含参一元二次不等式解法及简单恒成立分析

[解] 若对任意， x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意
的函数 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所
示．由图象可知，此时 a应该满足
13
???ff??－1?＜3?＜0，0， ??－3＜2－a＜1，
?? 即?
25－6a＜0， 1＋2a＜0，
??1＜a＜5，
???a＞265， 解得 ??a＜－ 12，
一、含参一元二次不等式解法
1、解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
[ 解] 方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为 {x |a＜x ＜－ 1}；
1
当 a＝－1 时，原不等式解集为 ?； 当 a＞－1 时，原不等式解集为 {x|－1＜x＜a}．
??1＜a＜5.
这样的实数 a是不存在的，所以不存在实数 a满足：对任意 x
14
∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
变式 2、已知函数 y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意 a∈[ －3,1]，y＜0 恒 成立，试求 x 的取值范围．
解：原函数可化为 g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次
[解] 由题意可知，只有当二次函数 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4 的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时，才满足题意，
则其相应方程 x2＋2(a－2)＋4＝0 此时应满足 Δ＜0，即12 4(a－2)2－ 16＜0，解得 0＜a＜4.故 a 的取值范围是{a|0＜a＜4}．
变式1、是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒 成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
∴ 1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根． 5
由韦达定理有
?? ? ??
－a＝1＋2， b＝1×2，
得?????ab＝＝－2，3， 代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 由 2x2－3x＋1＞0? (2x－1)(x－1)＞0? x＜12或 x＞1.
6
∴ bx2＋ax＋1＞0 的解集为 ???－∞，12???∪(1，＋∞)．
?? a＞ 0，
?
?Δ
＝b2－4ac＜
0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0，它的解集为 R
的条件为
?? ? ??
a＞0， Δ＝b2－4ac≤0；
一元二次不等式
ax2＋bx＋c1＞0 0 的解
集为
?的条件为
??a＜0，
?
??Δ≤0.
2．若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取 值范围．
2．解关于 x 的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为：
(ax＋1)(x－1)＜0，当 a＝0 时，x＜1，当 a＞0 时???x＋1a???(x
－1)＜0
2
∴－ 1a＜x＜1.当 a＝－1 时，x≠1，
当－1＜a＜0 时，???x＋1a???(x－1)＞0，∴ x＞－1a或 x＜1. 当 a＜－1 时，－1a＜1，∴ x＞1 或 x＜－1a， 综上原不等式的解集是：
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是
x
|x
＜－2
或
x
＞－1 2
，求
ax2
－bx
＋c＞0
的解集．
8
二、不等式恒成立
1、关于 x 的不等式 (1＋m)x2＋mx ＋m＜x2wenku.baidu.com1 对 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围．
[ 解] 原不等式等价于 mx 2＋mx ＋m－1＜0，对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立．当 m≠0 时，由题意，
得
?? m ＜0， ???Δ＝m 2－4m
?m
－1?＜0
?
?? m ＜0，
? ??
3m
2－4m
＞0
?
??m＜0， 9
? ??
m＜0，或m＞43
?
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法 ] 不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只 需?????aΔ＞＝02，2－4×2a＜0， 解得 a＞12.综上，所求实数 a 的1取1 值范围为 ???12，＋∞???.
2、已知 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4， 如果对一切 x∈R，f(x)＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ
进行讨论；
4
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
3、已知关于 x 的不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，求
关于 x 的不等式 bx2＋ax＋1＞0 的解集．
[解] ∵ x2＋ax＋b＜0 的解集为 {x|1＜x＜2}，
函数．要使对任意 a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足
??g?1?＜0， ???g?－3?＜0，
即???
??
x x
2－2x＋4＜0， 2－10x＋4＜0.
15
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数y
＝x 2＋2(a－2)x ＋4，对任意 a∈[ －3,1]，y＜0恒成立．
[类题通法 ] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分， 是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下7 方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的，三者之间相互依存、 相互转化．
当
a＝0
时，{x|x＜1}；当
a＞0
时，????x|－1a＜x
＜1???；
?
当
a＝－1
时，{x
|x≠1}；当－1＜a＜0
时，
???x
|x
＜
3
1或x
?
＞－1a????.
当
a＜－1
时，???x|x
?
＜－1a或x
＞1???，
?
[类题通法 ]
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小