如何化为最简二次根式

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二次根式的计算和化简

二次根式的计算和化简二次根式是指包含平方根的表达式。

在数学中，我们经常需要进行二次根式的计算和化简。

本文将介绍如何进行二次根式的计算和化简，并提供一些相关的例子和方法。

一、二次根式的计算二次根式的计算主要包括加减乘除四则运算和指数运算。

下面将分别介绍这些运算的方法。

1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，首先要确定根号下的数（即被开方数）是否相同。

如果相同，则可以直接对根号下的数进行加减运算，并保持根号不变。

如果根号下的数不同，则需要进行化简，使根号下的数相同，再进行加减运算。

例如，计算√3+ √5。

由于根号下的数不同，我们可以进行化简。

将√3与√5相加，得到√3 + √5。

这就是最简形式的结果，无法再进行化简。

2. 乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以直接将根号下的数相乘，并保持根号不变。

例如，计算√3 × √5。

将根号下的数相乘，得到√15。

这就是最简形式的结果。

3. 除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将被除数与除数的根号下的数相除，并保持根号不变。

例如，计算√15 ÷ √3。

将根号下的数相除，得到√5。

这就是最简形式的结果。

4. 指数运算对于二次根式的指数运算，可以将指数应用于根号下的数，并保持根号不变。

例如，计算(√2)²。

将指数应用于根号下的数2，得到2。

因此，(√2)² = 2。

二、二次根式的化简化简二次根式的目的是使根号下的数尽量小。

下面将介绍一些常用的化简方法。

1. 提取公因数如果根号下的数可以被某个数整除，可以将其提取出来，并保持根号不变。

这是一种常见的化简方法。

例如，化简√16。

16可以被4整除，所以可以将16写成4×4，即√(4×4)。

继续化简，得到2×√4。

最后，我们得到2×2 = 4。

因此，√16 = 4。

2. 合并同类项如果有多个二次根式相加或相乘，可以合并同类项，使根号下的数相加或相乘。

最简二次根式及二次根式的加减法

a + 1 3a + 3 =( − ) ab b b 2a + 2 =− ab. b
二、例题和练习：
例5. 先化简，再求值. 解：原式
= x(x 2 + xy +
1 2 1 3 2 x + x y + xy + x + x y + xy2 . 其 x=9, y=5. 中 4 4
3 2
1 2 1 y ) + x( x 2 + xy + y 2 ) 4 4
如 − 27x， 1 2a 3 都不符合这个条件，而 m 2 + 9是最简二次根式. 3
一、主要知识点
1. 最简二次根式 (3)化简二次根式的一般步骤：
32 × 6a(a + 1) 2 54(a 3 +2a 2 +a) = 观察 5 5 6a 6a ⋅ 5 3 a +1) ( =3 a +1) ( =3 a +1) ( = 30a. 5 5⋅5 5 ①将被开方数分解质因数或因式分解，写成幂的积的形式. ②根据被开方数每个因式的指数小于2的要求，把开得尽方的因式用算术根代替移到根号外面. ③根据根号内不含分母的要求，利用分式的性质，化去根号内的分母.
1 1 = x(x+ y) 2 + x( x+y) 2 2 2 1 1 = (x + y) x + ( x + y) x 2 2 1 1 = (x + y+ x + y) x 2 2 3 = (x + y) x. 2
将x=9, y=5代入,
3 原式 = (9 + 5) ⋅ 9 = 21× 3=63. 2

初中数学如何将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式

初中数学如何将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式
当我们需要将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式，并将其化简为最简形式时，我们可以按照以下步骤进行：
步骤1：确定每个二次根式的基数和指数。

