_向量自回归模型(_VAR)_和VEC
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第十一章 向量自回归 ( VAR) 模型和向量误差 修正 (VEC)模型
本章的主要内容：
（1）VAR模型及特点； （2）VAR模型中滞后阶数p的确定方法； （3）变量间协整关系检验； （4）格兰杰因果关系检验； （5）VAR模型的建立方法； （6）用VAR模型预测； （7）脉冲响应与方差分解； （8）VECM的建立方法。
18
表11.3
P AIC
AIC与SC随P的变化
SC
Lnl(P )
1 2 3 4
-5.3753 -5.6603 -5.8804 -5.6693
-4.8474 -4.7271 -4.5337 -3.9007
108.7551 120.0551 129.9676 132.5442
由表11.3知,在P=1时，SC 最小（-4.8474） ，在P=3时,AIC 最小（-5.8804），相互矛盾不 能确定P值，只能用似然比LR确定P值。
p
Yt
Y
i i 1
ti
U t 1Y t 1 2 Y t 2 p Y t p U t
U t IID (0, )
（11.1）
5
式中，
i
(i 1,2, ,p)
U t ( u 1t u 2 t
是第i个待估参数N×N阶矩阵; T 是N×1阶随机误差列向量; u Nt )
这种方程组模型主要用于分析联合内生变量 间的动态关系。联合是指研究N个变量 y1t y 2 t y N t 间的相互影响关系，动态是指p期滞后。故称VAR 模型是分析联合内生变量间的动态关系的动态模 型，而不带有任何约束条件，故又称为无约束 VAR模型。建VAR模型的目的： （1）预测，且可用于长期预测； （2）脉冲响应分析和方差分解，用于变量间 的动态结构分析。
待估参数个数为2 × 2×2= P N 2 用线性方程组表示VAR(2)模型：
y t 1 1 1 y t 1 1 1 2 x t 1 2 1 1 y t 2 2 1 2 x t 2 u 1t x t 1 2 1 y t 1 1 2 2 x t 1 2 2 1 y t 2 2 2 2 x t 2 u 2 t
案例1
160000
120000
80000
40000
12
0 55 60 65 70 G DP 75 80 CT 85 90 IT 95 00
11 10 9 8
图11-1 GDPt、 Ct和 It
的时序图
7 6 5 55 60 65 70 LGDP 75 80 LCT 85 90 95 LIT 00
图11-2 LGDPt、 LCt和 LIt的时序图
明。
13
我国1953年～2004年支出法国内生产总 值（GDP）、最终消费（Ct）和固定资本形成总额（It） 的时序数据列于D8.1中。数据来源于《中国统计年鉴》 各期。
用商品零售价格指数p90（1990年=100）对GDP、 Ct和It进行平减，以消除物价变动的影响，并进行自然 对数变换，以消除序列中可能存在的异方差，得到新序 列： LGDPt=LOG(GDPt/p90t)； LCt=LOG(Ct/p90t)； LIt=LOG(It/p90t)。 GDP、 Ct和 It与LGDPt、 LCt和LIt的时序图分别示于 图11-1和图11-2，由图11-2可以看出，三个对数序列的 14 变化趋势基本一致，可能存在协整关系。
4
由此可知，经济理论指导下建立的结构性经典计量模 型存在不少问题。为解决这些问题而提出了一种用非结构 性方法建立各变量之间关系的模型。本章所要介绍的VAR模 型和VEC模型，就是非结构性的方程组模型。 VAR (Vector Autoregression)模型由西姆斯 （C.A.Sims,1980）提出,他推动了对经济系统动态分析的 广泛应用，是当今世界上的主流模型之一。受到普遍重视， 得到广泛应用。 VAR模型主要用于预测和分析随机扰动对系统的动态冲 击，冲击的大小、正负及持续的时间。 T Y t ( y1 t y 2 t y N t ) 是N×1阶时序 VAR模型的定义式为：设 应变量列向量，则p阶VAR模型（记为VAR(p)）：
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1) LIt～I(1)
LCt
2
来自百度文库
LIt
2
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
由表11.1知， LGDPt、 LCt和LIt均为一阶单 整，可能存在协整关系。
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量，且 各方程最大滞后阶数相同,都是2。这些滞后变量与随 机误差项不相关（假设要求）。
7
由于仅有内生变量的滞后变量出现在等式的 右侧，故不存在同期相关问题，用“LS”法估计 参数，估计量具有一致和有效性。而随机扰动列 向量的自相关问题可由增加作为解释应变量的滞 后阶数来解决。
T t t t
Yt
i 1
2
i
Y t i U t 1Y t 1 2 Y t 2 U t
6
用矩阵表示：
y t 1 1 1 1 1 2 y t 1 x t 1 2 1 1 2 2 x t 1 211 212 y t 2 221 222 x t 2 u1t u2t
10
二、VAR模型中滞后阶数p的确 定方法
建立VAR模型只需做两件事 第一，哪些变量可作为应变量？VAR模型中应 纳入具有相关关系的变量作为应变量，而变量间 是否具有相关关系，要用格兰杰因果关系检验确 定。 第二，确定模型的最大滞后阶数p。首先介绍 确定VAR模型最大滞后阶数p的方法：在VAR模型 中解释变量的最大滞后阶数p太小，残差可能存在 自相关，并导致参数估计的非一致性。适当加大p 值（即增加滞后变量个数），可消除残差中存在
15
案例 1 (一)单位根检验 由于 LGDP、 LCt和LIt可能存在协整关系， 故对它们进行单位根检验，且选用pp检验法。检 验结果列于表11.1.
