数学归纳法经典例题及答案精品
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
数学倒推归纳法经典例题及解析
数学倒推归纳法经典例题及解析一、什么是倒推归纳法倒推归纳法呢，就像是我们走迷宫的时候从出口往入口找路一样。
它是一种特殊的数学归纳法啦。
通常我们先从比较大的数或者比较复杂的情况开始考虑，然后逐步往小的数或者简单的情况推导。
比如说，有这么一个例题。
二、经典例题例题：证明对于所有的正整数n，有1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)=n²。
三、解析1. 当n = 1的时候呢，左边就是1，右边就是1² = 1，等式成立。
这就像是我们搭积木的第一块，很重要哦。
2. 假设当n = k（k是一个比较大的正整数啦）的时候这个等式成立，也就是1+3 + 5+…+(2k - 1)=k²。
3. 现在我们要证明当n = k + 1的时候等式也成立。
当n = k + 1的时候，左边就变成了1+3 + 5+…+(2k - 1)+(2(k + 1)- 1)。
根据我们之前的假设，1+3 + 5+…+(2k - 1)=k²，所以现在左边就等于k²+(2(k + 1)- 1)=k²+2k + 1。
而右边呢，当n = k + 1的时候，(k + 1)²=k²+2k + 1。
左边等于右边，所以当n = k + 1的时候等式也成立。
从这个例题就可以看出倒推归纳法的厉害之处啦。
它可以让我们在证明一些关于正整数的命题的时候，有一个新的思路。
就像我们在解决生活中的问题一样，有时候从结果往前推，反而更容易找到解决的办法呢。
再看一个例题哈。
四、例题证明不等式(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)<4。
五、解析1. 当n = 1的时候，左边就是(1 + 1/2)=3/2，3/2肯定是小于4的，这第一步就走通啦。
2. 假设当n = k的时候不等式成立，也就是(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)<4。
3. 当n = k + 1的时候，左边就变成了(1 + 1/2)(1 + 1/4)…(1 + 1/2ⁿ)(1 + 1/2^(k + 1))。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。
下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
2#数学归纳法练习题(含答案)
2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
(完整版)数学归纳法测试题及答案
选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
07数学归纳法(经典题型+答案)
数学归纳法（理）证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤：1．(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N*)时命题成立；2．(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．例1：已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解： ∵n 为偶数故假设n ＝k 成立后，再证n ＝k ＋2时等式成立例2：用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为 ( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋22 D ．1＋2＋22＋23解：由n ＝1时，左＝1＋2＋22＋23.例3：已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则 ( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14例4：用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1)”，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左例5：在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0＝________. 解：第一步检验的第一个值n 0应为3.例6：求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N*)．解：当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；假设当n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k －1)，那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k)(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数n 都成立．用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.例7：数列{an}满足Sn ＝2n －a n (n ∈N*)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；(2)用数学归纳法由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1.那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k . ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .这表明n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立． 例8：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．解：(1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1或a 1＝－3－1(舍去)． 当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3或a 2＝－5－3(舍去)．同理可得a 3＝7－ 5.由a 1，a 2，a 3，猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)的计算过程知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1.那么由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1或a k ＋1＝－2k ＋3－2k ＋1(舍去)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．例9：用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 解：当n ＝k 时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k 2＋221(1)(1)k k k +⋯＋＋＋＋个.答案：D例10：如果命题p (n )对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋2也成立．若p (n )对n ＝2成立，则下列结论正确的是( )A ．p (n )对所有正整数n 都成立B ．p (n )对所有正偶数n 都成立C ．p (n )对所有正奇数n 都成立D ．p (n )对所有自然数n 都成立解：若n ＝2p (n )成立，则n ＝4,6,8，…，时p (n )成立．答案：B例11：用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值最小应取( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解：可逐个验证，n ＝8成立．答案：B例12．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )解：(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N *都成立．答案：D例13：若凸n (n ≥4)边形有f (n )条对角线，是凸(n ＋1)边形的对角线条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n －2B ．f (n )＋n －1C ．f (n )＋nD ．f (n )＋n ＋1解：由题意知f (n ＋1)－f (n )＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1.答案：B例14：在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是____________． 解：a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，∴a n ＝12n －12n ＋1.例15：用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 解：∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．答案：2k ＋1例16：用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n n ＋12. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×1＋12＝1，∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k k ＋12. