集合基础训练
集合基础训练题
集合基础训练题一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ， 其中正确的个数为( )(A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个2．下列各对象可以组成集合的是（ ）（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校全体高一学生（C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素， 则集合A ∪B 的元素个数为（ ）(A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5、设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x ≥5} （C ）{x|x ≤1或x ≥5} （D ）{x| x 〈0或x ≥5 }6、设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的 个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7、已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8、已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||2x >或6x <-, x ∈U}, 则C U A ＝（）（A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 }（C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于(A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ） (A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}， 则A －（A －B ）等于（ ）(A) {2，3，6} (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6二、填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．已知集合A ={x |1≤x ＜2}，B ={x |x ＜a };若A B ，求实数a 的取值范围15．已知集合A= 用列举法表示集合A= 16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U (){},6,2=⋂B A C U()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A=三、解答题 17．已知集合A ＝｛x ｜－1＜x ＜3}，A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求集合B ．18．已知集合A={－3，4}，B={x |x 2－2px ＋q =0}，若A ∩B ＝A ∪B ，求实数p ，q 的值．19．集合A ＝｛x ｜x 2－ax ＋a 2－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2＋2x －8＝0｝，若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．20．已知全集U=R ，集合A={},022=++px x x {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A21．已知集合A={}220,,x ax x x R a R -+=∈∈，若A 中至少只有一个元素，求a 的取值范围；22．已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2－2x －8＝0｝，B ＝｛x ∈R ｜x 2＋ax ＋a 2－12＝0｝， A B =A ，求实数a 的取值集合．,612⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈N x N x。
高中数学基础训练测试及参考答案1-10
高中数学基础训练测试题（1）集合的概念，集合间的基本关系一、填空题（共12题，每题5分）1、集合中元素的特征： ， ， .2、集合的表示法： ， ， .3、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 .4、设集合I={1，2，3}，A ⊆I,若把集合M ∪A=I 的集合M 叫做集合A 的配集. 则A={1，2}的配集有 个 .5、设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 . （1）．P Q （2）．Q P （3）．P =Q （4）．P ∩Q =Q6、满足条件∅≠⊂M ≠⊂{0，1，2}的集合共有 个.7、 若集合a B A a a a B a a A 则且},1{},43|,2|,12{},1,1,{22-=+--=-+= = .8、 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有_____个.9、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且AB B =，则实数a ＝______、10、已知集合{}{}A x x x RB x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是_______ .11、 若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 .12、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=⎝⎛+异奇偶）与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.高三数学基础训练测试题（1）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、、已知集合A =}2432{2++a a ，，，B=}24270{2-+-a a a ，，，，A ∩B={3，7}，求B A a ⋃的值及集合.高中数学基础训练测试题（2）集合的基本运算一、填空题（共12题，每题5分）1、已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T =.2、 如果{}|9U x x =是小于的正整数{}1234A =，，，，{}3456B =，，，， 那么U UA B =痧 .3、若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为.4、已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = .5、已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ .6、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于.7、已知集合M =｛直线的倾斜角｝，集合N ={两条异面直线所成的角}，集合P=｛直线与平面所成的角｝，则(M ∩N)∪P= .8、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___、9、设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则MN =___10、设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于.11、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是 .12、设a 是实数, {}22|,210,M x x R x ax a =∈-+-≤{}22|,11,N x x R a x a =∈-≤≤+若M 是N 的真子集,则a 的取值范围是 、高三数学基础训练测试题（2）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0（1）有两个实根；（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；（3）有两个实根，且都比1大；高中数学基础训练测试题（3）命题及其关系一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的.2、 πα≠“”3是α≠1“cos ”2的 .3、“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的.4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： .①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 5、设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的 .6、设集合U={(x,y)｜x ∈R,y ∈R},A ={(x,y)｜x+y ＞m},B= {(x,y)｜22x y n +≤},那么点(1,2)∈()U C A B ⋂的充要条件是 .7、下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等； ②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等； ③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点； ④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点、 其中真命题的序号是 、（写出所有真命题的序号） 8、设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x .若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 .9、对于[0,1]x ∈的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的.10、设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的_______条件. 11、 、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个.12、给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是_____ .高三数学基础训练测试题（3）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知集合()3,12y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =∅．高中数学基础训练测试题（4）逻辑联接词一、填空题（共12题，每题5分） 1、下列语句①“一个自然数不是合数是就是质数”②“求证若x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根” ③“垂直于同一直线的两条直线平行吗？” ④“难道等边三角形各角不都相等吗？” ⑤“x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数” 其中有________个是命题，________个真命题2、命题“方程x 2－1＝0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是________.3、下列四个命题p ：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形q ：π不是有理数；r ：等边三角形是中心对称图形；s ：12是3与4的公倍数 其中简单命题只有________.4、如果命题“p 或q ”是真命题，那么下列叙述正确的为________.（1）．命题p 与命题q 都是真命题 （2）．命题p 与命题q 的真值是相同的，即同真同假 （3）．命题p 与命题q 中只有一个是真命题 （4）．命题p 与命题q 中至少有一个是真命题5、下列说法正确的有________个．①a ≥0是指a ＞0且a ＝0；②x 2≠1是指x ≠1且x ≠－1 ③x 2≤0是指x=0；④x ·y ≠0是指x ，y 不都是0⑤＞是指＝或＜a b a b a b / 6、复合命题s 具有p 或q 的形式，已知p 且r 是真命题，那么s 是________. 7、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是8、分别用“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式．(2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是________的形式． (3)命题“C I A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．(4)x y =1x y =1x =1y =0x =0y =1221122命题“方程组＋＋的整数解是，”是⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩_______的形式． 9、P: 菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分，p 或q 形式的复合命题是________10、有四个命题：(1)空集是任何集合的真子集；(2)若x∈R，则|x|≥x(3)单元素集不是空集；(4)自然数集就是正整数集其中真命题是________(填命题的序号)11、指出命题的结构及构成它的简单命题：24 4x x +-有意义时，2x≠±12、已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．(1)p：2是偶数q：2是质数________；(2)p：0的倒数还是0 q：0的相反数还是0________高三数学基础训练测试题（4）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断此复合命题的真假．(1)A A B/⊆∪(2)方程x2＋2x＋3=0没有实根(3)3≥3高中数学基础训练测试题（5）综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 .2、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，b的取值范围是 .3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101sgn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是 .6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 .7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-8、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2>--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=)(N M U，则实数m 的取值范围是 .9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、 已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _ 12、{25},{121},A x x B x p x p =-<<=+<<-若A B A ⋃=，则实数p 的取值范围是 .高三数学基础训练测试题（5）题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．高中数学基础训练测试题（6）函数及其表示方法一、 填空题（共12题，每题5分）1、若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = ．2、已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 ．3、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．4、已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．5、设函数x xxf =+-)11(，则)(x f 的表达式为 ．6、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .7、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .8、设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，则f (x )= ．9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.10、若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .12、若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，则f (x )= ．高三数学基础训练测试题（6）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、高中数学基础训练测试题（7）函数的解析式和定义域一、 填空题（共12题，每题5分）1、下列各组函数中，表示同一函数的是 ．①xxy y ==,1 ②1,112-=+⨯-=x y x x y③33,x y x y == ④2)(|,|x y x y ==2、函数y =的定义域为 ．3、函数1()1f x n x=的定义域为 ．4、函数1)y a =<<的定义域是 ．5、已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 ．6、下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1 ；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 ．7、若f[g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 ．8、已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= ．9、若函数f(x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f(x )-f (-x )的定义域是 ．10、若f (2x +3)的定义域是[-4,5)，则函数f (2x -3)的定义域是 ．11、函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域为 ．12、 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为 ．高三数学基础训练测试题（7）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：（1）f(x+5)≥f(x)+5；（2）f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．高中数学基础训练测试题（8）函数的值域与最值一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数y = － x 2 + x , x ∈ [1 ,3 ]的值域为 ． ２、函数y =2312+-x x 的值域是 ．３、函数y=2－x x 42+-的最大值是 ．４、函数y x =的值域是 ．５、函数y =的最小值是 ．６、已知函数2323(0),2y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是 ．７、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m],值域为[－425,－4],则m 的取值范围是 ．8、已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，则a 的取值范围是 ．9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 是 ．10、函数y = 3122+---x x x x 的值域为 ．11、已知x ∈[0,1],则函数y =的值域是 ．12、已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ．高三数学基础训练测试题（8）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数f(x) =xax+b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．高中数学基础训练测试题（9）函数的单调性与奇偶性一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的范围是 ．2、函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 ．