假设我们要将√a + (m/n)√b进行化简，其中a和b 是正数，m和n是整数且n不为0。

步骤2：将分数倍的二次根式加到原二次根式中。

我们有√a + (m/n)√b。

步骤3：合并同类项。

在这个例子中，√a和(m/n)√b是不同类项，无法直接合并。

步骤4：将分数倍的二次根式转化为通分形式。

首先，找到两个二次根式的最小公倍数，即b。

我们有√a + (m/n)√b = (√a*n + m√b)/n√b。

步骤5：合并同类项。

现在，我们有(√a*n + m√b)/n√b。

√a*n和m√b是同类项，可以将它们相加。

步骤6：化简表达式。

在这个例子中，(√a*n + m√b)/n√b就是最简形式。

因此，将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式后，我们得到(√a*n + m√b)/n√b。

需要注意的是，当两个二次根式的基数和指数相同时，我们可以将它们合并为一个二次根式。

但当基数或指数不同的时候，无法进一步化简。

这个例子展示了将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式的步骤。

通过理解这些步骤并进行练习，你将能够在初中数学中处理类似的问题。

记住，熟能生巧，多加练习将帮助你掌握这个技巧。

二分之27的最简二次根式

二分之27的最简二次根式
首先，我们需要明确什么是最简二次根式。

最简二次根式是指被开方数不含平方因子，并且在开平方后没有相同的因子的二次根式。

那么，如何将二分之27表示为最简二次根式呢？我们可以使用分解质因数的方法对27进行求解。

27可以分解为3的三次方，即
27=3^3。

接下来，我们将3^3带入到二次根式中，得到√(3^3)。

根据平方根的性质，我们可以将3^3写成(3^2)×3，即√(3^2)×√3。

进一步计算，√(3^2)等于3，因此，最终化简结果为3√3。

综上所述，二分之27的最简二次根式为3√3。

通过以上的解释，我们可以看出，求最简二次根式的关键在于先分解质因数，然后利用根号的性质进行化简。

掌握了这一方法，我们就能灵活地求解任何数的最简二次根式。

在实际问题中，最简二次根式可以用于化简代数表达式、求解二次方程的根等。

将问题转化为最简二次根式的形式，可以方便计算和进行进一步的推导。

总结起来，本文介绍了如何将二分之27表示为最简二次根式，并且阐述了求解最简二次根式的方法和应用。

希望能对读者理解和运用最简二次根式有所帮助。

通过练习和实践，我们可以进一步提升在数学领域中的能力和技巧。

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算【知识要点】1．最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式即被开方数不含有分母。

②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数。

2．化为最简二次根式的方法：①把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式；②将这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外；③化去被开方数中的分母。

3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

判断同类二次根式时，注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同。

4．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

合并同类二次根式的方法与合并同类项类似。

5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：=①单项二次根式：利用a理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a与a，，6．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

7．二次根式的混合运算：①二次根式的混合运算的运算顺序与有理式的混合运算的顺序相同；②在二次根式的混合运算中，有理式的运算法则、定律、公式等同样适用。

【典型例题】例1 解答下列各题：（1）下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？，（其中0x >，0y >）。

（2）下列根式中，哪些是同类二次根式？为什么？（题中字母都为正数）2x ，127，（3）如果最简根式，m +m ，n 的值。

例2 计算下列各题：（1）⎛- ⎝ （2）-⎝（3例3 （1）把下列各式分母有理化：)a b ≠（2）把下列各式化简：练习A 组1．下列各式正确的是（）A ===B =C a b =+D =2．下列各式正确的是（）A =B ()230,0a b a b =><C = D== 3．在下列二次根式中，若0,0a b >>，则属于最简二次根式的是（）A B C D4 ） A ．4x < B ．1x ≥ C ．14x ≤< D ．14x ≤≤5．化简的结果是（）A B ．3 C ． D ．a6的相反数的倒数为。

