Chapter 1 谓词逻辑推理理论 5
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
谓词逻辑(1)
谓词逻辑Ⅰ：基本概念
1.1个体词与谓词
1.2量词
1.3量词的辖域 1.4
全称量词不表示存在，存在量词表 示存在 1.5多个量词
问题的提出
命题逻辑特点：研究复合命题之间的推理时，只将 复合命题分析到简单命题，不再对简单命题内部成 分进行细分。
例9 有的新闻报道不是真实的。 论域为全域 X(x)：x是新闻报道 Z(x)：x是真实的
此命题表达了
存在一对象，它是新闻报道，但它不是真实的。
(x) ( X(x)∧ Z(x))
传统命题A、E、I、O四类命题的量化形式 A命题：“所有S是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))； E命题：“所有S不是P”， 量化形式：(x)(S(x)→P(x))；
在一个公式前面加上量词，称为量化式,如(
x)F(x)和( x)F(x)，就分别称为全称量化式和 存在量化式。 ( x)F(x)表示“对于所有x而言，x是F,即一切 事物都是F”； ( x)F(x)表示“至少有一个x,x是F,即有一（有 些）事物是F”。
（1）所有事物都是变化的
例子：贾宝玉爱林黛玉
传统主谓式分析
弗雷格的分析
贾宝玉是爱着林黛玉的
对象 贾宝玉
概念 爱
对象 林黛玉
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T(a,b,c) 谓词是“位于之间”（三元谓词），表示三个个体之间的关系； 个体词“武汉” 、 “上海” 、 “重庆”分别表示确定的个体， 是个体常项。
例 5 武汉位于上海与重庆之间
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
离散数学第五章__谓词逻辑详述
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和 广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则
P(a，b，c)：武汉位于北京和广州之间。
定义5.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n 个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表示 成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的谓 词形式或命题的谓词形式。
注意：
1. n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用特定个体或个 体常元替代时，才能成为一个命题。
例如，令S(x)：x是大学生,这是一元谓词，不是命题； S(c)：张明是位大学生，这就是一个命题。 2. 个体变元在哪些论域取特定的值，对命题的真值有影响。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为某大学的计 算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中 学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的 观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则 S(x)是真值是不确定的。
例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
根据常识，认为这个推理是正确的。若用命题逻 辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题， 则有
P，Q┣ R
(P∧Q)→P, (P∧Q)→Q都是永真式
然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形 式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论， 问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中，各命题 之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而 是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体 现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑 是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有 必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的 个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是 谓词逻辑的基本内容。
第1章-谓词逻辑
或∀x (H(x) →∀y(W(y)→K(x,y)))
（2）∃x (H(x)∧∀y(W(y)→K(x,y)))
（3）∃x ∃y( H(x)∧W(y)∧ ﹃ K(x,y))
或﹃ ∀x ∀y(H(x)∧W(y)→K(x,y)) （4） ﹃ ∃x ∃y( H(x)∧H(y)∧L(x,y)) 或∀x ∀y(H(x)∧H(y)→ ﹃ L(x,y))
2.2 量词
说明：
（1）分析命题中表示性质和关系的谓词，要分别符号 化为一元和n(n ≥2)元谓词。 （2）根据命题的实际意义选用∀或∃。 （3）一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序 不能随意调换。如： 在实数域上用L(x,y)表示x+y=10 命题：对于任意的x,都存在y使得x+y=10。 可符号化为：∀x∃yL(x,y) 真值为1。 若调换顺序后符号化为：∃y∀xL(x,y) 真值为0.
2.3 谓词公式
1. 原子公式：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(x1,x2,…xn）。 2. 合式公式： （１）原子公式是合式公式； （２）若Ａ、Ｂ是合式公式，则 Ａ∧Ｂ、Ａ∨Ｂ、┐Ａ 、Ａ→ B、A↔B、 ┐B、 xＡ、xＡ是谓词公式
（3）只有有限次使用 （1 ）和（ 2 ）构成的公式才是合
2.5 谓词演算的等值演算
二、谓词演算的基本永真公式
5）量词分配等值式：
x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
个体常项：具体的或特定，一般用a,b,c,…表示。
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
第5章 基于一阶谓词的机器推理
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
谓词逻辑课件
(2)若考虑个体域是全总个体域，则符号化为： M(x): x是计算机专业的学生。 F(x,y):x喜欢y。 a：计算机专业 x ( M(x) ┐F(x,a) ):有些计算机专业的学生并不喜欢这
个专业。
②把每个简单命题分解成个体词、谓词和量词；在全总 论域讨论时，要给出特性谓词。
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后的特性谓词是 蕴含式的前件，存在量词(x)后的特性谓词是合取式的
合取项。
④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
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小结
• 谓词逻辑最本质的特点是能够通过提取命题中描述性 质及关系的词（即谓词）来刻画命题，从而能够深层 次体现命题中个体的相关特性。
• 在命题符号化时，有些量词没有明确给出，要仔细分析 并写出这些隐含量词。
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作业
一.符号化下列命题。 1. 任何两个不同的人都性格不相同。 2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。
二.符号化下列推论。 1.每个大学生不是文科学生就是理工科学生，小张不是理工科
学生，因此如果小张是学生，则他就是文科生。 2. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句.