3、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 ．4、定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = ．5、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．6、函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ．7、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则)2(f 、)2(f 、)3(f 的大小关系为 ．8、构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0 所构造的函数为 ．9、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间为 ．10、下面说法正确的选项为 ．①函数的单调区间可以是函数的定义域②函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 ③具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 ④关于原点对称的图象一定是奇函数的图象11、下列函数具有奇偶性的是 ． ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y .12、已知8)(32009--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = .高三数学基础训练测试题（9）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数、高中数学基础训练测试题（10）函数的图像一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数34x y =的图象是 ．① ② ③ ④ 2、下列函数图象正确的是 ．① ② ③ ④3、若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 ． ①(,())a f a - ②))(,(a f a - ③))(,(a f a - ④))(,(a f a ---4、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 ．5、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 ．6、函数x xx y +=的图象是 ．7、已知()x f 是偶函数,且图象与x 轴有4个交点,则方程()0=x f 的所有实根的和是 ． 8、下列四个命题，其中正确的命题个数是 ．（1）f(x)=x x -+-12有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线. 9、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 ．10、已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集为 ． 11、下列命题中正确的是 ．①当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点③若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数④幂函数的图象不可能出现在第四象限12、定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图像与)(x f 的图像重合、设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：①)()()()(b g a g a f b f -->-- ②)()()()(b g a g a f b f --<--③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<--其中成立的是 ．高三数学基础训练测试题（10）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 如图,已知底角为450的等腰梯形ABCD,底边BC 的长为7,腰长为 22 ,当一条平行于AB 的直线L 从左至右移动时,直线L 把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象、C1、 集合的概念，集合间的基本关系1．确定性 ， 互异性 ， 无序性 .2． 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 . 3． 15． 4． 4 5． （3） 6． 6 个7．0提示：2a-1 =-1，a=0;此类问题要注意验证集合中元素的互异性.8、7提示：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆-集合M 有32=8个.去除M={1,2}，满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有7个. 9、 10,1,2a =提示：A B B =A B ⊆=，{}2|320B x x x =-+== {}1,2，x=1时,a=1;x=2时,a=12、而a=0时,A=φ，满足A B B =. 10、1a ≤提示：{}{}|||4|44A x x x R B x x =≤∈=-≤≤，=， a<0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，= φ,满足A B ⊇a ≥0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，={}|33x x a x a -≤≤+，A B ⊇ 4334aa -≤-⎧⎨+≥⎩ 1a ≤；11、 32-提示：注意到0∆=时集合中只有一个元素，此时集合A 中所有元素之和为-3；0∆≠时，集合A 中所有元素之和为32-.12、41提示： a 、b 同奇偶时，有35个；a 、b 异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6个，共计41个.填41.13、解：∵ A ∩B={3，7} ∴ 7∈A ∴ 7242=++a a ，即 15=-=a a 或当 5-=a 时，B={0，7，7，3} （舍去）当 1=a 时，B={0，7，1，3} ∴ B={0，7，1，3}2．集合的基本运算1、 {}1,2 ；2、{}7,8 ；3、2；4．{}1- ； 5、｛x |2＜x ＜3}； 6、{},0x x R x ∈≠； 7、 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示： M =｛直线的倾斜角｝=[]0,π， N ={两条异面直线所成的角}=0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， P =｛直线与平面所成的角｝=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则(M ∩N)∪P=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、提示：利用韦恩图和()()()U U U C A C B C A B =⋃易求{2,3}A =，{2,4}B =9、 [4,)+∞ 提示：[){| 2.M x y ===+∞，N ＝{}[)2|,4,y y x x M =∈=+∞，则MN = [4,)+∞10、 [)+∞,0提示：{}[){}22|210,,|25M y y x x N x y x x R ==++=+∞==-+= 所以N M ⋂=[)+∞,0；11、 m ≥2提示： {|0}M x x m =+≥，2{|280}(2,4)N x x x =--<=-，U M =（,m -∞-），所以-m ≤-2, 、m ≥2；12、 1,a >或2a ≤-提示：2221011x ax a a x a -+-≤⇔-≤≤+，M N ⊆时2211,11a a a a -≥-+≤+但对边缘值1，-2进行检验知1不合；13、 解：（1）方程有两个实根时，得2[2(m-1)]4(2m+6)0∆=-⨯≥解得m -1m 5≤≥或（2）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得(0)0f <，解得3m <-（3）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得 2(1)12(1)2602(1)112[2(m-1)]4(2m+6)0f m m m m =+-++>--=->∆=-⨯≥ 解得5-14m <≤-3、命题及其关系1、必要不充分条件2、必要不充分条件3、充分不必要条件4、①②④5、必要不充分条件6、35m n ≥≥且7、 提示： ②在空间，不存在点到长方形各边的距离相等； ③在空间，存在到长方体各顶点距离相等的点，但不存在到它的各个面距离相等的点；真命题的序号是①④8、 a 1[0,]2∈提示：┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，所以q 是p 的必要而不充分的条件, 所以p q ⊆，P:|43|1x -≤ 所以112x ≤≤，q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 所以a ≤x ≤a+1，1211a a ⎧≤⎪⎪⎨+≥⎪⎪⎩a 1[0,]2∈； 9必要不充分条件提示：对于[0,1]x ∈的一切值0axb +>恒成立 00a b b +>⎧⎨>⎩所以20a b +>；10、 既不必要不充分条件提示：2x 2+x+1>0和2x 2+x+1>0的解集为R, M=N,111222a b c a b c ==不成立；若212121c c b b a a ==，- x 2+2x-1>0和x 2-2x+1>0，此时 M ≠N11、 8、个.12、 提示：②ab>0时b a b a +=+成立.③若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 且0≠y 则0≠xy ”； 正确命题的序号是①④.13、 解：联立关于,x y 的方程组：()3121150y x a x y -⎧=⎪-⎨⎪+++=⎩．消去y 得到关于x 的方程：()214a x += （*） 由题意，关于x 的方程（*）无解或者解为2x =． 若（*）无解，则20a +=，解得2a =-．若（*）的解为2x =，则()2214a +=，解得5a =． 综上所述，2a =-或者5a =．4、逻辑联接词1．三个是命题，一个真命题；2．使用了逻辑联结词“或”；3．r ；4．（4）5．3个．6．真命题．7．提示：3210x x ∃∈-+>R ，．8．提示：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p (4)p 或q ；9．提示：(1)菱形的对角线互相垂直或互相平分． 10．②③提示： 11．P 且q;p:244x x +-有意义时，2x ≠;244x x +-有意义时，2x ≠-; 12、提示：1．(1)p 或q ：2是偶数或质数，真命题 p 且q ：2是偶数且是质数，真命题 非p ：2不是偶数，假命题．(2)p 或q ：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题． p 且q ：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题． 非p ：0的倒数不是0，真命题．13．解：3(1)p p A A B ．非形式的复合命题：：∪，此复合命题为假．⊆(2)非P 形式的复合命题：p ：方程x 2＋2x ＋3=0有实数根．此复合命题为真．(3)p 或q 形式的复合命题：p ：3＞3为假，q ：3=3为真．此复合命题为真5、综合运用1、 12 ； 2． b<2 ； 3、 92；4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ；7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 2;m ≥提示：M N R ⋂= ；9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为{}24x x ≤<10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>211、 a ≤－2提示：A ={x ||x |≤2，x ∈R }=[-2,2]，B ={x |x ≥a }，且A B ，∴ a ≤－212．3≤p 提示： A B A ⋃= ∴ B A ⊆ ∴3≤p13、解：若p 真，则()22140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.6、函数及其表示方法1．2x 2+7 ； 2．x c b a c y --=； 3．π+1 ； 4． - 4 ； 5．xx+-11 ； 6．－1；7．提示：327223,(72)32f p q =⨯∴=+ 8．提示：设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ， ∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3． 9． 4 ; 10．c b a c b a *+=+)()*(; 11．*,)2019(20N x y x ∈⨯= ； 12．提示：在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x1代换x 得 f (x 1)+2 ;f (x )= x 1 ②，联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 13.显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.7、函数的解析式和定义域一．填空题：1．③ 2．{}|1x x ≥ 3．[4,0)(0,1]-⋃ 4． (2,3] 5．)2,2(-；6．4 7．f (x )=3x 8．15 9．[a ，-a ] 10． {x |-1≤x ＜8} 11．),3[]2,1()1,0(+∞ 提示：由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．12．()2,2-提示： 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2．13：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★）结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5．于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故 g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．8、函数的值域与最值一．填空题：1． {y|164y -≤≤} ；２．(－∞, 23)∪(23,+ ∞) ； ３．2 ；４．(,1]-∞ ；５． ；６．6 ； 7．[23 ,3] ； 8．利用△≥0⇒ a ≥2或a ≤-2． 9．215± 10．.1115|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-y y 提示：将函数整理为：0)13)(1(4)1(,1,013)1()1(22≥+---=∆≠=++---y y y y y x y x y 由可见，得.1115|,1115⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-∴≤≤-y y y 函数的值域为 11．[3,12-]提示：注意到函数y =在［０，１］上是单调递增的，故函数的值域是 [3,12-] ；12．2提示：22+(x+3)=4,14sin ,x+34cos ,[0,]2x πθθθ∴-==∈（1-x ）令于是2sin 2cos sin()4y πθθθ==+=+2,2m M ∴===、13、 f (x ) =x 只有惟一实数解，即xax+b= x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1．9、函数的单调性与奇偶性一．填空题：1．21->k 2．2b ≤- 3．]2,7[-- 4．2)()(x s x s -- 5．1---=x y 6．]0,21[-和),21[+∞ 7．)2()2()3(f f f << 8．R x x y ∈=,2 提示：本题答案不唯一.9．]1,2[-提示：函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-、10．①③ 11．①④提示：①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数、 ②定义域为}21{不关于原点对称.该函数不具有奇偶性、 ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-44)(，)()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性、 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-；当0<x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=---=+-=-；当0=x 时，0)0(=f ；故该函数为奇函数、 故填①④12．-26提示： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =xb ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 、二．解答题： 221)1()1()]([)(24222++=++=+==x x x x f x f f x g 、)()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x)()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x)]2()[)((22212121λ-++-+=x x x x x x由题设当121-<<x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ，则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ，则4,04≥≥-λλ 故4=λ、10、函数的图像1．① 2．② 3． ① ③ 4．121x y +=+ 5．① 6．④7．0提示：()x f 是偶函数，图象与x 轴有4个交点关于一y 轴对称，其横坐标互为相反数，故()0=x f 的所有实根的和是0、 8．1 ，提示：（2）是对的. 9．(2，－2)；提示：f (x )=a x 过定点（0，1），故f (x )=a x －2－3过定点（2，—2）. 10．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)提示：由于函数f(x)是R 上的增函数,且过点A(0,－1)、B((3,1), |f(x+1)| <1的解集为（—1，2），故其补集为(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 11．④提示：0y x =不过点（0，1）；当α<0时，αx y =不过（0，0）；1y x -=在定义域上不是增函数，只有④是对的. 12．①③提示：采用特殊值法.根据题意，可设x x g x x f ==)(,)( ，又设1,2==b a ，易验证①与③成立. 13.（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=73,4710,30,22x x x x y（2）图形如右。
集合经典习题集含答案
[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CB CB ．()()A B A CC ．()()A B B CD ．()A B C4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ；（3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个二、填空题A BC1．用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数）（3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 。
3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。
2022版数学人教A版必修1基础训练：集合的含义与表示含解析
