泛函分析在控制工程的应用

泛函分析在控制工程中的应用作者：景苏银学号： 0211443单位：兰州交通大学日期：2011.12.1泛函分析在控制工程中的应用【摘要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

【关键词】泛函分析控制工程控制优化泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

主要内容有拓扑线性空间等。

它广泛应用于物理学、力学以及工程技术等许多专业领域。

泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。

泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。

使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。

巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

Functional analysis in water conservancy of applicationAbstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。

Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector <(Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields.【正文】1 ：理论依据泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。

所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。

其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。

根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。

力学和工程中常见的有：（i）度量（距离）空间。

对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。

从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。

同时带有拓扑和代数结构。

所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。

有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。

这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。

由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。

泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。

线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。

但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。

每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。

线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。

就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。

于是，具有这两个空间中所有概念。

例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。

即任何柯西序列是否为收敛序列。

（iv）Banach空间。

它是完备的线性赋范空间。

完备性使该空间具有十分良好的性质。

例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。

（v）内积空间。

内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。

内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。

例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。

使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。

力学家和工程师对此尤感兴趣。

由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。

与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。

它是完备的内积空间，内容最丰富。

例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。

由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。

（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数（Ω）（p≥1，m≥0）[3]。

它是由Lpu组成的子空间，并配上Sobolev空间。

它是特殊的线性赋范空间。

其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。

因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。

由于Sobolev 嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。

p=2这类Sobolev 空间特别重要，它是特殊的Hilbert 空间，记之为H m （Ω），称作Hilbert-Sobolev 空间。

泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。

它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。

对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。

对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。

其中对偶（共轭）空间尤为重要。

据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。

在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。

例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。

为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。

除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅水工中考虑的极值问题表示为：()()u V J u J v ∈⎧⎨≤⎩求 v K ∀∈使得 其中1()(,),2J v v v l v α=-<>； L 为V —R 的连续线性泛函。

若V 是完备的Banach 空间，K 是V 的非空的闭凸子集，(,)α⋅⋅为具有连续对称的双线性型,并且(,)α⋅⋅在下述意义下V 是椭圆的，即存在0a const =>使得2(,)a v v v α≤，则极值问题存在唯一解。

(,)α⋅⋅为具有连续对称的双线性型是指：,a b R ∈,12121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)au bu v a u v b u v u av bv a u v b u v αααααα+=+⎧⎨+=+⎩ 1212,,,,u u v V v v u V ∀∈∀∈ 下面给出该问题的泛函证明：由于双线性型(,)α⋅⋅是对称的，因此它是V 上的一内积，又由于(,)α⋅⋅是连续且V 是椭圆的，因此由内积(,)α⋅⋅诱导出来的范数v =等价于原来的范数v ：v M v ≤≤ v V ∀∈由于V 在范数v 下是完备的，因此V 在范数 下也是完备的，从而V 在内积(,)α⋅⋅下是Hilbert 空间，由Riesz 表示定理，存在Riesz 映射ｑ：'V V →，使得对'l V ∈，则l V σ∈，且,(,),l v l v v V ασ<>=∈注意到的对称性，可见1()(,),2J v v v l v α=-<> 1(,)(,)2v v l v αασ=- 1(,)(,)2v l v l l l ασσασσ=---因此极值即为求V 中元素到子集K 的最小距离问题，由于K 是非空闭的，则有泛函分析的投影定理可以知道该极值问题的解是存在的，再由K 是凸的，可知该问题有唯一解。