构造哈夫曼树
哈夫曼树例题
在给定权值为w 1 ，w 2…w n的n 个叶结点所构成的所有扩充二元树中，WPL = ∑wj ·l j最小的称为huffman树哈夫曼树的构造算法：1 由给定的n 个权值{w0, w1, w2, …, wn-1}，构造具有n 棵扩充二元树的森林F = { T0, T1, T2, …, Tn-1 }，其中每棵扩充二叉树Ti 只有一个带权值wi 的根结点, 其左、右子树均为空。
2重复以下步骤, 直到F 中仅剩下一棵二元树为止：①在F 中选取两棵根结点的权值最小的扩充二元树, 做为左、右子树构造一棵新的二元树，且置新的二元树的根结点的权值为其左、右子树上根结点的权值之和。
②在F 中删去这两棵二元树。
③把新的二元树加入F。
*/#include<stdio.h>#define n 5#define m 2*n-1typedef struct {double weight;int lchild;int rchild;int parent;}HTNODE;/*静态三叉链表表示，又是游标表示即使用整型变量标记/指向节点*/typedef HTNODE HuffmanT[m];/*初始值，依据教材的例子，存放相应数据P116*/void InitHT(HuffmanT T){/*每个节点就是一个树，因此是森林F，共有n棵二叉树*/T[0].weight = 0.12;T[0].parent=-1;T[0].lchild=-1;T[0].rchild=-1;/*书中代码从1开始，不良习惯！*/T[1].weight = 0.40;T[1].parent=-1;T[1].lchild=-1;T[1].rchild=-1;T[2].weight = 0.15;T[2].parent=-1;T[2].lchild=-1;T[2].rchild=-1;T[3].weight = 0.08;T[3].parent=-1;T[3].lchild=-1;T[3].rchild=-1;T[4].weight = 0.25;T[4].parent=-1;T[4].lchild=-1;T[4].rchild=-1;/*可以只存放前5个节点，后面的是为了与结果比较*/T[5].weight = 0;T[5].parent=-1;T[5].lchild=-1;T[5].rchild=-1;T[6].weight = 0;T[6].parent=-1;T[6].lchild=-1;T[6].rchild=-1;T[7].weight = 0;T[7].parent=-1;T[7].lchild=-1;T[7].rchild=-1;T[8].weight = 0;T[8].parent=-1;T[8].lchild=-1;T[8].rchild=-1;/*打印HuffmanT[m]数组元素，每个元素是一个哈夫曼树的结构体*/void PrintHT(HuffmanT T){int i;for(i=0;i<m;i++)if(T[i].weight!=0)printf("%d weight %3.2f parent %d lchild %d rchild %d\n",i, T[i].weight, T[i].parent,T[i].lchild,T[i].rchild);}/*选取两个最小的权值节点，注意指针变量p1,p2的使用：比较自然*/void SelectMin(HuffmanT T, int nn, int* p1, int* p2){int i,j,temp;for(i=0;i<=nn;i++)/*找到第一个没有合并的节点，取其位置i为*p1的初始值*/if(T[i].parent == -1){*p1=i;break;}for(j=i+1;j<=nn;j++)/*找到在i的后面，第二个没有合并的节点，取其位置j 为*p2的初始值*/if(T[j].parent==-1){*p2=j;break;}for(i=0;i<=nn;i++)/*将位置*p1的权值依次与所有节点比较大小，得到最小的*/if((T[*p1].weight >T[i].weight)/*取较小的*/&&(T[i].parent==-1)/*没有合并或者合并后双亲指针为空的节点*/&&(*p2!=i))/*? 与p2不同，取最小的两个节点! 正是因此，导致左右孩子错误?*/*p1=i;for(j=0;j<=nn;j++)/*同上*/if((T[*p2].weight>T[j].weight)&&(T[j].parent==-1)&&(*p1!=j))*p2=j;/*书中没有此判断代码！确保左子树的权值小于右子树*/if(T[*p1].weight>T[*p2].weight){temp = *p1;*p1=*p2;*p2=temp;}}/*第四版的教材，国家级精品课程还是这样，可怜中国IT，更可悲中国GIS！*/ void CreateHT(HuffmanT T){int i,p1,p2;InitHT(T);/*初始化*/PrintHT(T);/*打印初始化后情况*/for(i=n;i<m;i++){SelectMin(T,i-1,&p1,&p2);/*选择两个最小权值,i-1 所以SelectMin函数内部循环取等*/T[p1].parent = T[p2].parent = i+1;/*新节点的双亲指针，从n+1开始存放，与P118终态一致*/T[i].lchild = p1+1;/*新节点的左孩子指针*/T[i].rchild = p2+1;/*新节点的右孩子指针*/T[i].parent = -1;/*新节点的双亲指针，可省*/T[i].weight = T[p1].weight + T[p2].weight;/*新节点的权值*/printf("===================%d===================\n",i);PrintHT(T);/*打印每次合并的情况*/}}int main(void){HuffmanT T;printf("Huffman Tree initlization status\n");CreateHT(T);printf("Huffman Tree result status\n");PrintHT(T);//getch();return 0;}。