第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示基础过关练题组一集合的含义与元素的特征1.(2021辽宁阜新二中高一月考)下列各组对象不能构成集合的是()A.中国古代四大发明B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数2.(2021山东省实验中学高一月考)下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是()A.P是由元素1,√3,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P是由元素π构成的集合,Q是由元素3.141 59构成的集合C.P是由元素2,3构成的集合,Q是由有序实数对(2,3)构成的集合D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x2=1的解构成的集合3.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求实数x应满足的条件;(2)若-2是集合A中的元素,求实数x的值.题组二元素与集合的关系5.下列所给关系中正确的个数是()①π∈R;②√3∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.A.1B.2C.3D.46.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A7.已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.(1)若-3∈A,求a的值;(2)是否存在实数a,x,使集合A与集合B中的元素相同?题组三集合的表示方法8.下列各组集合中,表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={3,2},N={(3,2)}9.(2020河南周口项城三高高一第一次月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点为()A.{x|y=3x+1}B.{y|y=3x+1}C.{(x,y)|y=3x+1}D.{y=3x+1}∈N,m∈N,m≤10.(2021上海嘉定高一上学期期中)用列举法表示集合{m|m-2310}=.11.用适当的方法表示下列集合:(1)所有能被3整除的整数;(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合;(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值构成的集合B.能力提升练一、选择题 1.()实数1不是下面哪一个集合中的元素( )A.整数集ZB.{x |x =|x |}C.{x ∈N|-1<x <1}D.{x ∈R|x -1x+1≤0}2.(2020山东烟台龙口高一调研,)设集合B ={x |x 2-4x +m =0},若1∈B ,则B =( ) A.{1,3}B.{1,0}C.{1,-3}D.{1,5}3.(2019山西大同一中高一上第一次月考,)方程组{x +y =2,x -y =0的解构成的集合是( )A.{(1,1)}B.{1,1}C.(1,1)D.{1}4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b∈B },则M 中元素的个数为 ( )A.3B.4C.5D.65.(2020山西吕梁中学高一上期中,)设集合A ={x ∈N|3≤x <6},B ={3,4},若x ∈A 且x ∉B ,则x 等于 ( )A.3B.4C.5D.66.(2020山东潍坊一中高一上期中,)已知集合M ={x |x =k 2+14,k ∈Z},N ={x |x =k 4+12,k ∈Z},若x 0∈M ,则x 0与N 的关系是 ( )A.x 0∈NB.x 0∉NC.x 0∈N 或x 0∉ND.不能确定7.(2019四川成都实验外国语学校高一上期中,)已知集合A ={a ,|a |,a -2},若2∈A ,则实数a 为 ( ) A.±2或4 B.2 C.-2 D.4 8.(2020上海洋泾中学高一月考,)给定集合A ,B ,定义A*B ={x |x =m -n ,m ∈A ,n ∈B },若A ={4,5,6},B ={1,2,3},则集合A*B 中的所有元素之和为( )A.15B.14C.27D.-149.(2021山东济宁鱼台第一中学高一月考,)给定集合S ={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x ∈S ,如果x +1∉S ,x -1∉S ,那么x 是S 的一个“好元素”,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有 ( ) A.6个 B.12个 C.9个D.5个二、填空题10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示B = .11.(2020山东济南外国语学校第一次段考,)设a ,b ,c 为非零实数,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |,则m 的所有值组成的集合为 .三、解答题12.(2020江西赣州赣县中学高一上月考,)已知集合M ={1,a ,b },N ={a ,a 2,ab },且集合M 与N 相等,求a ,b 的值.13.(2020上海金山中学高一期中,)设数集A 由实数构成,且满足:若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ∈A.(1)若2∈A ,试证明A 中还有另外两个元素; (2)判断集合A 是不是双元素集合,并说明理由;(3)若A 中元素个数不超过8,所有元素的和为143,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A 中的所有元素.答案全解全析第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示基础过关练1.B2.A3.D 5.B 6.C 8.B 9.C1.B 根据集合的概念,可知集合中的元素具有确定性,可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的,能构成集合,但B 选项中“难题”的标准不明确,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合.故选B . 方法技巧判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性,若考查的对象是确定的,就能构成集合,否则不能构成集合.2.A 由于选项A 中集合P ,Q 的元素完全相同,所以P 与Q 表示同一个集合,而B ,C ,D 中P ,Q 的元素不相同,所以P 与Q 不能表示同一个集合.故选A .3.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三边互不相等,故选D .4.解析(1)根据集合中元素的互异性,可知{x ≠3,x ≠x 2-2x ,x 2-2x ≠3,解得x ≠0且x ≠3且x ≠-1.(2)因为x 2-2x =(x -1)2-1≥-1,且-2是集合A 中的元素,所以x =-2.此时集合A ={3,-2,8},符合题意.5.B 由常见数集的定义知①②正确,③④错误.故选B.6.C 令3k -1=-1,解得k =0∈Z ,∴-1∈A ; 令3k -1=-11,解得k =-103∉Z ,∴-11∉A ; ∵k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A ;令3k -1=-34,解得k =-11∈Z ,∴-34∈A. 故选C .7.解析 (1)由-3∈A 且a 2+1≥1, 可知a -3=-3或2a -1=-3, 当a -3=-3时,a =0; 当2a -1=-3时,a =-1.经检验,0与-1都符合要求. ∴a =0或a =-1. (2)易知a 2+1≠0.若集合A 与集合B 中元素相同, 则a -3=0或2a -1=0.若a -3=0,则a =3,此时集合A 包含的元素为0,5,10,与集合B 包含的元素不相同.若2a -1=0,则a =12,此时集合A 包含的元素为0,-52,54,与集合B 包含的元素不相同.故不存在实数a ,x ,使集合A 与集合B 中元素相同.8.B A 中,集合M 表示点(3,2),集合N 表示点(2,3),故M 与N 不是同一集合;B 中,由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}与{2,3}是同一集合;C 中,集合M 表示点集,集合N 表示数集,故M 与N 不是同一集合;D 中,集合M 表示数集,集合N 表示点集,故M 与N 不是同一集合.9.C 因为集合是点集,所以代表元素是(x ,y ),所以用描述法表示为{(x ,y )|y =3x +1}.故选C .10.答案 {2,5,8}解析 由m ∈N ,m ≤10得m =0,1,2, (10)经检验,可知当m =2时,2-23=0∈N ,当m =5时,5-23=1∈N ,当m =8时,8-23=2∈N ,所以{m|m -23∈N ,m ∈N ,m ≤10}={2,5,8}.11.解析 (1){x |x =3n ,n ∈Z }.(2)(x ,y )-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0. (3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.能力提升练1.C2.A3.A4.B5.C6.A7.C8.A9.A一、选择题1.C 1∉{x ∈N|-1<x <1},故选C.2.A ∵集合B ={x |x 2-4x +m =0},1∈B , ∴1-4+m =0,解得m =3.∴B ={x |x 2-4x +3=0}={1,3}.故选A .3.A 解方程组{x +y =2,x -y =0得{x =1,y =1,用集合表示为{(1,1)},故选A . 4.B 由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,列表如下:a +b a 1 2 3 b 4 5 6 7 5 6 7 8则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 中共有4个元素,故选B . 5.C A ={x ∈N|3≤x <6}={3,4,5}, B ={3,4},由x ∈A 且x ∉B ,知x =5. 6.A M ={x|x =2k+14,k ∈Z}, N ={x |x =k+24,k ∈Z}, ∵2k +1(k ∈Z )是一个奇数,k +2(k ∈Z )是一个整数,∴x 0∈M 时,一定有x 0∈N ,故选A . 7.C 由条件2∈A 可知,a =2或|a |=2或a -2=2,解得a =±2或a =4.由集合中元素的互异性可知a <0,所以满足条件的只有a =-2,故选C . 解题模板由集合中元素的特征求解字母的值的步骤:8.A 由题可知,m =4,5,6,n =1,2,3, 当m =4,n =1,2,3时,m -n =3,2,1; 当m =5,n =1,2,3时,m -n =4,3,2; 当m =6,n =1,2,3时,m -n =5,4,3.所以A*B ={1,2,3,4,5},元素之和为15,故选A .9.A 要不含“好元素”,说明这三个数必须相连,故不含“好元素”的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6种可能.故选A . 二、填空题10.答案 {4,9,16}解析 ∵集合A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },∴t =±2时,x =4;t =3时,x =9;t =4时,x =16,∴B ={4,9,16}. 11.答案 {-4,0,4}解析 因为a ,b ,c 为非零实数,所以当a >0,b >0,c >0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |=1+1+1+1=4;当a ,b ,c 中有一个小于0(不妨设a <0,b >0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1+1+1-1=0;当a ,b ,c 中有两个小于0(不妨设a <0,b <0,c >0)时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1+1+1=0; 当a <0,b <0,c <0时,m =a |a |+b |b |+c |c |+abc |abc |=-1-1-1-1=-4.所以m 的所有值组成的集合为{-4,0,4}. 三、解答题12.解析 由集合M 与N 相等得{1=a 2,b =ab或{1=ab ,b =a 2,解得{a =-1,b =0或{a =1,b =1, 经检验,{a =1,b =1不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,a =-1,b =0.13.解析 (1)证明:∵2∈A ,∴11-2=-1∈A. ∵-1∈A ,∴11-(-1)=12∈A. 又∵当12∈A 时,11-12=2∈A , ∴A ={2,-1,12}.∴A 中还有另外两个元素,分别为-1,12. (2)不是双元素集合.理由:由题意得,若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x∈A ,11-11-x=x -1x ∈A ,且x ≠11-x ,11-x ≠x -1x ,x ≠x -1x, 故集合A 中至少有3个元素,不是双元素集合.(3)由(2)可知若x ∈A (x ≠1且x ≠0),则11-x ,x -1x 都为A 中的元素,∵x ·11-x ·x -1x=-1,且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积,∴A 中元素个数不为3,又∵A 中元素个数不超过8,∴A 中有6个元素,且(11-x )2=1或(x -1x)2=1,解得x =2或x =12.结合(1)可知此时A 中有2,-1,12这三个元素.设A 中其他三个元素分别为m ,11-m ,m -1m (m ≠1且m ≠0),则A =2,-1,12,m ,11-m ,m -1m .∵A 中所有元素之和为143,∴12+2-1+m +11-m +m -1m =143⇒m =-12,3,23, ∴A 中的所有元素为12,2,-1,-12,3,23.。
集合及其运算2
集合及其运算(2)班级 姓名[学习目标]1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算．[基础训练]1．已知集合M ＝{x|－3<x≤5}，N ＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________.2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A∩B＝{2,3}，则m ＝________.3．设集合A ＝{x|2≤x<4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B ＝__________.4．集合P ＝{x ∈Z |0≤x<3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P∩M＝________.5．集合M ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x|y ＝9－x 2，x ∈R }，则M∩N＝________.[典型例题]题型一 与集合有关的运算例1． 设A ＝{x|2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x|6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， 求A ∪B.变式：设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2-4>0}．求A∩B；A ∪B ；(∁R A)∩B；(∁R A)∩(∁R B)；A ∪(∁R B)题型二集合运算的实际应用例2．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的有多少人？变式：高三某班同学中，有象棋爱好者占53%，篮球爱好者占55%，同时爱好这两项的人百分率最多是多少，最少是多少？题型三利用韦恩(Venn)图进行集合的运算例3．已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝________.题型四分类讨论思想在集合运算中的应用例4设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．[随堂练习]1．已知集合P ＝{－2,0,2,4}，Q ＝{x |0＜x ＜3}，则P ∩Q ＝________.2．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝________.3．已知S ＝{(x ，y )|y ＝1，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，则S ∩T ＝________.4．已知集合A ＝{y|y ＝x 2－4x ，x ∈R }，B ＝{y|y ＝－x 2＋4x ，x ∈R }，求A ∩B.5. 已知集合A ＝{x|5<x ≤6},集合 B ＝{x|m+1<x<2m-1},若A ∩B φ≠,求实数m 的取值范围.[反思总结][课后检测]1．设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________．2．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____.3．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________.4． 已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，若9∈(A ∩B )，则实数a ＝________.5．已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 29＋y 24＝1，则A ∩B 的子集个数为________．6．设M＝{a|a＝(2,0)＋m(0,1)，m∈R}和N＝{b|b＝(1,1)＋n(1，－1)，n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N＝________.7．已知集合A＝{x|y＝x2－5x－14}，集合B＝{x|y＝lg(－x2－7x－12)}，集合C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)求A∩B；(2)若A∪C＝A，求实数m的取值范围．8．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．集合及其运算(2)班级 姓名[学习目标]1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算．[基础训练]1．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N ＝________.答案 {x |－3<x <5}解析 画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.答案 3解析 ∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.3．设集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B ＝__________.{x |x ≥2}4．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________.答案 {0,1,2}解析 由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}5．集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [－1,3]解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)[典型例题]题型一 方程解集的运算例1．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B . 【解析】 ∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A ，12∈B .将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0，联立得方程组⎩⎨⎧ 12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4， ∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12， B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13， ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4.题型二集合运算的实际应用例2．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的有多少人？解析由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学人数为x人．20－x＋6＋5＋4＋9－x＋x＝36，x＝8.答案8变式：变式：高三某班同学中，有象棋爱好者占53%，篮球爱好者占55%，同时爱好这两项的百分率最多是多少，最少是多少？53%,8%题型三利用韦恩(Venn)图进行集合的运算例3．已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝________.解析依题意及韦恩图可得，B∩(∁U A)＝{5,6}．答案{5,6}题型四 分类讨论思想在集合运算中的应用例4设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引 解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}． 