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1k k ＋12＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k k ＋1k ＋22，∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意n ∈N *有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n n ＋12. 例17：已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)． *解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)． ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1. (2)①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．例18：已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋1与1的大小，并说明理由． 解：∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1.即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<1.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016421）、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确.综合（1）、（ 2）,注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式用数学归纳法证明:当n=k+1时.k 12k 3由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立.证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 11 2n 1 n 2n 11 3 等式成立，即:-，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k2k 12k 1 2k 1 2k 1 2k 32k 1 2k 1 2k 32k 2 2k 1 3k 1 2k 3 2k 1 k 12k 1 2k 3 这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,题型2.证明不等式11 1 _例2 •证明不等式1 2打（n € N ）.V 2 <3 V n证明：①当n=1时，左边=1，右边=2.左边 <右边，不等式成立.那么当n=k+1时，2 .k2k 1 2.k 1这就是说，当n=k+1时，不等式成立.由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立.说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是1 1 1 1 ----------------------------------------1 — — — ------------2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明:■. 2 3 . k 、k 12、、k 1— 2 k 1 .-k 1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *).(1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值.a 2 十⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1)3 .解：(1) 当 n = 5 时，原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 'I 1.31 .2 1■-3令x = 2 得a°+ a i + a2+ a3+ a4+ a5= 35= 243. ⑵因为(x+ 1)n= [2 + (x—1)]n，所以a2= C n22旷2b n=長=2C n2= n(n —1)(n > 2)①当n= 2时.左边=T2= b2 = 2,右边=2(2 +屮2 —1=2,左边=右边，等式成立.②假设当n = k(k>2, k€ N*)时，等式成立,即T k=k(k+!)(k—1成立那么，当n = k+ 1时,左边=T k+ b k+1 =k(k+ ¥(k— " + (k+ 1)[( k+ 1) —1] = k(k+ ¥(k—1 + k(k + 1) =k(k+ 1)宁 + 1 迩+ 1)(k+ 2)(k+ 1)[( k+ 1) + 1][(k + 1)-1]=右边故当n= k+ 1时，等式成立.综上①②，当n》2时，T n =n(n+ 1)( n—13。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法经典例题及参考答案
由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立． 题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题 例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时， 原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2， 右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即 Tk＝成立 那么，当 n＝k＋1 时， 左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝ ＝＝右边． 故当 n＝k＋1 时，等式成立． 综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．
(完整版)数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（2016421）、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确. 综合（1）、（ 2）,注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式用数学归纳法证明:当n=k+1时.k 12k 3由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立.证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 11 2n 1 n 2n 11 3 等式成立，即:-，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k2k 12k 1 2k 1 2k 1 2k 32k 1 2k 1 2k 32k 2 2k 1 3k 12k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立,题型2.证明不等式11 1 _例2 .证明不等式1 2你（n € N ）.詔2 M 3 :. n证明：①当n=1时，左边=1，右边=2.左边 ＜右边，不等式成立.那么当n=k+1时， 1 .22 .k2k 1 2.k 1这就是说，当n=k+1时，不等式成立.由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立.说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是1 1 1 1 ----------------------------------------1 — — — ---------2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明:2 3 .k 、k 12、、k 1— 2 •. k 1..k 1 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *).(1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值.a 2 十⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1)3 .解：(1) 当 n = 5 时，原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 1 2 .. 3 1、、2.k .令x = 2 得a°+ a i + a2+ a3+ a4+ a5= 35= 243. ⑵因为(x+ 1)n= [2 + (x—1)]n，所以a2= C n22旷2b n= 2—3= 2C n2= n(n —1)(n > 2)①当n= 2时.左边=T2= b2 = 2,2(2+ £(2 - 1 = 2,左边=右边，等式成立.右边=②假设当n = k(k>2, k€ N*)时，等式成立，即T k=座土乎二!)成立那么，当n = k+ 1时，k(k+ ¥(k— " + (k+1)[( k+ 1) —1] = k(k+ ¥(k—1 + k(k + 1)左边=T k+ b k+1 =k(k + 1)(k+ 2)=k(k+ 1)宁 + 1(k+ 1)[( k+ 1) + 1][(k + 1)-1]=右边故当n= k+ 1时，等式成立.n(n+ 1)( n—1综上①②，当n》2时，T n =。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法（一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立．②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式例2．证明不等式n n2131211<++++(n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k2131211<++++．那么当n =k +1时，这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题例 3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法二(解析,练习及答案)