哈夫曼树结点数和叶子结点数的关系
哈夫曼树结点数和叶子结点数的关系哈夫曼树是一种用来压缩信息的数据结构，它的关键在于能够将出现频率高的字符用较短的编码表示，从而达到节省空间的目的。
在构造哈夫曼树时，我们需要知道它的结点数和叶子结点数之间的关系，这是本文将要探讨的问题。
一、哈夫曼树的定义哈夫曼树（Huffman Tree）又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的树。
它的构造基于贪心算法，通过不断合并权值最小的两个子树来构造出最终的哈夫曼树。
在哈夫曼树中，树的每一个叶子结点都对应着一个字符，并且权值越大的叶子结点距离根结点越近。
二、哈夫曼树的结点数对于给定的n个字符（字符的出现概率已知），构造哈夫曼树时所需要的结点数是2n-1个。
这个结论可以通过归纳法证明。
首先，当n=1时，哈夫曼树只有一个结点，结论成立。
其次，当n=2时，哈夫曼树有3个结点。
假设当n=k时结论成立，考虑当n=k+1时的情况。
我们先对n个字符进行排序，找出权值最小的两个字符，将它们的权值相加得到一个新的权值，并构造一棵新的子树。
这样就将原来的n 个字符缩减成了n-1个字符，并且引入了一个新的结点。
在接下来的n-2次合并中，每次都引入了一个新的结点，所以总共需要2n-3个结点来构造出这n个字符对应的哈夫曼树。
此时，还需要引入一个新的根结点，作为两个结点（n个字符对应的两个子树）的父结点，并将两个子树连接到这个新的根结点上。
因此，总结点数为2n-3+1=2n-2。
最后，将新的根结点变为虚拟结点，并将n个叶子结点作为其子结点，就得到了结点数为2n-1的哈夫曼树。
三、哈夫曼树的叶子结点数在哈夫曼树中，每个叶子结点都对应着一个字符，因此叶子结点数就等于字符的个数n。
这个结论显然成立。
综上所述，哈夫曼树的结点数和叶子结点数之间存在如下关系：- 结点数 = 2n-1- 叶子结点数 = n这个结论可以帮助我们更好地理解哈夫曼树的构造过程，并且可以在实际应用中帮助我们提前估算哈夫曼树的大小。
数据结构第六章 哈夫曼树
6.3哈夫曼树6.3.1基本术语1.路径和路径长度若在一棵中存在着一个结点序列k1 ,k2,…,kj，使得ki是k1+i 的双亲(1ji<≤)，则称此结点序列是从k1～kj的路径，因树中每个结点只有一个双亲结点，所以它也是这两个结点之间k 1～kj所经过的分支数称为这两点之间的路径长度，它等于路径上的结点数减1(实际就是边数)。
如在图5-19(a)所示的二叉树中，从树根结点L到叶子结点P的路径为结点序列L、M、S、P，路径长度为3。
(a) (b)(c) (d)图5-19 二叉排序树的删除2.结点的权和带权路径长度在许多应用中，常常将树中的结点赋上一个有着某种意义的实数，我们称此实数为该结点的权。
结点的带权路径长度规定为从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积3.树的带权路径长度树的带权路径长度定义为树中所有叶子结点的带权路径长度这和，通常记为：2 WPL = ∑=n i i i lw 1其中n 表示叶子结点的数目，i w 和i l 分别表示叶子结点i k 的权值和根到i k 之间的路径长度 。
4.哈夫曼树哈夫曼(Huffman)树又称最优二叉树。
它是n 个带权叶子结点构成的所有二叉树中，带权路径长度 WPL 最小的二叉树。
因为构造这种树的算法是最早由哈夫曼于1952年提出的，所以被称之为哈夫曼树。
例如，有四个叶子结点a 、b 、c 、d ，分别带权为9、4、5、2，由它们构成的三棵不同的二叉树（当然还有其它许多种）分别如图5-20(a)到图5-20(c)所示。
b ac a b cd d c a b d(a) (b) (c)图5-20 由四个叶子结点构成的三棵不同的带权二叉树 每一棵二叉树的带权路径长度WPL 分别为：(a) WPL = 9×2 + 4×2 + 5×2 + 2×2 = 40(b) WPL = 4×1 + 2×2 + 5×3 + 9×3 = 50(c) WPL = 9×1 + 5×2 + 4×3 + 2×3 = 37其中图5-20(c)树的WPL 最小，稍后便知，此树就是哈夫曼树。
c语言哈夫曼树的构造及编码
c语言哈夫曼树的构造及编码一、哈夫曼树概述哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它的构建基于贪心算法。
它的主要应用是在数据压缩和编码中，可以将频率高的字符用较短的编码表示，从而减小数据存储和传输时所需的空间和时间。
二、哈夫曼树的构造1. 哈夫曼树的定义哈夫曼树是一棵带权路径长度最短的二叉树。
带权路径长度是指所有叶子节点到根节点之间路径长度与其权值乘积之和。
2. 构造步骤(1) 将待编码字符按照出现频率从小到大排序。
(2) 取出两个权值最小的节点作为左右子节点，构建一棵新的二叉树。
(3) 将新构建的二叉树加入到原来排序后队列中。
(4) 重复上述步骤，直到队列只剩下一个节点，该节点即为哈夫曼树的根节点。