(1) 没有人登上过木星。
(2) 在美国留学的学生未必都是亚洲人。
(3)任何整数或者是正的或者是负的。
(4) 尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
(5) 苏格拉底三段论。
(6)天下乌鸦一般黑。
(7)没有最大的自然数。
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谓词逻辑符号化（二）
谓词逻辑(第一部分)(Chapter 3 Predicate Logic)....ppt
由上述可知，表示知识的陈述性 形式称为命题。
2019-12-2
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带有参数的命题叫谓词，比起命 题来，谓词有更强的表达能力。谓词 逻辑可以表达那些无法用命题逻辑表 达的事实。因为：
（1）命题没有概括能力。
为了表达：“XX是一个城市”，则有多少个城市 就要用多少个命题来表示：
步1. For (x) SET(x), then (y) SET(y), |y| > |x|
存在量词 x：表示“存在一个x，至少有 一个x”
(x)[ROBOT(x) COLOR(x, GRAY)]
(x) INROOM(x, R1)
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(8) 约束变量：经过量化的变量
自由变量：未经量化的变量
我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
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(1) 原子公式：由若干谓词符号和项组成。
(2) 常量符号（项）：表示论域内的物体或实
体，可以是物、人、概念或事情。
(3) 变量符号（项） ：允许不必明确涉及是哪
一个实体，如INROOM(X, Y), X, Y即为变量。
(4) 函数符号：表示论域内的函数。例如函数
符号MOTHER可表示某人与他或她母亲的映射。
P（加上划线）
Conjunction(and) P Q
P&Q P·Q PQ P,Q
Disjunction(or) P Q
P|Q P;Q P+Q
Implication(if) PQ PQ P Q
Equivalence(iff) PQ PQ PQ
谓词逻辑推理定律
谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。
谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。
谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。
通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。
谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。
下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。
1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。
例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。
因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。
2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。
例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。
因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。
3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。
例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。
4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。
例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。
5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。
例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。
通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。
6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。
例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。
以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。
05-L.02 谓词逻辑的归结推理
离散数学基础2017-11-19•一些基本定义：−谓词公式中原子或原子的否定形式称为文字。
−文字的析取式称为子句。
−不包含任何文字的子句称为空子句。
»空子句是不可满足的。
−若干相互形成合取关系的子句以集合元素的形式构成集合，称为子句集。
