平稳随机信号谱分析
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experiment number = 49; %学号49 I = 8; %幅值为8 u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5; N = 64; C0 = 1; %计数 p(1) = exp(-u);for m = 2:N k = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/222(){()()}(2)!m k mk m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X XC m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
随机信号课件第二章 平稳随机过程的谱分析
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2
X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
0 0
2018/10/2220例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中 a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度S X ( ) 的平稳随 为常数， 机过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) cos0e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4
X X (T , ) xT (t )e jt dt
x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
0 0
，
A
e
( j ) 0
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
02实验二：随机信号平稳性分析
实验二 随机信号平稳性分析一．【实验目的】通过对几个实用随机信号（语音信号，音乐信号）的平稳性分析，加深对随机信号平稳性的理解。
二．【实验环境】1．硬件实验平台：通用计算机，麦克风。
2．软件实验平台：MATLAB 2012A 版本。
三．【实验任务】1. 获取语音信号；2. 使用通过MATLAB 计算语音信号的相关特征，验证语音信号的短时平稳性；3. 撰写实验报告。
四．【实验原理】随机信号的平稳性可以分为严格平稳和广义平稳，分别定义如下：1. 严格平稳性：随机过程{}T t t X ∈),(，如果其任意n 维概率分布函数具有下述的移动不变性：任取n n n R x x x T t t t ∈∈,...,,,...,,2121与，对于满足T t t t n ∈+++τττ,...,,21的任意τ值，始终有),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(21212121τττ+++=n n n n t t t x x x F t t t x x x F成立。
则称X (t ) 具有严格平稳性（或强平稳性），也称X (t )是严格平稳随机信号（或强平稳随机信号）。
2. 广义平稳性：随机过程{}T t t X ∈),(，如果其均值与相关函数存在，并且满足：均值为常数；相关函数与两时刻),(21t t 的绝对值无关，只与相对差21t t -=τ有关，即)(),(),()]([21ττηR t t R t t R t X E =+===常数则称X(t) 具有广义平稳性（或弱平稳性、宽平稳性），也称X(t)是广义平稳随机信号（或弱平稳随机信号、宽平稳随机信号）。
严格平稳性要求全部统计特性都具有移动不变性；而广义平稳性只要求一、二阶矩特性具有移动不变性。
应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号，而严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研究中。
严格平稳性与广义平稳性之间有关系：−−−−−−−−→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪←−−−−−−−−⎝⎭⎝⎭如果其均值与相关函数存在不一定是严格平稳广义平稳 过程 过程上述关系式指出，广义平稳信号通常不一定是严格平稳的。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
10-第10章平稳随机信号
本章目录
随机信号及其特征描述
平稳随机信号
信号处理中的最小平方问题
功 Matlab实现
2
1.1随机信号及其特征描述
基本概念
随机信号分为平稳和非平稳两类。平稳随机信号又 分为各态遍历和非各态遍历。各态遍历的平稳随机过程 中的一个样本的时间均值和集的平均值相等，因此一个 样本的统计特征代表了随机信号的总体，简化研究。 平稳随机过程在时间上是无始无终的，即其能量是 无限的，本身的傅里叶变换也是不存在的，但功率是有 限的。通常用功率谱密度来描述随机信号的频域特征， 这是一个统计平均的频谱特性。 平稳随机过程统计特征的计算要求信号x(n)无限长， 而实际上这是不可能的，只能用一个样本，即有限长序 列来计算。因此得到的计算值不是随机信号的真正统计 值，而仅仅是一种估计。
k
rx (k )e jwk
11
[ x( n , i )
i 1 1
N
* X
(n1 )] [[ y (n2 , i ) X (n2 )]]
如果CXY(n1,n2)=0, 则随机信号X(n),Y(n)是互不相关,且
rXY (n1 , n2 ) E X * (n1 )Y (n2 ) * X ( n1 ) Y ( n2 )
