随机波动率模型
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❖ 另一类是Taylor 于1986年在解释金融收益序列波动 的自回归行为时提出的随机波动模型（Stochastic volatility model），简称SV 模型。
1.随机波动率模型（SV）的设定
SV模型
GARCH 模 型
rt t t
t
ht
eht /2zt , zt : iidN(0,1)
ˆT a rg m in { J T ( ) g T ( )Wˆ ( ) g T ( )}
其 中 ， 是 参 数 空 间 ； Wˆ 是 一 个 对 称 的 正 定 矩 阵 ， 称 为 权 重 矩 阵 ， 依 概 率 收 敛 与 一 个 对 称 的 正 定 矩 阵 W, 它可以是参数和样本数据的函数，最简单的权重 是 恒 等 矩 阵 ， 它 赋 予 每 个 矩 阵 条 件 相 同 的 权 重 。
ut是 资 产 的 条 件 期 望 收 益 率
h t是 一 个 平 稳 的 A R (1 )过 程
C o r r [ z t , v t ] 刻 画 了 资 产 收 益 率 的 杠 杆 效 应
GARCH与SV的数据模拟
GARCH与SV模型的比较
❖ 由于ARCH 类模型将条件方差定义为过去观测值的平方项和 前期条件方差的确定性函数, 条件方差的估计与过去观测值 直接相关, 因此当存在异常观测值时, 估计的波动性序列将不 很稳定, ARCH 类模型对于长期波动性的预测能力也较差。
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E
[
rt
2
rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rt i
]
2
exp(h
2 h
4
(1
i
))
C
or
r
(
rt
2
,
rt
2 i
)
ex
p(
2 h
i
)
1
3
ex
p(
2 h
)
1
情形更为复杂。
❖ 根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV 模型的矩条件：
❖ （1）
E[rti ](i 1,…,4) :
2
E[rt ]
e 2(1 )
8(1 2 )
2
E[r ] e (e e ) 2
1
2 2(1
2
)
SV模型（ 0 ）
❖ 此时，模型变形为：
SV 模 型 （ t = 0， Corr[zt ,v t ] = 0）
rt
e ht / 2 zt ,
ht
ht1 vt , 0
1
zt vt
:
0 1
i
id
[
2 2
2
2 2 2
2 2 2 22
t
9e 3
2
3 (1
)
8
9 2 (1
2
)
9
2 8
2
9 2 2 8
E[r ] e ( 2 t
9 2 2
27e
8
3 3
)
8
E[rt4 ]
e (3e 1
2 2 (1 2
)
2
t t1
3.SV模型的广义矩（GMM）估计
❖ 与ARCH/GARCH类模型相比，SV模型的估计要复 杂得多。因为SV模型中波动率过程是潜藏的，即不 可直接观察。因此，任何估计步骤必须处理潜变量， 一般要使用替代变量或在似然函数中通过积分去掉 潜变量。由于似然函数中的高维积分一般难以降到 一维（或大幅降维）积分，数值积分往往需要先将 连续时间模型离散化，然后模拟期路径，因此需要 非常大的计算量。这里重点介绍通过前面导出的矩 条件而使用广义矩方法（GMM，Generalized Method of Moments）来估计SV模型。
给 定 总 体 矩 条 件 E [ ft ( )] 0， ft ( )是 N 维 列 向 量 是 K维 参 数 向 量 矩 阵 ， N K.