最简二次根式的要求

最简二次根式的要求以最简二次根式的要求为标题，我们来探讨一下什么是最简二次根式以及如何将二次根式化简到最简形式。

在数学中，二次根式是指具有形式√a的表达式，其中a是一个非负实数。

我们知道，二次根式可以用于表示平方根、立方根等根号运算。

而最简二次根式是指在化简过程中，将二次根式化简到最简形式，不含有相同根号下的平方数。

我们来看一个例子：√12。

我们可以将12分解为2的平方乘以3，即12 = 2² × 3。

因此，√12可以写成√(2² × 3)。

根据根号运算的性质，我们可以将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法，即√(2² × 3) = √2² × √3。

继续化简，我们得到√2² × √3 = 2√3。

所以，√12的最简二次根式为2√3。

接下来，我们来看一个稍复杂的例子：√80。

我们可以将80分解为16乘以5，即80 = 16 × 5。

因此，√80可以写成√(16 × 5)。

继续化简，根据根号运算的性质，我们得到√(16 × 5) = √16 × √5。

由于16是4的平方，我们可以将√16写成4，即√16 = 4。

所以，√80可以化简为4√5。

因此，4√5就是√80的最简二次根式。

通过以上两个例子，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：首先，将根号内的数分解为两个互质因数的乘积；然后，将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法；最后，将含有平方数的根号化简为该平方数。