当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}， A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}． 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0. 综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.[随堂练习]1．已知集合P ＝{－2,0,2,4}，Q ＝{x |0＜x ＜3}，则P ∩Q ＝________.解析：由题易知P ∩Q ＝{2}．答案：{2}2．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝________.解析：∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}，则(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}．答案：{7,9}3．已知S ＝{(x ，y )|y ＝1，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|x ＝1，y ∈R }，则S ∩T ＝________.解析：集合S 表示直线y ＝1上的点，集合T 表示直线x ＝1上的点，S ∩T 表示直线y＝1与直线x＝1的交点．答案：{(1,1)}4．已知集合A＝{y|y＝x2－4x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋4x，x∈R}，求A∩B.A＝{y|y＝(x－2)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4，y∈R}，B＝{y|y＝－(x－2)2＋4，x∈R}＝{y|y≤4，y∈R}，所以A∩B＝{y|－4≤y≤4，y∈R}．≠,求实数m的取值范围.5. 已知集合A＝{x|5<x≤6},集合 B＝{x|m+1<x<2m-1},若A∩Bφ35<<m[反思总结][课后检测]1．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为________．答案 4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．2．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____.答案 1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.3．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝______________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．4．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，则实数a＝________.[自主解答](1)集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．故所求集合中元素的个数为3.(2)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝±3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4，9}，符合题意；当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B 不满足集合中元素的互异性，故a ≠3；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8，4,9}，符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.[答案] (1)3 (2)5或－35．已知A ＝{(x ，y )|y ＝|ln x |}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 29＋y 24＝1，则A ∩B 的子集个数为________．解析：A ∩B 中元素的个数就是函数y ＝|ln x |的图象与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数，如图所示．由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，故A ∩B 的子集有22＝4个．答案：46．设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.解析：设c ＝(x ，y )∈M ∩N ，则有(x ，y )＝(2,0)＋m (0,1)＝(1,1)＋n (1，－1)，即(2，m )＝(1＋n,1－n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝1＋n ，m ＝1－n ，由此解得n ＝1，m ＝0，(x ，y )＝(2,0)， 即M ∩N ＝{(2,0)}．答案：{(2,0)}7．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－5x －14}，集合B ＝{x |y ＝lg(－x 2－7x －12)}，集合C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)求A ∩B ；(2)若A ∪C ＝A ，求实数m 的取值范围．解：(1)∵A ＝(－∞，－2]∪[7，＋∞)，B ＝(－4，－3)，∴A ∩B ＝(－4，－3)．(2)∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A .①C ＝∅，2m －1<m ＋1，∴m <2.②C ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1≥7， 解得m ≥6.综上可得，实数m 的取值范围是m <2或m ≥6.8．设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B .将x ＝2代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上所述，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴①当Δ<0，即a <－3时，B ＝Ø，满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，只有B ＝A ＝{1,2}满足条件，则由根与系数的关系得：即 无解．综上所述，a 的取值范围是a ≤－3.设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，4．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围．解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，∴A ＝{x |2<x <4}．(1)若A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝∅，显然不成立；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4⇒43≤a ≤2； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，此时不等式组无解， ∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2. (2)∵要满足A ∩B ＝∅，当a ＝0时，B ＝∅满足条件；当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2.∴0<a ≤23或a ≥4； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或3a ≥4.∴a <0时成立，综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅. (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a ＝3.2.已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．正解 由x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5，即A ＝{x |－2≤x ≤5}．因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ≠Ø，则2m －1≥m ＋1，解得m ≥2.又B ⊆A ，所以解得－3≤m ≤3.所以2≤m ≤3.②若B ＝Ø，则2m －1<m ＋1，解得m <2.综合①②可知，m 的取值范围为(－∞，3]．6．(2013·南京四校联考)已知集合P ＝{－1，m }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <34，若P ∩Q ≠∅，则整数m ＝________.解析：由条件得m ∈Q ，即－1<m <34，从而整数m ＝0. 答案：07．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．答案：(－∞，－1]∪(0,1)11．(满分14分)A ＝{x |－2<x <－1或x >1}，B ＝{x |a ≤x <b }，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |1<x <3}，求实数a ，b 的值．解：∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3，又A ∪B ＝{x |x >－2}，∴－2<a ≤－1，又A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴－1≤a <1，∴a ＝－1.14． 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解 ∵A ＝{1,2}，B ＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A∪B＝A，∴B⊆A.∴a－1＝2⇒a＝3(此时A＝B)，或a－1＝1⇒a＝2(此时B＝{1})．由A∩C＝C⇒C⊆A，从而C＝A或C＝∅(若C＝{1}或C＝{2}时，可检验不符合题意)．当C＝A时，m＝3；当C＝∅时，Δ＝m2－8<0⇒－22<m<2 2.综上可知a＝2或a＝3，m＝3或－22<m<2 2.。
高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答案
高一数学第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：1)元素的确定性如：世界上最高的山2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
【精品含答案】高考一轮复习1.1集合基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习1.1集合基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2008·深圳模拟）已知集合{}4,3,2,1A =，那么A 的子集的个数是（ ）（A ）3 （B ）16 （C ）5 （D ）42. 满足}3,2,1{A }1{⊆≠⊂的集合A 的个数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）83. （2007·全国Ⅰ）设R b ,a ∈，集合}b ,ab ,0{}a ,b a ,1{=+，则=-a b （ ） （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2-4. （2008·蚌埠模拟）已知集合}{7x 2|x A ≤≤-=，{}1m 2x 1m |x B -<<+=且≠B ，若A B A = ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）4m 3≤≤-（B ）4m 3<<- （C ）4m 2<<（D ）4m 2≤< 5. 已知集合}A x ,1x y |y {B },Z x ,x 1y |x {A 22∈+==∈-==，则B A 为（ ） （A ） （B ）),0[+∞（C ）}1{ （D ）)}1,0{( 6.（2007·陕西高考）设集合}A ,A ,A ,A {S 3210=，在S 上定义运算⊕为：k j i A A A =⊕，其中k 为j i +被4除的余数，3,2,1,0j ,i =，则满足关系式（x ⊕x ）⊕02A A =的)S x (x ∈的个数为（ ）（A ）4 （B ）3（C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上）7. 若集合}02x )6a (ax |x {A 2=+-+=是单元素集合，则实数_________a =。
集合基础练习题100个
集合基础练习题100个1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求并集A∪B。
2. 设A={1,2,3}，B={3,4,5}，求交集A∩B。
3. 设A={1,2,3}，B={3,4,5}，求差集A-B。
4. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，求A的补集。
5. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，判断A是否是B的子集。
6. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，判断A是否与B相等。
7. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的并集。
8. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的交集。
9. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的差集。
10. 设U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={3,4}，求A与B的对称差。
11. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的并集。
12. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的交集。
13. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的差集。
14. 设U={笔、纸、本、书、手机}，A={笔、本、书}，B={书、手机}，求A与B的对称差。
15. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的并集。
16. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的交集。
17. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的差集。
18. 设U={男、女、学生、教师、工人}，A={男、女、学生}，B={学生、教师}，求A与B的对称差。
19. 设U={苹果、香蕉、橙子、西瓜、葡萄}，A={苹果、香蕉、橙子}，B={橙子、西瓜}，求A与B的并集。
数学集合基础练习题
数学集合基础练习题一、单项选择题1. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的结果是：A) {1, 2, 3, 4}B) {2, 3}C) {1, 4}D) {1, 2, 3}2. 若集合A中的元素个数为3，集合B中的元素个数为5，则A×B 的结果是：A) {3, 5}B) {1, 2, 3, 4, 5}C) {2, 3, 4, 5}D) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}3. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，C = {3, 4, 5}，则A∪(B∩C)的结果是：A) {1, 2}B) {1, 2, 3, 4}C) {1, 2, 3, 4, 5}D) {1, 3, 5}4. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A-B的结果是：A) {1, 2}B) {1, 2, 3, 4}C) {1, 2, 5, 6}D) {3, 4}二、填空题1. 若集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的结果是________。
2. 若集合A中的元素个数为3，集合B中的元素个数为5，则A×B 的结果是________。
3. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，C = {3, 4, 5}，则A∪(B∩C)的结果是________。
4. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A-B的结果是________。
三、解答题1. 若集合A = {x | x是偶数，0 ≤ x ≤ 10}，求集合A的元素个数。
解析：集合A中的元素为0, 2, 4, 6, 8, 10，共有6个元素。
2. 若集合A = {x | x是自然数，2 ≤ x ≤ 10}，B = {x | x是质数，0 ≤ x ≤ 10}，求A∩B的结果。
集合经典题型总结练习题与答案
必修一集合集合与第函数概一念章函数及其定义函数的.概念表示方法：列举法、描述法基本关系：交集、并集、补集、全集、属于基本运算交、并、补元素的概念、个数概念定义域、值域对应关系区间：闭开，半开半闭展示发放：图像法、列表增函数单调性基本性质最大、最小值定义义奇偶性；判断方法减函数第二章基本初等函指数函数互为反函数对数函数.a r a s a r s指数与指数幂的运算( a r) s a rs( ab) r a r b r整数指数幂指数幂有理数指数幂无理数指数幂定义定义域 R指数函数性性质值域（ 0,+∞）质图像过定点（ 0，1）单调性对数底数对数真数定义log a ( M N ) log a M log a N与对log a M log a M log a N数运运算N算log a MnMn log a定义定义域对数函数及性值域图象质过点（ 1， 0）性质幂函数定义单调性性质过（ 1,1）奇偶性单调性第三章函数与程函数的应用函数模型及应用.定义关系方程的根与函数的零点零点定理二分法定义用二分法求方程的近视根求根步骤几类不同增长的函数模型函数模型的应用实例建立实际问题的函数模型.集合学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解集合的概念。
2．能在具体的数学环境中，应用集合知识。
3．特别是集合间的运算。
4．灵活应用集合知识与其它知识间的联系，集合是一种方法。
二、知识讲解1.集合的相关概念基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.常见的数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集2集合间的关系任何一个集合是它本身的子集，记为A A；空集是任何集合的子集，记为 A ；空集是任何非空集合的真子集；n 元集的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n 2 个.3.集合间的运算交：AI B{ x | x A,且 x B}并：AUB{ x | x A或 x B}补： C U A{ x U ,且x A}（ 1）A A,A,A U,C U A U,包含关系：B,B C A C;AI B A,AI B B;AUB A,AUB B.A（ 2）等价关系： A B A I B A A U B B C U AUB U （ 3）集合的运算律：交换律： A B B A; A B B A.新课标第一网结合律 : (A B)C A( B C); (A B)C A(B C)分配律 :.A(BC)( A B)( A C); A( B C )( A B)(A C)三、例题精析考点一子集、真子集【例题 1】：集合{ 1,0,1}共有个子集【答案】： 8【解析】： n 元集的子集个数共有2n个，所以是8个。
集合的概念基础训练题(有详解)