3. C语言代码实现以下代码实现了一个简单版哈夫曼树构造函数：```ctypedef struct TreeNode {int weight; // 权重值struct TreeNode *leftChild; // 左子节点指针struct TreeNode *rightChild; // 右子节点指针} TreeNode;// 构造哈夫曼树函数TreeNode* createHuffmanTree(int* weights, int n) {// 根据权值数组构建节点队列，每个节点都是一棵单独的二叉树TreeNode** nodes = (TreeNode**)malloc(sizeof(TreeNode*) * n);for (int i = 0; i < n; i++) {nodes[i] = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));nodes[i]->weight = weights[i];nodes[i]->leftChild = NULL;nodes[i]->rightChild = NULL;}// 构建哈夫曼树while (n > 1) {int minIndex1 = -1, minIndex2 = -1;for (int i = 0; i < n; i++) {if (nodes[i] != NULL) {if (minIndex1 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[minIndex1]->weight) {minIndex2 = minIndex1;minIndex1 = i;} else if (minIndex2 == -1 || nodes[i]->weight < nodes[minIndex2]->weight) {minIndex2 = i;}}}TreeNode* newNode =(TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));newNode->weight = nodes[minIndex1]->weight + nodes[minIndex2]->weight;newNode->leftChild = nodes[minIndex1];newNode->rightChild = nodes[minIndex2];// 将新构建的二叉树加入到原来排序后队列中nodes[minIndex1] = newNode;nodes[minIndex2] = NULL;n--;}return nodes[minIndex1];}```三、哈夫曼编码1. 哈夫曼编码的定义哈夫曼编码是一种前缀编码方式，它将每个字符的编码表示为二进制串。
数据结构哈夫曼树PPT课件
例：
W（权）={2,4,2,3,3}，叶子结点个数,m=5 试设计Huffman树。
14
6
3
3
8
4
4
22
构造的 Huffman树
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三、哈夫曼树的应用(哈夫曼编码)
在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成 的字符串：
设要传送的字符为： 若编码为：A—00 (等长) B—01
重码 000011010
关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不 是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作最优前缀编码。
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设要传送的字符为：
若编码为 ：A—0
B—110
C用二叉树设 计二进制前缀
编码
0
1
C0
1
BD
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ABACCDA
C—10 D---11
ABACCDA
若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出 现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符 串便可能减少。
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设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A—0
B—00 C—1 D---01
ABACCDA
但： 0000 AAAA ABA BB
二、构造哈夫曼树 1．哈夫曼树的定义
在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的 二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。
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例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树
4d
a 7
n
c
2
WPL
WK LK
k 1
哈夫曼树的构造
哈夫曼树的构造关键思想： 依据哈弗曼树的定义，⼀棵⼆叉树要使其WPL值最⼩，必须使权值越⼤的叶⼦结点越靠近根结点，⽽权值越⼩的叶⼦结点越远离根结点。