•定理：谓词公式的子句集化归−任何谓词公式都可应用谓词逻辑等值式及推理规则化成相应的子句集。
−过程（构造性证明）：(1)蕴涵消去：消去条件蕴涵符号；(2)否定词深入：否定词直接作用在原子上；(3)变量标准化：处于不同量词辖域的约束变量根据易名规则使用不同的变量名；(4)消去存在量词：对不受约束的存在量词，使用常量符号例化；对被约束的存在量词，引入Skolem函数建立依赖；(5)化为前束形： （前缀）（母式），前缀包含全称量词串，母式中不包含任何量词；(6)将母式化为合取范式；(7)消去全称量词（自由变量默认全称量化）；(8)由(6)中各极大项构成子句；(9)变量分离：使各子句不含同名变量。
•例：∀xP(x)→∀x∃y((P(x)∨Q(x))→R(x, y))¬ ∀xP(x) ∨ ∀x∃y(¬(P(x) ∨ Q(x)) ∨ R(x, y)) 蕴涵消去∃x¬P(x) ∨ ∀x∃y ((¬P(x) ˄ ¬Q(x)) ∨ R(x, y))否定词深入∃x¬P(x) ∨ ∀z∃y ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, y))变量标准化¬P(c) ∨ ∀z((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))消去存在量词∀z(¬P(c) ∨ ((¬P(z) ˄ ¬Q(z)) ∨ R(z, f Skolem(z))) 化为前束形∀z((¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z)) ˄(¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z)))将母式化为合取范式¬P(c) ∨ ¬P(z) ∨ R(z, f Skolem(z), ¬P(c) ∨ ¬Q(z) ∨ R(z, f Skolem(z) 消去全称量词 {¬P(c) ∨ ¬P(u) ∨ R(u, f Skolem(u), ¬P(c) ∨ ¬Q(v) ∨ R(v, f Skolem(v)} 变量分离−说明：»子句中的变量总是被默认为全称量化的；»化归得到的子句集不等价于原公式；»考虑到量词消去和引入规则的应用，若公式 A 在逻辑上遵循公式集 S，则也遵循由 S 变换成的子句集。
数理逻辑中的谓词逻辑与量词
数理逻辑中的谓词逻辑与量词数理逻辑是研究推理和思维规律的学科，其中一个重要的分支是谓词逻辑与量词。
谓词逻辑是数理逻辑中的一种形式，它通过谓词和量词来描述真假性以及命题之间的关系。
在本文中，我们将详细探讨数理逻辑中的谓词逻辑与量词。
一、谓词逻辑的基础谓词逻辑中的核心概念是谓词。
谓词是一个用于描述对象性质或关系的符号。
在数理逻辑中，谓词可以用来表示真假性，并与量词结合来形成命题。
谓词逻辑的语言形式包括原子公式和复合公式。
原子公式是谓词逻辑中最基本的命题形式。
它由一个或多个常量、变量和谓词组成，用于描述具体对象或对象之间的关系。
例如，"x > 5"这个原子公式表示某个对象x大于5。
复合公式是由多个原子公式通过逻辑连接词（例如"与"、"或"、"非"）组合而成的。
通过逻辑连接词的运算，可以形成更复杂的命题。
例如，"x > 5 且 y < 10"是一个由两个原子公式通过"且"逻辑连接词连接而成的复合公式。
谓词逻辑中还引入了量词的概念，用来描述一个或一类对象的范围。
量词一般包括全称量词和存在量词，分别表示全体对象和存在某个对象。
通过量词的运用，可以对对象进行分类和概括，并进一步推导出更复杂的命题。
二、量词的应用1. 全称量词全称量词以"对于所有"的形式出现，表示某个属性适用于所有对象。
全称量词可以用来描述普遍性的命题。
例如，"对于所有的整数x，x > 0"表示所有的整数都大于0。
2. 存在量词存在量词以"存在某个"的形式出现，表示至少存在一个对象满足某个属性。
存在量词可以用来描述某种情况的存在性。
例如，"存在一个正整数x，使得x > 10"表示存在一个正整数大于10。
量词可以与谓词逻辑的其他部分进行组合，形成更为复杂的命题。
5.1一阶谓词逻辑等值式与置换规则
例 设个体域D={a,b,c}, 消去公式中的量词: xy(F(x)G(y))
解 xy(F(x)G(y)) (y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
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例 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
x(F(x)G(x))
置换
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求下述在I下的解释及其真值:
xy(F(f(x))G(y,f(a)))
解 xF(f(x))yG(y,f(a))
F(f(2))F(f(3))(G(2,f(2))G(3,f(2)))
10(10)0
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xA(x)B 其中x是个体变项符号, 且不在前提的任何公式和B
中自由出现
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4. 存在量词引入消去规则(+)
A(y)
BA(y)
xA(x) 或 BxA(x)
A(c)
xA(x) 或
BA(c) BxA(x)
其中x,y是个体变项符号, c是个体常项符号, 且在A 中y和c不在x和x的辖域内自由出现.
