均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式的应用习题课
(2009· 湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，
要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他 三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m， 新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，
修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).
[证明] (1)∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca， 以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca， ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. (2)∵a、b、c∈R＋. a＋b b＋c c＋a ∴lg 2 ＋lg 2 ＋lg 2 >lga＋lgb＋lgc
a＋b b＋c c＋a ⇔lg · · 2 >lg(abc) 2 2
1．利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个 二定 一正 条件： ________ 、________、三相等 __________. 2．连续两次使用不等式变形时要保持前后等号成 条件 立________ 的一致性．
a＋b 1．由基本不等式 2 ≥ ab(a，b∈R＋) 可以推导出： a＋b 2 (1)ab≤( 2 ) ，(a、b∈R＋)． (2)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R )．
10 x 当且仅当 x ＝10，即 x＝10 时，y 取最小值． 答：汽车使用 10 年平均费用最少．
利用基本不等式求最值 基本不等式的应用 利用基本不等式证明不等式
[方法规律总结] 应用基本不等式解决实际问题的步骤： (1)理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值 或最小值问题； (3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小 值； (4)根据实际背景写出答案．
最新均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6CD针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（ ）针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ． 【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】 因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号， 所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤， 解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】 【分析】直接由基本不等式可得． 【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（ ） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-， 当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号， 故411ab +-的最小值为9； 故选：B针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】 将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】 由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】 由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】 构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】 本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】 依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值 【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号） 故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】 因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=， 因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=， 当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确； 所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确； 故选：B。
第6节 均值不等式及其应用
第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ，ba ＝b 时，等号成立.数a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)(a ＋b )2≥4ab ；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(多选题)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x ＋y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有3x ≥3y ，故A 正确； 当0＞x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误； 当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30(0＜x ≤18)，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝1 4，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝4，n ＝2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋6x＋1x－y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x，y>0，x2－xy＝2得x－y＝2x，则1x－y＝x2，所以x＋6x＋1x－y＝x＋6x＋x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x≥3×2x2×2x＝6，当且仅当x2＝2x，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋6x＋1x－y的最小值为6.(2)对于A，取x＝32，y＝12，可得2x＋2y＝32>4，A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误； 对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( ) A.3＋223 B.3＋22 C.3D.9(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且＝4，P 为BD 上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b2＋b 28＝84＋b2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又点B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4， 当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有( )A.2abB.a 2＋b 2C.1a ＋1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ，b ＞0，所以2＝a ＋b ≥2ab ，所以0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.由ab ≤1，得2ab ≤2，所以2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，C 正确；2ab ≥2，D 正确，故选BCD.4.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x )≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号. 6.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9.若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 12.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A.a ＋b ＋c ≤3B.(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c ＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