数学归纳法(Ⅱ)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．例1、比较2n与n2的大小(n∈N*)．解：当n=1时，2n>n2，当n=2、4时，2n=n2，当n=3时，2n<n2，当n=5时，2n>n2，猜想：当n≥5时，2n>n2，n∈N*．下面用数学归纳法证明：(1)当n=5时，结论显然成立．(2)假设n=k(k∈N*，k≥5)时2k>k2，当n=k＋1时，2k＋1=2·2k>2k2．下面证明2k2>(k＋1)2，2k2－(k＋1)2=k2－2k－1，此式在k≥5时单调递增．∴k2－2k－1≥14>0，∴2k2>(k＋1)2．即n=k＋1时，2k＋1>(k＋1)2．∴由（1）（2）得所求证成立．综上，当n=1或n≥5时，2n>n2；当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n<n2．例2、已知数列满足，，试猜想的通项公式并用数学归纳法证明．解：由和，得，，，，归纳上述结果，可猜想．下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，，右边，等式成立．(2)假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即成立．当n=k＋1时，．即n=k＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任意正整数n都成立．例3、是否存在常数a、b、c，使等式对一切正整数n 都成立？证明你的结论．解：把n=1，2，3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，由上面的探求可知等式成立．(2)假设n=k时等式成立，即，当n=k＋1时，所以当n=k＋1时，等式也成立，∴由（1）（2）知猜想成立，即存在a=3，b=11，c=10使命题成立．例4、是否存在正整数m，使得f(n)=(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明结论；若不存在，请说明理由．解：由f(n)=(2n＋7)·3n＋9，得f(1)=36， f(2)=3×36， f(3)=10×36， f(4)=34×36，由此猜想最大的m=36．下面用数学归纳法证明f(n)能被36整除：(1)当n=1时，显然成立．(2)假设n=k时， f(k)能被36整除，即f(k)=(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n=k＋1时，f(k＋1)=[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9=3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是偶数，故18(3k－1－1)能被36整除．∴当n=k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36．练习：一、选择题1、如果命题对成立，那么它对也成立，又若对及成立，则下列结论正确的是（）A．对所有自然数成立 B．只对所有正偶数成立C．只对所有正奇数成立 D．对所有大于1的自然数成立2、用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证（）A．n=1时命题成立B．n=1，n=2时命题成立C．n=3时命题成立D．n=1，n=2，n=3时命题成立3、用数学归纳法证明命题“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N)能被9整除”要利用归纳假设证n=k＋1时的情况，只需展开（）A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)34、如果命题对n=k成立，则它对n=k＋1也成立，现已知对n=4不成立，则下列结论中正确的是（）A．对成立 B．对n>4且成立C．对n<4且成立 D．对n≤4且不成立二、填空题5、用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取__________．6、证明<1＋＋＋＋…＋<n＋1(n>1)，当n=2时，中间式子等于_________．三、解答题7、用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)…(1＋)>均成立．8、已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n(n∈N*)．(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；(2)证明你的猜想，并求出a n的表达式．9、是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12=an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．10、已知数列，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想S n的表达式，并用数学归纳法进行证明．11、已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1－．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，试比较与S n＋1的大小，并说明理由．参考答案：1、D 解析：命题对成立，则它对也成立；由成立可以得取所有正偶数都成立，由成立可以得取所有正奇数都成立，所以答案选D．2、D 解析：假设n=k时不等式成立，即2k>k2－2．当n=k＋1时，2k＋1=2·2k>2(k2－2)，由2(k2－2)≥(k＋1)2－2k2－2k－3≥0(k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需验证n=1，2，3时命题成立．3、A 解析：假设n=k时命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n=k＋1时(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k)＋27．4、D 解析：可以考虑“命题对n=k成立，则它对n=k＋1也成立”的逆否命题：“命题对n=k＋1不成立，则它对n=k不成立”．5、5 提示：时2n>n2＋1都不成立，以后都成立．6、1＋＋＋提示：时，所以中间的式子为1＋＋＋．7、证明：(1)当n=2时，左边=1＋=；右边=．∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n=k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即(1＋)(1＋)…(1＋)>．则当n=k＋1时，(1＋)(1＋)…(1＋)>·==>==．∴当n=k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．8、解：(1)∵a n=S n－S n－1(n≥2)，∴S n=n2(S n－S n－1)，∴S n=S n－1(n≥2)．∵a1=1，∴S1=a1=1，∴S2=，S3==，S4=，猜想S n=(n∈N*)．(2)证明：①当n=1时，S1=1成立．②假设n=k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即S k=，当n=k＋1时， S k＋1＝(k＋1)2·a k＋1＝a k＋1＋S k＝a k＋1＋，∴a k＋1＝，∴S k＋1=(k＋1)2·a k＋1==，∴n=k＋1时等式也成立，得证．∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．又∵a k＋1=，∴a n=．9、解：假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12=an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立．当n=1时，a(b＋c)=1；当n=2时，2a(4b＋c)=6；当n=3时，3a(9b＋c)=19．解方程组解得证明如下：①当n=1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．②假设n=k(k∈N*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12=k(2k2＋1)；当n=k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12=k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 =k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2=k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2=(k＋1)(2k2＋4k＋3)=(k＋1)[2(k＋1)2＋1]，即n=k＋1时，等式成立．因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立．10、解：；.猜想：证明：(1)当n=1时，左边=，右边=，猜想成立．(2)假设当n=k时猜想成立，即那么，所以，当n=k＋1时猜想也成立．综合(1)(2)知，猜想对任何都成立．11、解：(1)由已知得，又∵{a n}的公差大于0，∴a5>a2，∴a2=3，a5=9．∴d===2，a1=1，∴a n=2n－1．∵T n=1－b n，∴b1=，当n≥2时，T n－1=1－b n－1，∴b n=T n－T n－1=1－b n－(1－b n－1)，化简，得b n=b n－1，∴{b n}是首项为，公比为的等比数列，即b n=·=，∴a n=2n－1，b n=．(2)∵S n==n2，∴S n＋1=(n＋1)2，=．以下比较与S n＋1的大小：当n=1时，=，S2=4，∴<S2，当n=2时，=，S3=9，∴<S3，当n=3时，=，S4=16，∴<S4，当n=4时，=，S5=25，∴>S5．猜想：n≥4时，>S n＋1．下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．②假设当n=k(k∈N*，k≥4)时，>S k＋1，即>(k＋1)2．那么n=k＋1时，==3·>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，∴n=k＋1时，>S n＋1也成立．由①②可知n∈N*，n≥4时，>S n＋1都成立．综上所述，当n=1，2，3时，<S n＋1，当n≥4时，>S n＋1．。