很 多 时 候 先 获 得 条 件 矩 E [ht / t1], 根 据 条 件 期 望 的
性
质
有
E [ht gzt ]
0，
其
中
，
zt是
信
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= xpf(x)dx
❖ 中心矩
E [(X -X)P ] = (xx)pf(x)d x
❖ 对数正态分布 X: ln(,2)
密度函数
f (x) 1 e(ln2x2)2
2
对数正态分布的均值、方差、原点矩公式：
1 2
EX e 2
V arX (e 2 1)e 2 2
EX
s
s 1 s2 2
e 2 ,s
¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
❖ 一类是由诺贝尔经济学奖获得者、美国著名的统计 学家Engle 于1982 年在研究英国通货膨胀指数问题 时提出的自回归条件异方差（ autoregression conditional heteroscedasticity variance）模型，简 称ARCH 模型以及后来由Bollerslev 提出的GARCH 类模型；
0
,
1
]
源自文库 ❖ r t 的各阶矩条件（使用条件期望的迭代性质）：
E [ r tm ] E [ E [ r tm /h t] ] E [ E [ e m ( h t 1 v t) /2 z t m /h t 1 ] ] E { e m ( h t 1 ) /2 g E [ e m v t/2 z t m /h t 1 ] } E [ e m ( h t 1 ) /2 ] g E [ e m v t/2 z t m ]
2
2
2 2 2
24e2 2 2 2 2
16e2 2 2 4
4)
❖ （2）其他矩条件
e （1+ ） 1（122+(12） 2)2
e （1+ 1（122+(122）2) 2
2
）2
2
E[rtrt1]
22 2
，E[rtrt2]
❖ （2）E [ rt m ]：
E [r t] E [e h t/2zt] E [e h t/2 ]E [zt]2 / e x p (h/2 h 2/8 ) E [r t3 ] E [e 3 h t/2zt3 ] E [e 3 h t/2 ]E [zt3 ] 22 / e x p (3h/2 9h 2/8 )
息
集
t
中
1
的
任
意
元素，称为工具变量。选择不同的工具变量就
得 到 不 同 的 矩 条 件 。 如 果 N K， 即 矩 条 件 个 数 等
于参数个数时，就可以得到矩方法。
用 样 本 矩 g T ( )
1 T
T ti
ft ( )代 替 总 体 矩 ， 使 样 本 矩
等 于 0的 估 计 量 称 为 矩 估 计 量 。
❖ SV 中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预 测能力来看，还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价 理论的应用来看，它都是优于ARCH 类模型的。
❖ 教材P140-141做出了收益率，收益率平方以及条件方差的 自相关函数。其中收益率的各阶自相关函数都不显著。收益 率平方以及条件方差的部分自相关函数都是显著的。体现了 收益率的波动率集聚特征。
rt的 峰 度 ：
K u r t [ rt ] =
E [( rt E [ rt ]) 4 ] V a r [ rt ]2
E [ rt 4 ] E [ rt 2 ]2
3 exp(2h
2
2 h
)
3
e
2 h
3
exp(2 h
2 h
)
因 此 ， rt的 分 布 具 有 厚 尾 的 性 质 。
当 N K时 ， 即 矩 条 件 个 数 大 于 估 计 参 数 个 数 时 ，
这种情况称为过度识别。
广义矩方法（GMM）估计的思想是，选择值使得 由模型导出的矩条件个数与由数据计算的样本矩尽 可能接近。 G M M 估 计 量 是 使 下 式 目 标 函 数 J T ( )最 小 的 估 计 量 ：
❖ 由于式中包含 h t 1 ，而h t 1 的边际分布与 h t 边际
分布同为 ( 1
, 2 1
2
)
。
❖ E[e ] m(ht1)/2 可根据对数正态分布矩条件公式计算。
所以，关键是要计算 E[emvt /2ztm] 。
❖ 但是，
z
，
t
v t 相关使得矩条件计算比不相关
SV模型（ = 0 ）
对于 SV模型（t=0，=0）
rt ht
eht/2zt,zt : iidN(0,1)
ht1 vt,0
1,vt
:
iidN(0,1)
Corr[zt ,vt ] =0
（1） E [ rt m ]
E[rti]0，i为奇数
E[rt2]E[eht zt2]E[eht ]E[zt2]exp(hh2/2) E[rt4]E[e2ht zt4]E[e2ht ]E[zt4]3exp(2h2h2) E[rt6]E[e3ht zt6]E[e3ht ]E[zt6]15exp(3h9h2/2)
❖ GMM估计量具有良好的性质。Hansen（1982）证明，在一 定的正规性条件下（主要是样本数据的平稳性）：
性 质 1 ： G M M 估 计 量 是 相 合 的 ， 即 ˆ T P
性 质 2 ： 1 T tT ift() d (0 ,S ),S 是 N * N 正 定 矩 阵
随机波动率模型 Stochastic volatility model