表11.1 PP单位根检验结果
检验 变量
L G D Pt
2
检验值 -4.3194
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
19
检验的原假设是模型滞后阶数为1，即P=1 ，似然比检验统计量LR ：
L R 2 ( L n l (1) L n l (3)) 2 (1 0 8 .7 5 5 1 1 2 9 .9 6 7 6 ) 4 2 .4 2 5 0
9
（2）VAR模型对参数不施加零约束 （如t 检 验）； （3）VAR模型的解释变量中不含t期变量，所 有与联立方程组模型有关的问题均不存在； （4）VAR模型需估计的参数较多。如VAR模型 含3个变量（N=3），最大滞后期为p=2，则有 2 P N =2×32=18个参数需要估计； （5）当样本容量较小时，多数参数估计的精 度较差，故需大样本，一般n>50。 注意： “VAR”需大写，以区别金融风险管理 中的VaR。
2 3
4
-9.1226
-7.6022
257.9417
由表11.2知,AIC和SC最小值对应的p值均为 ２， 故应取VAR模型滞后阶数p=2 。
17
案例2 序列y1、y2和y3分别表示我国1952 年至1988年工业部门、交通运输部门和商业部门 的产出指数序列，数据在D11.1中。试确定VAR模 型的滞后阶数p。 设 Ly1=log（y1）； Ly2=log（y2）； Ly3=log（y3）。 用AIC 和 SC准则判断，得表11.3。
11
的自相关。但p值又不能太大。p值过大，待估参数多, 自由度降低严重，直接影响模型参数估计的有效性。 这里介绍两种常用的确定p值的方法。 （1）用赤池信息准则（AIC）和施瓦茨（SC）准 则确定p值。确定p值的方法与原则是在增加p值的过程 中，使AIC和 SC值同时最小。 具体做法是：对年度、季度数据，一般比较到P=4 ，即分别建立VAR(1)、VAR(2)、VAR(3)、VAR(4)模型 ，比较AIC、SC，使它们同时取最小值的p值即为所求 。而对月度数据，一般比较到P=12。 当AIC与SC的最小值对应不同的p值时，只能用LR 检验法。
1.格兰杰因果性定义 2.格兰杰因果性检验 案例 五、 建立VAR模型 案例 六、利用VAR模型进行预测 案例 七、脉冲响应函数与方差分解 案例 八、向量误差修正模型 案例
2
一、VAR模型及特点
1. VAR模型—向量自回归模型
经典计量经济学中，由线性方程构成的联立方程 组模型，由科普曼斯（poOKmans1950）和霍德－科普曼 斯（Hood-poOKmans1953）提出。联立方程组模型在20 世纪五、六十年代曾轰动一时，其优点主要在于对每个方 程的残差和解释变量的有关问题给予了充分考虑，提出了 工具变量法、两阶段最小二乘法、三阶段最小二乘法、有 限信息极大似然法和完全信息极大似然法等参数的估计方 法。这种建模方法用于研究复杂的宏观经济问题，有时多 达万余个内生变量。当时主要用于预测和
12
（2）用似然比统计量LR选择p值。LR定义为 ：
L R 2 ln l ( p ) ln l ( p i ) ( f ) (11.2)
2
式中， l n l ( p ) 和 l n l ( p + i )分别为VAR(p)和 VAR(p+i)模型的对数似然函数值；f为自由度。 用对数似然比统计量LR确定P的方法用案例说
16
案例1 (二)滞后阶数p的确定 首先用赤池信息准则（AIC）和施瓦茨（SC） 准则选择p值，计算结果列于表11.2。 表11.2 AIC与SC随p的变化
p 1
lk
AIC -8.8601 -9.3218 -9.1599
SC -8.4056 -8.5187 -8.0017
Lnl( p )
237.9328 254.0448 254.4179
3
政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。 （2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
是N×N阶方差协方差矩阵； p 为模型最大滞后阶数。