哈弗曼根据这⼀特点提出了⼀种构造最优⼆叉树的⽅法，其基本思想如下：1。
根据给定的n个权值{w1, w2, w3 ... w n }，构造n棵只有根节点的⼆叉树，令起权值为w j2。
在森林中选取两棵根节点权值最⼩的树作为左右⼦树，构造⼀颗新的⼆叉树，置新⼆叉树根节点权值为其左右⼦树根节点权值之和。
注意，左⼦树的权值应⼩于右⼦树的权值。
3。
从森林中删除这两棵树，同时将新得到的⼆叉树加⼊森林中。
（换句话说，之前的2棵最⼩的根节点已经被合并成⼀个新的结点了）4。
重复上述两步，直到只含⼀棵树为⽌，这棵树即是哈弗曼树以下演⽰了⽤Huffman算法构造⼀棵Huffman树的过程：考研题⽬：三、哈夫曼树的在编码中的应⽤在电⽂传输中，须要将电⽂中出现的每⼀个字符进⾏⼆进制编码。
在设计编码时须要遵守两个原则：（1）发送⽅传输的⼆进制编码，到接收⽅解码后必须具有唯⼀性，即解码结果与发送⽅发送的电⽂全然⼀样；（2）发送的⼆进制编码尽可能地短。
以下我们介绍两种编码的⽅式。
1. 等长编码这样的编码⽅式的特点是每⼀个字符的编码长度同样（编码长度就是每⼀个编码所含的⼆进制位数）。
如果字符集仅仅含有4个字符A，B，C，D，⽤⼆进制两位表⽰的编码分别为00，01，10，11。
若如今有⼀段电⽂为：ABACCDA，则应发送⼆进制序列：00010010101100，总长度为14位。
当接收⽅接收到这段电⽂后，将按两位⼀段进⾏译码。
这样的编码的特点是译码简单且具有唯⼀性，但编码长度并⾮最短的。
2. 不等长编码在传送电⽂时，为了使其⼆进制位数尽可能地少，能够将每⼀个字符的编码设计为不等长的，使⽤频度较⾼的字符分配⼀个相对照较短的编码，使⽤频度较低的字符分配⼀个⽐較长的编码。
⽐如，能够为A，B，C，D四个字符分别分配0，00，1，01，并可将上述电⽂⽤⼆进制序列：000011010发送，其长度仅仅有9个⼆进制位，但随之带来了⼀个问题，接收⽅接到这段电⽂后⽆法进⾏译码，由于⽆法断定前⾯4个0是4个A，1个B、2个A，还是2个B，即译码不唯⼀，因此这样的编码⽅法不可使⽤。
哈夫曼树及哈夫曼算法题目1
哈夫曼树及哈夫曼算法。
当带权结点数目n 一定时，由这n 个结点构成的所有二叉树中，带权路径长度最短的那棵二叉树就称为哈夫曼树。
构造哈夫曼树的方法：① 将给定的权值按照从小到大排列成｛W 1，W 2，…，W m ｝，并且构造出树林F=｛T l ，T 2，…，T m ｝。
此时，其中的每棵树T i (1≤i ≤m ）为左、右子树均为空的二叉树，二叉树的根结点的权值为W i 。
② 把F 中树根结点的权值最小的两棵二叉树T 1和T 2合并为一棵新的二叉树T （T 的左子树为T 1，右子树为T 2），并令T 的根结点的权值为T 1和T 2的根结点的权值之和，然后将T 按其根结点的权值大小依次加入到树林F 中。
同时，从F 中删去T 1和T 2这两棵二叉树。
③ 重复步骤②，直到构造成一棵哈夫曼树。
哈夫曼树的特点：① 在哈夫曼树中，权值越大的叶子离根结点越近。
② 若有n 0个权值，需要进行n 0-1次合并，构造成为哈夫曼树。
③ 哈夫曼树没有度为1的结点。
④ 由n 0个权值构成的哈夫曼树，叶结点数为n 0，度为2的结点数为 n 0-1，结点总数为n 0+ n 2= n 0+ n 0-1=2n 0-1。
⑤ 给定一组权值，构造出的哈夫曼树的形态可能不唯一，但它们的带权路径长度都一样。
请老师解析：2个填空题及关于哈夫曼树问题，谢谢!1、用5个带权值{3,2,4,5,1}构造的哈夫曼树的带权路径长度是 （ ）解答：用5个带权值{3,2,4,5,1}构造的哈夫曼树带权路径长度=(1+2)*3+（3+4+5）*2=33 2、用6个带权值分别为6,13,18，30,7和16的结点构造一棵哈夫曼树，该树的带权路径长度为 （ ）带权路径长度=(6+7)*4+13*3+（16+18+30）*2=209。
哈夫曼树一定是完全二叉树
哈夫曼树一定是完全二叉树
哈夫曼树不一定是完全二叉树。
哈夫曼树是带权路径长度达到最小的二叉树，也叫做最优二叉树，不一定是完全二叉树，也不一定是平衡二叉树。
哈夫曼树也可以是k叉的，只是在构造k叉哈夫曼树时需要先进行一些调整。
构造哈夫曼树的思想是每次选k个权重最小的元素来合成一个新的元素，该元素权重为k个元素权重之和。
但是当k大于2时，按照这个步骤做下去可能到最后剩下的元素少于k个。
解决这个问题的办法是假设已经有了一棵哈夫曼树(且为一棵满k叉树)，则可以计算出其叶节点数目为(k-1)nk+1,式子中的nk表示子节点数目为k的节点数目。
于是对给定的n个权值构造k叉哈夫曼树时,可以先考虑增加一些权值为0的叶子节点，使得叶子节点总数为(k-1)nk+1这种形式,然后再按照哈夫曼树的方法进行构造即可。
哈夫曼码树的解压缩就是将得到的前置码转换回符号，通常借由树的追踪，将接收到的比特串一步一步还原。
但是要追踪树之前，必须要先重建哈夫曼树；某些情况下，如果每个符号的权重可以被事先预测，那么哈夫曼树就可以预先重建，并且存储并重复使用，否则，发送端必须预先发送哈夫曼树的相关信息给接收端。
计算机数据结构知识点梳理 哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码
（3）在集合F中删除作为左、右子树的两棵二叉树，并将新建立的二叉树加入 到集合F中；
（4）重复（2）（3）两步，当F中只剩下一棵二叉树时，这棵二叉树便是所要 建立的哈夫曼树。
（3）深度为h的哈夫曼树，其叶子结点的最大编码长度为h-1。
[题1]若度为m的哈夫曼树，其叶子结点个数为n，则非叶子结点 的个数为（ ）。
