD 的中点DE CE\=CE GE\=ECG EGC\Ð=Ð//AD BCQ 180D BCD °\Ð+Ð=，即180D ECG BCG Ð+Ð+Ð=°180AGE EGC BCG \Ð+Ð+Ð=°，即180AGC BCG Ð+Ð=°又180AGC BGC Ð+Ð=°Q BCG BGC\Ð=ÐBG BC\=AB AG BG AD BC \=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF由方法1可知：,AF GF AE GE==AFG \V 是等腰三角形EF \平分AFG Ð12EFC AFG \Ð=Ð//CG AD Q ，60BAD Ð=°60,180120BFC BAD AFG BAD \Ð=Ð=°Ð=°-Ð=°60EFC \Ð=°//CG ADQ 180D ECF \Ð+Ð=°11802D BCD °Ð+Ð=Q ，即1()1802D ECF BCF Ð+Ð+Ð=°1()2ECF ECF BCF \Ð=Ð+ÐECF BCF\Ð=Ð在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CFECF BCF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî()ECF BCF ASA \@V V CB CE \=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．。
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截长补短法
例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCDK BC>AB, AD=DC BD平分/ ABC
求证：/ BAD +/ BCD180° .
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E作DF丄BC于点F,如图1-2
•/ BD平分/ ABC：DE=DF
在Rt A ADE与Rt A CDF中,
DE DF
AD CD
••• Rt△ ADE^ Rt A CDF HD，/-Z DAE/ DCF
又/ BAD Z DAE180°,/.Z BAB Z DCI=180
即Z BAD Z BCD180°
例2. 已知，如图3-1 , Z仁Z 2 , P为BN上一点，且POL BC于点D, AB^BC=2BD 求证：Z BAF+ Z BCP180° .
分析：与例1相类似，证两个角的和是180°,可把它们移到一起，让它们是邻补角, 即证明Z BCP Z EAP因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2
•••Z 仁Z 2,且P［丄BC, •/ PE=PD
在Rt A BPE与Rt A BPD中 ,
PE PD
BP BP
• Rt△ BPE^ Rt A BPD HD，• BE=BD
•/ AB F BC=2BD•/ AB F B&DCB&BE•/ AB F D(=BE即DC=BEAB=AE 图3-1
E
图3-2
D C
在Rt A APE与Rt A CPD
中,
PE PD
PEA PDC
AE DC
••• Rt△ APE^Rt A CPD SAS), •••/ PAE Z PCD
又•••/ BAF+Z PAE180 ° ,•••/ BAF+Z BCP=180°
例3. 如图2-1 , AD// BC 点E在线段AB上, Z ADE Z CDE Z DCE Z ECB
求证：COABBC
分析：结论是COAD^BC可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CDh截取CF=CB 只要再证D巨DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.
证明：在CD上截取CF=BC如图2-2
在厶FCE^ BCE中,
CF CB
FCE BCE
CE CE
• △ FCE^A BCE(SAS , •Z 2=Z 1.
又••• AD/ BC •••/ ADGZ BCD180°,「
• Z 2+Z 3=90 ° ,Z 1 + Z 4=90 °,「・
Z
在厶FDE与△ ADE
中,
FDE ADE
DE DE
• △ FDE^A ADE( ASA , • DF=DA
•/ CD F DF+CF,• CDA[>BC
例4. 已知：如图4-1，在△ ABC中，/ C= 2/ B,/ 1 = Z 2.
求证：A&AGCD
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD或在AB上截取AF=AC
证明：方法一（补短法）
延长AC到E,使DGCE 则/ CDE=Z CED 如图4-2
•••/ ACB= 2/ E
•••/ ACB= 2/ B •/ B=Z E,
在厶ABD W^ AED中,
1 2
B E
AD AD
•••△ ABD^ AED( AAS，二AB=AE 又AEAC+CEAGDC •- AB=A(+DC 方法二(截长法)
在AB上截取AF=AC如图4-3
在厶AFD与△ ACD中,
AF AC
1 2
AD AD
• △ AFD^A ACD( SAS , • DF=DC / AFD=Z ACD 又•••/ACB= 2 / B, •••/ FDB=Z B, • FD=FB
•/ AB=AF+FB=A(+FD, • AB=AGCD E
图4-1 图4-2。