均值不等式 含答案
课时做业15均值没有等式之阳早格格创做时间：45分钟谦分：100分课堂锻炼1．已知5x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是()A．15B．6 C．60 D．1【问案】C【剖析】∵5x ＋3y＝1≥215xy，∴xy≥60，当且仅当3x＝5y时与等号．2．函数f(x)＝x＋4x＋3正在(－∞，－2]上()A．无最大值，有最小值7B．无最大值，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值－1，无最小值【问案】D【剖析】∵x≤－2，∴f(x)＝x＋4x＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，与等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知二个正真数x ，y 谦脚x ＋y ＝4，则使没有等式1x ＋4y≥m 恒创造的真数m 的与值范畴是____________． 【问案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【剖析】1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．供函数y ＝x2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分解】 对付于原题中的函数，可把x ＋1瞅成一个完全，而后将函数用x ＋1去表示，那样转移一下表白形式，不妨表露其内正在的形式特性，进而能用均值定理去处理．【剖析】果为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号创造．∴当x ＝1时，函数y ＝x2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，博得最小值为9.【顺序要领】 形如f (x )＝ax2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)大概者g (x )＝mx ＋nax2＋bx ＋c (m ≠0，a ≠0)的函数，不妨把mx ＋n 瞅成一个完全，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )皆不妨转移为闭于t 的函数．课后做业一、采用题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－32C ．3－23D ．－1 【问案】C【剖析】y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时与“＝”．2．下列论断透彻的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lgx ≥2B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【问案】B【剖析】A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正背没有决定，∴lg x ＋1lgx ≥2大概lg x ＋1lgx ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 正在(0,2]上递加，(x －1x )max ＝32. 3．如果a ，b 谦脚0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12B ．aC ．2abD ．a 2＋b 2【问案】D【剖析】要领一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定没有是a 战2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.要领二：特值考验法：与a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列没有等式创造的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【问案】A【剖析】∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x2＋5x2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－x D ．f (x )＝lg x ＋log x 10 【问案】C【剖析】A 、D 选项中，没有克没有及包管二数为正，排除；B 选项没有克没有及与等号，f (x )＝2×x2＋5x2＋4＝2×x2＋4＋1x2＋4＝2×(x2＋4＋1x2＋4)≥4，要与等号，必须x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，那是没有成能的，排除．故选C.6．今有一台坏天仄，二臂少没有等，其余均透彻．有人道要用它称物体的沉量，只需将物体搁正在左、左托盘各称一次，则二次称量截止的战的一半便是物体的真正在沉量．设物体搁正在安排托盘称得的沉量分别为a，b(a≠b)，则物体的本质沉量为几？本质沉量比二次称量的截止的一半大了仍旧小了？()A.a＋b2；大 B.a＋b2；小C.ab；大D.ab；小【问案】D【剖析】设物体真正在沉量为m，天仄左、左二臂少分别为l1，l2，则ml1＝al2①ml2＝bl1②①×②得m2l1l2＝abl1l2∴m＝ab又∵a＋b2≥ab且a≠b，∴等号没有克没有及博得，故m <a ＋b 2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92D.112 【问案】B【剖析】∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”创造，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．正在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x2＋x ＋1x 正在共一面博得相共的最小值，那么f (x )正在区间[12，2]上的最大值是( )A.134B ．4C．8 D.5 4【问案】B【剖析】∵g(x)＝x2＋x＋1x＝x＋1x＋1≥3，当x＝1时与等号，即当x＝1时与最小值3，∴f(x)的对付称轴是x＝1，∴b＝－2，将(1,3)代进即得c＝4，∴f(x)＝x2－2x＋4，易得正在[12，2]上的最大值是4.二、挖空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x2＋2x2＋1________2(挖“>”“<”“≥”大概“≤”)．【问案】≥【剖析】x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2.10．当x>1时，没有等式x＋1x－1≥a恒创造，则真数a的与值范畴是________．【问案】(－∞，3]【剖析】∵x>1，∴x＋1x－1>0，要使x＋1x－1≥a恒创造，设f(x)＝x＋1x－1(x>1)，则a≤f(x)min对付x>1恒创造．又f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1×1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1即x＝2时与“＝”．∴a≤3.三、解问题(每小题20分，共40分．解允许写出需要的笔墨道明、道明历程大概演算步调)11．设x，y∈R＋，且x＋y＋xy＝2，(1)供x＋y的与值范畴；(2)供xy的与值范畴．【剖析】(1)2＝x＋y＋xy≤x＋y＋(x＋y 2)2，当且仅当x＝y时与“＝”．∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0.∴[(x＋y)＋2]2≥12.∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥12.∴x＋y≥23－2，当且仅当x＝y＝3－1时与“＝”．故x＋y的与值范畴是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时与“＝”．∴(xy)2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3.又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的与值范畴是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元买进一艘渔船用于捕捞，每一年需要百般费用12万元．从第二年起包罗维建费正在内每年所需费用比上一年减少4万元．该船每年捕捞总支进50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是几？(2)问捕捞几年后的仄衡成本最大，最大是几？【剖析】(1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n n －12×4] ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年仄衡成本为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n ·49n －20＝12 当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式与等号． 所以，捕捞7年后的仄衡成本最大，最大是12万元．【顺序要领】 正在应用均值没有等式办理本质问题时，应注意如下思路战要领：(1)先明白题意，设出变量 ，普遍把央供最值的量定为函数；(2)建坐相映的函数闭系，把本质问题抽象成函数的最大值大概最小值问题；(3)正在定义域内，供出函数的最大值大概最小值；(4)透彻写出问案．。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