集合的概念一、单选题1．下列元素与集合的关系表示正确的是( )①1-∈N*∉Z；③32∈Q；④π∈QA．①②B．②③C．①③D．③④2．下列关系中，正确的是( )A．0∈N+B．32∈Z C．π∉Q D．0∉N 3．下列表示正确的是( )A．0∈N B．27∈N C．–3∈N D．π∈Q 4．下列各组中的M、P表示同一集合的是( )①{}(){}3,1,3,1M P=-=-；②(){}(){}3,1,1,3M P==；③{}{}221,1M y y x P t t x==-==-；④{}(){}221,,1M y y x P x y y x==-==-A．①B．②C．③D．④5．集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为( )A．{x|x是不大于7的非负奇数}B．{x|1≤x≤7}C．{x|x∈N且x≤7}D．{x|x∈Z且1≤x≤7}6．集合{x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为( )A．{0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4}C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}7．方程2=x x的所有实数根组成的集合为( )A．（0，1）B．{（0，1）}C．{0，1} D．{2=x x}8．下面几组对象可以构成集合的是A．视力较差的同学B．2018年的中国富豪C．充分接近2的实数的全体D．大于–2小于2的所有非负奇数○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9．下面给出的四类对象中，能组成集合的是 A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体10．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A ．9B ．5C ．3D ．111．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．1B ．5C ．6D ．无数个12．已知集合A ＝{x ∈N|–1<x<4}，则集合A 中的元素个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．613．已知2{1,0,}x x ∈，则实数x 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±114．已知集合{}A x x 2018=，a 2019=，则下列关系中正确的是( ) A ．a A ∈B ．a A ∉C ．a A ⊆D ．a A =15．方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是（ ）A ．{1}B ．(1,1)C ．{}(1,1)D ．{}1,116．下列四个选项表示的关系正确的是 A ．B ．C ．D ．17．一次函数与的图象的交点组成的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题18．已知集合A ={x ∈N |x 2-2x -4＜0}，则A 中所有元素之和为______三、解答题 19．已知，用列举法表示集合．20．用适当的方法表示下列集合． （1）小于5的自然数构成的集合； （2）直角坐标系内第三象限的点集； （3）偶数集．参考答案1．B 【解析】 【分析】根据正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】①1-不是正整数，∴1-∈N *Z 正确； ③32是有理数，∴32Q ∈正确；④π是无理数，∴π∈Q 错误；∴表示正确的为②③． 故选:B ． 【点睛】本题考查正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 2．C 【解析】 【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】A ：0∉N +，A 错误；B ：32∉Z ，B 错误；C ：π∉Q ，C 正确；D ：0∈N ，D 错误； 故选:C ． 【点睛】本题考查自然数集、正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．A 【解析】 【分析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】N 表示自然数集，在A 中，0∈N，故A 正确；在B中，27N，故B错误；在C中，–3∉N，故C错误；Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误．故选:A．【点睛】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.4．C【解析】【分析】对四组集合逐一分析，由此判断出正确的选项.【详解】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M研究对象是函数值，集合P研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.【点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题.5．A【解析】【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，集合的元素为1,3,5,7，符合题意.对于B选项，集合的元素包括了小数，不符合题意.对于C选项，集合的元素包括0不符合题意.对于D选项，集合的元素包括2,4,6，不符合题意.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查集合的表示方法，考查列举法和描述法，属于基础题.6．C【解析】【分析】解不等式求得x 的范围，再用列举法求得对应的集合. 【详解】由31x -<解得4x <，由于x N *∈，所以123x =,,，故集合为{}1,2,3，故选C. 【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题. 7．C 【解析】 【分析】解一元二次方程求得两个实数根，由此求得所求的集合. 【详解】由2=x x 得()210x x x x -=-=，解得1x =或0x =，故集合为{}0,1，故选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程的解，考查集合的表示，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D 选项，大于2-小于2的所有非负奇数为1，可以构成集合.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查集合元素的确定性，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】集合的元素需要满足确定性.对于A,B,C 三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.对于D选项，到定点的距离等于定长的点为圆，可以组成集合.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查集合元素的确定性，属于基础题.10．B【解析】【分析】根据集合B中元素的特点，求出集合B的所有元素.【详解】B=--,所以集合B中共有5个元素，故选B. 因为集合A＝{0,1,2}，所以集合{2,1,0,1,2}【点睛】本题主要考查集合的表示，明确集合的代表元素是求解的关键.11．C【解析】【分析】直接列举求出A和A中元素的个数得解.【详解】A=，由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}所以A中元素的个数为6.故选：C【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．B【解析】【分析】先根据集合A的限制条件，确定A中的元素，然后可得元素个数.【详解】集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．本题主要考查集合的表示，根据元素的限定条件确定集合的元素，是求解关键. 13．C 【解析】 【分析】根据集合元素和集合的关系确定x 的值，注意元素的互异性的应用． 【详解】 解：{}21,0,x x ∈，21x ∴=，20x =，2x x =，由21x =得1x =±，由20x =，得0x =，由2x x =得0x =或1x =． 综上1x =±，或0x =．当0x =时，集合为{}1,0,0不成立． 当1x =时，集合为{}1,0,1不成立． 当1x =-时，集合为{}1,0,1-，满足条件． 故1x =-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验． 14．A 【解析】 【分析】根据集合A 中元素满足的性质2018,2019x a >=，我们可以判断出元素a 与集合A 的关系． 【详解】因为集合{}|2018,2019A x x a =>=，所以a A ∈．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．【解析】【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来. 【详解】∵2 {0 x yx y+=-=∴1 {1 xy==∴方程组2{x yx y+=-=的解构成的集合是{（1，1）}故选：C．【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．16．B【解析】【分析】根据元素与集合间的关系及表示方法逐项判断后可得正确的结果．【详解】对于A，由于0是一个元素，N是自然数集，所以．故不正确．对于B，由于Q为有理数集，是一个有理数，所以，故正确．对于C，由于是无理数，Q是有理数集，所以，故不正确．对于D，0是一个元素，为空集，不含任何元素，所以，所以D不正确．故选B．【点睛】本题考查元素与集合间的关系及其表示，解题时注意表达方式的正确性，对常见数集的表示符号要准确记忆，属于简单题．17．C【解析】联立两条直线的方程，解方程组求得交点的坐标，进而得出选项.【详解】依题意，联立两条直线方程得，解得，故交点为，交点构成的集合为，故选.【点睛】本小题考查两条直线的交点坐标的求法，考查集合元素的表示方法.在联立两条直线方程求坐标的过程中，主要的方法有加减消元法和代入消元法.两种消元法都可以达到解出目的，两种消元法都是解方程组的重要思想方法.集合的研究对象是点集的话，要写成坐标的形式. 18．【解析】【分析】求解一元二次不等式化简A，则答案可求．【详解】由x2-2x-4＜0，得1-＜x＜1+．∴A={x∈N|x2-2x-4＜0}={0，1，2，3}，∴A中所有元素之和为0+1+2+3=6．故答案为：6．【点睛】本题考查元素与集合间的关系，考查一元二次不等式的解法，是基础题．19．【解析】【分析】通过，可以求出的值，再求出方程的解，然后用列举法表示出集合.【详解】因为，所以，，所以本题考查了已知集合的元素求参数问题，用列举法表示集合.解决本题的关键是正确解方程. 20．（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）用列举法表示集合，自然数集;（2）用描述法表示集合，第三象限内上点横纵坐标都小于零；（3）用描述法表示集合，能被2整除的整数叫偶数.【详解】（1）；（2）；（3）【点睛】本题考查了用不同方法表示集合，其时用描述法表示集合时，也不是唯一的一种表示方法，比如本题的偶数集也可以表示为等等，再有本题的第一个集合也可以用描述法进行表示：等等.。
集合的概念 课后训练
课后训练一、随堂训练1．下列语言叙述中，能表示集合的是( ) A ．数轴上离原点距离很近的所有点 B ．太阳系内的所有行星 C ．某高一年级全体视力差的学生 D ．与△ABC 大小相仿的所有三角形 答案 B解析 对于A ，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A 错误；对于B ，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B 正确；对于C ，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C 错误；对于D ，与△ABC 大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D 错误．故选B.2．下列元素与集合的关系中，正确的是( ) A ．－1∈N B ．0∉N * C.3∈Q D ．25∉R答案 B解析 因为－1不是自然数，所以A 不正确；因为0不是正整数，所以B 正确；因为3是无理数，不是有理数，所以C 不正确；因为25是实数，所以D 不正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4 D ．5 答案 A解析 因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.4．(多选)若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是()A．矩形 B.平行四边形C．菱形 D.梯形答案ABC解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，矩形、平行四边形的对边相等，菱形的四边相等．故选ABC.5．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∉M B．2∈MC．－4∈M D．4∈M答案CD解析当x，y，z同为正数时，代数式的值为4；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选CD.6．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.答案2解析由x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，故集合A中的元素为－1和3，所以a＋b＝2.7．已知集合A是由所有偶数组成的，集合B是由所有奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A.(填“∈”或“∉”)答案∉∈解析因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.8．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a ＝________.答案 0或1解析 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.9．已知集合A 中含有三个元素a －2,2a 2＋5a,12，且－3∈A ，求a 的值． 解 因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，所以a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，集合A 不满足元素的互异性，所以a ＝－1舍去．当a ＝－32时，经检验，符合题意． 所以a ＝－32.10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的所有数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系． 解 因为a ＝－3＝0＋3×(－1)，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ；因为b ＝13－3＝3＋3(3－3)(3＋3)＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋3×(－4)，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .二、课后训练一、基础训练1．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．小于或等于1答案 C解析 由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，得y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0,1}．又t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1.故选C.2．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B答案C解析集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3,10)∈B.故选C.3．由实数x，－x，|x|, x2，－3x3所组成的集合，最多含元素()A．2个B．3个C．4个D．5个答案A解析当x>0时，x＝|x|＝x2，－3x3＝－x<0，此时集合共有2个元素；当x＝0时，x＝|x|＝x2＝－3x3＝－x＝0，此时集合共有1个元素；当x<0时，x2＝|x|＝－3x3＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素．4．由a2,2－a,4所组成的集合记为A.(1)是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(2)若A中只含有两个元素，求a的值．解(1)由题意知，若A中只有一个元素，则这三个数相等，即a2＝2－a＝4，由2－a＝4，解得a＝－2.此时a2＝4，所以符合条件．故当a＝－2时，A中只有一个元素．(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等．当2－a＝4时，a＝－2，由(1)知此时集合A中只含有一个元素，不符合题意；当a2＝4，即a＝2或a＝－2(舍去)时，2－a＝0，故此时集合A中含有两个元素：0,4.当a2＝2－a，即a2＋a－2＝0时，由(a－1)(a＋2)＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，此时a2＝2－a＝1，显然集合A中含有两个元素：1,4.综上，若A中只含有两个元素，则a＝2或a＝1.5．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．解(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，∴a≠0，且a≠1.由a∈S，则11－a ∈S可得11－11－a∈S，即1 1－11－a ＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.故若a∈S，则1－1a∈S.(2)由2∈S，知11－2＝－1∈S；由－1∈S，知11－(－1)＝12∈S，当1 2∈S时，11－12＝2∈S，∴当2∈S时，S中必含有－1和12.(3)证明：由(1)，知a∈S，11－a∈S,1－1a∈S.下证：a，11－a ，1－1a三者两两不相等．①若a＝11－a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠11－a；②若a＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠1－1a；③若11－a ＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴1 1－a ≠1－1a.综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．二、核心素养训练非空集合G关于运算满足：①对任意a，b∈G，都有a b∈G；②存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a c＝c a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．在下列集合和运算中，G关于运算为“融洽集”的是()A．G＝N*，为整数的加法B．G＝N，为整数的加法C．G＝Z，为整数的减法D．G为所有偶数组成的集合，为整数的乘法答案B解析对于A，对任意正整数a，b，都有a＋b为正整数，故有a b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a＋c＝c＋a＝a，故A的G不是“融洽集”；对于B，根据题意可知，当a，b都为非负整数时，a，b通过加法运算还是非负整数，故有a b∈G，且存在一整数0∈G，使得对一切a∈G都有a＋0＝0＋a＝a，所以B的G为融洽集；对于C，对任意整数a，b，a－b仍为整数，故有a b∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有a－c＝c－a＝a，故C 的G不是“融洽集”；对于D，对任意偶数a，b，都有ab为偶数，故有a b ∈G，但是不存在c∈G，使对一切a∈G都有ac＝ca＝a，故D的G不是“融洽集”．故选B.。
集合领军班题目
一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。
规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：（1）；（2）；（3）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则（因为）。
第01讲 集合的概念(基础训练)高一数学考点专项训练(人教A版2019必修第一册)