由式（11.1）知，VAR(p)模型，是以N个第t期变量
y1t y 2 t y N t
为应变量，以N个应变量y1 t
y2t y Nt
的最大p阶滞后变量为解释变量的方程组模型，方程组模 型中共有N个方程。显然，VAR模型是由单变量AR模型推广到 多变量组成的“向量”自回归模型。 对于两个变量（N=2），Y ( y x ) 时，VAR(2)模型为
1
一、VAR模型及特点 1. VAR模型—向量自回归模型 2. VAR模型的特点 二、VAR模型滞后阶数p的确定方法 确定VAR模型中滞后阶数 p 的两种方法 案例 三、Jonhamson协整检验 1.Johanson协整似然比（LR）检验 2.Johanson协整检验命令 案例 3.协整关系验证方法 案例 四、 格兰杰因果关系检验
8
所以, VAR模型既可用于预测,又可用于结构 分析。近年又提出了结构VAR模型（SVAR： Structural VAR）。 有取代结构联立方程组模 型的趋势。由VAR模型又发展了VEC模型。
2. VAR模型的特点
VAR模型较联立方程组模型有如下特点： （1）VAR模型不以严格的经济理论为依据。 在建模过程中只需明确两件事：第一，哪些变量 应进入模型（要求变量间具有相关关系——格兰 杰因果关系 ）；第二，滞后阶数p的确定（保证 残差刚好不存在自相关）；
本章的主要内容：
（1）VAR模型及特点； （2）VAR模型中滞后阶数p的确定方法； （3）变量间协整关系检验； （4）格兰杰因果关系检验； （5）VAR模型的建立方法； （6）用VAR模型预测； （7）脉冲响应与方差分解； （8）VECM的建立方法。
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表11.3
P AIC
AIC与SC随P的变化
SC
Lnl(P )
1 2 3 4
-5.3753 -5.6603 -5.8804 -5.6693
-4.8474 -4.7271 -4.5337 -3.9007
108.7551 120.0551 129.9676 132.5442
由表11.3知,在P=1时，SC 最小（-4.8474） ，在P=3时,AIC 最小（-5.8804），相互矛盾不 能确定P值，只能用似然比LR确定P值。
p
Yt
Y
i i 1
ti
U t 1Y t 1 2 Y t 2 p Y t p U t
U t IID (0, )
（11.1）
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式中，
i
(i 1,2, ,p)
U t ( u 1t u 2 t
是第i个待估参数N×N阶矩阵; T 是N×1阶随机误差列向量; u Nt )
这种方程组模型主要用于分析联合内生变量 间的动态关系。联合是指研究N个变量 y1t y 2 t y N t 间的相互影响关系，动态是指p期滞后。故称VAR 模型是分析联合内生变量间的动态关系的动态模 型，而不带有任何约束条件，故又称为无约束 VAR模型。建VAR模型的目的： （1）预测，且可用于长期预测； （2）脉冲响应分析和方差分解，用于变量间 的动态结构分析。
待估参数个数为2 × 2×2= P N 2 用线性方程组表示VAR(2)模型：
y t 1 1 1 y t 1 1 1 2 x t 1 2 1 1 y t 2 2 1 2 x t 2 u 1t x t 1 2 1 y t 1 1 2 2 x t 1 2 2 1 y t 2 2 2 2 x t 2 u 2 t
案例1
160000
120000
80000
40000
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0 55 60 65 70 G DP 75 80 CT 85 90 IT 95 00
11 10 9 8
图11-1 GDPt、 Ct和 It
的时序图
7 6 5 55 60 65 70 LGDP 75 80 LCT 85 90 95 LIT 00
图11-2 LGDPt、 LCt和 LIt的时序图
明。