按照这个步骤，我们可以将任何一个二次根式化简到最简形式。

除了分解因式和运用根号运算的性质外，我们还可以利用有理化的方法来化简二次根式。

有理化是指将含有根号的式子转化为不含根号的式子。

例如，对于√(3/5)，我们可以将它有理化为(√3) / (√5)。

又如，对于√(2 + √3)，我们可以将它有理化为√(2 + √3) × (√(2 - √3)) / (√(2 - √3))。

全面剖析二次根式的乘除及化简

全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。

判断最简二次根式的方法

判断最简二次根式的方法最简二次根式指的是一个形如√a的表达式，其中a是一个正整数且不含有平方数因子。

判断一个二次根式是否为最简的可以按以下方法进行。

方法一：因式分解法我们对根号内部的数a进行因式分解，将a写成素数的乘积的形式。

比如，对于a=72，可以进行如下因式分解：72=2^3×3^2。

然后，我们将分解后的素数因子提取出来，结果即为最简形式。

对于此例子，√72=√(2^3×3^2)=2√2√3。

方法二：提取平方因子法如果根号内部的数a含有平方因子，可以将平方因子提取出来，使得a成为一个不含有平方因子的数。

比如，对于a=196，可以提取出a的平方因子，即196=14^2，结果为√196=14。

方法三：完全平方式对于一个完全平方数，即平方根为整数的数，比如a=25，可以直接得到√25=5，因为5是25的平方根。

方法四：无理数判别法如果一个数a是一个不含有平方因子的正整数且不是完全平方数，那么它的平方根√a是无理数。

此时，√a就可以认为是最简形式。

比如，√5就是无理数。

需要注意的是，方法一和方法二可以同时使用，根据数a的因式分解情况来选择最适合的方法。

对于较大的数，一般使用因式分解法或无理数判别法完成判断。

而对于小于等于100的正整数，可以先用方法二提取可能的平方因子，然后再用方法一减少根号内部数的因数数量，以达到最简形式。

综上所述，判断最简二次根式的方法包括因式分解法、提取平方因子法、完全平方式和无理数判别法。

根据数a的因式分解情况和是否为完全平方数可以选择最适合的方法来判断最简二次根式。

最简二次根式／二次根式

[文件] sxc2dja0024.doc[科目] 数学[年级] 初二[章节][关键词] 最简二次根式/二次根式[标题] 最简二次根式(1)[内容]最简二次根式(1)教学目标1.使学生理解最简二次根式的概念；2.掌握把二次根式化为最简二次根式的方法；教学重点和难点重点：化二次根式为最简二次根式的方法.难点：最简二次根式概念的理解.教学过程设计一、导入新课计算：(1)3a· 6a2; (2)8a5÷6a2.解 (1)3a·6a2=3a×6a2=3×3×2a×a2=32·a2·2a=3a 2a;(2)8a5÷6a2=8a56a2=4a33=4a2·a 3=2aa 3=2aa·33·3=2a3a3.我们再看下面的问题：如果已知3≈1.732，能不能求出13与27的近似值呢?答：直接求13及27的近似值比较麻烦.若先把13及27分别化简，得到13=13=1×3 3×3=33.27=32×3=32×3=33.再利用3≈1.732来计算就简便了.从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行简化，会对解决问题带来方便.二、新课观察上面的计算题，得到结果3a2a及2a3a3都具有什么特点呢?答：1.被开方数的因数是整数或整式；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式.例1 试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么?(1)3a3b; (2)3ab2; (3)x2+y2;(4)a－b(a>b); (5)5x3; (6)8xy.解 (1)不是最简二次根式.因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开方数中有开得尽方的因式.(2)不是最简二次根式.因为被开方数的因数是分数32，不是整数.(3)是最简二次根式.因为被开方数的因式x2+y2开不尽方，而且是整式.(4)是最简二次根式.因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整式.(5)是最简二次根式.因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整式.(6)不是最简二次根式.因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得尽方的因数22.指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论.1.在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；2.在二次根式的被开方数中每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.例2 把下列各式化为最简二次根式：(1)12；(2)45a2b; (3)8(x+y)3.分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质及a2=a(a≥0)进行化简.解 (1)12=22×3=22×3=23;(2)45a2b=32×5a2b=32a25b=3a5b;(3)8(x+y)3=22×2(x+y)2(x+y)=22(x+y)22(x+y)=2(x+y)2(x+y).例3 把下列各式化成最简二次根式：(1)4112; (2)x2yx; (3)328n3 3m.分析：题(1)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分母有理化，把原式化成最简二次根式.题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用题商的算术平方根的性质把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简二次根式.解 (1)4112=432=432=42×2 2×2=462=26;(2)x2yx=x2yx=x2yx xx=x2xy x=xxy;(3)328n3 3m=38n323m=322·2n2·n 23m=3×2n 2n 23m=3n2n3m 3m3m=3n 6mn 3m=n 6mn m.通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式的方法.答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.如果被开方数是整式或整式，先把它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式事或因数开出来，从而将式子化简.三、课堂练习1.在下列各式中，是最简二次根式的式子为( ).A.16aB.m－n5C.a18D.6x4y32.在式子18，13，0.5m, x2+4,2a,a－ba+b中，是最简二次根式的式子有( )个.A.2B.3C.1D.03.把下列各式化成最简二次根式：(1)32；(2)2a3b3; (3)1.5;(4)43; (5)20a2b c; (6)x218x30.四、小结1.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2.把一个式子化为最简二次根式的方法是：(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；(2)如果被开方数含有字母，应去掉分母的根号.五、作业1.把下列各式化成最简二次根式：(1)618; (2)10145; (3)xy; (4)16a; (5)32; (6)0.2.2.把下列各式化成最简二次根式：(1)0.4m2n; (2)2a2 148a; (3)1xx3;(4)1467a; (5)5672ab3; (6)456a.答案：1.(1)322; (2)65; (3)xyy; (4)6a6a; (5)42; (6)55.2.(2)m10n5; (2)a63a; (3)x; (4)2a7ab; (5)5b2ab; (6)23a30a.。

2023最简二次根式与同类二次根式(解析版)