内容框架
❖ 简介 ❖ SV模型的设定（与GARCH对比） ❖ SV模型的矩条件（两种情况下） ❖ SV模型的广义矩估计（GMM） ❖ 模特卡罗模拟评判估计方法 ❖ 其他估计方法
简介
❖ 经济或金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而 波动性是描述金融市场研究的一个核心问题，它通 过金融收益率的方差来测度。目前研究金融衍生物 的价格的波动模型主要有随机游走模型 (Random Walk)、对数正态分布模型等，而主要有两类：
由于h t 平稳性，可知
Eht Eht
Eht1
Eht1
Eht
1
Varht Varht
Varht1
2Varht1
2
Varht
2 1
因为 h t 可以展开为一个 ht vs ts s0 ht : (1 ,1 22)=(h,h2)
ht1 vt ,0 1,vt
:
iidN(0,1)
Corr[zt ,vt ]
rt ln(St /St1)为 资 产 收 益 率
rt t
t t
zt
,
t
z
t
:
iidN (0,1)
2 t
1
2 t 1
1
2 t 1
22 2
e （1+ 1（122+(123）2) 2
3
）3
3
e （1+ 1（122+(126）2) 2
6
）2
2
E[rtrt3]
22 2
，E[rtrt6]
22 2
2 （2+2）222 22
22
E[r2r2 ]e1 2(12) (e 2 e 2 22)2
❖ 中心绝对值矩
E [X-XP]= xxpf(x)dx
❖ 正态分布矩条件
原点矩
E[XP]=0， p(pp为 奇 1)!数 !，p为偶数
中心绝对值矩
E [X-XP]= 2 p(/p 1 p )(!!p ， p 1 为 )!!偶 ， 数 p为 奇 数
则 ˆ T 渐 进 服 从 正 态 分 布 ， 渐 进 方 差 — 协 方 差 矩 阵 为 ：
A v a r ( ˆ T ) ( G W G ) 1 G T W S W G ( G W G ) 1 ,其 中 G E [ f t( ) ]
1.随机波动率模型（SV）的设定
SV模型
GARCH 模 型
rt t t
t
ht
eht /2zt , zt : iidN(0,1)
ˆT a rg m in { J T ( ) g T ( )Wˆ ( ) g T ( )}
其 中 ， 是 参 数 空 间 ； Wˆ 是 一 个 对 称 的 正 定 矩 阵 ， 称 为 权 重 矩 阵 ， 依 概 率 收 敛 与 一 个 对 称 的 正 定 矩 阵 W, 它可以是参数和样本数据的函数，最简单的权重 是 恒 等 矩 阵 ， 它 赋 予 每 个 矩 阵 条 件 相 同 的 权 重 。
ut是 资 产 的 条 件 期 望 收 益 率
h t是 一 个 平 稳 的 A R (1 )过 程
C o r r [ z t , v t ] 刻 画 了 资 产 收 益 率 的 杠 杆 效 应
GARCH与SV的数据模拟
GARCH与SV模型的比较
❖ 由于ARCH 类模型将条件方差定义为过去观测值的平方项和 前期条件方差的确定性函数, 条件方差的估计与过去观测值 直接相关, 因此当存在异常观测值时, 估计的波动性序列将不 很稳定, ARCH 类模型对于长期波动性的预测能力也较差。
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E
[
rt
2
rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rt i
]
2
exp(h
2 h
4
(1
i
))
C
or
r
(
rt
2
,
rt
2 i
)
ex
p(
2 h
i
)
1
3
ex
p(
2 h
)
1
情形更为复杂。
❖ 根据Jiang、Knight和Wang（2007）导出SV 模型的矩条件：
❖ （1）
E[rti ](i 1,…,4) :
2
E[rt ]
e 2(1 )
8(1 2 )
2
E[r ] e (e e ) 2
1
2 2(1
2
)
SV模型（ 0 ）
❖ 此时，模型变形为：
SV 模 型 （ t = 0， Corr[zt ,v t ] = 0）
rt
e ht / 2 zt ,
ht
ht1 vt , 0
1
zt vt
:
0 1
i
id
[
2 2
2
2 2 2
2 2 2 22
t
9e 3
2
3 (1
)
8
9 2 (1
2
)
9
2 8
2
9 2 2 8
E[r ] e ( 2 t
9 2 2
27e
8
3 3
)
8
E[rt4 ]
e (3e 1
2 2 (1 2
)
2
t t1
3.SV模型的广义矩（GMM）估计
❖ 与ARCH/GARCH类模型相比，SV模型的估计要复 杂得多。因为SV模型中波动率过程是潜藏的，即不 可直接观察。因此，任何估计步骤必须处理潜变量， 一般要使用替代变量或在似然函数中通过积分去掉 潜变量。由于似然函数中的高维积分一般难以降到 一维（或大幅降维）积分，数值积分往往需要先将 连续时间模型离散化，然后模拟期路径，因此需要 非常大的计算量。这里重点介绍通过前面导出的矩 条件而使用广义矩方法（GMM，Generalized Method of Moments）来估计SV模型。
给 定 总 体 矩 条 件 E [ ft ( )] 0， ft ( )是 N 维 列 向 量 是 K维 参 数 向 量 矩 阵 ， N K.