前提: x(F(x)H(x)), x(G(x)H(x))
结论: x(G(x)F(x))
证明:
① x(F(x)H(x))
前提引入
② x(F(x)H(x))
谓词逻辑知识点总结
谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。
在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。
例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。
而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。
二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。
谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。
在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。
在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。
在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。
三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。
在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。
通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。
四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。
在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。
完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。
五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。
比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。
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解 设N（x）：x是自然数，R（x）：x是实数，则
推理形式化为：
x（N（x）→R（x））, N（3） R（3）
下面进行证明。
（1） x（N（x）→R（x））
（2）N（3）→R（3）
前提引入
（1）UI
（3）N（3）
（4）R（3）
前提引入
（2）（3）假言推理
【例2】 构造下面推理的证明：
前提 x（F（x）→（G（x）∧H（x））），
更多例题习题
补充：存在唯一量词！很多的命题源自存在唯一的表述，或者是说有且仅有一个。
量词表示： ！
例如：存在唯一的偶素数. P(x):x是素数，E(x):x是偶数 表示： ！x(P(x)E(x)) 不用！的表示方法： 举例： ！xA(x) 也可以表示为 x ( A(x) y(yx) A(y) )
xA( x ) A(t )
规则成立的条件： （1）t是任意个体变项或常项。 （ 2 ） A （ t ）中其它约束变元个数与 A （ x ） 中x以外的约束变元个数相同。
全称量词引入规则（简称UG规则）
Universal Generalization (UG)
A(t ) xA( x )
规则成立的条件： （1）A（t）在任何解释I及I中对t的任何赋值下均 为真。此处t是自由变量
是普通乘法。
（1）xy（x·y=0） （2）xy （x·y=1） （3） y x（x·y=1） （4） y x （x·y=x）
4 ．给定谓词如下，试将下列命题译成自然
语言。P（x）：x是素数。 （1） E（2）∧P（2） E（x）：x是偶数。
O（x）：x是奇数。D（x，y）：x整除y。 （2）x（D（2，x）→E（x））
（7）P（c）
（8）H（c） （9）P（c）∧H（c） （10） x（P（x）∧H（x））
(3)化简
(6)化简 (7)(8)合取引入 (9)EG
问题：将这里的 （3）和（4）顺序调换，有什么不一样吗？
【例3】 设前提为 x yF（x，y），下面 推理是否正确？
（1） x yF（x，y）
（4）F（t）∨G（t）
（2）UI
（3）UI
（5） x（F（x）∨G（x））
（4）UG
补充课外习题 1．在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）天下乌鸦一般黑。 （2）没有不散的筵席。 （3）闪光的未必是金子。 （4）有不是奇数的素数。 （5）有且仅有一个偶素数。 （6）猫是动物，但并非所有的动物都是猫。
（3） x y（F（x，y）→G（y））
y(F(a,y)→G(y))∧ y(F(b,y)→G(y))
∧ y(F(c,y)→G(y))
((F(a,a)→G(a))∨(F(a,b)→G(b))∨(F(a,c)→G(c)))∧
((F(b,a)→G(a))∨(F(b,b)→G(b))∨(F(b,c)→G(c)))∧
Existential Instantiation (EI)
（1）c是使A（c）为真的某个特定的个体常元。 （2） xA（x）是闭式，且c不在A（x）中出现。 特别需要注意的是，使用这些规则的条件非 常重要，如在使用过程中违反了这些条件就可能导 致错误的结论。
【例1】 证明推理"所有的自然数均是实数，3是自 然数，因此，3是实数。"正确。
（7）骆驼都比马大。 （8）有的骆驼比所有的马都大。 （9）所有的骆驼都比某些马大。 （10）有的骆驼比某些马大。
