小学奥数同余问题

同余问题（一）

在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再

过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号

37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7 “三”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■

2. 同余的性质

（1）-，-•:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）

（2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性）

（3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性）

1- 」（称为同余的可乘性）

（5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：

如果詔 -：1- ■- '■-

那么日瑤严的差一定能被k整除）

这是为什么呢？

® d；- 上）

a=充7〕4鬥

盘一B =切［+ 口一（舫2 +与）

二切-切-金）

k也就是■二的公约数，所以有…一-

■ k\（a -町

下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】

例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答：

假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412・笳6讷化57-1辺，

说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

(巧5, 124, 279) =31

所以a最大是31 o

例2. 除以19,余数是几？

分析与解答：

如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

249.2(uodl9)

388 = 8(mod 19)

234要乳m初19)

234x 388x249 = 6x8x2(mod!93

6x8x2 =

所以一 I .： 1.：

此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

222 (2)

' ------ V ------ '

例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？

分析与解答：

222 (2)

吃这个数除以13,商是有规律的。

222 (2)

、-- V------- '

1997个2 亠13= 170940170940...

商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是

我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o

余数是几呢？

222 (2)

' ----- V ------ '

® 199亍个2 -^13 = 170^40170940....

1995^ 6= 332 (4)

则'丄「」_

所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5

【模拟试题】(答题时间：20分钟)

1. 求下列算式中的余数。

111......1 222 (2)

J v、 _______________________________________ 晋 /

(1) (2) '.1.

333......3 444 (4)

K. j »」

(3) 十二(4) ■■■ ■■ ■'"■■■ _二

2. 6254与37的积除以7,余数是几？

3. 如果某数除482, 992，1094都余74,这个数是几？

同余问题(二)

【例题分析】

例1. 除以7,余数是几？

分析与解答：

@ 1997^7= 285 (2)

..1997- 2(mod7)

1997100三0(1110(17) 性鄭

21 三2Cmod7)

22 =4(mod7)

23 ■ l(mod7)

W计x23x ……X21

_______________ __ /

劳个

=lx 1 xl x.... 乂2

-2(mod 7)

..1997100- 2(mod7)

例2. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余1,这个自然数最小是几？

分析：假设这个自然数为a

那么二；」丄1；

a - 3(tnod 5)

a = l(mod7)

这道题考虑的困难是它们的余数不相同。

如果把这道题改一下，使它们的余数相同，禾I」用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么，这个自然数若减去2,便同时是3, 5, 7的倍数，这样的自然数有：

105, 210, 315,……

分别被3, 5, 7除余2的数是

2, 107, 212, 317,……

最小的自然数是2。

回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？

稍加变式，可以写成：

” 5 ■ 8(mod 3)