Strongart数学笔记：浅谈无界算子的基本思想

浅谈无界算子的基本思想

当年我学习无界算子是比较痛苦的，一来是那时不巧正在闹退学风波，情感上波动很大；二来这个无界算子的处理方式与有界算子有较大差异，需要重新整理思想框架才行。最近，我的泛函分析视频要讲到这个部分，正好借此机会克服了无界算子恐惧症，对无界算子的基本思想算是小有心得，下面就来给大家科普一下。

即便是在Hilbert space上，无界算子的研究方式也是很特别的，它的第一个特别之处是我们更愿意关注它的图。这一点应该是显然的，既然范数不是有界的，那就失去相应的统治力，但为什么要关注的它的图像呢？主要由于闭图像定理，它在无界算子理论中的解释就是Hilbert space H上的算子T是连续的iff D（T）=H（见下文中无界算子的第二个特别之处）且H的闭图像的，可见连续算子在无界算子中最自然的推广就是闭图像算子（有些泛函书上简称其为闭算子，个人觉得很不妥当，它容易与大名鼎鼎开映射混淆，开映射直接从拓扑学中继承，这里闭算子却是另一回事了）。对于Hilbert space H上的稠定（见下文解释）无界算子T，关于图G（T）的一个基本结论是G（T*）=V[G(T)]⊥，这里V是酉算子，使得V{a,b}={-b,a}.

无界算子的谱定义大致与有界算子平行，只是既然T允许无界，

那么御姐集的条件中也不要求（λI-T）^(-1)有界。换句话说，就是把Strongart教授所提到的乌索普直接拉入御姐集之中，而不像算子那样是由Banach inverse theorem（它等价于开映射定理，因此需要完备性支持）保证。对于无界自伴算子的谱，和有界算子谱一样是实数轴上的闭集，但却未必是紧集。比如乘法算子T：

L^2(R)→L^2(R);T(x)(t)=tx(t),其谱就是整个实数轴；同样导数算子T：L^2(R)→L^2(R);Tx=ix'的谱也是整个实数轴，这二者可以说是最常见的无界自伴算子了。

无界算子的第二个特别之处是定义域可以不在整个空间上，一般我们说Hilbert space H上的有界算子T，就是要求其定义域D（T）=H；但对于无界算子T而言，D（T）可以是H的一个子空间。为什么会有这么奇葩的约定呢？大概有两个原因，一是常见的无界算子很难定义在整个空间上，像上面的乘法算子与求导算子，其定义域实际上都在使得像集平方可和空间内，而且这个具体空间一般还得靠结果拼凑出来；二是我们对于最常见的一类自伴算子，假若定义在整个空间上，那就一定是有界的，这就是著名的Hellinger-Toeplitz Theorem.

无界算子定义域的特别之处可能会导致一些奇葩的现象：

1）常见的算子等式可能不成立：对于H上的三个无界算子T，R，S，有（R+S）T=RT+ST，却可能只有T（R+S)>TR+TS，比如R+S=0但R(H)可能不在D（T）内！

2）与无界算子关系密切的算子需要特别约定：比如对于闭图像算子，有的书上讲连续算子一定是闭图像的，有的书上则说未必如此，这是为什么呢？事实上，这取决于它定义于有界算子还是无界算子，作为有界算子是可以由连续性导出的，但作为无界算子就不可以了，比如假设H有稠子空间K，那么H上的恒同算子定义在K上就不是闭图像的。

3）对称算子与自伴算子的区分：先定义共轭算子T*，y→T*y是由=对任何x∈D(T）定义的，它当D（T）稠密时唯一，因此在处理与T*有关的问题时，我们常常假设T是稠定算子。在此前提下，T是自伴算子，则必须T=T*；而T是对称算子iff=对任何x,y∈D(T)成立。可见在有界算子中，对称与自伴是一个概念，但在无界算子中就区别开来了，这是因为D（T*）可能要比D（T）大。

事实上，自伴算子是极大对称的，也就是说假若T对称，S自伴，那么S≤T→S=T.但这并不是说每个对称算子都可以扩张为一个自伴算子，一个基本的结论是von Neumann decomposition，有D（T*0=D （A）⊙ker（A*-iI）⊙ker（A*+iI），然后定义亏指标n+=dim ker （A*-iI），n-=n+=dim ker（A*+iI）.对称算子T是自伴的iff其亏指标n±=0；它是可扩张为自伴的iff n+=n-.

以上就是无界算子一些基本思想，主要是从有界算子到无界算子作一个自然的过渡，在这个框架下也能够加深我们对于有界算子理论的认识，希望能够帮助初学者度过这个难关，但对于无界算子的专门

内容，还请参考相关的文献资料。

本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！

欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart 的新浪博客。