2．取个体域为实数集R， 函数f在点a处连续的定 义是：f在a点连续，当且仅当对每一个小正数ε，都存 在正数δ，使得对所有的x，若|x-a|＜δ，则 |f（x）-f（a） |＜ε。把上述定义用符号的形式表示。 3 ．在整数集中，确定下列命题的真值，运算 "·"
xP ( x)
前提 （1）；I1
（3） （4 ） 错！ （5） （6 ） （7 ）
xQ( x)
P (c ) Q (c ) P(c) Q(c) x( P( x) Q( x))
（1）；I2 （2）；ES （3）；ES （4）（5）；I9 （6）；EG
因此 xP( x) xQ( x) x( P( x) Q( x))
（2）x不在A（t）中约束出现。
存在量词引入规则（简称EG规则）
Existential Generalization(EG)
A(c ) xA( x )
规则成立的条件： （1）c只需是某个特定的个体常量。 （2）x不在A（c）中出现。
存在量词消去规则（简称EI规则）
xA( x ) 规则成立的条件： A( c )
（3） x（E（x）∧D（x，6））
（4） x（E（x）→D（2，x））
（5） x（E（x）→ y（D（x，y）→E（y））） （6） x（O（x）→ y（P（y）→D（x，y））） （7）x（P（x）→ y（E（y）∧D（x，y））） （8） x（E（x）∧P（x）∧ y（E（y）∧P（y） ∧x≠y））
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论 在谓词逻辑中，由前提 A1 ， A2 ， … ， An 推出结 论 B 的形式结构仍然是 A1∧A2∧…∧An→B 。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者 A1，A2，…，An B，否则称推理不正确。
（3） x y（F（x，y）→G（y））
解 （1） xF（x）∧ yG（y）
（F(a)∧F(b)∧F(c)）∧（F(a) ∨F(b)∨F（c））
（2） x y（F（x）∧G（y））
y(F(a)∧G(y))∧ y(F(c)∧G(y)) y(F(b)∧G(y))∧
((F(a)∧G(a))∨(F(a)∧G(b))∨(F(a)∧G(c)))∧ ((F(b)∧G(a))∨(F(b)∧G(b))∨(F(b)∧G(c)))∧ ((F(c)∧G(a))∨(F(c)∧G(b))∨(F(c)∧G(c)))
（2）没有一个数使0为它的后继数。
（ 3 ）每个不等于 0 的数都有唯一的一个数是它的
直接先行者。
分析 在符号化命题的过程中，设定谓词尽可能
少是一个原则。注意到"x是y的后继数"与"y是x的直接
先行者"含义相同，所以可用一个谓词表示。
解 设N（x）：x是自然数，F（x，y）：x
是y的后继数，G（x，y）：x=y，则
((F(b,a)→G(a))∨(F(b,b)→G(b))∨(F(b,c)→G(c)))
【例11】 构造下面推理的证明：
前提 xF（x）∨ xG（x）
结论 x（F（x）∨G（x））
证明
（1） xF（x）∨ xG（x）
（2） x y（F（x）∨G（y））
前提引入
（1）置换
（3） y（F（t）∨G（y））
（2） yF（t，y）
前提引入
（1）UI
（3）F（t，c）
（4） xF（x，c） （5） yxF（x，y）
（2）EI
（3）UG （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由
x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为
由于谓词演算是在命题演算的基础上，进 一步加入了谓词与量词的功能，因此容易想到， 命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于 谓词演算，即在命题逻辑中的各项推理规则在
谓词逻辑推理中仍然适用，当然也有些只适用
于谓词演算的概念与规则。
全称量词消去规则（简称UI规则） Universal Instantiation (UI)
or
x ( A(x) y( D(x,y) A(y) ),其中D(x,y)表示yx.
Or x（A（x）∧y（A（y）→x=y））
课堂练习： 符号化下面语句，并用构造证明法证明其推理的正确性。 所有的旅客或者坐头等舱或者坐经济舱，每个旅客当且仅 当他富裕时坐头等舱，有些旅客富裕但并非所有的旅客均 富裕。因此，有些旅客坐经济舱。 设F(x):x是旅客，G(x):x坐头等舱，H(x):x坐经济舱，S(x):x 是富裕的。 前提： x( F ( x) (G ( x) H ( x)))
证明
（1） x（F（x）→G（x）） 前提引入
（2） xF（x）
（3）F（t）
附加前提引入
（2）UI
（4）F（t）→G（t）
（5）G（t） （6） xG（x） （7）xF（x）→ xG（x）
（1）UI
（3）（4）假言推理 （5）UG
例5
指出下面推理的错误.
证明
（1） xP( x) xQ( x) （2 ）
例6
指出下面推理的错误.
设D(x,y)表示“x可被y 整除” ,个体域 为 { 5,7 ,10 ,11 }. 因为D(5，5)和D(10,5)为真，所以 xD(x,5)为真. 因为D(7，5)和D(11,5)为假，所以 xD(x,5)为假. 分析有下面的推理过程：
(1) xD(x,5)
(2) D(z,5) 错！ (3) xD(x,5)
证明：x(M(x) ∧ F(x) ∧G(x) )
前提
x( M(x) ∨F(x) ∨ G(x) ) Demorgen定律 x( M(x) ∨ G(x) ∨F(x) ) 交换律 x( （M(x) ∧ G(x)） ∨F(x) ) Demorgen定律 x(（M(x) ∧ G(x))→ F(x) )
(M(t) ∧ G(t))→ F(t) UI规则（t自由变量）
x(M(x) ∧ G(x) ∧H(x) ) 前提
M(c) ∧ G(c) ∧H(c)
M(c) ∧ G(c) H(c)
EI
(M(c) ∧ G(c))→ F(c) F(c)