很 多 时 候 先 获 得 条 件 矩 E [ht / t1], 根 据 条 件 期 望 的
性
质
有
E [ht gzt ]
0，
其
中
，
zt是
信
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= xpf(x)dx
❖ 中心矩
E [(X -X)P ] = (xx)pf(x)d x
❖ 对数正态分布 X: ln(,2)
密度函数
f (x) 1 e(ln2x2)2
2
对数正态分布的均值、方差、原点矩公式：
1 2
EX e 2
V arX (e 2 1)e 2 2
EX
s
s 1 s2 2
e 2 ,s
¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
❖ 一类是由诺贝尔经济学奖获得者、美国著名的统计 学家Engle 于1982 年在研究英国通货膨胀指数问题 时提出的自回归条件异方差（ autoregression conditional heteroscedasticity variance）模型，简 称ARCH 模型以及后来由Bollerslev 提出的GARCH 类模型；
0
,
1
]
源自文库 ❖ r t 的各阶矩条件（使用条件期望的迭代性质）：
E [ r tm ] E [ E [ r tm /h t] ] E [ E [ e m ( h t 1 v t) /2 z t m /h t 1 ] ] E { e m ( h t 1 ) /2 g E [ e m v t/2 z t m /h t 1 ] } E [ e m ( h t 1 ) /2 ] g E [ e m v t/2 z t m ]
2
2
2 2 2
24e2 2 2 2 2
16e2 2 2 4
4)
❖ （2）其他矩条件
e （1+ ） 1（122+(12） 2)2
e （1+ 1（122+(122）2) 2
2
）2
2
E[rtrt1]
22 2
，E[rtrt2]
❖ （2）E [ rt m ]：
E [r t] E [e h t/2zt] E [e h t/2 ]E [zt]2 / e x p (h/2 h 2/8 ) E [r t3 ] E [e 3 h t/2zt3 ] E [e 3 h t/2 ]E [zt3 ] 22 / e x p (3h/2 9h 2/8 )
息
集
t
中
1
的
任
意
元素，称为工具变量。选择不同的工具变量就
得 到 不 同 的 矩 条 件 。 如 果 N K， 即 矩 条 件 个 数 等
于参数个数时，就可以得到矩方法。
用 样 本 矩 g T ( )
1 T
T ti
ft ( )代 替 总 体 矩 ， 使 样 本 矩
等 于 0的 估 计 量 称 为 矩 估 计 量 。
❖ SV 中新的随机变量的引入，使得无论是从长期波动性的预 测能力来看，还是从波动率序列的稳定性、抑或对资产定价 理论的应用来看，它都是优于ARCH 类模型的。
❖ 教材P140-141做出了收益率，收益率平方以及条件方差的 自相关函数。其中收益率的各阶自相关函数都不显著。收益 率平方以及条件方差的部分自相关函数都是显著的。体现了 收益率的波动率集聚特征。
rt的 峰 度 ：
K u r t [ rt ] =
E [( rt E [ rt ]) 4 ] V a r [ rt ]2
E [ rt 4 ] E [ rt 2 ]2
3 exp(2h
2
2 h
)
3
e
2 h
3
exp(2 h
2 h
)
因 此 ， rt的 分 布 具 有 厚 尾 的 性 质 。
当 N K时 ， 即 矩 条 件 个 数 大 于 估 计 参 数 个 数 时 ，