专题17 均值不等式及其应用(解析版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
均值不等式的应用（习题+标准答案）
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
课时作业13：第2课时 均值不等式的应用
第2课时 均值不等式的应用一、选择题1.已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( )A.4B.2C.1D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为() A.2 2 B.4 2 C.16 D.不存在答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x +2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A.－3B.3C.4D.－4答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B.4 C.92 D.5答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝52＋⎝⎛⎭⎫2a b ＋b2a ≥52＋22a b ·b2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2ab ＝b2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为() A.0 B.1 C.94 D.3答案 B解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0且z ≠0得x 2z ＋4y 2z ＝3xy z ＋1，∵x 2z ＋4y 2z ≥2x 2·4y 2z 2＝4·xyz ，∴3·xy z ＋1≥4·xyz .∴xyz ≤1，当且仅当x 2z ＝4y 2z 即x ＝2y 时取等号.∴⎝⎛⎭⎫xyz max ＝1，此时x ＝2y ，z ＝xy ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝2y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.当1y ＝1即y ＝1时取等号.∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1y －2z max ＝1.6.已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值为( )A. eB.2C.eD.e 2答案 C 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ·ln y ， ∴ln x ·ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ·ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ＋ln y ≥2ln x ·ln y ＝1，当且仅当ln x ＝ln y ＝12时，等号成立，∴xy ≥e. 即xy 的最小值为e.7.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A.9B.8C.4D.2答案 A解析 圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c ＝4， 当且仅当4c b ＝b c时等号成立. 由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题8.若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是 答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号. 9.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.10.设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为 .答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6，8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号. ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4. 11.设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是 . 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 12.已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则lg x ＋lg y 的最大值为 .答案 lg 3解析 由x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝⎛⎭⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立. 故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg 3. 三、解答题13.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元， 依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x ＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20 000x ＋3 000≥250x ·20 000x＋3 000＝5 000(元). 当且仅当50x ＝20 000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元).所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.四、探究与拓展14.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为 . 答案 6解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当2a b ＝2b a，即a ＝b 时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6.15.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为 时，可使每间虎笼面积最大.答案 4.5 m ，3 m解析 设每间虎笼长为x m ，宽为y m.依题意，得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大.方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎡⎦⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大.。
均值不等式含答案
均值不等式教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值； 教学难点： 利用均值不等式的证明。
1. 算术平均值与几何平均值（1） 算术平均值：对任意两个正实数,a b ，数2a b+ 叫做,a b 的算术平均值 （2） 几何平均值：对任意两个正实数,a b叫做,a b 的几何平均值 2. 均值定理如果,a b R +∈，那么2a b+≥，当且仅当a b =时，等号成立 3. 均值不等式的常见变形（1）),a b a b R ++≥∈（2）()2,2a b ab a b R +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭（3）2b aa b+≥（,a b 同号且不为0） （4）)2,11a b R a b+≤∈+类型一： 均值不等式的理解例1. 设0,0a b >>，则下列不等式不成立的是（）A.2b a a b +≥B.44222a b a b +≥ C. 22b a a b a b +≥+ D.1122a b a b+≥++解析：特值法，令1a b ==，则A,B,C 项都成立，而D 项中，1122,23a b a b+=+=+ 显然不成立，故D 项不成立。