第01讲 集合的概念【基础训练】一、单选题1．已知集合{}20M xx x =+=∣，则（ ） A ．{}0M ∈B ．M ∅∈C ．1M -∉D ．1M -∈ 【答案】D【分析】先求得集合M ，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.【详解】 因为集合{}{}2001M xx x =+==-∣，，所以1M -∈， 故选：D.2．下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1}C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1} 【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D3．下面有四个语句:∈集合N *中最小的数是0;∈-a ∈N ，则a ∈N ;∈a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2;∈x 2+1=2x 的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根据题意依次判断即可.【详解】因为N*是不含0的自然数，所以∈错误;取a N，∈N，所以∈错误;对于∈，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以∈错误;对于∈，解集中只含有元素1，故∈错误.故选：A4．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（）A．0B．2019C．1D．0或2019【答案】C【分析】根据集合的元素互异性判断即可.【详解】若集合M中有两个元素，则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.故选：C.5．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数 相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B6．下列说法正确的是（ ）A ．所有著名的作家可以形成一个集合B ．0与 {}0的意义相同C ．集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是有限集 D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素【答案】D【分析】根据集合的相关概念逐项分析即可.【详解】所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A 错误；0可以表示一元素，{}0表示的是集合，故B 错误； 集合1,A x x n N n +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭是无限集，故C 错误； 由2210x x ++=得1x =-，则方程的解集为{1},- 故D 正确.故选：D.7．下列元素与集合的关系表示不正确的是（ ）A ．0N ∈B ．0Z ∈C ．32Q ∈D ．Q π∈ 【答案】D【分析】根据元素与集合的关系直接判断即可.【详解】根据元素与集合的关系可得0N ∈，0Z ∈，32Q ∈，Q π∉，故D 不正确，符合题意. 故选：D.8．已知集合A ={2,2,2a a -}，1A ∈，则a 等于（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．1或12【答案】D【分析】 根据属于的定义，结合代入法和集合元互异性进行求解即可.【详解】因为1A ∈，所以21a =或21a =，当21a =时，解得1a =或1a =-，当1a =时，此时集合{}1,2,2A =-，符合集合元互异性，当1a =-时，22a =-，不符合集合元互异性，当2=1a 时，12a =，此时1,2,14A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合集合元互异性， 所以a 等于1或12， 故选：D9．集合{}2|60?M x x x =--=，则以下错误的是（ ） A ．－2∈MB ．3∈MC ．M ={－2，3}D ．M ＝－2，3【答案】D【分析】 解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断.【详解】{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈. ∴A 、B 、C 正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D.10．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）A ．2007年所有的欧盟国家B ．校园中长的高大的树木C ．学校篮球水平较高的学生D ．中国经济发达的城市【答案】A【分析】根据集合元素的确定性进行判断即可.【详解】A ：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；B ：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；C ：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；D ：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，故选：A11．下列各组对象：∈接近于0的数的全体；∈比较小的正整数全体；∈平面上到点O 的距离等于1的点的全体；∈正三角形的全体；.其中能构成集合的组数有（ ）A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组 【答案】A【分析】根据集合元素满足确定性可判断∈∈∈∈∈中的对象能否构成集合，即可得出结论.【详解】∈“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；∈“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；∈“平面上到点O 的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；∈“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；”不确定，不能构成集合；故∈∈正确.故选：A.12．设A ＝{y |y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m ∈A ，则必有（ ）A ．m ∈{正有理数}B ．m ∈{负有理数}C ．m ∈{正实数}D ．m ∈{负实数} 【答案】D【分析】求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果【详解】 解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-，所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭； ∈若m ∈A ，则m ＜0，所以m ∈{负实数}.故选：D.13．(){}2414M x R kx k =∈+≤+，对任意的k ∈R ，总有（ ） A ．2,0M M ∉∉B ．2,0M M ∈∈C ．2,0M M ∈∉D ．2,0M M ∉∈ 【答案】B【分析】依次将0x =和2x =代入讨论求解即可得答案.【详解】解：将0x =代入得440k +≥显然成立，故0M ∈将2x =代入不等式得42422k k +≥+，即()22110k +≥﹣ ，显然成立，∈2M ∈；所以2,0M M ∈∈故选：B .14．能够组成集合的是（ ）A ．与2非常数接近的全体实数B ．很著名的科学家的全体C ．某教室内的全体桌子D ．与无理数π相差很小的数【答案】C【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可【详解】解：A.与2非常接近的数不确定，∈不能构成集合；B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∈不能构成集合；C.某教室内的桌子是确定的，∈可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∈不能构成集合.故选：C.15．下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程x 2﹣2x +1=0的解集是{1，1}D ．偶数集为{x |x =2k ，x ∈N }【答案】B【分析】根据集合中元素的特征进行判断即可，对于A ，由于0不是质数，从而可得结论；对于B ，由集合元素的确定性判断即可；对于C ，由集合中元素的互异性判断；对于D ，由于偶数中也包含负偶数，所以可判断其正误【详解】解：10以内的质数集合是{2，3，5，7}，故选项A 不正确；“个子较高的人”不能构成集合，“个子较高的人”不满足集合的确定性，故选项B 正确；方程x 2﹣2x +1=0的解集是{1，1}，不满足集合的互异性，故选项C 不正确；偶数集为{x |x =2k ，k ∈Z }，故选项D 不正确.故选：B.16．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==+∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【分析】求出集合B ，由此可得出结果.【详解】因为集合{}1,2,3A =，所以，集合{}{},,2,3,4,5,6B z z x y x A y A ==+∈∈=，因此，集合B 中的元素个数为5.故选：B.17．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．2020年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数【分析】根据集合中元素的三要素判断．【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；2020年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于π的正整数分别为1,2,3，所以能够组成集合.故选：B18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由集合元素的互异性可得解.【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.19．在2N,0N ,5Q Z +-∈∈-∈中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据数集的表示方法，逐个判定，即可求解.【详解】由数集的表示方法知N 为自然数集，N +为正整数集，Q 为有理数集，可得2N -∈，0N +∈Q 不正确；5Z -∈正确；故选：A.20．方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．(){}1,2-D ．(){}2,1-【分析】利用代入法和消元法即可求解.【详解】149x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，两式相加可得510x =，所以2x =，将2x =代入1x y +=可得1y =-，所以21x y =⎧⎨=-⎩，所以方程组149x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是(){}2,1-，故选：D21．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果.【详解】当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-；当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个.故选：B.22．设集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，C ={x +y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】直接求出集合C 即可.集合A ={1，2，3}，B ={4，5}，C ={x +y |x ∈A ，y ∈B }，所以C ={5，6，7,8}.即C 中元素的个数为4.故选：B.23．设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 由,A B 中元素求出x y +，重复的不另算，即可得．【详解】,x A y B ∈∈时，x y +的值依次为5,6,6,7,7,8，有4个不同值，即{5,6,7,8}C =，因此C 中有4个元素． 故选：B ．24．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{0}C ．{0,1,1}-D ．{0,1} 【答案】D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：∈当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；∈当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a =-=，解得1a =， 综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ．25．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解. 【详解】因为集合{}1,2A =，{}2,4B =， 所以集合{}2,4,8M =， 故选：C26．下列命题中正确的（ ） ∈0与{0}表示同一个集合；∈由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ∈集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有∈和∈ B ．只有∈和∈ C ．只有∈ D ．以上语句都不对【答案】C 【分析】由集合的表示方法判断∈，∈；由集合中元素的特点判断∈，∈． 【详解】∈{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误； ∈符合集合中元素的无序性，正确； ∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .27．设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中； （1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】将x a =+1）、（2）、（3）中，化简并判断,p q 与,a b 是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】对于（1），由2(a p +=+2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=对于（2）2ab p =+=+,2a p d q ==，一一对应，则{|}y y x X X =∈=对于（3）222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭2222,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x=∈=对于（4），1X -，但方程21x -=无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同 故选：B 28．设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据不等式的特征用列举法表示集合A 进行求解即可. 【详解】因为x ∈Z ，所以当0x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0,1y =±； 当1x =时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =； 当1x =-时，由1,x y y Z +≤∈可得：0y =，当x ∈Z ，1x >时，由1,x y y Z +≤∈可知：不存在整数y 使该不等式成立， 所以{}(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),(1,0)A =--, 因此A 中元素的个数为5. 故选：C29．由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（ ）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】把2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，x ，2x ，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当0x ≠时所含元素最多，此时2,,|,x x x -分别可化为x ，x -，2x ，所以由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B30．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【分析】根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果. 【详解】224x y +≤24x ∴≤， x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =； 当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，2,1,0,1,2y =-- 当1x =时，1,0,1y =-； 当2x =时，0y =； 所以共有13个， 故选：C.31．下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用集合的定义和特点逐一判断即可.【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若1aa，则a2＝1，∈a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．故选：C32．下列集合中不同于另外三个集合的是（）A．{x|x＝1}B．{x|x﹣1＝0}C．{x＝1}D．{1}【答案】C【分析】由集合的表示方法可选出答案.【详解】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；∈C中的集合不同于另外3个集合．故选：C33．下列说法中正确的是（）A．班上爱好足球的同学，可以组成集合B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}C．集合{1，2，3，4}是有限集D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合【分析】根据构成集合中对象的确定性判断A ，由集合中元素的互异性判断B ，根据集合有限集的定义判断C ，分析集合中元素判断D. 【详解】班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A 不正确；方程x （x ﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B 不正确； 集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C 正确；集合{x 2+5x +6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D 不正确． 故选：C ．34．集合{}2*70,A xx x x =-<∈N ∣，则*8,B y y A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【分析】先求得集合A ，再由已知求得集合B ，由此可得选项． 【详解】由已知得2*{|70,}A x x x x N =-<∈{}1,2,3,4,5,6=，又*8,B yy A y⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣{}1,2,4=，所以*8,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣中元素的个数为3个．故选：C.35．非空集合A 具有下列性质：∈若,x y A ∈，则xA y∈；∈若,x y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉（2）20202021A ∈（3）若,x y A ∈，则xy A ∈（4）若,x y A ∈，则x y A -∉ A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）【答案】C假设1A -∈，推出矛盾，可判断（1）正确；推导出1A ∈，进而可推导出n N *∀∈，n A ∈，由此可判断（2）的正误；推导出1A y∈，结合∈可判断（3）的正误；若x 、y A ，假设x y A -∈，推出0A ∈，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于（1），若1A -∈，则111A -=-∈，因此110A -+=∈；而对于1x A =-∈，0y A =∈时，1-显然无意义，不满足xA y∈，所以1A -∉，故（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、y A ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给集合的性质，结合性质，确定集合中元素的特征，利用元素与集合之间的关系，结合选项，逐项求解即可. 36．下列说法正确的是（ ）A330y +=的解集是1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．方程260x x --=的解集为{(-2，3)}C ．集合M ={y |y =x 2+1，x ∈R }与集合P ={(x ，y )|y =x 2+1，x ∈R }表示同一个集合D ．方程组2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩的解集是{(x ，y )|x =-1且y =2}【答案】D 【分析】根据集合表示方法依次判断即可. 