A.n-1 B.[n/m]-1 C.[(n-1)/(m-1)] D.[n/(m-1)]-1
分析：在构造度为m的哈夫曼树过程中，每次把m个子结点合并 为一个父结点（第一次合并可能少于m个子结点），每次合并 减少m-1个结点，从n个叶子结点减少到最后只剩一个父结点共 需[(n-1)/(m-1)]次合并，每次合并增加一个非叶子结点。
5、对哈夫曼树编码的总结
（1）哈夫曼编码是能使电文代码总长最短的编码方式。此结论由哈夫曼树是带 权路径长度最小的树的特征可得。
（2）哈夫曼编码是一种前缀编码，保证其在译码时不会产生歧义。因为，在哈 夫曼编码中，每个字符都是叶子结点，而叶子结点不可能从根结点到其他叶 子结点的路径上，所以一个字符的哈夫曼编码不可能是另一个字符的哈夫曼 编码的前缀。
知识点10：哈夫曼（HUFFMAN）树和哈夫曼编码
1、哈夫曼树（又称最优二叉树），是指对于一 组带有确定权值的叶结点，构造的具有最小带
权路径长度的二叉树。
2、哈夫曼树的构造方法的基本思想
（1）由给定的n个权值{W1，W2，…，Wn}构造n棵只有一个叶结点的二叉树， 从而得到一个二叉树的集合F＝{T1，T2，…，Tn}；
哈夫曼树的总结
哈夫曼树的总结引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于无损数据压缩的重要数据结构。
它是由美国数学家大卫·哈夫曼于1952年提出的，被广泛应用于各种领域，如文件压缩、网络传输、数据存储等。
哈夫曼树的概念哈夫曼树是一种二叉树，其中每个叶子节点代表一个字符，且树的形状是通过字符出现频率构造而成的。
哈夫曼树的特点是，出现频率高的字符位于树的较低层，频率低的字符位于树的较高层，使得出现频率高的字符用较少的编码表示，出现频率低的字符用较多的编码表示，达到数据压缩的目的。
哈夫曼编码哈夫曼树的构建过程中，每个字符的出现频率是关键。
为了压缩数据，我们需要为每个字符分配一个唯一的二进制编码。
哈夫曼编码是通过哈夫曼树来生成的，它保证了没有任何一个字符的编码是其他字符编码的前缀，因此可以方便地进行数据的解压。
构建哈夫曼树的步骤构建哈夫曼树的步骤一般如下：1.统计每个字符的出现频率。
2.将每个字符作为一个单独的树节点，构建一个森林。
3.从森林中选择出现频率最低的两棵树合并为一棵新的树，新树的权重为两棵树的权重之和。
4.将新树放回森林，重复步骤3，直到森林中只剩下一棵树，即哈夫曼树。
5.对每个叶子节点，根据路径从根节点到该叶子节点的方向，赋予唯一的二进制编码。
哈夫曼树的性质哈夫曼树具有以下几个重要的性质：1.哈夫曼树是一棵最优二叉树，即带权路径长度最短的二叉树。
2.哈夫曼树的带权路径长度是所有叶子节点的权重乘以路径长度的总和。
3.哈夫曼树的路径长度定义为从树根到叶子节点的路径上的边的数量。
4.哈夫曼树的路径长度最小，即带权路径最短，适用于数据压缩等场景。
哈夫曼树的应用哈夫曼树广泛应用于数据压缩和编码领域。
通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现文本、图像等数据的无损压缩。
此外，哈夫曼树还被用于文件传输、网络传输等场景，可以大大提高数据传输效率和降低带宽消耗。
总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，通过构建哈夫曼树和哈夫曼编码，可以实现数据的无损压缩和高效传输。
哈夫曼树及其构造
第9讲 哈夫曼树及其构造——教学讲义哈夫曼树可用来构造最优编码，用于信息传输、数据压缩等方面，哈夫曼树是一种应用广泛的二叉树。
一、 哈夫曼树1．哈夫曼树的基本概念在介绍哈夫曼树之前，先给出几个基本概念。
● 结点间的路径和路径长度路径是指从一个结点到另一个结点之间的分支序列，路径长度是指从一个结点到另一个结点所经过的分支数目。
● 结点的权和带权路径长度在实际的应用中，人们常常给树的每个结点赋予一个具有某种实际意义的实数，称该实数为这个结点的权。
在树型结构中，把从树根到某一结点的路径长度与该结点的权的乘积，叫做该结点的带权路径长度。
● 树的带权路径长度树的带权路径长度为树中从根到所有叶子结点的各个带权路径长度之和，通常记为：∑=⨯=n1i ii l w WPL其中n 为叶子结点的个数，w i 为第i 个叶子结点的权值，l i 为第i 个叶子结点的路径长度。
例6-5 计算下图中三棵二叉树的带权路径长度。
WPL(a)=7×2＋5×2＋2×2＋4×2＝36 WPL(b)=4×2＋7×3＋5×3＋2×1＝46 WPL(c)=7×1＋5×2＋2×3＋4×3＝35研究树的路径长度PL 和带权路径长度WPL，目的在于寻找最优分析。
问题1: 什么样的二叉树的路径长度PL 最小？一棵树的路径长度为0结点至多只有1个 （根） 路径长度为1结点至多只有2个 （两个孩子） 路径长度为2结点至多只有4个依此类推： 路径长度为K 结点至多只有 2k个所以n 个结点二叉树其路径长度至少等于如下图所示序列的前n 项之和。
0 ，1 ， 1 ，2， 2， 2， 2，3， 3，3，3，3，3，3，3，4，4，....... n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 ... n=15结点序列及结点的路径长度A B C D 7 5 2 4 (a)权为36 C B D A 7 5 24 (b)权为46A B C D 7 5 2 4 (c)权为35 具有不同带权路径长度的二叉树由上图可知，结点n 对应的路径长度为⎣⎦n log 2，所以前n 项之和为21lognk k =⎢⎥⎣⎦∑。
在哈夫曼树中,权值相同的叶子结点都在同一层.