答案：D练习1. 若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥2答案：D练习2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案：B类型二： 均值不等式与最值例2. 若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245 B ．285C ．5D ．6解析：由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x时，得到最小值5. 答案：C练习3. 设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10 B ．63 C ．46 D ．18 3答案：D练习4. 已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( ) A ．100 B ．75 C ．50 D ．25 答案：D类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用例3. 已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 解析：∵a ＋b2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)．a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立). 答案：见解析练习5. 已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．答案：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab .即21a ＋1b≤ab . 练习6.若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9..答案：证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2)2＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1y)＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy )＝5＋2(y x ＋xy )≥5＋4＝9＝右边．当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．例4. 在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4SC ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S 解析：S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎫r ＋Sr ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.答案：D练习7. 设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3 答案：B练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元 答案：A1. 若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy ≥1答案：B2. 已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．10 答案：B3. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18答案：D4. 实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43 答案：A5．设x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．7B ．339 C ．1＋22 D ．56. 设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14答案：B基础巩固1. 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D2. 若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案：D3. 已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案：34. 已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ 答案：12(a －b )25. a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a > b C ．b >a >cD ．a >c >b答案：C6. 设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11 答案：D7. 已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18答案：B8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B9. 已知2x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．10. 若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．答案：23311. 做一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 答案：C12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) 答案：1113. 一个矩形的周长为l ，面积为S ，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，12)．其中可作为(l ，S )的取值的实数对的序号是________． 答案：①④14. 已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．答案：x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by)＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升15. 已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．2 3 答案：C16. 设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数17. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：D18. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q 答案：C19. 已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值1答案： D20. 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y 2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y 2<y答案：D21. 设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：D22. 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：D23.若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案：D24. 当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 答案：D25. 已知正数x 、y 满足1x ＋4y＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116答案：C26. 若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________ 答案：1827. 已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．答案：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．28. 已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋C答案：∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ， c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋C ． 29．求函数y ＝1－2x －3x 的值域．答案：y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x)．①当x >0时，2x ＋3x ≥22x ·3x＝2 6. 当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号．∴y ＝1－(2x ＋3x)≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )．∵－2x ＋(－3x)≥2(－2x )·(－3x)＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号．∴此时y ＝1－2x －3x≥1＋2 6综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？答案：(1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98. (1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0， ∴10－51<n <10＋51， 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入＝f (n )n ＝40－2(n ＋49n )≤40－2×14＝12，当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)． ②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n ＝10时，f (n )max ＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