PX (e )
j m
rx (m)e jm
随机信号X(n)、Y(n)的互功率谱
PXY (e )
j m
rXy (m)e jm
8
功率谱的性质
PX(ejw)是w的实函数，因此功率谱失去了相 位信息。
PX(ejw)对所有的w是非负的。 若X(n)是实的，则PX(ejw)是w的偶函数。 功率谱曲线在（-π，π）内的面积等于信号 的均方值
随机信号平稳特性分析
fy =0.0459*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-y^2/8)
代码：
clc,clear,close all
x=-5.0:0.1:5;
y=-5.0:0.5:5;
%[x y]=meshgrid(-5:0.1:5);
N(0,3)
均值：0.0119
均方根：2.9445
方差8.6702
时域图、概率密度、频谱：
功率谱密度、自相关函数：
N(2,3)
均值：1.9509
均方根：2.9494
方差8.6989
时域图、概率密度、频谱：
功率谱密度、自相关函数：
代码略。
3.统计分布：二维正态分布（X,Y），N（0,1；0,4；0.5）的联合概率密度为 ，求二维正态分布 ，并用波形图来表示。
4.对N（0,1）正态分布随机数取几个不同的样本值，计算它们的数字特征，分析是否满足平稳性和遍历性。
选取了四个不同的样本值X1、X2、X3、X4，每一个பைடு நூலகம்本的长度为1000，均值分别为0.0385、-0.0144、-0.0249、0.0314，都约为0，所以X(n)均值可近似看作常数0。
自相关函数R仅跟m有关且Rx(0)<∞。
%syms y x z
%z = 1/(2*pi*sqrt(3)).*exp(-2*(x.^2-0.5*x*y+0.25*y.^2)/3);
fy=(6621238954613787*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-y.^2/8))/144115188075855872;
fx=(6621238954613787*6^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x.^2/2))/72057594037927936;
随机信号分析实验报告
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experimentnumber = 49; %学号49I = 8; %幅值为8u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5;N = 64;C0 = 1; %计数p(1) = exp(-u);for m = 2:Nk = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k m k m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X X C m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
平稳随机信号
X M (e j ) 2 2M 1
功率谱原始定义，包含了求均值和求极限两个运 算，即：既要求时间平均，又要求集总平均。
功率谱定义2
Wiener-khintchine定理
rX
(m)
1 2
PX (e j )e jmd
rX
(0)
1 2
PX (e j )d E[ X (n) 2 ]
反映信号的平均功率
三、平稳随机信号的功率谱 power spectral density, PSD
自功率谱 PX (e j ) rX (m)e jm m
互功率谱 PXY (e j ) rXY (m)e jm m
功率谱反映信号的功率在频域随频率ω 的分布，又称为功率谱密度。
三、平稳随机信号的功率谱
一、平稳随机信号的定义
分类
严平稳 strict-sense stationary 宽平稳 wide-sense stationary，WSS
如果对N=1，2，…∞都成立，则称X(n) 是严平稳或狭义平稳的随机信号
pX (x1,, xN ;n1,,nN ) pX (x1,, xN ;n1k ,,nNk )
4.功率谱曲线在(-π,π)内的面积等于信号 的均方值(总的平均功率)。
定义：
PXY (e j ) rXY (m)e jm m
为随机信号x,y 的互功率谱
rXY
(n1, n2
)
E{X
* (n1 )Y
(n2
)}
lim
N
1,i)
例1 随机相位正弦波
X (n) Asin(n ), p() 1 , 2
实际中的大部分信号都可看作 是宽平稳的。处理方便。
二、平稳随机信号的自相关函数
信号处理课件第10章-1平稳随机信号
X, Y 不有关
rxy (n1, n2 ) E X (n1)Y (n2 )
E
X (n1)
E
Y
(n2
)
x
(n1
)
y
(n2
)
两个信号相互独立，有
p(x, y) p(x) p( y)
10.2 平稳随机信号
若 X (n) 满足：
1. x (n) E{X (n)} x
2. E{ X (n) 2} 3. rx (n1, n2 ) E{X（* n）X (n m)} rx (m)
X x1,
, xN T , x1 ,
T
, xN
随机向量
均值向量
X旳每一种元素 x1, , xN 都是随机变量，
均值： xi E xi,i 1, 2, , N
方差： E X X T 矩阵
E X X T
2 1
cov x2
,
x1
cov
xN
,
x1
cov x1, x2
E X (n) 2 E X (n m) 2 rx2 (0)
2. rx (m) rx (m)
rx (m) rx (m)
偶对称 Hermitian对称
3. rx y (m) ryx (m)
rxy (m) ryx (m)
相互关
4.