在哈夫曼树中,权值相同的叶子结点都在同一层.编者按：哈夫曼树的一种基本架构。
它是一种多属性树，每个结点都是一个集合，并且每个值都在同一个结点上。
这个树的每一个叶子都是唯一的节点。
该节点拥有唯一的特征。
图上所有结点都在同一层。
一、基本概念它是由 Levinson和 Hansman于1985年提出，并在1982年成为其主要研究成果之一的Ramesh树而被称为哈夫曼树上结构的一种典型多属性树。
我们需要对它进行编程。
因为它是由不同大小的叶子组成，每个叶子都有唯一的名字和节点编号。
该节点拥有唯一的特征，即拥有该节点所对应的所有叶子集合；且每个叶子都是唯一的节点拥有唯一的特征。
1、哈夫曼树哈夫曼树是一种常见的树型，其结构是一种二维的四边多属性树。
为了能比较不同叶子间差异，在构造哈夫曼树时需要在每一节之间构造一个边，然后在这条边对应于所构造的节点，最终在所有结点集合中找到最优解。
如果节点中有3个或以上（即3个不同大小）的同属，就可以使用此树构造哈夫曼树了。
二、哈夫曼树的基本原理哈夫曼树的基本原理是：节点与该节点的每个结点都只有一个属性，但是在每一棵树上，任何一个带有相同特征的结都是相同的，因此哈夫曼树具有唯一特征。
如果每一棵树上所有结点都在同一层中，那么每个特征也都在相同层中。
哈夫曼树形图：为了理解 Halman树的定义，我们需要首先知道哈夫曼树是如何构建的：一个节点要同时具有属性结点和元素集合。
它可以是多个结点或者多个元素集合的结点。
然后再将这些点集合连接起来得到哈夫曼图。
在生成树形图中，每一个节点都有它独有的特征。
因为这些特征代表了这个节点所属领域或者属性的总和，所以任何一条属性值作为对象所具有的能力都大于另一条属性值，也就是这个树形图中所有结点都与叶子相同。
在对哈夫曼树进行描述时，我们需要用到哈夫曼树这个概念来说明我们在计算树时如何确定某个节点是否拥有该等信息。
1、最大和第二大特征对于一棵树，每个元素都是该领域唯一的结，所以这个结点都具备该特征，也就是该节点具有最大和第二大特征。
c语言实现构造哈夫曼树代码
c语言实现构造哈夫曼树代码一、哈夫曼树简介哈夫曼树是一种特殊的二叉树，其每个叶子节点都对应一个权值，而非叶子节点则没有权值。
哈夫曼树的构造过程中，将权值较小的节点放在左子树，权值较大的节点放在右子树，这使得哈夫曼树的带权路径最短。
哈夫曼编码就是利用这种特性实现对数据进行压缩。
二、C语言实现构造哈夫曼树1. 定义结构体首先需要定义一个结构体来表示哈夫曼树中的节点。
结构体中包含了该节点的权值以及指向左右子节点的指针。
```typedef struct TreeNode {int weight;struct TreeNode *left;struct TreeNode *right;} TreeNode;2. 构造哈夫曼树接下来需要实现构造哈夫曼树的函数。
该函数接收一个数组作为输入，数组中存储了每个叶子节点的权值。
首先需要将数组中所有元素转化为TreeNode类型，并将它们存储在一个链表中。
```TreeNode *createTreeNodes(int weights[], int size) {TreeNode *nodes[size];for (int i = 0; i < size; i++) {nodes[i] = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));nodes[i]->weight = weights[i];nodes[i]->left = NULL;nodes[i]->right = NULL;}return nodes;}```接下来，需要实现一个函数来找到权值最小的两个节点。
该函数接收一个链表作为输入，并返回该链表中权值最小的两个节点。
```void findMinNodes(TreeNode **nodes, int size, TreeNode**minNode1, TreeNode **minNode2) {*minNode1 = *minNode2 = NULL;for (int i = 0; i < size; i++) {if (*minNode1 == NULL || (*nodes)[i].weight <(*minNode1)->weight) {*minNode2 = *minNode1;*minNode1 = &(*nodes)[i];} else if (*minNode2 == NULL || (*nodes)[i].weight < (*minNode2)->weight) {*minNode2 = &(*nodes)[i];}}}```接下来，需要实现一个函数来构造哈夫曼树。
哈夫曼树的建立及操作
实验六哈夫曼树的建立与操作一、实验要求和实验内容1、输入哈夫曼树叶子结点〔信息和权值〕2、由叶子结点生成哈夫曼树内部结点3、生成叶子结点的哈夫曼编码4、显示哈夫曼树结点顺序表二、实验要点：根据哈夫曼算法，建立哈夫曼树时，可以将哈夫曼树定义为一个构造型的一维数组HuffTree，保存哈夫曼树中各结点的信息，每个结点包括：权值、左孩子、右孩子、双亲，如图5-4所示。
由于哈夫曼树中共有2n-1个结点，并且进展n-1次合并操作，所以该数组的长度为2n-1。
构造哈夫曼树的伪代码如下：在哈夫曼树中，设左分支为0，右分支为1，从根结点出发，遍历整棵哈夫曼树，求得各个叶子结点所表示字符的哈夫曼编码。