数学归纳法经典练习及解答过程
第七节 数学归纳法知识点 数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 易误提醒 运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证n ＝n 0时，n 0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．[自测练习]1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数，所以f (n )中共有n 2－n ＋1项，且f (2)＝12＋13＋14，故选D.答案：D2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B考点一 用数学归纳法证明等式|求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k·1·3·5·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)．这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立．1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1?2.证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×?1＋1?2＝1，∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k ?k ＋1?2.那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1k ?k ＋1?2＋(－1)k·(k ＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)k ?k ＋1??k ＋2?2.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *，有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1?2.考点二 用数学归纳法证明不等式|设数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n . 求证：对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2. [证明] ∵数列{a n }各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n －a 2n ， ∴a 2＝a 1－a 21>0，解得0<a 1<1.当n ＝2时，a 3＝a 2－a 22＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122≤14，不等式成立，假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即a k ≤1k ＋2， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k －a 2k ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122≤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2－122＝k ＋1?k ＋2?2<k ＋1?k ＋1??k ＋3?＝1?k ＋1?＋2，∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立， 由数学归纳法知，对一切n ≥2，都有a n ≤1n ＋2.2．数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n ?1＋2n －1?2＝n 2.证明：法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n ?n ＋1?＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.法二：(数学归纳法)当n＝1时，1S1＝1，nn＋1＝12，不等式成立．假设当n＝k时，不等式成立，即1S1＋1S2＋…＋1S k>kk＋1.则当n＝k＋1时，1S1＋1S2＋…＋1S k＋1S k＋1>kk＋1＋1?k＋1?2，又k?k＋1?＋1?k＋1?2－k＋1k＋2＝1－1k＋1＋1?k＋1?2－1＋1k＋2＝1k＋2－k?k＋1?2＝1?k＋2??k＋1?2>0，∴1S1＋1S2＋…＋1S k＋1S k＋1>k＋1k＋2，∴原不等式成立．考点三归纳—猜想—证明问题|将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…[解] 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．3．设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )， n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解：(1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ；a 4＝f (a 3)＝a3＋a .猜想a n ＝a?n －1?＋a (n ∈N *)．(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确． ②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a?k －1?＋a ，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a ka ＋a k ＝a ·a?k －1?＋a a ＋a?k －1?＋a＝a ?k －1?＋a ＋1＝a[?k ＋1?－1]＋a.这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由①②知，对于任意的n ∈N *，都有a n ＝a?n －1?＋a成立.14.数学归纳法在证明不等式中的易误点【典例】 设函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )． (1)若a 1＝2，试比较a 2与a 3的大小；(2)若0<a 1<1，求证：对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．[解] (1)当a 1＝2时，a 2＝f (2)＝2－sin 2∈(0,2)，所以sin a 2>0，又a 3＝f (a 2)＝a 2－sin a 2，所以a 3－a 2＝－sin a 2<0，所以a 2>a 3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立． ①当n ＝1时，0<a 1<1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，0<a k <1，所以sin a k >0，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－a k ＝－sin a k <0，所以a k ＋1<a k <1.因为f (x )＝x －sin x ， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝1－cos x >0， 所以f (x )是(0,1)上的单调递增函数，所以a k ＋1＝f (a k )>f (0)＝0，即0<a k ＋1<1， 故当n ＝k ＋1时，结论成立．综上可得，当0<a 1<1时，对任意n ∈N *,0<a n <1恒成立．[易误点评] (1)不会作差比较a 2与a 3大小，同时忽视了sin 2的值大小． (2)证明n ＝k ＋1成立时用不归纳做证n ＝k 成立条件导致失误．[防范措施] (1)用数学归纳证明不等式的关键是由n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题成立．(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择．[跟踪练习] 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．∴直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝114，因此，2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. ∴直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f ?x k ＋1?－5x k ＋1－4(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3，代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝?3－x k ＋1??1＋x k ＋1?2＋x k ＋1>0，即x k＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.A 组 考点能力演练1．