均值不等式及其应用(原卷版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．1103．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A．B．1C．1D．2-4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．125．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1B ．C ．2D ．46．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ）A ．2B ．12x x C ．4D．7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+D ．38．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．39．若正实数满足，则（ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最大值10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（ ） A ．B ．C ．D ．11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．1512．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 14．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______． 15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.16．若，且，则的最小值为_______．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．19．已知，求证：.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．22．设a>0，b>0，且证明：（1）a＋b≥2；（2）a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
均值不等式的应用(习题+标准答案)
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错； 对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错； 对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当s t =取等号，成立． 故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（ ）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】 【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−， 当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】 【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭， 当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0， 故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】 【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（ ）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭， 当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立， 故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（ ）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=， 当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列， 所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ， 又数列{}n b 是等差数列， 所以6912,,b b b 成等差数列， 所以61292+=b b b ， 又因为98b a =， 所以313612a a b b +≥+， 故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值． 【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=， 当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（ ）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+， 因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。
均值不等式练习题解析版
均值不等式练习题班级_______姓名____________1. 已知x,y∈R+，xy=2x+y，则x+y取得最小值时，x=．2. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是_______________①1ab ≤14②1a+1b≤1③√ab≥2③a2+b2≥83. 下列结论正确的是______________①若a,b∈R，则ba +ab≥2②若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4③若ab≠0，则b2a +a2b≥a+b④若x<0，则2x+2−x>24. “a>0，b>0”是“ab<(a+b2)2”的条件5. “x+1x>2”是“x>1”的条件6. 设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，下列结论正确的是_______________①a+b有最小值2+2√2②a+b有最大值2+2√2③ab有最大值√2+1④ab有最小值2+2√27. 设m∈R且m≠0，“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是( )①m≠2②m>0且m≠2③m>2④m≥28. 设直线x=t(t>0)与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C(t+1t,2)，则△ABC面积的最小值为．9. 若不等式(x+y)(ax +4y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则a2+b2的最小值为．11. 已知x>0，y>0，且x+2y=2，那么xy的最大值是．12. 已知x>54，则函数y=4x+14x−5的最小值为．13. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元．14. 已知0<x<1，当x=_______时，√x(1−x)的值最大．15. 已知x>−1，求x+4x+1的值最小值.16. 设a，b，c∈R，求证：b+ca +c+ab+a+bc≥6．17. 设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba +ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．18. 某工厂有一面长14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①修1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是a4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案（设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为x m）：方案1：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长(x<14)：方案2：利用旧墙为矩形厂房的一面边长(x≥14)．则如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?答案1. √2+12. ④【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项①，③不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项②不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项④成立．3. ④ 【解析】对于①，当 ab <0 时不成立； 对于②，若 x <0，则 x +4x =−(−x +4−x)≤−2√(−x )⋅4−x =−4，当且仅当 x =−2 时，等号成立，因此②选项不成立；对于③，取 a =−1，b =−2，b 2a +a 2b=−92<a +b =−3，所以③选项不成立；对于④，若 x <0，则 2x +2−x >2 成立． 4. 既不充分也不必要【解析】当 a >0，b >0 时，a+b 2≥√ab ，即 ab ≤(a+b 2)2，当 a =b 时，ab <(a+b 2)2 不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的充分条件．当 ab <(a+b 2)2 时，a ，b 可以异号，故 a >0，b >0 不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <(a+b 2)2”的既不充分也不必要条件．5. 必要而不充分6. ① 【解析】因为 a >1，b >1 且 ab −(a +b )=1，所以 1+a +b =ab ≤(a+b 2)2，则 (a +b )2−4(a +b )−4≥0，得 a +b ≥2+2√2 或 a +b ≤−2√2+2（舍去），当且仅当 a =b =1+√2 时等号成立．