三、.函数的功能说明及算法思路BTreeNode* CreateHuffman(ElemType a[],int n)//构造哈夫曼树1.对给定n个权值{a1,a2,…,an}的叶子结点，构成具有n棵二叉树的森林F={T1,T2,…,Tn}, 其中每棵二叉树Ti只有一个权值为ai的根结点，其左右子树为空。
2.在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
3.从F中删除构成新树的两棵树，并把新树参加到F中。
4.重复 2、3两步，直到F只有一棵树为止。
则F中的树就是哈夫曼树。
void PrintBTree(BTreeNode *BT)//以广义表形式输出哈夫曼树主要用到了递归的思想。
void HuffManCoding(BTreeNode *BT, int len)//求哈夫曼编码构造一棵二叉树，左分支标识为0，右分支标识为1，把 n 个字符看成是一棵树的 n个叶子结点，把从根结点到每个叶子结点路径上的分支标识序列作为字符的编码，则得到哈夫曼编码。
四、实验步骤和提示1、编写有关哈夫曼树操作的函数：①构造哈夫曼树 BTreeNode * CreateHuffman(ElemType a[],int n);②以广义表形式输出哈夫曼树 void PrintBTree(BTreeNode *BT);③求哈夫曼编码 void HuffManCoding(BTreeNode *BT, int len)。
数据结构课程设计 哈夫曼树
数据结构课程设计哈夫曼树数据结构课程设计 - 哈夫曼树一、引言哈夫曼树（Huffman Tree）是一种经典的数据结构，常被用于数据压缩和编码中。
它是一种特殊的二叉树，具有最优的前缀编码性质。
本文将详细介绍哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景。
二、哈夫曼树的定义哈夫曼树是一种满足以下条件的二叉树：1. 所有的叶子节点都带有权值；2. 没有度为1的节点；3. 任意两个叶子节点的路径长度不相同。
三、哈夫曼树的构建方法1. 构建哈夫曼树的基本思想是将权值较小的节点放在较低的层次，权值较大的节点放在较高的层次；2. 首先，根据给定的权值集合，将每一个权值看做一个独立的节点；3. 然后，选择两个权值最小的节点，将它们合并为一个新节点，并将新节点的权值设置为这两个节点的权值之和；4. 重复上述步骤，直到只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。
四、哈夫曼编码哈夫曼编码是一种变长编码方式，用于将字符转换为二进制编码。
它的特点是没有编码冗余，即每一个字符的编码都不是其他字符编码的前缀。
这种编码方式可以大幅度减小数据的存储空间和传输带宽。
五、哈夫曼树的应用场景1. 数据压缩：哈夫曼树可以根据字符浮现的频率构建最优的编码方式，从而实现数据的高效压缩；2. 文件压缩：将文件中的字符转换为哈夫曼编码，可以大幅度减小文件的大小；3. 图象压缩：将图象中的像素值转换为哈夫曼编码，可以实现图象的无损压缩；4. 视频压缩：将视频中的帧数据转换为哈夫曼编码，可以减小视频文件的大小。
六、哈夫曼树的时间复杂度和空间复杂度1. 构建哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为权值的个数；2. 哈夫曼编码的时间复杂度为O(n)，其中n为字符的个数；3. 哈夫曼树的空间复杂度为O(n)，其中n为权值的个数。
七、总结哈夫曼树是一种重要的数据结构，具有广泛的应用场景。
通过构建最优的编码方式，可以实现高效的数据压缩和编码。
掌握哈夫曼树的定义、构建方法以及应用场景，对于数据结构课程的学习和实践具有重要意义。
哈夫曼Huffman树及应用
8 11 11 0 0
9 8 11 1 7
10 15 12 3 4
哈夫曼树
11 19 13 8 9 12 29 14 5 10
哈夫曼树对应的静态三叉链表13 58 15 6 11
14 100 0 13 14
w,p,lch,rch 是 weight,parent, lchild,rchild
的缩写
哈夫曼算法
如何得到使二进制 串总长最短编码
应用中每个字符的使用频率是不一样的。显然，为使传输 的二进制串尽可能的短，使用频率高的字符用较短编码，使用 频率低的字符用较长编码,电文总长= 原文中字符总数（字符x 使用频率 字符x编码长度）
为设计电文总长最短编码，可通过构造以字符使用频率作 为权值的哈夫曼树实现。
例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为 0.05,0.29,0.07,0.08, 0.14,0.23, 0.03,0.11。构造以字符使用频率作为权值的哈夫曼 树。，将权值取为整数w=(5,29,7,8,14,23,3,11)，按哈夫曼算法构造的一棵哈夫曼 树如下：
Y
a<70 N C
a<80
N a<90 Y
N
B
A
4 哈夫曼编码
哈夫曼树除了能求解最优判定问题解，还用于其他一些最优问题的
求解。这里介绍用哈夫曼树求解数据的二进制编码。
在进行数据通讯时，涉及数据编码问题。所谓数据编码就是数据与
二进制字符串的转换。例如：邮局发电报，发送方将原文转换成二进制