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ∈N ＋，n ≥2)．证明：(1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1?k ＋1?2<2－1k ＋1?k ＋1?2<2－1k ＋1k ?k ＋1?＝2－1k ＋1k－1k ＋1＝2－1k ＋1命题成立． 由(1)，(2)知原不等式在n ∈N ＋，n ≥2时均成立．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1n f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2，(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 证明：(1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312， f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920；(2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1；下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1. ①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设n ＝k (k ≥3)时，f (k )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k<1，那么f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＝1＋2k －?2k ＋1?2k ?2k ＋1?＋2k －?2k ＋2?2k ?2k ＋2?＝1－12k ?2k ＋1?－1k ?2k ＋2?<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立．由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.3．(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋43.解：(1)证明：用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)； ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2，所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1<a n .这说明{a n }是单调递减的数列． (3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝ ⎛⎭⎪⎫142·(a n －1－2)<…<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(a 1－2)．所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即a n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＋2.当n ＝1时，S 1＝3<2＋43.当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n <3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋2＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝2n ＋1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1<2n ＋43.综上，当a ＝3时，S n <2n ＋43(n ∈N *)．。
人教版初中数学-4-4 数学归纳法(精练)(解析版)
4.4 数学归纳法（精练）【题组一 增项问题】1．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明等式(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅-()N n *∈，从k 到1k +左端需要增乘的代数式为（ ） A ．21k + B ．()221k + C ．211k k ++ D ．231k k ++ 【答案】B【解析】当n k =时，左端为()()()1232k k k k +++⋅⋅⋅当1n k =+时，左端为()()()()2322122k k k k k ++⋅⋅⋅+⋅+因为()()()()()()()()23221221232221k k k k k k k k k k ⎡⎤++⋅⋅⋅+⋅+=+++⋅⋅⋅⋅+⎣⎦所以从k 到1k +左端需要增乘的代数式为()221k +，故选：B. 2．（2021·全国高二专题练习）用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝221(1)1n a a a+-≠-”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为（ ） A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4【答案】C【解析】由21n a +知，当1n =时，等式的左边是231a a a +++.故选：C.3．（2021·全国）用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设当()*21n k k N=+∈时成立，再推出当23n k =+时成立B ．假设当()*21n k k N =-∈时成立，再推出当21n k =+时成立C ．假设当()*n k k N =∈时成立，再推出当1n k =+时成立D ．假设当()1n k k =≥时成立，再推出当2n k =+时成立 【答案】B【解析】第二步假设当()*21n k k =-∈N 时成立，再推出当()21121n k k =+-=+时成立.故选：B.4．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明()1111N ,22321nn n n *++++<∈≥-时，第一步需要验证的不等式是（ ） A ．1122+< B ．111223++<C ．111323++<D ．11113234+++<【答案】B【解析】因为2n ≥，由数学归纳法可知：第一步需要证明2n =时该不等式成立， 所以第一步需要验证的不等式是111223++<，故选：B.5．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋(1)2n n -d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝（ ） A ．a 1＋(k －1)d B ．1()2k k a a + C ．ka 1＋(1)2k k -d D ．(k ＋1)a 1＋(1)2k k + d 【答案】C【解析】假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋(1)2k k -d . 故选: C6（2021·杭州市实验外国语学校高中部高二期中）用数学归纳法证明：11112321n n ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A ．2k B ．21k - C ．12k - D ．21k +【答案】A【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++-，因此增加的项数是121212k k k +--+=，故选A .7．（2021·全国）用数学归纳法证明：()()()()1121321126n n n n n n n ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++，当n k =时，左式为()f k ，当1n k =+时，左式为()1f k +，则()()1f k f k +-应该是（ ）A ．()11k ⨯+B ．()1231k +++++C ．123k ++++D ．()2k k ⨯-【答案】B【解析】由题意，()12(1)3(2)4(3)...1=⋅+-+-+-++⋅f k k k k k k ，()11(1)23(1)4(2)...2(1)1+=⋅+++-+-++⋅++⋅f k k k k k k k ，所以()()11[(1)]2[(1)]3[(1)(2)]4[(2)(3)]...(21)(1)1+-=⋅+-+⋅--+⋅---+⋅---++⋅-++⋅f k f k k k k k k k k k k k 123...(1)=++++++k k .故选：B.8．（2021·陕西省黄陵县中学高二月考（理））用数学归纳法证明“1111(2)2321n n n ++++<≥-”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为（ ） A ．12k - B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【解析】当n k =时，左边11112321k =++++-， 当1n k =+时，左边11111111123212222121k k k k k ++=+++++++++-+-，所以左边增加111112212221k k k k +++++++-分母是连续的正整数所以共增加了1(21)212222k k k k k +--+=⨯-=项所以n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为2k 故选：C9．