导数复习经典例题分类(含答案)说课讲解

导数复习经典例题分类（含答案）

导数解答题题型分类之拓展篇(一)

编制：王平审阅：朱成2014-05-31

题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立;

经验1:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f'(x) 0得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

经验2:不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元

(即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；第二种：分离变量求最值(请同学们参考例5)；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(f(x) g(x)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立)；参考例4;

1

例「已知函数f(x)

3

x

3

bx

2

2x a，x 2是f (x)的一个极值点.

(I)求f(x)的单调递增区间；(U)若当围.

2 2

x [1, 3]时，f (x) a —恒成立，求a的取值范

3

2x

例 2.设 f (x) , g(x) ax 5 2a(a 0)。

x 1

(1)求f(x)在x [0,1]上的值域；

(2)若对于任意人[0,1]，总存在x0 [0,1],使得g(x。)f(xj成立，求a的取值范围

_ 3 2

例3.已知函数f(x) x ax 图象上一点P(1,b)的切线斜率为 3 , (t 1)x 3 (t 0)

(U)当x [ 1,4]时，求f (x)的值域;

ax 3 2ax 2 b(a 0)在区间 2,1上的最大值是5,最小值是

(U)若t ［ 1,1］时，f (x ) tx 0恒成立，求实数x 的取值

x 3 2J10 例5.已知函数f (x) -y 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ----------- ，函数

a

5

(、-、3bx 2 g(x) f(x) — 3.

a

(1) 若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式；

(2) 若函数g(x)在区间［1,1］上为增函数，且b 2 mb 4 g(x)在区间［1,1］上都成立，求实 数m 的

g(x)

(I)求a,b 的值;

(川)当x ［1,4］时，不等式f (x)

g(x)恒成立，求实数t 的取值范围

例4.已知定义在R 上的函数f(x) —11.

(I)求函数f(x)的解析式;

范围•

取值范围.

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;

经验1已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

第一种：转化为恒成立问题即f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立

问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧)，如果是同侧则不必分

类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

第二种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求

的增或减区间的子集；参考08年高考题；

第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；

特别说明：做题时一定要看清楚“在(a,b )上是减函数”与“函数的单调减区间是

(a,b )”，要弄清楚两句话的区别；经验2:函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势

“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式(组)即可；

例6•已知函数f(x)】x3丄卫x2，g(x) 1

kx，且f(x)在区间(2,)上为增函数.

3 2 3

(1)求实数k的取值范围；(2)若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.

3

例7.已知函数f (x) ax3 3x2 1

a

(I )讨论函数f(x)的单调性。

(II )若函数y f(x)在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

例8.已知函数f(x) = x3—ax2—4x+ 4a,其中a为实数.

(I )求导数f (x) ; ( n )若f ( —1) = 0,求f(x)在［—2, 2］上的最大值和最小值;

(川)若f(x)在(一％,—2］和［2 , +^)上都是递增的，求a的取值范围

例9.已知：函数f (x) x3 ax2 bx c

(I )若函数f (x)的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；

(II )若函数f(x)在x 1和x 3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围•

1

例10.设y f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x -时，f(x)的极小值为1 .

2

(I)求f (x)的解析式；(n)证明：当x (1,)时，函数f (x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.

例11.在函数f (x) ax3 bx(a 0)图像在点(1, f (1))处的切线与直线6x y 7 0.平行，导函数f'(x)的最小值为一12。( 1)求a、b的值；(2)讨论方程f(x) m解的情况 (相同根算一根)。