最简二次根式与同类二次根式【知识梳理】一．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．二．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【考点剖析】一．最简二次根式（共5小题）1．（2022秋•黄浦区月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求解．【解答】解：A．＝＝3，选项A不符合题意；B．＝＝，选项B不符合题意；C．是最简二次根式，选项C符合题意；D．＝＝a2，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．（2018秋•松江区期末）化为最简二次根式：＝．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，＝2，＝|x|是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．4．（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有个．【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．【解答】解：最简二次根式有，共1个．故答案为：1．【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数．5．（2019秋•宝山区校级月考）将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）＝故答案为：【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．二．同类二次根式（共11小题）6．（2021秋•金山区期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：＝2，A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝2，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、原式＝，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的定义，本题属于基础题型．7．（2021秋•宝山区校级期中）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，∴2x﹣5＝7﹣x，解得x＝4；故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，根据定义列方程是解题关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）若两最简根式和是同类二次根式，则a+b的值的平方根是．【分析】根据同类二次根式的概念列出二元一次方程组，解二元一次方程组求出a、b，根据平方根的概念解答即可．【解答】解：由题意得：，整理得：，解得：，则a+b＝8，∵8的平方根为±2，∴a+b的平方根为±2，故答案为：±2．【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、平方根的概念、二元一次方程组的解法，掌握同类二次根式的概念是解题的关键．9．（2022秋•黄浦区期中）若最简二次根式和是同类二次根式，那么a+b的值是．【分析】由同类二次根式的概念即可求解．【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，∴b﹣1＝2，1﹣2a＝7，∴a＝﹣3，b＝3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题考查同类二次根式的概念，关键是掌握：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．10．（2022秋•青浦区期中）下列各根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．【解答】解：A、＝，与为同类二次根式；B、＝与不是同类二次根式；C、＝4与不是同类二次根式；D、＝2与不是同类二次根式；故选：A．【点评】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．12．（2022秋•青浦区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，则ab＝．【分析】先根据同类二次根式的定义求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：由题意得，，解得，所以ab＝0．故答案为：0．【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．13．（2022秋•徐汇区校级期中）如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．14．（2022秋•虹口区校级月考）在二次根式①；②；③；④；⑤中，与是同类二次根式的有．（填写编号）【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：∵①＝2，②＝，③＝2，④＝5，⑤＝a ，∴与是同类二次根式的有②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质与化简，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．15．（2018秋•普陀区校级月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．16．（2022秋•宝山区校级期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝．【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，解得：a＝3，b＝﹣3．∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【过关检测】一、单选题【答案】C【分析】将各选项化简，不能化简的即为答案．A不符合题意；=，所以B不符合题意；C符合题意；==D不符合题意．a故选：C．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，即被开方数中不含能被开方的数或式子．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义，列方程求出a 的值，再根据二次根式的定义列出不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵∴61822a a −=−，∴4a =，∴420a x −≥，∴1620x −≥，∴8x ≤，故选：D ．【点睛】本题考查了同类二次根式的概念及二次根式的性质：概念：化成最简二次根式后，被开方数相同的根式叫同类二次根式；性质：被开方数为非负数．【分析】先判断a 和b 的符号，然后根据二次根式的符号化简即可．【详解】解：20ba −≥0b ∴≤0ab >所以a 和b 同号，0,0a b ∴<<，a a ==−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质；熟练掌握性质是解答本题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：0)m >有意义， ∴0n <=−故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可．【详解】A2A 选项不符合题意； B2=B 选项不符合题意；C 和C 选项符合题意；D D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式将4x =代入得，原式1=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母二、填空题1【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可.【详解】∵,23< ,∴536< ,∴532<< ,∴2m = ,2n == ,∴1mn . 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键.