高等数学第十一章第五讲、函数展开为麦克劳林级数

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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( n ) ( x ) n! a n ( n 1)n 3 2a n1 ( x x0 )
第十一章
令 x x0 , 即得
a0 f ( x0 ), a1 f ( x0 ), 1 a2 f ( x0 ), 2! ..............
第十一章
例5 将f ( x) arctan x展开成麦克劳林级数.
5、函数展开为幂级数
1 2 3 n 1 x x x ...... ( x) ....., x (1,1) 解 1 x 1 2 4 6 n 2n 1 x x x ...... (1) x ....., x (1,1) 2 1 x x 1 1 3 1 5 0 1 x2 dx arctan x x 3 x 5 x n 1 2n+1 ......(1) x ......, x [1,1] 2n 1
1 3 1 5 (1) 2 n1 sin x x x x ...... x ....., x (, ) 3! 5! (2n 1)!
n
1 2 1 4 (1) 2 n cos x 1 x x ...... x ....., x (, ) 2! 4! (2n)! a(a 1) 2 a(a 1)(a 2)...(a n 1) n a (1 x) 1 ax x ... x ......, 2! n! x (1,1)
n
第十一章
二、函数展成麦克劳林级数
解
1 2 1 n 已知 e 1 x x ... x ......, 2! n! 将-x代替x，得
x
5、函数展开为幂级数
例3 将f ( x) e- x展开成麦克劳林级数.
x (, )，
1 2 (1) n e 1 x x ... x ......, 2! n!
f
(n)
第十一章
5、函数展开为幂级数
当 x0 =0 时，级数 (0) n f (0) 2 x f (0) f (0)x + x n! 2! n 0 f (0) 3 + x ...... 3! f ( n ) (0) n + x ...... n! 称为麦克劳林级数
n 且 f ( x ) sin( x ) 1 x ( , ) 2 2 n 1 1 3 1 5 x n sin x x x x ( 1) 3! 5! ( 2n 1)!
( n)
x ( , )
第十一章
5、函数展开为幂级数
常见几种函数麦克劳林展开式：
n 0

域内以f(x)为和函数
问题: 1.如果能展开, a n 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
第十一章
设 知
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
5、函数展开为幂级数
，由第四节中幂级数运算性质五，
f ( x) 具有任意阶导数，且幂级数可以逐项微分，即

第十一章
例2 将f ( x) sin x展开成麦克劳林级数.
5、函数展开为幂级数
解
f
( n)
n n ( n) ( x ) sin( x ), f (0) sin , 2 2
f ( 2 n ) (0) 0, f ( 2 n1) (0) ( 1) n , ( n 0,1,2,)
5、函数展开为幂级数
泰勒系数
1 ( n) a n f ( x0 ) n!
( n 0,1,2,)
. 泰勒系数是唯一的, f ( x )的展开式是唯一的
第十一章
于是，幂级数的形式为：

5、函数展开为幂级数
( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n! n 0 f ( x0 ) 2 + ( x x0 ) 2! 称f(x)在Xo处的 f ( x0 ) 3 + ( x x0 ) ...... 3! 泰勒级数 (n) f ( x0 ) n + ( x x0 ) ...... n!
第十一章
5、函数展开为幂级数
课堂总结：
一、泰勒级数

n 0

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
麦克劳林级数
f ( x)
n 0

f
(n)
(0) n x n!
二、 函数展开为麦克劳林级数； 三、 常见的几种函数展开为麦克劳林级数。
第十一章
5、函数展开为幂级数
课后思考
x n
x (, )，
第十一章
5、函数展开为幂级数
例4 将f ( x) ln(1 x)展开成麦克劳林级数.
解
1 2 3 n 1 x x x ...... x ....., x (1,1) 1 x x 1 1 2 1 3 1 n1 0 1 xdx x 2 x 3 x ...... n 1 x ......, x (1,1) 1 2 1 n ln(1 x) x x ...... x ......, x [1,1) 2 n
x arcsin x 利用幂级数展开式, 求极限 lim . 3 x 0 sin x
课后作业
第117页：第54、55、56、57、58题
第十一章
5、函数展开为幂级数
课后反思：
通过对本节课的讲解，发现学生对概念的理 解还行，但对性质的掌握不是太理想； 本节课共有四条性质，每条性质都有证明， 对于每个证明我没有讲解，只是详细说明了每条 性质的应用并给出例子让学生更好的理解掌握 而且，本节课留有十分钟的时间，让学生练 习，总体上来看，还算可以，只是个别学生不听 话。

f
(n)
第十一章
本节主要讨论函数展成麦克劳林级数
f ( x)
n 0
5、函数展开为幂级数
f ( n ) (0) n x n!
常见几种函数麦克劳林展开式：
1 2 3 n n 1 x x x ...... (1) x ....., x ( 1,1) 1 x 1 1 x x 2 x 3 ...... x n ....., x ( 1,1) 1 x n 1 2 (1) n+1 ln(1 x) x x ... x ......, x ( 1,1] 2 n 1
第十一章
5、函数展开为幂级数
第十一章
第五讲
无穷级数
§5. 函数展开为麦克劳林级数
李丽 2012年4月
第十一章
教学目标：掌握把函数展成泰勒级数，掌握如何把函数展
成麦克劳林级数
5、函数展开为幂级数
教学重点：掌握掌握把函数展成泰勒级数，掌握如何把函
数展 成麦克劳林级数
教学难点：理解把函数展成泰勒级数与麦克劳林级数 课时分配：2课时 教学手段：借助多媒体教授式，例举法、课堂训练法
第十一章
5、函数展开为幂级数
例1 将f ( x) ex展开成麦克劳林级数.
x x x (n) e | 1, ( e ) | 1,......,( e ) | x 0 1. 解 x 0 x 0 x
所以e 的麦克劳林级数： f ( n ) (0) n f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n x 1 x x ... x ... n! 1! 2! n! n 0 1 2 1 n 1 x x ... x ...... 2! n! 1 2 1 n x 即 e 1 x x ... x ......, x (, ). 2! n!
f ( x ) a0 a1 ( x x a n ( x x0 ) 0)
n n1 f ( x ) a1 2a 2 ( x x0 ) na n ( x x0 )
n 2 f ( x) 2a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )
第十一章 教学过程：
5、函数展开为幂级数
本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数， 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 f(x)． 如果能找到这样的幂 级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数．
一、泰勒级数
f ( x ) an ( x x0 ) n 存在幂级数在其收敛