（2021·全国）用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1n(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是（ ） A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】B【解析】当n ＝1时，左边计算得出1a +故选：B10．（2021·河南信阳高中高二月考（理））用数学归纳法证明242123,2n n n n N *++++⋅⋅⋅+=∈，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．()21k +C ．()()()222121k k k +++⋅⋅⋅++D ．()()24112k k +++【答案】C【解析】当n k =时，等式左端为2123k +++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，等式左端为()()()2222123121k k k k +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++，∴左端应在n k =的基础上加上()()()222121k k k ++++⋅⋅⋅++.故选：C.11（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，从“n=k ”到“n=k+1”，左边需增添的代数式是（ ） A ．(2k+1)+(2k+2) B ．(2k-1)+(2k+1) C ．(2k+2)+(2k+3) D ．(2k+2)+(2k+4)【答案】C【解析】当n=k 时，左边是共有2k+1个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1)， 所以当n=k+1时，左边共有2k+3个连续自然数相加， 即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3). 故选：C12．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k + B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++【答案】D【解析】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ．13．（2021·全国）用数学归纳法证明下列等式：()()()()()()()()122135712112112312nn n n n n n n +++-+-++⋯+--+-++-+=-+．要验证当1n =时等式成立，其左边的式子应为（ ） A ．1- B ．13-+ C ．135-+- D ．1357-+-+【答案】C 【解析】由题意，当1n =时， 左边1213(1)(213)+=-+++-⨯+135=-+-故选：C14．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明不等式11111123422n n-++++>-(*,2n N n ∈≥)时，以下说法正确的是（ ）A ．第一步应该验证当1n =时不等式成立B ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是12kC ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加2k 项D ．从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++ 【答案】D【解析】第一步应该验证当2n =时不等式成立，所以A 不正确； 因为11111111111111()2342234221222k k k k k---++++-++++=++++， 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加的代数式是1111121222k k k--+++++，所以B 不正确； 所以从“n k =到1n k =+”左边需要增加12k -项，所以C 不正确. 故选:D.【题组二 等式的证明】1．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【解析】（1）当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， （2）假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何*n N ∈都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 2．（2021·全国）用数学归纳法证明： （1）()213521n n +++⋯+-=；（2）21122221n n -++++=-；（3）233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析. 【解析】(1)当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即()213521k k +++⋯+-=，则当1n k =+时，()()()()221352121211k k k k k +++⋯+-+++==++， 故1n k =+时等式成立，综上可知，等式()213521n n +++⋯+-=成立.(2) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即21122221k k -++++=-，则当1n k =+时，()1121222221222211k k k k k k +-++++=-=⨯-=++-，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式21122221n n -++++=-成立.(3) 当1n =时，等式左边1=，右边1=，所以等式成立； 假设n k =时等式成立，即233331123(1)2k k k ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦，则当1n k =+时，()()()2333333221123111(1)1124k k k k k k k k ⎡⎤+++++=+++⎢⎛⎫++=++⎣⎪⎦ ⎝⎥⎭()()()()()22222111111212222k k k k k k ⎛⎫++++++ ⎪⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，故1n k =+时等式成立， 综上可知，等式233331123(1)2n n n ⎡⎤++++=+⎢⎥⎣⎦成立.【题组三 不等式的证明】1．（2021·全国高二课时练习）证明：不等式()*11111123422n n n N -+++++>∈，恒成立. 【答案】证明见解析. 【解析】当1n =时，112>成立 假设n k =时，不等式11111123422k k-++++⋯+>成立那么1n k =+时111111111111112342212222212k k k k k kk ----++++⋯+++++>++++++ 111212k k ->+，111222k k ->+，，1122k k=11111111111211234221222222k k k k k k k k ----+∴++++⋯+++++>+=++ 即1n k =+时，该不等式也成立综上：不等式()*11111123422n n n N -++++⋯+>∈，恒成立.2（2021·全国高三专题练习）证明：对于一切自然数1n ≥都有222n n +>.【答案】证明见解析【解析】（1）当1n =时，1222411+=>=，成立； 当2n =时，2222624+=>=，成立； 当3n =时，32221039+=>=，成立.（2）假设当(3,)n k k k =≥∈N 时不等式成立，即222k k +>，222k k >-， 当1n k =+时，()12222(1)22221k k k k k ++-+=⋅+-++()()2222222123(3)(1)k k k k k k k >-+-++=--=-+.因为3k ≥，即(3)(1)0k k -+≥， 所以1222(1)0k k ++-+>，即当1n k =+时，1222(1)k k ++>+时仍成立. 由（1）（2）所述，原不等式得证.3．（2021·全国高三专题练习）证明不等式1n ∈N *)．【答案】证明见解析【解析】当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1< 当n ＝k ＋1时，1+<==所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 综上，原不等式对任意n ∈N *都成立．4．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-nn . 【答案】证明见解析；【解析】（1）当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.（2）假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421kk ++++⋯+≤-， 则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+ k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k k k +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+， 即当1n k =+时，不等式也成立.综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-nn 成立. 5．（2021·全国高二课时练习）试用数学归纳法证明2221111123(1)22n n ++⋯+>-++.【答案】证明见解析【解析】（1）当1n =时，左边＝14，右边＝16，不等式成立； （2）假设当()*n k k N =∈时，原不等式成立，即2221111123(1)22k k ++⋯+>-++， 当1n k =+时，22222111111123(1)(2)22(2)k k k k ++⋯++>-+++++ ∵()222111111111022(2)2332(2)3(2)k k k k k k k k ⎛⎫-+--=-+=> ⎪++++++++⎝⎭ ∴21111122(2)23k k k -+>-+++．