【答案】②⑤/⑤②【分析】先将各项化简成最简二次根式，再利用同类二次根式的性质判断即可作答．【详解】===②和⑤，故答案为：②⑤．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．2/2−【分析】将分子和分母同时乘以(2 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果．2====．2【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键．【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．，==【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【答案】【详解】解：原式==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】2或0【分析】根据二次根式和同类二次根式的定义列方程求出x、y的值，再计算x y+．【详解】由题意得，12+=y，22311x x+=−，解得1y =，1x =±，∴当11x y ==，时，112x y +=+=；当11x y =-=，时，110x y +=−+=；故答案为2或0．【点睛】本题考查二次根式和同类二次根式的定义，二次根式省略的根指数为2，化成最简二次根式之后，若被开方数相同，称为同类二次根式，掌握基本概念是关键．【答案】2/0.5【分析】根据同类二次根式的被开方数相同，得出关于a 的方程，解出即可得出答案．【详解】解：∵ ∴223+=a ，解得：12a =．故答案为：12【点睛】解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握同类二次根式的被开方数相同．【答案】5【分析】利用同类二次根式的概念即可求出．【详解】∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并，∴38172,5a a a −=−=．故答案为：5．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念为关键．当变形后移至根号内得______．【分析】根据二次根式的性质可得110a −>，则a<0，据此即可求解．【详解】解：∵∴110a −>，则a<0，∴==【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】±【分析】根据同类二次根式的定义，列出方程，求解即可，【详解】解：由题意可得：722573a b a b a b +=⎧⎨+−=+⎩，解得91a b =⎧⎨=−⎩8a b +=8的平方根为±故答案为：±【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】3−【分析】根据同类二次根式的定义，即可求出a 、b 的值，然后计算a+b 的值即可.【详解】解：∵最简二次根式b +是同类二次根式， ∴1422a +=，12b +=，∴4a =−，1b =， ∴413a b +=−+=−；故答案为：3−.【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，正确求出a 、b 的值.【答案】2a −【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到430a b −≥，解得0b ≤a 化简即可得到答案．2a =430a b −≥，∴0b ≤，∴2a2a =−∴2a =−故答案为：2a −a及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键．三、解答题【答案】1a =，1b =．【分析】根据同类二次根式的定义列方程即可求出．【详解】解：最简二次根式122543a a a b +=⎧∴⎨+=+⎩解得：11a b =⎧⎨=⎩ 即1a =，1b =．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．【答案】【分析】根据二次根式的性质和非负数的性质可得关于x 、y 的方程，解方程即可求出x 、y 的值，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x2﹣12x+＝0，∴x2﹣0，∴（x ﹣6）0，∴x ﹣6＝0，y+4＝0，解得：x ＝6，y ＝﹣4，=【点睛】本题考查了二次根式的性质和非负数的性质以及二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键．【答案】【分析】先把原式的前两项化为最简二次根式，再合并即得结果．【详解】解：原式=2334⋅⋅==【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，属于基本题型，熟练掌握二次根式的加减运算法则是关键．【答案】【分析】根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【答案】−【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可．【详解】解：由题意知，00，x y <<62=2623y x ⨯=2623y x ⨯==−【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．【答案】3x ≤【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，结果化为最简二次根式即可．−≥≥合并同类项得：x ≥系数化1得：x ≤，∴x ≤，∴3x ≤，∴原不等式解集为3x ≤．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法以及二次根式的运算法则是解答本题的关键．【答案】（1（2）（3）m=a ＋b ，n=ab【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可，需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab 去判断a 、b 的值.【详解】解：（1，（2（3）通过以上规律不难发现：m=a ＋b ，n=ab.【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键.【答案】(1)6 (2)1023【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a ；（2）代入a 的值，根据新定义的运算法则即可求解．【详解】（1）∵∴2216a a −=−+， ∴6a =，（2）当6a =时 (2[])a a −※※ 26)[6](=−※※866==14646==−※542234==⨯ 1023=．【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键．【答案】(1)313(1)1,,212(1)n n n n +++ ;(2)221n n n ++【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+⋯+1+()11n n +，求出答案即可．【详解】（1）∵S1=1+22119124+= ，32=； ∵S2=1+2211492336+=，76=； ∵S3=1+221116934144+=，1312； ∵Sn=1+()()()22222211111n n n n n n+++=++，()n n 11n n 1)+++（；（2）解：S=()()11371326121n n n n +++++⋯++=()1111111126121++++++⋯+++n n=1111111n 1223341n n ⎛⎫+−+−+−+⋯+− ⎪+⎝⎭1n 11n =+−+=221n nn ++【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法．【答案】（1（22；（3）【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成22+与−根式的性质化简即可；（2）将10拆成222+与−（312拆成22+与接下来按照二次根式的性质化简即可.【详解】（1（22；（3=.【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键.。