2
rx (0)ry (0) rxy (m)
rx (0) ry (0) 2 rxy (m)
1 d1( X )
1
类1
2
2
类2
“距离”怎样计算
di (X )
1 2
(X
i )T
i1( X
i )
Mahalanobis 距离
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。
因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
实验二平稳随机过程的谱分析
实验二平稳随机过程的谱分析谱分析是对平稳随机过程的频率特性进行研究的一种方法。
它通过分析随机过程在不同频率下的能量分布，可以揭示出随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
在实验二中，我们将以一个平稳随机过程为例，详细介绍谱分析的方法和步骤，并通过具体的实例来说明如何进行谱分析。
首先，我们需要明确谱密度函数的概念。
谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为随机过程在单位频率范围内的功率谱与单位频率之比。
一般地，谱密度函数可以通过傅里叶变换和自相关函数计算得到。
接下来，我们需要计算随机过程的自相关函数。
自相关函数反映了随机过程在不同时刻之间的相关性，其定义为随机过程在不同时刻的取值之积的期望。
通过计算自相关函数，我们可以得到随机过程的自相关系数和自相关函数的性质。
然后，我们可以通过自相关函数计算随机过程的功率谱密度函数。
功率谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为自相关函数的傅里叶变换。
通过计算功率谱密度函数，我们可以得到随机过程的频谱特性。
在进行谱分析时，我们需要选择适当的算法和工具进行计算。
常见的算法包括周期图法、Welch法和傅里叶变换法。
周期图法是一种通过周期图对随机过程进行频谱分析的方法，其步骤包括选择窗函数、计算周期图和计算功率谱密度函数。
Welch法是一种通过分段计算随机过程的频谱的方法，其步骤包括选择窗函数、选择段数、计算每一段的频谱并对它们求平均。
傅里叶变换法是一种通过对随机过程进行傅里叶变换得到频谱的方法，其步骤包括对随机过程进行傅里叶变换和计算功率谱密度函数。
最后，我们可以通过绘制频谱图来直观地表示随机过程的频谱特性。
频谱图是将频率作为横坐标、功率谱密度函数的取值作为纵坐标，以直方图或曲线的形式展示出来。
通过观察频谱图，我们可以得到随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
综上所述，谱分析是一种揭示平稳随机过程频率特性的重要方法。
通过计算自相关函数和功率谱密度函数，并绘制频谱图，可以得到平稳随机过程的主要频率成分和其相应的能量，进而对随机过程进行频域分析。
现代信号处理实验一平稳信号产生及时频分析实验结果-
若平稳信号 X 为实信号，则其自相关函数：
xx (m) xx (m)
即 xx (m) 为偶函数； 若平稳信号 X 为复信号，则：
* xx (m) xx (m)
（1-19）
（1-20）
即， xx (m) 是 Hermitian 对称的。 性质 3 若平稳信号 X、Y 为实信号，则其互相关函数：
虽然反映系统动态特性的这些参数的求取可以根据定义式通过输入幅度为单位值的不同频率的正弦信号或单位冲激测量相应的输出响应来求得但这两种方式既费时又不准确而且还存在不能实现在线识别即系统在工作状态下进行动态特性测量的共同缺点
实验一
随机信号的产生及时频域表征
一、 实验目的
1、 掌握平稳随机信号的产生，平稳随机信号在时域的描述和频域上的描述及表征，并用 Matlab 实现。 2、 掌握平稳随机信号在平稳随机信号的统计特性分析，包括：自相关函数、互相关函数及相 关系数的分析。
(1-26)
m
令z e
j
，得到：
Pxx (e j ) xx (m)e j m
Pxy (e ) xy (m)e
j
(1-27)
j m
功率谱反映了信号的功率在频域上随频率 的分布，所以也称 Pxx (e ) 和 Pxy (e ) 为功率谱密
式中的 n2 n1 ，则称 x(n) 是宽平稳的随机信号。
(1-4)
宽平稳信号是一类重要的随机信号。在实际中，往往把所要研究的随机信号视为宽平稳的，这 样将使问题的研究大为简化。而且事实上，自然界中的绝大部分随机信号都是宽平稳的。 对于一平稳随机信号 x(n) ，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶特性和单一 样本函数在长时间内的统计特性一致，则称 x(n) 为各态遍历信号。对于各态遍历信号，可像确定性 的功率信号那样来定义一阶和二阶数字特征。