即222211111123(1)(2)23k k k ++⋯++>-+++， 所以，当1n k =+时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立． 6．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明1＋2n ≤1＋111232n +++≤12＋n (n ∈N *)． 【答案】见解析【解析】(1)当n ＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k ， 则当n ＝k ＋1时， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k ·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k ＋2k ·＝＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立． 【题组四 数列的证明】1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{a n }满足：11a =，点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上．（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．【答案】（1）23a =，37a =，415a =；21nn a =-；（2）证明见解析.【解析】(1)点*1(,)()n n a a n N +∈在直线21y x =+上可知，数列{}n a 满足： 121n n a a +=+，11a =，2343,7,15a a a ∴===．可猜得21n n a =-．(2)当1n =时，1211a =-=成立，假设当(1,)n k k k N =≥∈时，21kk a =-成立，则当1n k =+时，11212(21)121k k k k a a ++=+=-+=-成立，就是说*n N ∈，猜想正确；综上，21nn a =-．2（2021·河北曹妃甸一中高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =.（1）求23,a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．【答案】（1）2115a =，3135a =，；（2）猜想1(21)(21)n a n n =-+，证明见解析.【解析】（1）由题意，数列{}n a 满足(21)n n S a n n =-，且113a =，可得21222(221)6S a a a +==⋅⨯-， 即2111515a a ==，又由312333(231)15S a a a a ++==⨯⨯-，可得31261415a a a =+=，可得3135a =. （2）由113a =，2115a =，31,35a =，猜想：1(21)(21)n a n n =-+，证明：当1n =时，由（1）可知等式成立；假设n k =时，猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+，当1n k =+时，由题设可得11,(21)(1)(21)k k k k S S a a k k k k ++==-++，所以1(21)(21)(21)(21)21k k kS k k a k k k k k -=-⋅=-++=，()()11121k k S k k a ++=++，又由111(1)(21)21k k k k k a S S k k a k +++=-=++-+，所以1(23)21k kk k a k ++=+， 所以()()()()1112123211211k a k k k k +==++⎡⎤⎡⎤+-++⎣⎦⎣⎦，即当1n k =+时，命题也成立， 综上可得，命题1(21)(21)n a n n =-+对任意n *∈N 都成立.3．（2021·安徽金安·六安一中高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1122n n na S a =+-，且0n a >．（1）求1a 、2a 、3a ；（2）猜思{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）11a =，2a =32a =2）猜想n a n *∈N ，证明见解析． 【解析】（1）对任意的n *∈N ，1122n n na S a =+-，且0n a >． 当1n =时，11111122a a S a ==+-，整理得211210a a +-=，且0n a >，所以11a ； 当2n =时，221221122a S a a a =+=+-，整理得22210a +-=，且0n a >，所以2a = 当3n =时，3312331122a S a a a a =++=+-，整理得23310a +-=，且0n a >，所以32a = （2）由（1）猜想n a n *∈N ， 下面用数学归纳法加以证明：①当1n =时，由（1）知11a 成立；②假设当()n k k *=∈N时，k a =当1n k =+时，11111111111222222k k k k k k k k k a a a a S S a a a ++++++⎛⎫⎛⎫=-=+--+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21110k k a +++-=，且10k a +>，所以1k a +=1n k =+时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切n *∈N 都成立．4．（2021·全国高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，214a =，且()1*1122n n n a S n N n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭.（1）求12S 、24S 、38S；（2）由（1）猜想数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）112S =，244S =，398S=；（2）()2*2n nS n n N =∈，证明见解析. 【解析】（1）()1*1122n n n a S n n -⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ，当1n =时，1111112a S S ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，解得12S =，即有112S =；当2n =时，22121121422a S S S ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，解得216S =，则244S =；当3n =时，2332311223a S S S ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，解得372S =，则398S =；（2）由（1）猜想可得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为()2*2n n S n n =∈N . 下面运用数学归纳法证明. ①当1n =时，由（1）可得112S =成立； ②假设()*n k k N =∈，22kk S k =成立， 当1n k =+时，1111111221k k k k k a S S S k +-+++⎛⎫=-=+- ⎪+⎝⎭， 即有()221112221221k k k kk k S S k k k +⎛⎫-=-=-=-⋅ ⎪+⎝⎭⋅，则()()()1111221k k k S k k k +-=+-⋅+， 当1k =时，上式显然成立；当1k >时，()()221121212k k k S k k ++=+⋅=+⋅，即()21112k k S k ++=+， 则当1n k =+时，结论也成立. 由①②可得对一切*n ∈N ，22nn S n =成立. 5．（2021·全国）猜想满足1a a =，1121n n n a a a ++-=的数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】1(2)(1)n n n aa n n a ---=--，证明见解析 【解析】由1121n n n a a a ++-=可得112n na a +=-， 得211122a a a==--， 32112123222aa a a a-===----，4311322243232aa a a a a-===-----．推测1(2)(1)n n n aa n n a ---=--． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，左边1a a ==， 右边11(12)1(11)aa a ---==--，结论成立． ②假设(*)n k n N =∈时等式成立， 有1(2)(1)k k k a a k k a ---=--， 则当1n k =+时，111(1)1(2)212(1)k k k k aa k k a a k ka k k a +--===----+----故当1n k =+时，结论也成立．由①②可知，对任何*n N ∈都有1(2)(1)n n n aa n n a ---=--． 【题组五 整除问题】1．（2021·陕西渭滨·（理））用数学归纳法证明：对任意正整数,4151n n n +-能被9整除． 【答案】见解析【解析】证明：（1）当1n =时，4151n n +-18=，能被9整除， 故当1n =时， 4151n n +-能被9整除．（2）假设当n k =时，命题成立，即4151k k +-能被9整除， 则当1n k =+时，()1415(1)1441519(52)k k k k k +++-=+---也能被9整除.综合(1)(2)可得, 对任意正整数,4151n n n +-能被9整除．2．（2021·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））用数学归纳法证明：()21243n n n N ++++∈能被13整除．