二次根式加减法法则

二次根式加减法法则
二次根式加减法法则：先把各个二次根式化简成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

根式加减法法则是根式的运算法则之一，若干根式相加减，先把各根式化成最简根式，再合并同类根式，并将不同类的根式用运算符号连写在一起。

二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就
叫做合并同类二次根式。

（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的进行合并。

二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最
简二次根式。

（1）乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术
平方根。

（2）除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平
方根。

八年级数学下册二次根式化简

八年级数学下册二次根式化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。

①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。

知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

二次根式的化简

个性化教学辅导教案学科数学教学目标知识点：二次根式的运算和化简考点：二次根式的运算与化简，三角函数的运算能力：掌握二次根式的化简方法与运算技巧方法：注意公式成立的条件及隐含条件的应用难点重点二次根式的化简过程二次根式的化简【学习目标】要求学生必须熟练掌握二次根式的化简熟练进行分母有理化并且牢记平方差公式以及运用【知识要点】什么是最简二次根式（1）被开方数因数是整数，因式是整式．（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a a a⋅=来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22bababa-=-+来确定．如: a b+与a b-，a b a b+-与，a xb y a x b y+-与分别互为有理化因式。

同类二次根式(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

(2)判断方法：注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同.【重难点解析】1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。

如：21223=⨯= 2321832=⨯= 3225052=⨯= 522．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。

如29482379=⨯⨯= 2379⨯，24202553=⨯= 253⨯3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。

如：542x x x x x=⋅=、()()()3232111x x x x x x+=++=()()11x x x x++4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。

如：11333333⨯==⨯、2223233233823233⨯====⨯⨯5．两项的分母有理化，运用平方差公式()()22a b a b a b-=+-，分子分母同时乘以一个有理化因式，将分母中的根号去掉如：()()()()1323213232323232⨯++===+---+6．二次根式的混合运算加减法：先将每一项都化为最简二次根式，然后合并同类二次根式乘除法：根号外面的系数相乘除，根号里面各数相乘除，最后化为最简二次根式如：1121121123362336⨯=⨯⨯，53533332525⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【经典例题】例1、化简二次根式 4515562154108504812⨯⨯例2、写出下列各式的有理化因式32- 25+ 2352- 例3、把下列各式分母有理化（1）121 （2）233 （3）12121 （4）50351- （5）4711- （6）12332- （7）623332++ （8）5353-+（9）2232(23)(32)++++ （10）64332(63)(32)++++〖同步练习〗化简下列各式57 98 162 1536232 312 5353-+ 57325++57325++ 231+ 332232-- 7373+-=⨯259，=+916，=+2286，()()=-226226121699⨯⨯ 637⨯221026- ()()2512-⨯-计算下列各题：（1）()27 （2）243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()223（4）255⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （5）2(4)- （6）22例4、如果最简根式242-++n m n m 和m -13是同类根式，求m 、n 的值。