这种情况称为过度识别。
广义矩方法（GMM）估计的思想是，选择值使得 由模型导出的矩条件个数与由数据计算的样本矩尽 可能接近。 G M M 估 计 量 是 使 下 式 目 标 函 数 J T ( )最 小 的 估 计 量 ：
❖ 由于式中包含 h t 1 ，而h t 1 的边际分布与 h t 边际
分布同为 ( 1
, 2 1
2
)
。
❖ E[e ] m(ht1)/2 可根据对数正态分布矩条件公式计算。
所以，关键是要计算 E[emvt /2ztm] 。
❖ 但是，
z
，
t
v t 相关使得矩条件计算比不相关
SV模型（ = 0 ）
对于 SV模型（t=0，=0）
rt ht
eht/2zt,zt : iidN(0,1)
ht1 vt,0
1,vt
:
iidN(0,1)
Corr[zt ,vt ] =0
（1） E [ rt m ]
E[rti]0，i为奇数
E[rt2]E[eht zt2]E[eht ]E[zt2]exp(hh2/2) E[rt4]E[e2ht zt4]E[e2ht ]E[zt4]3exp(2h2h2) E[rt6]E[e3ht zt6]E[e3ht ]E[zt6]15exp(3h9h2/2)
❖ GMM估计量具有良好的性质。Hansen（1982）证明，在一 定的正规性条件下（主要是样本数据的平稳性）：
性 质 1 ： G M M 估 计 量 是 相 合 的 ， 即 ˆ T P
性 质 2 ： 1 T tT ift() d (0 ,S ),S 是 N * N 正 定 矩 阵
随机波动率模型 Stochastic volatility model
内容框架
❖ 简介 ❖ SV模型的设定（与GARCH对比） ❖ SV模型的矩条件（两种情况下） ❖ SV模型的广义矩估计（GMM） ❖ 模特卡罗模拟评判估计方法 ❖ 其他估计方法
简介
❖ 经济或金融时间序列存在着普遍的波动性现象，而 波动性是描述金融市场研究的一个核心问题，它通 过金融收益率的方差来测度。目前研究金融衍生物 的价格的波动模型主要有随机游走模型 (Random Walk)、对数正态分布模型等，而主要有两类：
由于h t 平稳性，可知
Eht Eht
Eht1
Eht1
Eht
1
Varht Varht
Varht1
2Varht1
2
Varht
2 1
因为 h t 可以展开为一个 ht vs ts s0 ht : (1 ,1 22)=(h,h2)
ht1 vt ,0 1,vt
:
iidN(0,1)
Corr[zt ,vt ]
rt ln(St /St1)为 资 产 收 益 率
rt t
t t
zt
,
t
z
t
:
iidN (0,1)
2 t
1
2 t 1
1
2 t 1
22 2
e （1+ 1（122+(123）2) 2
3
）3
3
e （1+ 1（122+(126）2) 2
6
）2
2
E[rtrt3]
22 2
，E[rtrt6]
22 2
2 （2+2）222 22
22
E[r2r2 ]e1 2(12) (e 2 e 2 22)2
❖ 中心绝对值矩
E [X-XP]= xxpf(x)dx
❖ 正态分布矩条件
原点矩
E[XP]=0， p(pp为 奇 1)!数 !，p为偶数
中心绝对值矩
E [X-XP]= 2 p(/p 1 p )(!!p ， p 1 为 )!!偶 ， 数 p为 奇 数
则 ˆ T 渐 进 服 从 正 态 分 布 ， 渐 进 方 差 — 协 方 差 矩 阵 为 ：
A v a r ( ˆ T ) ( G W G ) 1 G T W S W G ( G W G ) 1 ,其 中 G E [ f t( ) ]