《2.2.1双曲线及标准方程》教学案

2.2.1《双曲线及标准方程》教学案

教学目标：

1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.

2.使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.

3.通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.

教学重点与难点：

双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.

定义中“差的绝对值”、a 与c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学过程：

一、课题导入

师：椭圆的定义是什么？

(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.)

师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)(2a >｜F 1F 2｜)的动点P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验： (同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题)

师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)

二、定义探究

师：我们知道满足几何条件｜PF 1｜+｜PF 2｜=2a (常数)的动点P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P 满足什么几何条件的轨迹呢？

(引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：

｜PF 1｜-｜PF 2｜=2a 或｜PF 2｜-｜PF 1｜=2a )

师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.

(播放双曲线flash 生成动画，验证几何条件)

师：实验证明当点P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果 ｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则得到曲线的右支，如果｜PF 2｜＞｜PF 1｜则得到曲线的左支， 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？

（引导学生思考，此时只需在|1PF |-|2PF |=2a 左边加上绝对值）

师：作为此时差的绝对值2a 与|21F F |大小关系怎么样？

（结合图象，学生分析：应该2a<|21F F |）

(在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书)

三、方程推导

师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？

(学生口述教师板书椭圆的标准方程)

师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.

(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)

建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P (x 、y )，｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c ，

0)，F 2(c ，0).

由两点间距离公式，得

｜PF 1｜=22y )c x (++，｜PF 2｜=22)(y c x +-

由双曲线定义，得

｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即

22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a

化简方程

22)(y c x ++=±2a +22)(y c x +-

两边平方，得

(x +c ) 2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x -c )2+y 2

化简得：

cx -a 2=±22)(y c x +-

两边再平方，整理得

(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)

(为使方程简化，更为对称和谐起见)

由2c -2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0

设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得

b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2

也就是

x 2/a 2-y 2/b 2=1

师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对

称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2

的不同之处.

师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢？ （引导学生类比椭圆得到焦点在y 轴上时双曲线的标准方程：1b

x a y 22

22=-此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）

师：如何记忆这两个标准方程？

(师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相

应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”)

四、巩固内化

例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程.

变式：(1)若两定点为())5,0(,5,021F F -则轨迹方程如何？

变式：(2)若两定点为1021=F F 则轨迹方程如何？

(例由师生共同分析共同完成，(1)、(2)由学生完成)

方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.

五、课堂小结

(1)双曲线的定义及其标准方程;

(2)把握方程中的3个常数a ，b ，c 间的关系: c 2=a 2+b 2. 如何确定焦点位置，会求双曲线

的标准方程;

（3）体会双曲线标准方程的探究过程，感受数学知识的和谐，对称美.

师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在《梦天》中写到：“一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景.彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！