因为 a +b =ab −1≥2+2√2，所以 ab ≥3+2√2，当且仅当 a =b 时等号成立． 7. ①8. √2．【解析】由 {x =t,y =x 2+2可得 A (t,t 2+2)，所以 ∣AB∣=t 2+2，则 △ABC 的面积S=12×∣∣t +1t−t ∣∣×(t 2+2)=12×t 2+2t =12(t +2t )≥12×2√t ×2t=√2,当且仅当 t =2t ，即 t =√2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 √2．9. 4【解析】因为不等式 (x +y )(a x +4y)≥16 对任意正实数 x ，y 恒成立，所以 16≤[(x +y )(ax +4y )]min，令 f (x )=(x +y )(ax +4y )(a >0)，则f (x )=a +4+ay x+4x y ≥a +4+2√ayx ⋅4x y=a +4+4√a,当且仅当 xy =√a2时取等号， 所以 a +4√a ++4≥16，解得 a ≥4， 因此正实数 a 的最小值为 4． 10. 8 11. 12【解析】因为 x >0，y >0，且 x +2y =2， 所以 xy =12x ⋅2y ≤12×(x+2y 2)2=12×(1)2=12，当且仅当 x =2y =1，即 x =1，y =12 时，取等号，故 xy 的最大值是 12． 12. 7【解析】因为 x >54，所以 4x −5>0．y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7． 当且仅当 4x −5=14x−5，即 x =32时等号成立．法二：因为 x >54，令 yʹ=4−4(4x−5)2=0，得 x =1 或 x =32，当 54<x <32 时，yʹ<0，函数单调递减； 当 x >32 时，yʹ>0，函数单调递增．所以当 x =32时函数取得最大值为：4×32+14×32−5=7．13. 3300【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x (0≤x ≤70,x ∈N ) 元．则 y =(3000+50x )(70−x )−100(70−x )=(2900+50x )(70−x )=50(58+x )(70−x )≤50(58+x+70−x 2)2，当且仅当 58+x =70−x ，即 x =6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．14. 0<x <1⇒√x >0，√1−x >0⇒√x ⋅√1−x ≤x+(1−x )2=12，即 √x (1−x )≤12（当且仅当 x =1−x ，即 x =12时，等号成立）， 所以当 x =12 时，√x (1−x ) 的最大值为 12． 第三部分 15.x >−1⇒x +1>0⇒x +4x +1=(x +1)+4x +1−1≥2√(x +1)⋅4x +1−1=3(当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立⇒当x =1时,x +4x +1的最小值为3.16. ba +ab≥2c b +bc ≥2a c +ca ≥2} ⇒b+c a +c+ab +a+bc ≥6（当且仅当 a =b =c 时，等号成立）．17. 这个证明过程不正确．过程中b 2+a 2ab≥2ab ab这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．18. 设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为 x m ，则另一面边长为 126xm ．若利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 x ⋅a 4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14−x )⋅a2 元，其余的建新墙的费用为 (2x +2×126x−14)⋅a 元，总费用为y =a 4x +(14−x )a 2+a (2x +252x−14)=a (7x 4+252x −7)=7a (x4+36x−1)(0<x <14).因为 x 4+36x≥2√x4⋅36x=6，0<x <14，所以当且仅当 x =12 时，y min =7a (6−1)=35a （ 元）．若利用旧墙为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 a4⋅14=7a2元，建新墙的费用为 (2x +252x−14)⋅a 元，总费用为 y=72a +a (2x +252x −14)=72a +2a (x +126x−7)(x ≥14).设14≤x1<x2，则x1+126x1−(x2+126x2)=(x1−x2)(1−126x1x2)<0(x1x2>126),所以m=x+126x 在[14,+∞)上为增函数，所以当x=14时，y min=72a+2a(14+12614−7)=35.5a（元）．综上可知，采用方案1，即利用旧墙12m为矩形厂房的一面边长，可使建墙费用最省．。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
均值不等式---含答案
均值不等式---含答案课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n(m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋n ax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12. 方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －cC.1a －b ＋1b －c ≥2a －cD.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －ca －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b 2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【解析】x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0.∴[(x＋y)＋2]2≥12.∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥12.∴x＋y≥23－2，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．故x＋y的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x＋y＋xy≥2xy＋xy，当且仅当x＝y＝3－1时取“＝”．∴(xy)2＋2xy≤2.∴(xy＋1)2≤3.又x、y>0，∴xy＋1>0.∴xy＋1≤ 3.∴0<xy≤3－1.∴0<xy≤4－23，即xy的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－[12×n＋n(n－1)2×4]＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12 当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．。
均值不等式求最值的常用技巧及习题（含解答：经典）
，则12x x +³ ( (当且仅当当且仅当1x =时取“时取“==”）;若0x <，则12x x+£- ( (当且仅当当且仅当当且仅当 _____________ _____________时取“时取“时取“==”） 若0x ¹，则11122-2x x x x x x +³+³+£即或 ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 2.2.若若0>ab ，则2³+ab b a ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 若若0ab ¹________。
解：因为x >0，y>0，所以234343xy x yxy +³=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy £， 3.xy \£，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=\xy 即xy=16 21211211==³+\xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
的最大值。
解：5,5404x x <\->，11425434554y x x x x æö\=-+=--++ç÷--èø231£-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y=。
例3. 3. 当当时，求(82)y x x =-的最大值。
均值不等式的具体应用
均值不等式的具体应用例1【2014年江苏卷（理14）】若三角形ABC 的内角满足CB A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ．【答案】426-【解析】根据题目条件，由正弦定理将题目中正弦换为边，得cb a 22=+，再由余弦定理，用b a ,去表示c ，并结合基本不等式去解决，化简22b a +为ab ，消去ab 就得出答案。