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我国1953年～2004年支出法国内生产总 值（GDP）、最终消费（Ct）和固定资本形成总额（It） 的时序数据列于D8.1中。数据来源于《中国统计年鉴》 各期。
用商品零售价格指数p90（1990年=100）对GDP、 Ct和It进行平减，以消除物价变动的影响，并进行自然 对数变换，以消除序列中可能存在的异方差，得到新序 列： LGDPt=LOG(GDPt/p90t)； LCt=LOG(Ct/p90t)； LIt=LOG(It/p90t)。 GDP、 Ct和 It与LGDPt、 LCt和LIt的时序图分别示于 图11-1和图11-2，由图11-2可以看出，三个对数序列的 14 变化趋势基本一致，可能存在协整关系。
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由此可知，经济理论指导下建立的结构性经典计量模 型存在不少问题。为解决这些问题而提出了一种用非结构 性方法建立各变量之间关系的模型。本章所要介绍的VAR模 型和VEC模型，就是非结构性的方程组模型。 VAR (Vector Autoregression)模型由西姆斯 （C.A.Sims,1980）提出,他推动了对经济系统动态分析的 广泛应用，是当今世界上的主流模型之一。受到普遍重视， 得到广泛应用。 VAR模型主要用于预测和分析随机扰动对系统的动态冲 击，冲击的大小、正负及持续的时间。 T Y t ( y1 t y 2 t y N t ) 是N×1阶时序 VAR模型的定义式为：设 应变量列向量，则p阶VAR模型（记为VAR(p)）：
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1) LIt～I(1)
LCt
2
来自百度文库
LIt
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注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
由表11.1知， LGDPt、 LCt和LIt均为一阶单 整，可能存在协整关系。
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分 别是两个1阶和两个2阶滞后应变量做为解释变量，且 各方程最大滞后阶数相同,都是2。这些滞后变量与随 机误差项不相关（假设要求）。
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由于仅有内生变量的滞后变量出现在等式的 右侧，故不存在同期相关问题，用“LS”法估计 参数，估计量具有一致和有效性。而随机扰动列 向量的自相关问题可由增加作为解释应变量的滞 后阶数来解决。
T t t t
Yt
i 1
2
i
Y t i U t 1Y t 1 2 Y t 2 U t
6
用矩阵表示：
y t 1 1 1 1 1 2 y t 1 x t 1 2 1 1 2 2 x t 1 211 212 y t 2 221 222 x t 2 u1t u2t
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二、VAR模型中滞后阶数p的确 定方法
建立VAR模型只需做两件事 第一，哪些变量可作为应变量？VAR模型中应 纳入具有相关关系的变量作为应变量，而变量间 是否具有相关关系，要用格兰杰因果关系检验确 定。 第二，确定模型的最大滞后阶数p。首先介绍 确定VAR模型最大滞后阶数p的方法：在VAR模型 中解释变量的最大滞后阶数p太小，残差可能存在 自相关，并导致参数估计的非一致性。适当加大p 值（即增加滞后变量个数），可消除残差中存在
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案例 1 (一)单位根检验 由于 LGDP、 LCt和LIt可能存在协整关系， 故对它们进行单位根检验，且选用pp检验法。检 验结果列于表11.1.