【详解】对于A 330y +=的解集是1,12⎧⎫⎛⎫-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，故A 错误；对于B ，方程260x x --=的解集为{}2,3-，故B 错误；对于C ，集合M 表示数集，集合N 表示点集，故不是同一集合，故C 错误；对于D ，由2030x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得1,2x y =-=，故解集为{(x ，y )|x =-1且y =2}，故D 正确.故选：D.37．方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）A ．{}2,3x y ==B ．{}2,3C ．(){}2,3D ．23x y =⎧⎨=⎩【答案】C 【分析】首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集； 【详解】 解：因为5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩，所以23x y =⎧⎨=⎩ 所以方程组5346x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为(){}2,3故选：C38．已知集合{}1,2,3,,4A a A =∈，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】{}1,2,3,,4A a A =∈,4a ∴=故选：D39．若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．14B ．0C ．4D ．0或14【答案】D 【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合集合{}210x ax x -+=中只有一个元素可求得实数a 的值. 【详解】当0a =时，{}{}{}210101x ax x x x -+==-==，合乎题意；当0a ≠时，关于x 的方程210ax x -+=有两个相等的实根，则140a ∆=-=，解得14a =. 综上所述，0a =或14. 故选：D.40．下列叙述正确的是（ ）．A ．方程2210x x -+=的根构成的集合为{}1,1-B ．{}22401030x x R x x R x ⎧⎫+>⎧∈+==∈⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭C ．集合(){,5M x y x y =+=且}20x y -=表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是不同的集合 【答案】B 【分析】解出2210x x -+=、520x y x y +=⎧⎨-=⎩可判断AC 的正误，由集合的无序性可得D 的正误，{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，可得B 的正误. 【详解】方程2210x x -+=的根为1x =，故A 错误；{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，故B 正确； 由520x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得53103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 错误；集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是相同的集合，故D 错误 故选：B二、多选题 41．已知集合{}22133A a aa =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2-【答案】ABD 【分析】由已知条件可得出关于实数a 的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数a 的值. 【详解】 已知集合{}22133A a aa =+++,,且1A ∈，则11a +=或2331a a ++=，解得0a =或1a =-或2a =-. 若0a =，则{}2,1,3A =，合乎题意； 若1a =-，则{}2,0,1A =，合乎题意； 若2a =-，则{}2,1,1A =-，合乎题意.综上所述，0a =或1a =-或2a =-. 故选：ABD.42．由实数0、x 、x -、x ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AC 【分析】分0x =，0x >，0x <三种情况讨论,,|x x x -求得集合中元素的最多个数. 【详解】||x =，||x =-，故当0x =时，这几个实数均为0，含有元素的个数为1个； 当0x >时，它们分别是0,,,,,x x x x x --，含有元素的个数为3个； 当0x <时，它们分别是0,,,,,x x x x x ---.，含有元素的个数为3个； 故选：AC 【点睛】解题关键在于根据元素的互异性进行分类讨论即可，属于基础题43．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（ ） A ．数域必含有0，1两个数； B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集． 【答案】AD 【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可． 【详解】数集P 有两个元素m ，N ，则一定有m －m ＝0，mm＝1(设m ≠0)，A 正确；因为1∈Z ，2∈Z ，12Z ∉，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M Q =⋃，则1M ∈，但1M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确．故选：AD44．下面表示同一个集合的是（ ）A ．{}2|10,,P x x x R Q =+=∈=∅ B ．{2,5},{5,2}P Q ==C ．{(2,5)},{(5,2)}P Q ==D ．{|21,},{|21,}P x x m m Z Q x x m m Z ==+∈==-∈【答案】ABD【分析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可.【详解】A 选项中，集合P 中方程210x +=无实数根，故P Q ==∅，表示同一个集合；B 选项中，集合P 中有两个元素2，5，集合Q 中页有两个元素2，5，表示同一个集合；C 选项中，集合P 中有一个元素是点(2,5)，集合 Q 中有一个元素是点(5,2)，元素不同，不是同一集合；D 选项中，集合{|21,}P x x m m Z ==+∈表示所有奇数构成的集合，集合{|21,}Q x x m m Z ==-∈也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合.故选：ABD.45．已知全集U =R ，集合A 、B 满足A B ，则下列选项正确的有（ ） A ．A B B = B ．A B B ⋃= C ．U A B D ．()U A B =∅【答案】BD【分析】根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意得，集合U 、A 、B 关系如图所示：全集U =R ，集合A 、B 满足A B ， 则A B A =，A B B ⋃=，()U A B ≠∅，()U A B =∅．故选：BD ．三、填空题46．定义集合运算(){}|,,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得0,6,12=z ，进而可得结果.【详解】当0,2,0==∴=x y z当1,2,6==∴=x y z当0,3,0==∴=x y z当1,3,12==∴=x y z和为0+6+12=18故答案为：1847．集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________【答案】0，2或18【分析】集合A 是单元素集合，即方程只有一个根，分0a =和0a ≠两种情况，求出实数a 即可．【详解】当0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，令()2680a a ∆=--=，即220360a a -+=，解得2a =或18故答案为：0，2或1848．集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}-【分析】 由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】 由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ，当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意；当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.49．已知{}21,2,x x ∈，则x 的值为__________． 【答案】0或2【分析】根据{}21,2,x x ∈，由1x =，2x =，2x x =， 并利用集合的特性判断求解. 【详解】 因为{}21,2,x x ∈，所以当1x =时，集合为 {}1,2,1不成立；当 2x =时，集合为 {}1,2,4，成立；当 2x x =时，解得 1x =（舍去）或0x =，若0x =，则集合为{}1,2,0，成立.所以x 的值为0或2故答案为：0或250．已知{}20,,A a a =，若1A ∈，则实数a 的值是______． 【答案】1-【分析】利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．【详解】1A ∈，1a 或21a =，当1a =时，21a =，则{0,1,1}A =，不满足集合的互异性，舍去．当21a =时，解得：1a =-，1a =（舍去），此时{0,1,1}A =-符合题意．故答案为：1-51．{}2,A y y x a x R ==+∈，1A ∈，则a 的取值范围_________；{}2(,),A x y y x a x R ==+∈，(1,2)A ∈，则a =____．【答案】(],1-∞ 1【分析】由1A ∈得21x a +=即可求a 范围，由(1,2)A ∈得221a =+可求a 值.【详解】∈由1A ∈得22111x a a x +=⇒=-≤；∈由(1,2)A ∈得2211a a =+⇒=故答案为：(],1-∞；152．设直线23y x =+上的点集为P ，则P ＝__________．点（2，7）与P 的关系为（2，7）___P ．【答案】(){},23x y y x =+ ∈【分析】(){},23P x y y x ==+，然后判断点()2,7适不适合方程23y x =+即可得到答案.【详解】 点用（x ，y ）表示，(){},23x y y x =+指在直线23y x =+上的所有的点的集合， 即(){},23P x y y x ==+而点（2，7）适合方程y ＝2x +3∈点（2，7）在直线上，从而点属于集合P故答案为：(){},23x y y x =+；∈53．数列12:,,,(3),n A a a a n ≥令{},1,A i j T x x a a i j n ==+≤<≤()A card T 表示集合A T 中元素个数.（1）假设:A 1，3，5，7，9，那么()A card T =____________________；（2）假设1i i a a c +-=（c 为常数11i n ≤≤-），那么()A card T =____________________；【答案】7 1,(0)23,(0)c n c =⎧⎨-≠⎩（1）根据题意写出所有A T ,中的元素即可；（2）需要进行分类讨论，0c和0c ≠两种情况，结合等差数列性质即可求解； 【详解】（1）当:A 1，3，5，7，9，有5个数时，{}4,6,8,10,12,14,16AT =，故()7A card T =； （2）当0c 时，说明数列是常数列，则n a m =，m 为常数，则2i j a a m +=，故()=1A card T ； 当0c ≠时，假设数列首项为1，公差为1，则:1,2,A n ……，{}3,4,5,21A T n =-，()213123A card T n n =--+=-，利用类比推理可得，假设1i i a a c +-=（c 为常数11i n ≤≤-），那么()23A card T n =-；综上所述，1,(0)()23,(0)A c card T n c =⎧=⎨-≠⎩【点睛】本题考查数列与集合新定义结合的理解，学会利用数列研究集合中元素性质是关键，本题中采用的类比推理法，从特殊到一般，在处理复杂问题时，值得借鉴，属于中档题54．设{},10U x x N x +=∈≤，{A x x =为质数},x U ∈，{B x x =为奇数},x U ∈，则()U A B =_____；()()U U A B =__________ .【答案】{}4,6,8,10 {}4,6,8,10【分析】由题意可知，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =，{}2,3,5,7A =，{}1,3,5,7,9B =，根据集合的运算，求解即可.【详解】{},10U x x N x +=∈≤ {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U ∴={A x x =为质数}{},2,3,5,7x U ∈=，{B x x =为奇数}{},1,3,5,7,9x U ∈={}1,2,3,5,7,9A B ∴=，{}U 1,4,6,8,9,10A =，{}U 2,4,6,8,10B = (){}U 4,6,8,10A B ∴=，()(){}U U 4,6,8,10A B =故答案为：{}4,6,8,10；{}4,6,8,10【点睛】本题考查集合的运算，注意()()()U U U A B A B =，()()()U U U A B A B =，属于较易题. 55．设全集{}2,3,23U a =-，{}2,A b =，{}5U C A =，则a =______________，b =______________.【答案】4 3【分析】根据{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，即可求解,a b 的值，得到答案. 【详解】由题意，全集{}2,3,23U a =-，集合{}2,A b =，因为{}5U C A =，可得2353a b -=⎧⎨=⎩，解得4,3a b ==. 故答案为：4,3a b ==.【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.五、解答题56．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11a - ∈A ，且1∈A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈. 【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.【分析】根据题意求依次求解即可.【详解】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A =∈-， 所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a A a a a -==-∈---. 57．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98=∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.58．已知数列{}n a 中，1n a >，21log 3=a ，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记n a 所有可能取值的集合为n A ，其元素和为()*n S n N ∈． （1）证明2A 为单元素集，并用列举法写出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，设*k N ∈，归纳出21k A +，22k A +（只要求写出结果），并求21k S +，指出22k S +与21k S +的倍数关系．【答案】（1）证明见解析，{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =；（2）答案见解析. 【分析】（1）由1n a >，()12log 31,2a =∈，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得2A 为单元素集，进而可列举出5A ，6A ；（2）由（1）的结果，归纳得21k A +，22k A +，并利用等比数列求和公式计算出21k S +，进而得出22k S +与21k S +的倍数关系．【详解】（1）证明：∈()12log 31,2a =∈，数列中任意相邻两项具有2倍关系，∈2112a a =或12a ． ∈1112a <，而1n a >，∈212a a =．∈{}212A a =为单元素集．由此，得{}311,4A a a =，{}4112,8A a a =， 则{}5111,4,16A a a a =，{}61112,8,32A a a a =．（2）由（1）的结果，归纳得{}211111,4,16,,4k k A a a a a +=⋅⋅⋅， {}2211112,8,32,,24k k A a a a a +=⋅⋅⋅⨯．112111111241414164log 333k k kk S a a a a a +++--=+++⋅⋅⋅+==， 因为21k A +中的每一个元素的两倍构成的集合等于22k A +，所以22212k k S S ++=．59．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值． 【答案】1a =-【分析】分a ＝0、a ﹣1＝0、a 2﹣1＝0三种情况讨论即可.【详解】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∈a ≠0；若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；∈a ＝﹣1．60．若集合A 中含有三个元素3a -，21a -，24a -，且3A -∈，求实数a 的值.【答案】0a =或1a =.【分析】由已知得33a -=-或213a -=-或243a -=-，解之可求得实数a 的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.【详解】∈若33a -=-，则0a =，此时{}3,1,4A =---，满足题意.∈若213a -=-，则1a =-，此时{}4,3,3A =---，不满足元素的互异性.∈若243a -=-，则1a =±.当1a =时，{}2,1,3A =--，满足题意；当1a =-时，由∈知不合题意. 综上可知0a =或1a =.61．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0}．（1）若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；（2）若A ∈B ＝A ，求实数a 的取值范围；（3）若U ＝R ，A ∩(∈U B )＝A ，求实数a 的取值范围．【答案】（1） －1或－3； （2） a ≤－3 ；（3） a <－3或－3<a <－11a <－1或－1<a <－1a >－1【分析】（1）根据题意可知2B ∈，将2代入方程222(1)50x a x a 求出a ，再求出集合B ，根据集合的运算结果验证a 的值即可.（2）根据题意可得B A ⊆，讨论B =∅或B ≠∅，利用判断式求出实数a 的取值范围即可.（3）根据题意可得A B ∅＝∩，讨论B =∅或B ≠∅，解方程组即可求解.【详解】由题意知A ＝{1，2}．（1）∈A ∩B ＝{2}，∈2∈B ，将x ＝2代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a 2＋4a ＋3＝0，所以a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{2}，也满足条件．综上可得，a 的值为－1或－3.（2）∈A ∈B ＝A ，∈B ∈A .对于方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，∈当Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)<0，即a <－3时，B ＝∈，满足条件；∈当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；∈当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．综上可知，a 的取值范围是a ≤－3.（3）∈A ∩(∈U B )＝A ，∈A ∈∈U B ，∈A ∩B ＝∈.对于方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，∈当Δ<0，即a <－3时，B ＝∈，满足条件．∈当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，A ∩B ＝{2}，不满足条件．∈当Δ>0，即a >－3时，只需1∈B 且2∈B 即可．