字符串，接收方将二进制字符串还原成原文。
1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树； 2）将该二叉树所有左分枝标记 0，所有右分枝标记1；
哈夫曼树与哈夫曼树编码实验原理
哈夫曼树与哈夫曼树编码实验原理哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于数据压缩的树形数据结构。
它的主要原理是通过构建一个最优的二叉树来实现编码和解码的过程。
以下是哈夫曼树和哈夫曼编码的实验原理：1. 构建哈夫曼树：- 给定一组需要进行编码的字符及其出现频率。
通常，这个频率信息可以通过统计字符在原始数据中的出现次数来得到。
- 创建一个叶节点集合，每个叶节点包含一个字符及其对应的频率。
- 从叶节点集合中选择两个频率最低的节点作为左右子节点，创建一个新的父节点。
父节点的频率等于左右子节点频率的和。
- 将新创建的父节点插入到叶节点集合中，并将原来的两个子节点从集合中删除。
- 重复上述步骤，直到叶节点集合中只剩下一个节点，即根节点，这个节点就是哈夫曼树的根节点。
2. 构建哈夫曼编码：- 从哈夫曼树的根节点开始，沿着左子树走一步就表示编码的0，沿着右子树走一步表示编码的1。
- 遍历哈夫曼树的每个叶节点，记录从根节点到叶节点的路径，得到每个字符对应的编码。
由于哈夫曼树的构建过程中，频率较高的字符在树中路径较短，频率较低的字符在树中路径较长，因此哈夫曼编码是一种前缀编码，即没有任何一个字符的编码是其他字符编码的前缀。
3. 进行数据压缩：- 将原始数据中的每个字符替换为其对应的哈夫曼编码。
- 将替换后的编码串连接起来，形成压缩后的数据。
4. 进行数据解压缩：- 使用相同的哈夫曼树，从根节点开始，按照压缩数据中的每个0或1进行遍历。
- 当遇到叶节点时，就找到了一个字符，将其输出，并从根节点重新开始遍历。
- 继续按照压缩数据的编码进行遍历，直到所有的编码都解压为字符。
通过构建最优的哈夫曼树和对应的编码表，可以实现高效的数据压缩和解压缩。
频率较高的字符使用较短的编码，从而达到减小数据大小的目的。
而频率较低的字符使用较长的编码，由于其出现频率较低，整体数据大小的增加也相对较小。
哈夫曼树构造方法
哈夫曼树构造方法哈夫曼树（Huffman Tree）是一种广泛应用于数据压缩和编码的二叉树结构。
它是一种最优二叉树，即带权路径长度最短的二叉树。
哈夫曼树的构造方法主要有两种：贪心算法和分治算法。
1. 贪心算法：哈夫曼树的贪心算法是一种自底向上（从叶子节点到根节点）的构造方法。
首先，根据给定的权值列表，将每个权值看作一个独立的节点，并按照权值从小到大的顺序构建一个森林。
然后，从森林中选择权值最小的两个节点（可以使用最小堆来实现），将它们合并为一个新的节点，并将新节点的权值设为两个被合并节点的权值之和。
将新节点插入到森林中，并移除原来的两个节点。
重复上述步骤，直到森林中只有一个节点为止，该节点就是哈夫曼树的根节点。
贪心算法构造哈夫曼树的时间复杂度为O(nlogn)，n为节点数量。
2. 分治算法：哈夫曼树的分治算法是一种自顶向下（从根节点到叶子节点）的构造方法。
首先，将给定的权值列表按照权值从小到大的顺序排序。
然后，将权值最小的两个节点合并为一个新的节点，并将新节点的权值设为两个被合并节点的权值之和。
将新节点插入到排序后的列表中，并移除原来的两个节点。
重复上述步骤，直到列表中只有一个节点为止，该节点就是哈夫曼树的根节点。
分治算法构造哈夫曼树的时间复杂度为O(n^2)，n为节点数量。
无论是贪心算法还是分治算法，构造出的哈夫曼树都具有最优性质，即带权路径长度最短。
由于贪心算法的时间复杂度较低，因此在实际应用中更为常用。
另外，构造哈夫曼树的方法除了贪心算法和分治算法外，还可以使用动态规划等其他方法。
对于哈夫曼树的应用，最常见的是数据压缩和编码。
哈夫曼树可以根据字符出现的频率构建对应的编码表，将频率高的字符用较短的编码表示，将频率低的字符用较长的编码表示，从而实现对数据的压缩。
在压缩的过程中，利用哈夫曼树可以实现对数据的高效编码和解码。
此外，哈夫曼树还有其他应用，比如在路由表的构建和图像压缩等领域也有广泛应用。
对n(n≥2)个权值均不相同的字符构造哈夫曼树.下列关于该哈夫曼树的叙述中,错误的
对n(n≥2)个权值均不相同的字符构造哈夫曼树.下列关于该哈夫曼树的叙述中,错误的
对n(n大于等于2)个权值均不相同的字符构成哈夫曼树，关于该树的叙述中，错误的是()
A．该树一定是一棵完全二叉树
B．树中一定没有度为1的结点
C．树中两个权值最小的结点一定是兄弟结点
D．树中任一非叶结点的权值一定不小于下一任一结点的权值
答案解析：A
[解析]考查哈弗曼树的特性。
哈夫曼树为带权路径长度最小的二叉树，不一定是完全二叉树。
哈夫曼树中没有度为1的结点，B正确；构造哈夫曼树时，最先选取两个权值最小的结点作为左右子树构造一棵新的二叉树，C正确；哈夫曼树中任一非叶结点P的权值为其左右子树根结点权值之和，其权值不小于其左右子树根结点的权值，在与结点P的左右子树根结点处于同一层的结点中，若存在权值大于结点．P权值的结点Q，那么结点Q的兄弟结点中权值较小的一个应该与结点P作为左右子树构造新的二叉树。
综上可知，哈夫曼树中任一非叶结点的权值一定不小于下一层任一结点的权值。