表11.1 PP单位根检验结果
检验 变量
L G D Pt
2
检验值 -4.3194
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
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检验的原假设是模型滞后阶数为1，即P=1 ，似然比检验统计量LR ：
L R 2 ( L n l (1) L n l (3)) 2 (1 0 8 .7 5 5 1 1 2 9 .9 6 7 6 ) 4 2 .4 2 5 0
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（2）VAR模型对参数不施加零约束 （如t 检 验）； （3）VAR模型的解释变量中不含t期变量，所 有与联立方程组模型有关的问题均不存在； （4）VAR模型需估计的参数较多。如VAR模型 含3个变量（N=3），最大滞后期为p=2，则有 2 P N =2×32=18个参数需要估计； （5）当样本容量较小时，多数参数估计的精 度较差，故需大样本，一般n>50。 注意： “VAR”需大写，以区别金融风险管理 中的VaR。
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-9.1226
-7.6022
257.9417
由表11.2知,AIC和SC最小值对应的p值均为 ２， 故应取VAR模型滞后阶数p=2 。
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案例2 序列y1、y2和y3分别表示我国1952 年至1988年工业部门、交通运输部门和商业部门 的产出指数序列，数据在D11.1中。试确定VAR模 型的滞后阶数p。 设 Ly1=log（y1）； Ly2=log（y2）； Ly3=log（y3）。 用AIC 和 SC准则判断，得表11.3。
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的自相关。但p值又不能太大。p值过大，待估参数多, 自由度降低严重，直接影响模型参数估计的有效性。 这里介绍两种常用的确定p值的方法。 （1）用赤池信息准则（AIC）和施瓦茨（SC）准 则确定p值。确定p值的方法与原则是在增加p值的过程 中，使AIC和 SC值同时最小。 具体做法是：对年度、季度数据，一般比较到P=4 ，即分别建立VAR(1)、VAR(2)、VAR(3)、VAR(4)模型 ，比较AIC、SC，使它们同时取最小值的p值即为所求 。而对月度数据，一般比较到P=12。 当AIC与SC的最小值对应不同的p值时，只能用LR 检验法。
1.格兰杰因果性定义 2.格兰杰因果性检验 案例 五、 建立VAR模型 案例 六、利用VAR模型进行预测 案例 七、脉冲响应函数与方差分解 案例 八、向量误差修正模型 案例
2
一、VAR模型及特点
1. VAR模型—向量自回归模型
经典计量经济学中，由线性方程构成的联立方程 组模型，由科普曼斯（poOKmans1950）和霍德－科普曼 斯（Hood-poOKmans1953）提出。联立方程组模型在20 世纪五、六十年代曾轰动一时，其优点主要在于对每个方 程的残差和解释变量的有关问题给予了充分考虑，提出了 工具变量法、两阶段最小二乘法、三阶段最小二乘法、有 限信息极大似然法和完全信息极大似然法等参数的估计方 法。这种建模方法用于研究复杂的宏观经济问题，有时多 达万余个内生变量。当时主要用于预测和
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（2）用似然比统计量LR选择p值。LR定义为 ：
L R 2 ln l ( p ) ln l ( p i ) ( f ) (11.2)
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式中， l n l ( p ) 和 l n l ( p + i )分别为VAR(p)和 VAR(p+i)模型的对数似然函数值；f为自由度。 用对数似然比统计量LR确定P的方法用案例说
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案例1 (二)滞后阶数p的确定 首先用赤池信息准则（AIC）和施瓦茨（SC） 准则选择p值，计算结果列于表11.2。 表11.2 AIC与SC随p的变化
p 1
lk
AIC -8.8601 -9.3218 -9.1599
SC -8.4056 -8.5187 -8.0017
Lnl( p )
237.9328 254.0448 254.4179
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政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令人满 意。
联立方程组模型的主要问题：
（1）这种模型是在经济理论指导下建立起来的结构模型 。遗憾的是经济理论并不未明确的给出变量之间的动态关 系。 （2）内生、外生变量的划分问题较为复杂； （3）模型的识别问题，当模型不可识别时,为达到可识别 的目的，常要将不同的工具变量加到各方程中，通常这种 工具变量的解释能力很弱； （4）若变量是非平稳的（通常如此），则会违反假设， 带来更严重的伪回归问题。
是N×N阶方差协方差矩阵； p 为模型最大滞后阶数。
由式（11.1）知，VAR(p)模型，是以N个第t期变量
y1t y 2 t y N t
为应变量，以N个应变量y1 t
y2t y Nt
的最大p阶滞后变量为解释变量的方程组模型，方程组模 型中共有N个方程。显然，VAR模型是由单变量AR模型推广到 多变量组成的“向量”自回归模型。 对于两个变量（N=2），Y ( y x ) 时，VAR(2)模型为
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一、VAR模型及特点 1. VAR模型—向量自回归模型 2. VAR模型的特点 二、VAR模型滞后阶数p的确定方法 确定VAR模型中滞后阶数 p 的两种方法 案例 三、Jonhamson协整检验 1.Johanson协整似然比（LR）检验 2.Johanson协整检验命令 案例 3.协整关系验证方法 案例 四、 格兰杰因果关系检验
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所以, VAR模型既可用于预测,又可用于结构 分析。近年又提出了结构VAR模型（SVAR： Structural VAR）。 有取代结构联立方程组模 型的趋势。由VAR模型又发展了VEC模型。
2. VAR模型的特点
VAR模型较联立方程组模型有如下特点： （1）VAR模型不以严格的经济理论为依据。 在建模过程中只需明确两件事：第一，哪些变量 应进入模型（要求变量间具有相关关系——格兰 杰因果关系 ）；第二，滞后阶数p的确定（保证 残差刚好不存在自相关）；