2019—2020学年高二(下)数学“周周练”系列(4)

之和的最小值．
22. 已知函数 f (x) = ln x − ax(a R) 在其定义域内有两个不同的零点． （1）求 a 的取值范围；
（2）记两个零点为 x1, x2 ，且 x1 x2 ，已知 0 ，若不等式 (ln x2 − 1) + ln x1 − 1 0 恒成立，求 的取值范围．
分层抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 人中随机选取 3 人进行
座谈，用 X 表示年龄在[30, 40) ）内的人数，求 X 的分布列
和数学期望； （2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽
取 20 名市民进行调查，其中有 k 名市民的年龄在[30,50) 的概率为 P( X = k )(k = 0,1, 2, , 20) ．当 P( X = k) 最
为“ k 函数”.已知函数 y = x3 − 6x2 + 11x − 5 在[0, 3] 上为“ k 函数”，则实数 k 的最小值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题
13.已知各项均为正数的等比数列an 的公比为 q, a2a8 = 16, a6 − 2a4 = 4 ，则 q = __________.
C. k 2 − e2 1
D. e2 − k 2 1
6.函数 f (x) = ln | 2x | − cos x 的部分图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
x 0
7.设实数
x,
y
满足不等式组
y y
0 x −1
， (2,1) 是目标函数 z = −ax + y 取最大值的唯一最优解，则实数 a 的取值范
AB
3
20. 2019 年是中华人民共和国成立 70 周年．为了让人民了解建国 70 周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了
该地的 100 名市民进行调查，将他们的年龄分成 6 段：[20, 30) ，[30, 40) ，…，[70,80] ，并绘制了如图所示的频
率分布直方图．
（1）现从年龄在[20, 30) ，[30, 40) ，[40, 50) 内的人员中按
的前
10
项的和是
（）
A. 9 22
B. 6 11
C. 1 2
D. 5 11
11.已知在直角坐标系 xOy 中，A(4, 0) ，B(0, 3) ，若点 P 满足 OP = 1，PA 的中点为 M ，则 BM 的最大值为（ ） 2
A. 1
B.2
C.3 D.4
12.定义域为[a, b] 的函数 y = f (x) 的图象的两个端点分别为 A(a, f (a)) ， B(b, f (b)) ， M (x, y) 是 f (x) 图象上任 意一点，其中 x = a + (1− )b (0 1) ，向量 BN = BA .若不等式 MN k 恒成立，则称函数 f (x) 在[a, b] 上
AA1B1B
的距离为
h'
，则该羡除的体积为
V
=
hh' 6
(a
+
b
+
c). 已知某
羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为 ( )
A. 3 3
5
B.
3
4
C.
3
D. 2 3
( ) 10.已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1
= 1， an
=
Sn n
+ 2(n −1)
n N*
1
，则数列
Sn
+
3n
5，则
a
=
_________．
16.已知点 A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ， C ( x2 , 0) ， D ( x1, 0) ，其中 x2
0
，
x1
>
0
，且
y1xΒιβλιοθήκη 2 1− x1 +
y1 = 0 ，
y2x22 − x2 + y2 = 0 ，若四边形 ABCD 是矩形，则此矩形绕 x 轴旋转一周得到的圆柱的体积的最大值为___________ 三、解答题
1,
f
( log 2
7)
=（
）
A. 2
B. 7
C. 5
D. 3
4
4
4
5.设离心率为 e 的双曲线 C :
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的右焦点为 F
，直线 l 过焦点 F
，且斜率为 k
，则直线 l 与双曲
线 C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ）
A. k 2 − e2 1
B. e2 − k 2 1
17.在 ABC 中，内角 A, B,C 所对边分别为 a,b, c ，已知 4 3 sin( A − C) = a sin A − c sin C(a c) ．
（1）求边 AC 的长；
（2）若 B = 60 ， D 为边 BC 上的点且 AB = AD ，试求 AB + DC 的最大值．
( ) 18．设数列 an 的前 n 项和 Sn ，满足 Sn = 2Sn−1 + n n 2, n N* ，且 a1 = 1．
（1）求证：数列an +1 是等比数列； （2）若 bn = n (an +1) ，求数列bn 的前n项和 Tn ．
19.如图，四边形 ABCD 为矩形，△ABE 和△BCF 均为等腰直角三角形，且∠BAE=∠BCF=∠DAE=90°, EA// FC. (1)求证: ED//平面 BCF;
(2)设 BC = , 问是否存在 λ，使得二面角 B- EF-D 的余弦值为 3 ？若存在，求出 λ 的值;若不存在，请说明理由.
2019—2020 学年高二（下）数学“周周练”系列（4）
编写：张 聪
一、选择题
1.已知全集为实数集 R ，集合 M = {−1,1, 2, 4} ， N = {x | x2 − 2x 3}，则 M (CR N ) = （ ）
A. {−1,1, 2}
B. {1, 2}
C. {4}
2. 已知复数 z = i2020 (1+ i) ,则 z 的模| z |= （ ）
的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距
离，用现代语言描述：在羡除 ABC − A1B1C1 中， AA1 / /BB1 / /CC1 ， AA1 = a ， BB1 = b ， CC1 = c ，两条平行
线
AA1
与
BB1 间的距离为
h，直线 CC1 到平面
大时，求 k 的值．
21. 已知抛物线 y2 = x 的焦点为 F ， M ( x0, y0 ) ( y0 0) 为抛物线上一点．
（1）求过 M 点的切线方程（用 y0 表示）； （2）过直线 x = −2 上一点 N 作抛物线的两条切线，切点为 A, B ，求 ABO 与 AFO （ O 为抛物线的顶点）面积
14.现有 4 张卡片，正面分别标有 1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取 卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率 是__________．
15.已知
2x
+
1 x
+
a
(1
−
x
)4
的展开式中含
x3
的项的系数为
D. {x | −1 x 2}
A.1
B. 2
C. 3
D.4
3. 已知非零向量 a,b 满足: a =(1,1),| b |=1, (a − b) ⊥ b, 则向量 a, b 的夹角大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
6
4
3
2
4.已知函数
f
(x)
=
2x , x 1, f (x −1), x
，则
y 5 − 2x
围是（ ）.
A. (0,1)
B. (0,1]
C. (−, −2)
D. (−, −2]
8.已知 tan
=
−2
，则 sin( 2
+ ) sin
的值为（
）
A. 2
B. − 2
C. 3
D. 4
5
5
5
5
9《. 九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除