将x ＝2代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a ＝－1或a ＝－3；将x ＝1代入x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0，得a ＝－∈a ≠－1，a ≠－3且a ≠－综上，a 的取值范围是a <－3或－3<a <－11a <－1或－1<a <－1a >－1 62．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若AB A =，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2a >；（2）1a ≤-【分析】（1）由AB A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围； （2）由AB =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围. 【详解】（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-.63．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.【答案】（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥【分析】（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.【详解】（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-.（2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.【点睛】易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.64．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(1x ≠且0x ≠)，则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.【分析】 （1）根据x A ∈，则11A x∈-，由2A ∈求解. （2）根据x A ∈，11A x ∈-，进行递推求解. 【详解】（1）∈若x A ∈，则11A x ∈-， 又∈2A ∈， ∈1112A =-∈-， ∈1A -∈，∈()11112A =-∈-，∈A 中另外两个元素分别为-1，12. （2）∈x A ∈，11A x∈-， ∈1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 所以集合A 中至少有3个元素，所以集合A 不是双元素集合.65．已知集合{}2210A x ax x =-+=.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A .【答案】（1）1a >；（2）答案见解析.【分析】（1）若A 是空集，则只需二次方程2210-+=ax x 无解，∆<0；（2）若A 为空集，当0a =时显然成立，当0a ≠时，只需0∆=.【详解】解：（1）若A 是空集，则关于x 的方程2210-+=ax x 没有实数解.当0a =时，12x =，不满足题意，所以0a ≠，且440a ∆=-<，所以1a >. （2）若A 中只有一个元素. ∈当0a =时，12x =，满足题意； ∈当0a ≠时，440a ∆=-=，所以1a =.综上所述，a 的集合为{}0,1.若0a =，则有12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若1a =，则有{}1A =.【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.66．已知集合A 中的元素1，4，a ，且实数a 满足2a A ∈，求实数a 的值.【答案】1,2--，2，0.【分析】由实数a 满足：2{1a ∈，4，}a ，得到21a =或24a =，或2a a =，结合互异性能求出实数a 的取值．【详解】因为实数a 满足2a A ∈，所以24a =或21a =或2a a =，解得2a =-或2a =或1a =-或1a =或0a =，当1a =时，集合A 中含有1，4，1，不合题意；当1a =-或2a =±或0a =时，满足题意.所以实数a 的值为1,2--，2，0.【点睛】本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题．67．已知集合{}24A x x =<<，()(){}30B x x a x a =--<．（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（3）若{}34A B x x ⋂=<<，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）423aa ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）243a a a ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或（3）{}3 【分析】 （1）先分0a =，0a >，0a <三种情况讨论分别得到集合B ，再对每一种情况列出要使A B ⊆成立的关于a 的不等式（组），求得实数a 的取值范围；（2）先分0a =，0a >，0a <三种情况讨论分别得到集合B ，再对每一种情况列出要使AB =∅成立的关于a 的不等式（组），求得实数a 的取值范围；（3）显然0a =时不满足，再分0a >时，需3a =且需满足34a ≥；0a <时，33a =且需满足4a ≥，从而得到实数a 的取值范围．【详解】（1）若A B ⊆，。
人教版最新高中数学复习试题(完整版)Word版
NUMPAG E S§1.1 集合(附参考答案) 重难点：（1）集合的含义及表示．（2）集合的基本关系 （3）集合的基本运算 经典例题：1.若x ∈R ，则｛3，x ，x 2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件? 2.已知A =｛x |x =8m +14n ，m 、n ∈Z ｝，B =｛x |x =2k ，k ∈Z ｝，问： （1）数2与集合A 的关系如何? （2）集合A 与集合B 的关系如何? 3.已知集合A={}0,xx x -= B={}240,x ax x -+=且A ⋂B=B ，求实数a 的取值范围．基础训练： 1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人C ．2的近似值D ．倒数等于它本身的数2．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________．3． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )A ． {x,y 且0,0x y <>}B ． {(x,y)0,0x y <>}C. {(x,y) 0,0x y <>}D. {x,y 且0,0x y <>}4．用适当的符合填空：0__________{0}， a __________{a }， π________Q ， 21________Z ，－1________R ， 0________N ， 0 Φ．{a }_______{a,b,c }.{a }_________{{a },{b },{c }},Φ_______{a,b }5．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．6．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 ． 7.已知集合A={2210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.8．设U 为全集，集合M 、N U ，且M ⊆N ，则下列各式成立的是（ ）A ．M C U ⊇N C UB ．MC U ⊆MC ．M C U ⊆N C UD ．M C U ⊆N9. 已知全集U ＝{x ｜－2≤x ≤1}，A ＝{x ｜－2＜x ＜1 ＝，B ＝{x ｜x 2＋x －2＝0}，C ＝{x ｜－2≤x ＜1 ＝，则（ ）A ．C ⊆AB ．C ⊆C uAC.C uB ＝C D ． CuA ＝BN U M P A G E S 10．已知全集U ＝{0，1，2，3}且C UA ＝{2}，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．8个D ．7个11．如果M ＝{x ｜x ＝a 2＋1，a ∈N*}，P ＝{y ｜y ＝b 2－2b ＋2，b ∈N ＋}，则M 和P 的关系为M _________P ． 12．集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B A ，则实数m 的值是 ．13．判断下列集合之间的关系：（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；（2）A={2|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2|44x x x +=};（3）A={10|110x x ≤≤},B={2|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥};（4）11{|,},{|,}.2442k kA x x k ZB x x k Z ==+∈==+∈1．已知集合{}{}{}20,0,2M x x px N x x x q M N =++==--=⋂=且，则q p ,的值为 （ ）．A ．3,2p q =-=-B ．3,2p q =-=C ．3,2p q ==-D ．3,2p q ==2．设集合A ＝｛（x ，y ）｜4x ＋y ＝6｝，B ＝｛（x ，y ）｜3x ＋2y ＝7｝，则满足C ⊆A ∩B 的集合C 的个数是（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．已知集合{}{}|35|141A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+，，A B B ⋂=且，B φ≠，则实数a 的取值范围是（ ）．.1.01A a B a ≤≤≤.0.41C a D a ≤-≤≤4.设全集U=R ，集合{}{}()()0,()0,0()f x M x f x N x g x g x =====则方程的解集是（ ）．A ．MB ． M ∩（CuN ）C ． M ∪（CUN ）D ．M N ⋃5.有关集合的性质:(1) Cu (A ⋂B)=( Cu A )∪（Cu B ）; (2) Cu (A ⋃B)=( Cu A )⋂（Cu B ）(3) A ⋃ (Cu A)=U (4) A ⋂ (Cu A)=Φ 其中正确的个数有（ ）个．A.1 B ． 2 C ．3 D ．46．已知集合M ＝｛x ｜－1≤x ＜2＝，N ＝｛x ｜x —a ≤0｝，若M ∩N ≠Φ，则a 的取值范围是 ．7．已知集合A ＝｛x ｜y ＝x 2－2x －2，x ∈R ｝，B ＝｛y ｜y ＝x 2－2x ＋2，x ∈R ｝，则A ∩B ＝8．表示图形中的阴影部分 ．9．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）（A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩C U （N ∪P ） （C ）M ∪C U （N ∩P ） （D ）M ∪C U （N ∪P ） A B CNUP MN U M P AG ES10.在直角坐标系中,已知点集A={}2(,)21y x y x -=-,B={}(,)2x y y x =,则 (CuA)⋂ B= ． 11．已知集合M={}{}{}2,2,4,3,2,46,2a a N a a a a M N +-=++-+⋂=且,求实数a 的的值 12.已知集合A=}{40x R x x ∈+=，B=}{2(1)10x R x a x a ∈+++-=，且A ∪B=A ，试求a 的取值范围．§1.2函数与基本初等函数重难点：（1）函数（定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值）（2）基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）（函数基本性质）典型例题：1.设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）H （x ）=f （x 2+1）；（2）G （x ）=f （x +m ）+f （x －m ）（m ＞0）.2．已知函数f (x )=2x 2-mx +3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f (1)等于（ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量基础训练：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A．(),()f x x g x ==．2(),()f x x g x == C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x == 2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠B ．{}2x x ≠-C ．{}1,2x x ≠--D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ） A ．5[,)4+∞ B ．5(,]4-∞ C ． 4[,)3+∞ D ．4(,]3-∞ 5．函数()f x 对任何x R +∈恒有122()()f x x f x x ⋅=，已知(8)3f =，则f = ．6．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R +∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()f x k x =∆的值域是___________．7．求函数y x =-。
1.2集合的运算基础练习
§1.2集合的概念与运算知识点：集合的交、并、补运算的定义；集合运算的性质；集合的韦恩图、数轴法表示的应用。
例1．（1）设A={0，1}，B={x |x ⊂A}，试用列举法表示集合B 。
（2）已知集合A={1，2，3}，B={1，2，3，5，7，8}，若集合C 满足A C ⊂B ，求C的个数。
例2．已知集合{}{},4|2||,017|,9|2<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=>=x x C x x x B x x A （1）求C A B A 、；（2）若全集)]([,C B C A R U U 求=。
例3．已知方程x 2－ax +b =0的二个根为x 1，x 2，方程y 2－by +c =0的二个根为y 1，y 2，且x 1，x 2，y 1，y 2互不相等，集合A={x 1，x 2，y 1，y 2}，集合M={z | z =s +t ，s ∈A ，t ∈A ，s ≠t }={5，7，8，9，10，12}，集合N={w | w =uv ，u ∈A ，v ∈A ，u ≠v }={6，10，14，15，21，35}，求a ，b ，c 的值.例4．已知f （x ）=x 2+ax +b （a ，b ，x ∈R ），集合A={x |x =f （x ）}。
B={x |x =f [f （x ）]}。
（1）证明A ⊂B ；（2）当A={－1，3}时，用列举法求集合B ； （3）当A 为单元集时，求证：A=B 。
练习：已知集合A={x |x 2－4mx +2m +6=0，x ∈R}。
若A ∩R －≠Φ，求实数m 的取值范围。
基础训练1．设集合M={a ，b }，则满足M ∪N ⊂{a ，b ，c }的集合N 的个数为 （ ） A ．1B ．4C ．7D ．82．设S 为全集，S A B ⊂⊂，则下列结论中不正确的是 （ ） A ．B C A C S S ⊂ B ．B B A = C ．φ=）（B C A S D ．φ=B A C S ）（ （04山东） 3．已知集合A={x | x 2－5x +6=0}，B={x | mx +1=0}，且A ∪B=A ，则实数m 组成的集合___________。
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1.已知集合{32,}A x x n n ==+∈N ，{6,8,10,12,14}B =，则A
B 中的元素个数为
（A ）5 （B ）4
（C ）3 （D ）2
2.设集合
，，则
（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 3.已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则
A ．A
B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩
⎭
B ．A B =∅
C ．A
B 3|2x x ⎧
⎫=<⎨⎬⎩
⎭
D ．A
B=R
4.已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =
A ．{}02，
B ．{}12，
C ．{}0
D ．{}21012--，，
，， 5.已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，{2A =，3，4，5}，{2B =，3，6，7}，则(U
B
A =
)
A ．{1，6}
B ．{1，7}
C ．{6，7}
D ．{1，6，7}
6.已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A
B = A ．(1,3)-
B ．(1,0)-
C ．(0,2)
D ．(2,3)
7.已知集合，则
（A ） （B ） （C ） （D ） 8. 设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =
A. {}123,4，，
B. {}123，，
C. {}234，，
D. {}134，，
9.已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A
B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
10.已知集合{|1}A x x =>-，{|2}B x x =<，则(A B = )
A ．(1,)-+∞
B ．(,2)-∞
C ．(1,2)-
D ．∅
（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B = （A ）{48}，
（B ）{026}，
， （C ）{02610}，
，， （D ）{0246810}，
，，，， 11.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A
B 中元素的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
{1
23}A =，，，2{|9}B x x =<A B ={210123}--，
，，，，{21012}--，，，，{123}，
，{12}，
12.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A B 中元素的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13.已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
14.已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =，则(A
B = )
A ．{1-，0，1}
B ．{0，1}
C ．{1-，1}
D ．{0，1，2}
15.若(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i -- B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i +
16.(1i)(2i)+-= A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
17.复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
18若43i z =+，则||z
z =
（A ）1
（B ）1-
（C ）43+i 55 （D ）
43
i 55- 19.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =
（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 20.设
的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=
（A ）−3（B ）−2（C ）2（D ）3 21.下列各式的运算结果为纯虚数的是
A ．i(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．(1+i)2
D ．i(1+i)
22.设1i
2i 1i
z -=
++，则z = A ．0
B ．12
C ．1
D
23.设312i
z i -=
+，则||(z = ) A ．2 B
C
D ．1
24.若a 为实数，且
231ai
i i
+=++，则a = A ．-4
B ．-3
C ．3
D ．4
设复数z 满足，则=
（A ） （B ） （C ）（ D ）
i 3i z +=-z 12i -+12i -32i +32i -。