422214322221432)22(2cos 2222222222-+=-+=+-+=-+=ab b a ab ab b a ab b a b a abcb a C4264222143222-=-≥ab ba例2【2014年陕西卷（理16）】ABC ∆的内角CB A ，，所对的边分别为c b a ，，. （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 解：(II) a,b,c 成等比例，∴ b 2=2c.由余弦定理得 cosB=acacc a ac b c a 2222222-+=++≥2122=-ac ac ac ， 当且仅当a=c 时等号成立. ∴ cosB 的最小值为21. 例3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，三角形3cos cos 2C cB a b=-， 则1919b a +++的最大值为 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 3cos 0b Cc B -=。
（1）求tan B ；（2）若7b =，求ABC ∆的周长的最大值。
【知识点】解三角形C8【答案】【解析】3；(2)21 解析: （1） 因为sin 3cos 0,sin sin 3cos 0b C c B B C C B -=∴-=…………2分sin 0C ≠因为 ,cos 0B ≠∴3tan =B ………………………………………………………4分 （2）由（1）知，3B π= 由22272cos a c ac B=+-,得2249a c ac=+-，……………7分所以223()349()494a c ac a c +=+≤++所以14==7a c a c +≤（当且仅当时取等号），所以ABC∆周长的最大值为21……………………………………10分.【思路点拨】在解三角形时，若遇到边角混合条件，通常利用正弦定理或余弦定理先转化为角的关系或转化为边的关系再进行解答.【题文】4设,a b 是两个非零向量，则“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件. F3 A2【答案】【解析】B 解析：因为0<⋅b a 时，,a b 夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅b a 成立，所以“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】：因为0<⋅b a 时，,a b 夹角为钝角或平角，而,a b 夹角为钝角时，0<⋅b a 成立，所以“0<⋅b a ”是“,a b 夹角为钝角”的必要不充分条件. 14. 已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y-=，则14x y+的最小值为 ；【知识点】基本不等式法求最值. E6【答案】【解析】3 解析：由312()2x y-=得x+y=3,所以14x y +()1143x y x y⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()141554333xy yx ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3142x y x x y y y x +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩(,(0,)x y ∈+∞)时等号成立.18. (本小题满分12分)已知23cos 2sin 23)(2-+=x x x f(1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值;(2) 在ABC ∆中, A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值. 【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；sin()yA x的性质；解三角形.C6 C5 C4 C8【答案】【解析】(1) 最小正周期为π ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0；（2）6. 解析：(1)31cos 2331()2sin 2cos2x-1=sin(2)1222226x f x x x x π+=+-=++-()sin(2)16f x x π∴=+-， ………2分∴最小正周期为π ………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是0. (6)分 (2)1()2f A =-,3A π∴= ………8分 由余弦定理得,2222222223()()2cos ()3()44b c b c a b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=即244b c a +≤=,当且仅当2b c ==时取等号.ABC∆∴的周长的最大值是6. ……………12分法二：由1()2f A =-，得3A π∠=，由正弦定理可得， sin sin sin 33b c a B C A ====………8分,,33b B c C ∴==22sin )2sin())333L B C B B π=++=+-224sin()(0)63B B ππ=++<<所以，当3B π=时，L 取最大值，且最大值为6 ………12分【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数将函数化为()sin(2)16f x x π=+-，从而)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值；（2）由（1）及已知求得3A π∠=，再利用余弦定理及基本不等式求出L 取最大值；或利用正弦定理转化为角利用三角函数求L 取最大值. 21. (本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 过点A )23,22(-，离心率为22，点21,F F 分别为其左右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程; （2）若xy42=上存在两个点N M ,，椭圆上有两个点QP ,满足，2,,F N M 三点共线，2,,F Q P 三点共线，且MNPQ ⊥.求四边形PMQN 面积的最小值.【知识点】椭圆的标准方程及其几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系. H5 H8 【答案】【解析】(1)1222=+y x ;(2) 24.解析：（1）由题意得：22=ac ，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-b a b a ，得1=c ，所以22=a，所以椭圆C 方程为1222=+y x . ……………4分（1） 当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S .当直线MN斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与xy42=联立得)42(2222=++-k x k x k ；令),(),,(2211y x N y x M ，24221+=+kxx ，121=xx .442+=k MN ，……………6分MNPQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky 将直线与椭圆联立得，0224)2(222=-+-+k x x k令),(),,(4433y x Q y x P ,24243+=+k x x，2222243+-=k k x x ；2)1(2222++=k k PQ ，……………8分∴四边形PMQN 面积S=)2()1(242222++k k k ，令)1(,12>=+t t k， 上式 242(1)(1)t S t t =-+=)111(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>所以42S ≥最小值为24 ……………12分 【思路点拨】（1）待定系数法求椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S ；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k ，与xy 42=联立，得442+=k MN .MNPQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)1(1--=x ky ，将此直线与椭圆联立得，2)1(2222++=k k PQ .所以四边形PMQN面积S=1||||2MN PQ =)2()1(242222++k k k ,因为211k ，可求得，此时S>24,综上，42S ≥最小值为24.。
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均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,459y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： b a 33和都是正数，ba 33+≥632332==⋅+b a b a当ba33=时等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即当1==b a 时，ba33+的最小值是6． 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
错解．．：Q 0,0x y >>，且191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19xy+≥条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 2＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。
同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数15()22y x <<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。
故max y =。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。