初等数学研究第二章不等式的解法课件

第 五 节 不
思维训练
1、x − 1) x − x − 2 ≥ 0 ; (
2
2、 x
2
− 5x + 6 > x − 1
2
3、 1 − 2 x
< x + 1
5 答案： 1 、 2 , +∞ ) U { − 1 }, 2 、 −∞ , ) ( ( 3 2 2 2 3、− [ ,− ) U (0, ] 2 3 2
恒等变换
一个解析式转换成另一个与它恒等的 解析式，这种变换称为恒等变换. 解析式
x + 2 x − 1 = 3x − 1
( a − b)( a + b) = a − b
2
2
恒等变换
式
的
第 五 节 不
1、不等式及其基本概念 、 定义1 定义1 用不等号联结两个解析式所成的式子， 不等号联结两个解析式所成的式子， 联结两个解析式所成的式子 称为不等式。 称为不等式。
作业： 作业：
1、不等式 | x - 3 | + | x + 2 |≤ a的解集为φ， 则实数a的取值范围是（）。
84页，第34题
温故而知新
同解变形 1、绝对值不等式 、 2、无理不等式 、
第 五 节 不
1、解绝对值不等式小结 、 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 解绝对值不等式主要是通过同解变形 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次， 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一 元高次不等式（ ），进行求解 进行求解。 元高次不等式（组），进行求解。 A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般 、对含有三个以上绝对值的不等式， 采用零点分段法。 采用零点分段法。
| x |>| a |⇔ x > a .
2 2
| f (x) |>| g(x) |⇔ f (x)2 > g(x)2
第 五 节 不 等 式
例题5 解不等式： 例题 解不等式：
|| x − 3 | − | x + 1 || > 4
例题4 解不等式： 例题 解不等式：
第 五 节 不
| x − 1 | + | x − 2 | + | x − 3 |> 2
2.超越运算 超越运算
超越式
指数有无理数的乘方、对数、三角， 指数有无理数的乘方、对数、三角，反三角运算
第 一 节
恒等式 对于它们公共定义 两个解析式 f 和 g 对于它们公共定义
基 本 概 念
域的某个子集内的一切值都有相同的 域的某个子集内的一切值都有相同的 值 的 f=g. f g
第 一 节 基 本 概 念
① 按不等号分类
② 按解析式分类
代数不等式 超越不等式
>、 < ≥、 ≤
严不等式 非严不等式
第 五 节 不
定义2 用不等号联结的两个解析式定义域的交集， 用不等号联结的两个解析式定义域的交集 交集， 定义 称为不等式的定义域。 称为不等式的定义域。 ③ 按不等式解集与其定义域的关系分类 定义域 真子集 空集 绝对不等式 条件不等式 矛盾不等式
n
a >b>0⇒
n
a >
n
b ( n ∈ N ).
第 五 节 不
同解变形( 同解变形 分式不等式 )
f ( x) > 0 ⇔ f (x)g (x) > 0 g ( x)
f ( x) ≤ 0 ⇔ f ( x ) g ( x ) ≤ 0且 g ( x ) ≠ 0 . g ( x)
第 五 节 不
当 n ≥ 2 , a n ≠ 0 时，
f (x) > g(x) ⇔
第 五 节 不
2、无理不等式的同解变形 、
f ( x ) ≥ 0, f (x) ≤ g(x) ⇔ g ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ g 2 ( x)
f (x) < g(x) ⇔
f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ 0, f ( x) < g 2 ( x)
f (x) > g(x) ⇔
第 五 节 不
同解变形（ 同解变形（ 无理不等式 ）
f ( x ) ≥ 0, f (x) ≤ g(x) ⇔ g ( x ) ≥ 0, f ( x) ≤ g 2 ( x)
f (x) < g(x) ⇔
f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ 0, f ( x) < g 2 ( x)
F ( x) = an x + an−1 x
n
n−1
+ ... + a1 x + a0 > 0(或 < 0)
一般采用“零点分区穿线法” 一般采用“零点分区穿线法”求解 1）把F(x)因式分解； ） 因式分解； 因式分解 2)在数轴上依次标出零点； 在数轴上依次标出零点； 在数轴上依次标出零点 3）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿”原 ）从右上角开始，根据“奇穿偶不穿” 则进行穿线。 则进行穿线。
