第二章 简单力系典型例题讲解

FA AM
D C
450 E
M1
B FB
系统如图，AB杆上作用矩为 M的力偶，设AC=2R，R为轮C的
B M
半径，各物体的重量及摩擦不
D
计。求绳子的拉力和铰A对AB杆
CC
的约束反力及地面对轮C的反
A
E
力。 解：先以AB杆为研究对象，
受力如图。
∑ m = 0 : M − N A ⋅ AD = 0
由几何关系：
K KRA RB 分析整体
答 m1 = −m2 案：杆BC
K RC
K
RB
m1
∑m =0
m1 + m2 = 0 m1 = −m2
力沿作用线移动：
∴力是滑动矢量。只适用
于刚体，不适用于变形体
及刚体系统。
反例为：绳子，
B
P
A
B F
A
?
C
A
F B
Fra Baidu bibliotekA B
P
C
5
力偶等效
M
M M
A
BA
B
A
B
B
思考题：
M
1、图示两结
构是否等效？ A
B
?
M
C
A
C
2、力矩与力偶矩的异同？（平时作业）
如图所示杆件结构 A E m
B
中，EF//AB，AE=EC， ∠ACB = 90D, AC = 3l, BC = 4l
F C
EF杆E端与AC铰接，F端光滑搁置在BC上，杆
重不计，求A、B处的反力。
小结
1. 力对点之矩是度量力使刚体绕一点转动效应的力 学量，空间问题中为矢量，平面问题中为代数 量；
BC 杆：
由 ΣM=0, m− NC · d= 0
及 NC = N'B = NB
解得:
AB杆：
例 M1=2kN·m，OA=r=0.5m， α=30°，求作用于摇杆上力偶矩 的大小及铰链O、B处的约束力。
解：1.先以圆轮为研究对象. （平面力偶系） 由 ΣM=0,
M1 − FA r sinα = 0
解得:
2. 力对轴之矩是度量力使刚体绕一轴转动效应的力 学量，为代数量，由右手螺旋法则判断正负号；
3. 力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩； 4. 力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一
个力等效，也不能与一个力平衡；
5. 力偶对刚体的转动效应决定于其三要素； 6. 力偶等效条件，合力（偶）矩定理； 7. 力偶系平衡的充要条件是： Σ M i =0。
B
m2
O1
30o
A
O
m1
1
解: AB为二力杆 B
S
S 30o
A
SA = SB = S 取OA杆为
研究对象.
m2
S
O
m1
∑ mi = 0
O1
0.4sin30o S - m1 = 0
取O1B杆为研究对象.
S (1)
∑ mi = 0
m2 – 0.6 S = 0
(2)
联立(1)(2)两式得: S = 5
m2 = 3
=
8kN
FO 、 FB的方向如图所示。
例：结构如图所示，已知主动力偶 M， 哪种情况铰链的约束力小,并确定 约束力的方向（不计构件自重）
1、研究OA杆
2、研究AB杆
FA
M
O
A
F
B O
F （A）
M
B
F （B）
例:已知 AB=2a BD=a, 不计摩擦。求当系统 平衡时,力偶M1 ,M2 应满足的关系。
D
C
A
m
θ
θ
B
E
F
4
解:取整体为研究 对象画受力图。
RA = RB = R Σ mi = 0
D
C
A
m
RB
d
RA
θ
θ
B
E
F
m − 3 a R sin θ = 0
m RA = RB = R = 3 a sin θ
[练习]下图中，求 A、C 两点处的支座反力。 K NA
K NC
mB
K NA A
K NB
所以
Cx
G NE
其中： cosϕ = cosα = 3 ,sin ϕ = sinα = 1
2
解之得：T = ND = NE =
3M 3R
2
B
M
D
讨论：本题亦可以整体为研究
C
对象求出： RA = NE =
3M 3R
AG
G
RA
NE
例已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。
解:分别以AB杆(二力杆) 和BC为研究对象求解.
C
研究BD
M2 D
M2
B
θ
β
NB
B
M1 = ADND
研究AC
C
D
ND
D
ND
M1
M1 M 2 = BDND sin β
A
M2
=
BD AD
M1 sin β
A
NA
[例]图示杆系，已知m, l,求A、B处约束力。
K N AD
解 1、研究对象二力杆：AD
：
K
K
RC
N AD
练习：
K RB
2、研究对象： 整体
K N AD
K RB
∴ RB
=
RA
=
2Pa l cosα
求图示简支梁的支座反 力。
解：以梁为研究对象，受 力如图。
m2 m1 A
l
∑ m = 0 : RAl − m1 + m2 + m3 = 0 m2 m1
解之得：
RA
=
m1 − m2 l
− m3
=
RB
A
G RA
m3 B m3 BG RB
例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁 长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.