【答案】证明见解析.【解析】当1n =时，3343642791+=+=，又13791⨯=，∴()21243n n n N ++++∈能被13整除；假设当n k =时，21243k k +++能被13整除，即()2124133k k m m N +++=∈+，那么当1n k =+时，21123321111643314364163133k k k k k k k +++++++=⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+()()2111111643133161313313163k k k k k m m +++++=⨯+-⨯=⨯-⨯=-能被13整除；综上所述：()21243n n n N ++++∈能被13整除.3（2021·河南高二月考（理））用两种方法证明：()33*278n n n +--∈N 能被49整除．【答案】证明见解析.【解析】证明：方法一：331278878n n n n ++--=--01112111111C 7C 7C 7C 7C 78n nn n n n n n n n n +-++++++=+++++--01112111C 7C 7C 77(1)178n nn n n n n n +-+++=++++++--()0111201121111111C 7C 7C 7C 7C 7C 49n nn n n n n n n n n n +----+++--+=+++=+++⨯因为01121111C 7C 7C n n n n n n ---++++++为整数，所以33278n n +--能被49整除．方法二：（1）当1n =时，33278641549n n +--=-=，能被49整除． （2）假设当(1)n k k =≥，33278k k +--能被49整除， 那么，当(1)1n k k =+≥，()3(1)33333327(1)822715827849(1)k k k k k k k ++++-+-=⨯--=--++．因为33278k k +--能被49整除，()491k +也能被49整除， 所以()313)2718k k <++-+-能被49整除，即当(1)1n k k =+≥时命题成立，由（1）（2）知，()33*278n n n +--∈N 能被49整除．4．（2020·上海高二课时练习）求证：对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除. 【答案】证明见解析；【解析】当1n =时，3343642791+=+=，91能被13整除. 假设当*,n k n N =∈时结论成立，即21243k k +++能被13整除. 则当1n k =+时，()21222122121114433444333k k k k k k ++++++++=⋅+⋅-⋅+⋅+()21221443331k k k +++=+⋅+⋅，由于21243k k +++能被13整除，所以()2111243k k +++++能被13整除.所以当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于自然数*212,43n n n N ++∈+能被13整除.5．（2022·上海高三专题练习）求证：当*n ∈N ，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除. 【答案】证明见解析；【解析】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-， 显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除， 设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=- 12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+- 1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++ 122()()k kb a b r a b a -=-+- 12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n 时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．6．（2022·上海高三专题练习）证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N . 【答案】证明见解析；【解析】证明（1）当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时， 1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k k k k =+⋅+⋅⋅能被9整除. 所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除. 即1n k =+是命题也成立.（3）根据（1），（2）可知()3171nn +-能被9整除.7．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明：1211112n n +-+能被133整除 ()*n N ∈．【答案】见解析【解析】证明： ①当1n =时，121211*********n n +-+=+=能被133整除，所以 1n =时结论成立，． ②假设当()*n k k N =∈时，1211112k k +-+能被133整除，那么当1n k =+时，2211212111211111212k k k k +++-+=⨯+⨯121212121111121112111212k k k k +---=⨯+⨯-⨯+⨯ ()1212111111213312k k k +--=⨯++⨯．由归纳假设可知()1212111111213312k k k +--⨯++⨯能被133整除，即 2211112k k +++能被133整除．所以1n k =+时结论也成立综上，由①②得，1211112n n +-+能被133整除.。
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【关键字】认识、问题、要点
数学归纳法（
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；
（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．
综合（1）、（2），……
注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：
题型1.证明代数恒等式
例1．用数学归纳法证明：
证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边3
1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：
()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．
这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，
由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式
例2．证明不等式n n 21
31
21
1<++++ (n ∈N)．
证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
左边<右边，不等式成立．
②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++
．
那么当n =k +1时，
这就是说，当n =k +1时，不等式成立．
由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．
说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211
1
31
21
1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明：
1211
2+<++k k k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题
例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．
(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．
(2)设b n ＝
a 22n －3，T n ＝
b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3
. 解： (1)当n ＝5时，
原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.
(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2
b n ＝a 22
n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，
右边＝2(2＋1)(2－1)3
＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，
即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3
成立 那么，当n ＝k ＋1时，
左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3
＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛
⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3
＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．
综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3
.。