第2章 式与不等式 章
讲授内容： 讲授内容： 1.解析式的基本概念； 解析式的基本概念； 解析式的基本概念 2.不等式的有关概念和性质； 不等式的有关概念和性质； 不等式的有关概念和性质 3.不等式（组）的解法； 不等式（ 的解法； 不等式 4.不等式的证明； 不等式的证明； 不等式的证明 5.几个著名的不等式；(均值、柯西、排序、 几个著名的不等式； 均值 柯西、排序、 均值、 几个著名的不等式 Jensen) 6.不等式的应用 不等式的应用. 不等式的应用
同解变形 定理2 定理
f ( x) > g ( x)的定义域为M， f ( x) > g ( x)与 同解。 ⇒ D(ϕ ( x)) ⊇ M f ( x ) + ϕ ( x) > g ( x ) + ϕ ( x )
定理3 定理
f ( x) > g ( x)的定义域为M， f ( x) > g ( x)与 同解。 ⇒ D(ϕ ( x)) ⊇ M , ϕ ( x) > 0 f ( x)ϕ ( x) > g ( x)ϕ ( x)
2、无理不等式的同解变形 、
f (x) ≥ g(x) ⇔
f ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ 0, 或 g ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ g 2 ( x); g ( x) < 0. f ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ 0, 或 g ( x) ≥ 0, f ( x) > g 2 ( x); g ( x) < 0.
eg :| x − a | + | x + b | − | x − c | + | x - d |> m , 其中 a 、 b 、 c 、 d 都是实数。
第 五 节
B、形如 | x - a | + | x - b |> m(< m),
不
其中m为正常数，一般采用数 形结合的方法求解。
第 五 节 不
2+a 2-a 2 )当 | a |< 2时，解集为(, ). 2 2
0
思考： x + 1 | + | x |< 2 | | x - 1 | + | x - 3 |≥ 4
第 五 节 不
解绝对值不等式小结 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 解绝对值不等式主要是通过同解变形 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次， 绝对值符号转化成为一元一次，一元二次，一 元高次不等式（ ），进行求解 进行求解。 元高次不等式（组），进行求解。 A、对含有三个以上绝对值的不等式，一般 、对含有三个以上绝对值的不等式， 采用零点分段法。 采用零点分段法。
第 五 节 不
2)当0 < a < 1时，a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x); f ( x) > 0; log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ g ( x) > 0; f ( x) < g ( x).
第 五 节 不
二、不等式基本性质
(1) 对称性： a > b ⇔ b < a ;
( 2 ) 传递性： a > b , b > c ⇒ a > c ;
(3)加法单调性：a > b ⇒ a + c > b + c;
( 4)乘法单调性： a > b, c > 0 ⇒ ac > bc ; a > b, c < 0 ⇒ ac < bc.
第 一 节 基 本 概 念
解析式
1.字母代表数 字母代表数; 字母代表数 2.式本身是代表数的符号，也表明对于 式本身是代表数的符号， 式本身是代表数的符号 数和字母按怎样的次序进行什么运算 的符号. 的符号
运算 对解析式进行
第 一 节
运算 1.代数运算 代数运算 代数式
基
+ 、 、 、 、指数为有理数的乘方 − × ÷ （开方）运算
f ( a )ϕ ( a ) > g ( a )ϕ ( a )
20
f ( x )ϕ ( x ) > g ( x )ϕ ( x )的 f ( b ) > g (b )的解。
解 b,
第 五 节 不
同解变形（ 同解变形（ 无理不等式 ）
f (x) ≥ g(x) ⇔
f ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ 0, 或 g ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ g 2 ( x); g ( x) < 0. f ( x) ≥ 0, f ( x) ≥ 0, 或 g ( x) ≥ 0, f ( x) > g 2 ( x); g ( x) < 0.