二次根式的化简方法

二次根式的化简方法二次根式是指含有平方根的代数表达式，通常写为√n的形式，其中n为一个非负实数。

化简二次根式是将其转化为最简形式的过程，使其不再包含平方根。

本文将介绍几种常用的二次根式化简方法。

一、将根式中含有平方数的因子提出当根式中含有平方数的因子时，可以将其提出，从而简化根式。

例如，要化简√12，可以将12拆解为2的因子：√12=√(2×2×3)。

然后，将2的平方数因子2提到根号外面：√12=2√3。

这样，根式被化简为了最简形式。

二、合并同类项当二次根式中含有相同的根号内数字时，可以进行合并操作，简化根式。

例如，要化简√6+√6，可以合并这两个根式：√6+√6=2√6。

同理，对于含有3个或更多相同根号内数字的根式，也可以使用合并同类项的方法进行化简。

三、有理化分母当二次根式的分母含有根号时，可以通过有理化分母的方法进行化简。

有理化分母的基本思想是，将分母有理化，即使其不再包含根号。

具体操作是，将分母乘以其共轭形式的分子和分母，这样可以使分子和分母都为有理数。

例如，要化简1/(√2+1)，可以先将分母乘以其共轭形式的分子和分母：1/(√2+1)×(√2-1)/(√2-1)。

进行乘法运算后，分母变为有理数，分子为1×(√2-1)=√2-1，所以化简后的结果为√2-1。

四、使用平方根的性质使用平方根的性质可以帮助化简二次根式。

以下是几个常用的平方根性质：1. 平方根的乘法性质：√(a×b) = √a × √b，其中a和b为非负实数。

2. 平方根的除法性质：√(a/b) = (√a)/(√b)，其中a和b为非负实数，且b不等于0。

3. 平方根的加法性质：√a+√b≠√(a+b)，这个性质无法直接运用于化简，但可以用来判断是否可以继续化简。

通过运用这些性质，可以将二次根式转化为最简形式。

综上所述，二次根式的化简方法包括将含有平方数的因子提出、合并同类项、有理化分母和使用平方根的性质。

初中数学如何将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式

初中数学如何将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式
当我们需要将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式时，我们可以按照以下步骤进行：
步骤1：确定二次根式的基数和指数。

假设我们要将一个分数a/b减去一个二次根式√c，其中√c的基数为c，指数为1/2。

步骤2：将分数与二次根式相减。

我们有a/b - √c。

步骤3：找到二次根式的共轭形式。

二次根式的共轭形式是指将根号内的正负号取反。

对于√c，它的共轭形式是-√c。

步骤4：将二次根式的共轭形式加到分数中。

我们有(a/b - √c) + (-√c)。

步骤5：合并同类项。

在这个例子中，-√c和-√c是同类项，它们的和为-2√c。

因此，我们可以将它们相加得到a/b - 2√c。

步骤6：化简表达式。

我们得到了a/b - 2√c，这就是最简形式。

因此，将一个分数a/b减去一个二次根式√c并化简为最简形式后，我们得到了a/b - 2√c。

这个例子展示了将一个分数减去一个二次根式并化简为最简形式的步骤。

通过理解这些步骤并进行练习，你将能够在初中数学中处理类似的问题。

记住，熟能生巧，多加练习将帮助你掌握这个技巧。

根号242的最简二次根式

根号242的最简二次根式根号242是一个不太常见的数，它的平方根是一个二次根式。

但是，这个二次根式并不是最简的形式。

那么，如何求出根号242的最简二次根式呢？首先，我们需要知道什么是二次根式。

二次根式是指一个形如√a的数，其中a是一个正整数，且a不含有平方数因子。

例如，√2、√3、√5等都是二次根式。

而√4、√9、√16等都不是二次根式，因为它们可以简化为整数2、3、4等。

那么，根号242是不是一个二次根式呢？我们可以将242分解质因数，得到242=2×11×11。

因为11是一个质数，它不含有平方数因子，所以根号242是一个二次根式。

接下来，我们需要将根号242化简为最简二次根式。

我们可以利用以下公式：√ab=√a×√b这个公式的意思是，如果a和b都是正整数且不含有平方数因子，那么√ab可以化简为√a和√b的乘积。

例如，√6可以化简为√2×√3。

对于根号242，我们可以写成√(2×11×11)的形式。

然后，利用上面的公式，将它化简为√2×√11×√11。

这样，根号242就被化简为了最简二次根式√2×√11×√11。

不过，我们还可以继续化简。

因为√11×√11=11，所以我们可以将√11×√11替换为11，得到√2×11。

这就是根号242的最简二次根式。

综上所述，根号242的最简二次根式是√2×11。

这个答案可以通过将根号242分解质因数，然后利用公式√ab=√a×√b进行化简得出。

虽然这个数不太常见，但是求它的最简二次根式的方法可以推广到其他类似的问题中。