对选课系统进行数学建模分析

5.1.1 建立问题 1 模型 第 i 门课程，
xi 1
决策变量：学生是否选修第 i 门课程用 0-1 型变量 时表示选修了第 i 门课程。
count xi
i 1 10
xi
表示，课程数
。
约束条件：每位同学至少选修 2 门数学课，3 门运筹学课，2 门计算机课；选修 概率论必须选修微积分和线性代数，选修应用统计学必须选修概率论，选修最优 化方法必须选修微积分和线性代数，选修数学实验必须选修微积分、线性代数和 计算机编程， 选修数据结构必须选修计算机编程，选修计算机模拟必须选修计算
5.2 模型求解
5.2.1 问题 1 模型求解 输入如图 1 所示： 使用 lingo 软件对该数学模型进行求解。
图 1 问题 1 的求解语句
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输出如图 2 所示：
图 2 问题 1 的求解结果
分析输出结果可知：仅考虑选课数目最少时，最佳选择方案为： 微积分、线性代数、最优化方法、计算机编程基础、数学实验、计算机模拟 5.2.2 问题 2 模型求解
3. 模型假设
此次分析不考虑学生个人兴趣这一因素。
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4. 符号说明
course 为选修的课程的数组
count
为最终选课方案中选修课程的数目 为最终获得的学分
credit x a b
为选修课程的变量 为选修课程数量所占的权重 为最终能获得的学分所占的权重
5. 模型的建立与求解 5.1 模型建立
比如：
多目标规划求解主要有加权系数发和分层序列法，下面采用加权系数法求 解。 加权系数法是给两个目标设定不同的权重， 然后做成线性组合构成一个目标
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函数。即令 z a count b credit ，其中 a 0 ， b 0 ，且 a b 1 。 权重系数 a 和 b 反应两个目标之间相对的重要程度。 使用 lingo 软件对该数学模型进行求解。 输入如图 3 所示：
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1. 问题重述
某学校规定， 运筹学专业的学生毕业时至少学习过两门数学课、三门运筹学 课和两门计算机课，那么： 毕业时学生最少可以学习哪些课程？ 如果某个学生既希望选修最少课程，又希望所获得的学分多，他可以选修哪 些课程？
2. 问题分析
现在各大高校为了能够体现因材施教的原则，为了能够拓宽学生的知识面， 提高人才培养质量开设了选修课，让学生自主选择自己感兴趣的课程。 在这一措施下，学生选择课程的因素有很多，自己的兴趣、学校规定范围、 选修课程数量、最终可以获得的学分。
5.1.2 建立问题 2 模型 第 i 门课程，
xi 1
决策变量：学生是否选修第 i 门课程用 0-1 型变量 时表示选修了第 i 门课程。
count xi
i 1 10
xi
表示，
xi 0
时表示没有选
目标函数：总课程数 最终所获得的学分
，
credit 5 x1 3 x2 3 x3 4 x4 4 x5 2 x6 2 x7 4 x8 2 x9 3 x10
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选修课程问题
摘要：
本文给出了选修课程系统中的课程选择的模型及算法。利用多目标规划和 0-1 规划对该问题进行分析求解。课程选择的主要因素依次考虑：选课的所属类 别、选课数量、总学分，通过比较，给出最佳的选课方案。 针对第一个小问题，运用 0-1 规划对问题进行分析求解 针对第二个小问题， 在第一个小问题的基础上，同时考虑选修课程所得的总 学分最高，运用多目标规划进行分析求解。 关键词：多目标规划 0-1 规划
0-1 型变量。 由此得到问题 1 的数学模型：
10 Min count xi i 1 Max credit 5 x 3 x 3 x 4 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 题 选修课程问题
某学校规定， 运筹学专业的学生毕业时至少学习过两门数学课，三门运筹学 课和两门计算机课，这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程要求如 表所示，那么毕业时学生最少可以学习这些课程中的哪些课程？ 如果某个学生既希望选修最少课程，又希望所获得的学分多，他可以选修哪 些课程？
课程编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课程名称 微积分 线性代数 概率论 应用统计学 最优化方法 计算机编程基础 数学实验 数据结构 计算机模拟 预测与决策 学分 5 3 3 4 4 2 2 4 2 3 所属类别 数学 数学 数学 数学、运筹学 数学、运筹学 计算机 运筹学、计算机 数学、计算机 运筹学、计算机 运筹学 微积分、线性代数、计算机编程 计算机编程 计算机编程 概率论、应用统计学 微积分、线性代数 概率论 微积分、线性代数 先修课程
约束条件：每位同学至少选修 2 门数学课，3 门运筹学课，2 门计算机课； 选修概率论必须选修微积分和线性代数，选修应用统计学必须选修概率论，选修 最优化方法必须选修微积分和线性代数，选修数学实验必须选修微积分、线性代 数和计算机编程， 选修数据结构必须选修计算机编程，选修计算机模拟必须选修
x 计算机编程，选修预测与决策必须选修概率论和应用统计学。另外， i 必须是
两个目标函数一个要最大，一个要最小，可以变成都求最大或都求最小。
10 Max count xi i 1 Max credit 5 x 3 x 3 x 4 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 机编程，选修预测与决策必须选修概率论和应用统计学。另外， i 必须是 0-1
型变量。 由此得到问题 1 的数学模型：
Min count x i
i 1 10
x1 x2 x3 x4 x5 x8 2
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x4 x5 x7 x9 x10 3 x6 x7 x8 x9 2 x1 x2 2x3 0 x1 x2 2 x5 0 x1 x2 x 6 3 x7 0 x6 x8 0 x6 x9 0 x3 x4 0 x3 x4 2 x10 0
2.1 问题 1 分析
问题 1 要解决的是：选修课程最少。 解决问题 1 时，把选修课程数量作为主要因素，也就是说，在学校规定范围 内选修的课程数最少。
2.2 问题 2 分析
问题 2 要解决的是：选修课程最少且所获学分最多。 解决问题 2 时： 要将选修课程数目以及最终可以获得的学分都考虑在内。最 佳选课方案则需要看两者各自所占权重。最终得出最佳方案。
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摘要：................................................................................................................................................. 2 1. 问题重述........................................................................................................................................ 4 2. 问题分析........................................................................................................................................ 4 2.1 问题 1 分析.......................................................................................................................... 4 2.2 问题 2 分析........................................................................................................................... 4 3. 模型假设........................................................................................................................................ 4 4. 符号说明........................................................................................................................................ 5 5. 模型的建立与求解........................................................................................................................ 5 5.1 模型建立............................................................................................................................... 5 5.1.1 建立问题 1 模型........................................................................................................5 5.1.2 建立问题 2 模型........................................................................................................6 5.2 模型求解............................................................................................................................... 7 5.2.1 问题 1 模型求解........................................................................................................7 5.2.2 问题 2 模型求解........................................................................................................8 6. 参考文献...................................................................................................................................... 13