平稳随机信号谱分析

• 3.1.2 随机过程的功率谱密度
• 如果一个确定信号是s(t), - ∞ <t< ∞,满足狄氏条件(绝对可积),即满足
•
,或等价条件
换存在,或说具有频谱
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,则s(t)的傅里叶变
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3.1 随机信号功率谱定义
• 在s(t)和S(ω)之间满足帕塞瓦尔公式
• 等式左边表示s(t)在无穷范围上的总能量,等式右边则表明信号的总能 量也可以在频域把每单位频带内的能量在整个频谱范围内积分得到。
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3.1 随机信号功率谱定义
• XX (ω)就称为x(t)的频谱密度,也就是常说的频谱,一般来说,XX (ω)是 ω 的复函数,即XX (ω)包含了振幅谱和相位谱。仔细分析傅里叶变换 存在的三个基本条件,可以推出如下的结论:
• (1)满足狄里赫利条件就意味着信号在时域应该具有三大特征,即:有限 个极值;有限个断点;断点为有限值。这三大特征必须同时成立,否则就 不能满足傅里叶变换的积分条件。
• (2)满足绝对可积,即意味着
• (3)满足总能量有限,即表示
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3.1 随机信号功率谱定义
• 这三个条件在信号研究中具有里程碑式的意义。在这样的前提下,一 些在数学领域不可积分的时域信号通过该条件的修正变得可积,实现 了这些信号的频域研究。但是上面的这些条件是基于确定规律下的信 号研究的,并不适用于随机信号。这就要求针对随机信号的不确定特 性,探索出相适应的频谱研究方法。
• 这里的GX (ω)是ω 的确定函数,不再具有随机性。
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3.1 随机信号功率谱定义
• GX (ω)的物理意义:表示单位频带内随机过程X (t)的频谱分量消耗在 单位电阻上的平均功率的统计平均值。因而GX (ω)被称为随机过程X (t)的功率谱密度函数,简称功率谱密度。功率谱密度是从频域的角度 描述X (t)统计特性的重要数字特征,但是其仅表示X (t)的平均功率在频 域上的分布情况,不包含X (t)的相位信息。
第3章 平稳随机信号谱分析
• 3.1 随机信号功率谱定义 • 3.2 随机信号功率谱特征 • 3.3 联合平稳随机信号的互功率谱 • 3.4 离散平稳随机序列的功率谱 • 3.5 噪声
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3.1 随机信号功率谱定义
• 3.1.1 随机信号功率谱研究的意义
• 从频域分析方法的重要性和有效性考虑,自然会提出这样的问题:随机 信号能否进行傅里叶变换? 随机信号是否也存在某种谱特性? 回答是 肯定的。傅里叶变换及频域分析方法,对随机信号而言,同样是重要而 有效的。不过,在随机信号的情况下,必须进行某种处理后,才能应用傅 里叶变换这个工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅里叶变换 的绝对可积条件,即
• 然而,在工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的,不能满足 傅里叶变换的条件。那么随机过程是如何运用傅里叶变换呢? 一个随 机过程的样本函数,尽管它的总能量是无限的,但其平均功率却是有限 值,即
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3.1 随机信号功率谱定义
• 若x(t)为随机过程X (t)的样本函数,X (t)代表噪声电流或电压,则Wξ 表 示x(t)消耗在1Ω电阻上的平均功率。这样,对随机过程的样本函数而 言,研究它的频谱没有意义,研究其平均功率的分布则有意义。为了将 傅里叶变换方法应用于随机信号,必须对过程的样本函数做某些限制, 最简单的一种方法是应用截断函数。
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3.1 随机信号功率谱定义
•
具备了上述特性。
• 它代表了随机过程的某一个样本函数x(t,ξ)在单位频带内、消耗在1 Ω 电阻上的平均功率。因此可称它为样本函数的功率谱密度函数,记为 GX (ω,ξ)。
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3.1 随机信号功率谱定义
• 如果对所有的试验结果取统计平均,得
• 首先把随机过程X (t)的样本函数x(t)任意截取一段,长度为2T ,并记为 xT (t)为x(t) 的截断函数,该截断函数定义如下:
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3.1 随机信号功率谱定义
• 其函数如图3.1所示。 • 由图3.1可以看出,对于有限持续时间的xT (t)而言,傅里叶变换是存在
的。
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3.1 随机信号功率谱定义
• 在“信号与系统”课程中,对于傅里叶变换的讨论研究是基于一个特 定的数学定义。该定义是,设x(t)是时间t 的非周期实函数,当且仅当x(t) 满足以下三个条件:第一,x(t)在(-∞,∞)范围内满足狄里赫利条件;第 二,x(t)绝对可积;第三,x(t)总能量有限。在满足上述条件后,x(t)的傅里 叶变换为
• 这里W 是随机过程X (t)的平均功率。由此可见,随机过程的平均功率 可以由它的均方值的时间平均得到,也可以由它的功率谱密度在整个 频率域上积分得到。
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3.2 随机信号功率谱特征
• 3.2.1 平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数 的关系
• 通过前面的讨论可知相关函数是从时间角度描述过程统计特性的最主 要数字特征;而功率谱密度则是从频率角度描述过程统计特性的数字 特征。两者描述的对象是一个,它们之间必然有一定的关系。
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3.1 随机信号功率谱定义
• 由帕塞瓦尔定理
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3.1 随机信号功率谱定义
• 由上述结论,对给定的随机信号,存在定义
• 把该定义视为随机信号的样本功率谱。由上可得GX (ω,ξ)随样本不同 而不同。所谓信号的功率谱密度函数是指这样的频率函数:①当在整 个频率范围内对它进行积分后,就给出了信号的总功率;②它描述了信 号功率在各个不同频率上分布的情况。
3.1 随机信号功率谱定义
• XT (ω)即为xT (t)的频谱函数。 • 根据帕塞瓦尔定理,信号的时域能量和频域能量相等,即 • 能量的频域描述
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3.1 随机信号功率谱定义
• 在实际的工程应用中,我们要解决的是随机信号如何运用傅里叶变换 的问题,下面就这个问题予以讨论。
• (1)随机信号样本截断函数功率的定义 • (2)随机信号的样本功率。 • 样本函数的功率定义为
• 下面将证明平稳过程在一定的条件下,自相关函数RX (τ)和功率谱密度 GX (ω)构成傅里叶变换对。