电子科大随机信号分析教学课件平稳性与功率谱密度
性与功率谱密度
目录
• 平稳性与功率谱密度概述 • 平稳随机信号的性质 • 随机信号的功率谱分析 • 随机信号的平稳性检验 • 平稳随机信号的生成方法 • 平稳随机信号的应用场景
01 平稳性与功率谱密度概述
平稳性定义
平稳性是指随机信号的统计特性不随时间的推移而改变的性 质。具体来说，如果一个随机信号的均值和方差在时间上保 持恒定，并且在不同的时间点上具有相同的概率密度函数或 概率质量函数，则该信号被认为是平稳的。
B
生物医学工程
在生物医学工程领域，心电图、脑电图等信 号的功率谱分析可以用于诊断和治疗各种疾 病。
D
04 随机信号的平稳性检验
样本自相关函数检验
总结词
样本自相关函数是检验随机信号平稳性的重要方法之一。
详细描述
通过计算信号的自相关函数，可以判断信号的自相关系数是否随时间的推移而显著变化。如果自相关系数保持相 对稳定，则认为信号具有平稳性；反之，如果自相关系数随时间变化较大，则认为信号是非平稳的。
在实际应用中，许多自然界的随机信号都具有平稳性，如噪声、地震信号、心电 图等。因此，研究这些信号的功率谱密度对于信号处理、通信、地球物理学等领 域具有重要的意义。
02 平稳随机信号的性质
均值与方差
均值
对于平稳随机信号，其均值是常 数，不随时间变化。
方差
平稳随机信号的方差是常数，表 示信号的波动程度。
功率谱密度是频率的函数，表示随机信号在不同频率下的 功率分布情况。在功率谱密度函数中，峰值对应的频率代 表了信号的主要成分，而谱线的形状则反映了信号的频谱 特性。
平稳性与功率谱密度的关系
平稳性是功率谱密度的前提条件。如果一个随机信号是平稳的，那么它的功率谱 密度函数将只与频率有关，而与时间无关。这意味着，对于平稳信号，我们只需 要分析其在某一时刻的功率谱密度，即可了解整个信号的频谱特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• (3)满足总能量有限,即表示
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 这三个条件在信号研究中具有里程碑式的意义。在这样的前提下,一 些在数学领域不可积分的时域信号通过该条件的修正变得可积,实现 了这些信号的频域研究。但是上面的这些条件是基于确定规律下的信 号研究的,并不适用于随机信号。这就要求针对随机信号的不确定特 性,探索出相适应的频谱研究方法。
• 首先把随机过程X (t)的样本函数x(t)任意截取一段,长度为2T ,并记为 xT (t)为x(t) 的截断函数,该截断函数定义如下:
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 其函数如图3.1所示。 • 由图3.1可以看出,对于有限持续时间的xT (t)而言,傅里叶变换是存在
的。
上一页 下一页 返回
• 这里的GX (ω)是ω 的确定函数,不再具有随机性。
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• GX (ω)的物理意义:表示单位频带内随机过程X (t)的频谱分量消耗在 单位电阻上的平均功率的统计平均值。因而GX (ω)被称为随机过程X (t)的功率谱密度函数,简称功率谱密度。功率谱密度是从频域的角度 描述X (t)统计特性的重要数字特征,但是其仅表示X (t)的平均功率在频 域上的分布情况,不包含X (t)的相位信息。
下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 在“信号与系统”课程中,对于傅里叶变换的讨论研究是基于一个特 定的数学定义。该定义是,设x(t)是时间t 的非周期实函数,当且仅当x(t) 满足以下三个条件:第一,x(t)在(-∞,∞)范围内满足狄里赫利条件;第 二,x(t)绝对可积;第三,x(t)总能量有限。在满足上述条件后,x(t)的傅里 叶变换为
3.1 随机信号功率谱定义
• XT (ω)即为xT (t)的频谱函数。 • 根据帕塞瓦尔定理,信号的时域能量和频域能量相等,即 • 能量的频域描述
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 在实际的工程应用中,我们要解决的是随机信号如何运用傅里叶变换 的问题,下面就这个问题予以讨论。
• (1)随机信号样本截断函数功率的定义 • (2)随机信号的样本功率。 • 样本函数的功率定义为