第二章 简单力系典型例题讲解
主讲老师： 冯长建
[例](p39)图示结构，求A、B处反力。
解：1、取研究对象 整体
K YA 思考
K RA
2、受力分析 特点：力偶系
K NB
3、平衡条件
∑mi=P · 2a－YA · l=0
∴
NB
= YA
=
2Pa l
α ∑m i= 0 P · 2a－RB · cosα · l=0
2、研究曲柄ACD
∑m =0
N ′AB
l2 −d2 ⋅d − M = 0 l
∴Q = N AB
l2 −d2 = M
l
d
思考题： 1、m可否又BC上移至AC上？
am
结构视为一体时，m可移动，若分开考虑，则 m不能从一体移至另一体。
2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？
2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？
FA
=
r
M1 sin 30°
=
8 kN
3
2.再以摇杆为研究对象（平面力偶系） 由 ΣM=0,
− M2
+ FA′
r sin α
=0
FA= F'A = M1 /rsin30°
解得:
M 2 = 4M1 = 4 × 2 = 8kN ⋅ m
FO
=
FB
=
FA
=
M1 r sin 30°
=
2 0.5× sin 30°
则A、B处的约束反力一定形成力偶。
根据平面力偶系的平衡方程： ∑ mi = 0
m1 - m2+ m3+FB d =0 5 - 20+ 9+FB ABsin300 =0
解得：
m1
m3
m2
FA=FB=2.31kN
d
A FA
30o
B 30o FB
2
例 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶
M1为已知，求：支座A、B的约束反力及主动力偶M。
B C
m2
60o D
RD
例题 图示刚架，其上作用三个力偶，其中
F1= F1´=5KN，m2=20KN.m, m3= 9KN.m, 试求支座A、B处的反力。
F1´
m3
F1
m2
m1=F1 × 1=5KN.m
m1
m3
m2
A
B
1m 1m 1m 30o
A FA
30o
B 30o FB
解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，
A
B
m
45o
l
解:取梁AB为研究对象 A
RA = RB = R m(RA , RB) = Rlcos 45o
m
RA
l
∑ mi = 0
Rlcos 45o- m = 0
m
R = RA = RB =
2 l
B 45o
4455oo
RB
例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置. 已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1N·m,各杆自重 不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.
C
∑ mi = 0
RC
a R - m1 = 0
m1 = a R
(1)
m1
A
RA
取杆CD为研究对象.因C点约
束方位已定 , 则D点约束反力方
位亦可确定.画受力图.
R C′
RD = RC′ = R
CD = a
∑ mi = 0
- 0.5aR + m2 = 0
m2 = 0.5 aR
(2)
A 60o
联立(1)(2)两式得: m1 = 2 m2
习题辅导
6
7
NA = NB =
m 2a
=
NC
[练习] 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中
A M
O 曲柄ACD
AO=d, AB=l。
解 1、研究对象：滑块B
BK ： Q
K
N AB
K
Q
BK
∑x=0
NB
K N ′AB A
M KO RO
N AB
l2 −d2 −Q = 0 l
∴Q = N AB
l2 −d2 l
解： “BD”
ΣM=0
FA AM
D C
M1 - FE ·a = 0
∴ FB = FE = M1 / a “系统”
450 E
M1
D
系统受力偶作用，又只在A、 B两点受力，则该两点的力必 形成一力偶。 ∴ FA = FB = M1 / a
B FB FB
B
E FE M1
a a
ΣM=0
M1 - FB ·0 - M = 0 ∴ M = M1
B M DG
ND
AD = (2R)2 − R2 = 3R
AG NA
所 以：
NA
=
M AD
=
M= 3R
3M 3R
=
ND
G
再以轮C为研究对象，受力 ND′
y
如图，建立如图坐标。
ϕ
∑X ∑Y
= 0 : GND′ =0:N −
cosϕ − T cosα = 0 ND′ sin ϕ − T sinα =
0
TGα
例题.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触, 它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向 如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?
B
C
m1
A 60o
m2
60o D
解:取杆AB为研究对象画受力图.
杆A B只受力偶的作用而平衡
且C处为光滑面约束.则A处约束 B 反力的方位可定.
RA = RC = R AC = a
=
RB
=
m l
思考：CB杆受力情况如何？
K RC′
K
m
RB
AD杆 m
K RC′
K N AD 解 1、研究对象二力杆：BC
：
K
RC
K
RB
K
RB
K
2、研究对象： 整体
N AD
K N AD
=
RB
=
m l sin 450
=
2m l
例题.图示物体系统中AC = CD = BE = EF = a 且CF = DE . 物体重量不计. 求支座A 和B 的约束反力.