• 这里W 是随机过程X (t)的平均功率。由此可见,随机过程的平均功率 可以由它的均方值的时间平均得到,也可以由它的功率谱密度在整个 频率域上积分得到。
上一页
返回
3.2 随机信号功率谱特征
• 3.2.1 平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数 的关系
• 通过前面的讨论可知相关函数是从时间角度描述过程统计特性的最主 要数字特征;而功率谱密度则是从频率角度描述过程统计特性的数字 特征。两者描述的对象是一个,它们之间必然有一定的关系。
• 下面将证明平稳过程在一定的条件下,自相关函数RX (τ)和功率谱密度 GX (ω)构成傅里叶变换对。
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• XX (ω)就称为x(t)的频谱密度,也就是常说的频谱,一般来说,XX (ω)是 ω 的复函数,即XX (ω)包含了振幅谱和相位谱。仔细分析傅里叶变换 存在的三个基本条件,可以推出如下的结论:
• (1)满足狄里赫利条件就意味着信号在时域应该具有三大特征,即:有限 个极值;有限个断点;断点为有限值。这三大特征必须同时成立,否则就 不能满足傅里叶变换的积分条件。
• 然而,在工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的,不能满足 傅里叶变换的条件。那么随机过程是如何运用傅里叶变换呢? 一个随 机过程的样本函数,尽管它的总能量是无限的,但其平均功率却是有限 值,即
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 若x(t)为随机过程X (t)的样本函数,X (t)代表噪声电流或电压,则Wξ 表 示x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功率。这样,对随机过程的样本函数而 言,研究它的频谱没有意义,研究其平均功率的分布则有意义。为了将 傅里叶变换方法应用于随机信号,必须对过程的样本函数做某些限制, 最简单的一种方法是应用截断函数。
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
•
具备了上述特性。
• 它代表了随机过程的某一个样本函数x(t,ξ)在单位频带内、消耗在1 Ω 电阻上的平均功率。因此可称它为样本函数的功率谱密度函数,记为 GX (ω,ξ)。
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 如果对所有的试验结果取统计平均,得
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 由帕塞瓦尔定理
上一页 下一页 返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 由上述结论,对给定的随机信号,存在定义
• 把该定义视为随机信号的样本功率谱。由上可得GX (ω,ξ)随样本不同 而不同。所谓信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数:①当在整 个频率范围内对它进行积分后,就给出了信号的总功率;②它描述了信 号功率在各个不同频率上分布的情况。
• 3.1.2 随机过程的功率谱密度
• 如果一个确定信号是s(t), - ∞ <t< ∞,满足狄氏条件(绝对可积),即满足
•
,或等价条件
换存在,或说具有频谱
,则s(t)的傅里叶变上一页 下一页 返回源自3.1 随机信号功率谱定义
• 在s(t)和S(ω)之间满足帕塞瓦尔公式
• 等式左边表示s(t)在无穷范围上的总能量,等式右边则表明信号的总能 量也可以在频域把每单位频带内的能量在整个频谱范围内积分得到。
第3章 平稳随机信号谱分析
• 3.1 随机信号功率谱定义 • 3.2 随机信号功率谱特征 • 3.3 联合平稳随机信号的互功率谱 • 3.4 离散平稳随机序列的功率谱 • 3.5 噪声
返回
3.1 随机信号功率谱定义
• 3.1.1 随机信号功率谱研究的意义
• 从频域分析方法的重要性和有效性考虑,自然会提出这样的问题:随机 信号能否进行傅里叶变换? 随机信号是否也存在某种谱特性? 回答是 肯定的。傅里叶变换及频域分析方法,对随机信号而言,同样是重要而 有效的。不过,在随机信号的情况下,必须进行某种处理后,才能应用傅 里叶变换这个工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅里叶变换 的绝对可积条件,即