一般伪黎曼流形中的极大类空子流形
伪黎曼空间型中具有平行平均曲率的类空子流形
自从 黎曼几 何 发 展 以来 , 别 是 E 特 .C ra atn建 立 的外微 分形式 和 活 动标 架 法 , 黎 曼几 何 的深 入 为 发展 开辟 了广 阔 的前 景 , 响极 为 深 远 .近 半个 世 影 纪 以来 , 曼几何 的研 究从局 部发展 到 整体 , 黎 对现代 物理学 的发 展更有 重要作 用.作 为 极小 子 流形 的一 种 自然推广 , 研究 具 有平 行 平 均 曲 率 向量 的 子 流形
N ( ) c 的结 构方程 为 :
幽 一 一∑e∞ A e ∞ + 一0 () 召 ∞ , , 1 幽 一一∑eA g ∑e 。 cA 。2 A ∞ 一 1 c K ∞o c () c e co
K鲁D一 A B 』 一 A 肋 ) c e (^ ) c . () 3
伪 黎 曼 空 间型 中具 有 平 行 平 均 曲率 的类 空子 流形
胡 显举 , 卫 东 宋
( 徽 师 范大 学 数 计 学 院 , 徽 芜 湖 2 1 0 ) 安 安 4 0 0
[ 摘 要 ] 文章 研 究 了伪 黎 曼 空 间 型 中具 有 平 行 平 均 曲 率 的 紧 致 类 空 子 流 形 , 到 了这 类 子 流 形 的 一 个 刚 性 定 理 。 得 [ 键 词] 伪 黎 曼流 形 类 空 子 流形 ; 关 平行 平 均 曲 率 ; 脐 子 流 形 全
形上 , 到这 样 的一个结 果. 得
R 一c ~& ~∑ (: 一^ ^ ) ( & ) ^
( 4)
R 一∑ (: 一螈^) ^^ 0,
() 5
定 理 : M 设 是常 曲率伪 黎曼 流形 N () 紧 c中 致类空子 流形 ,i 具 有平 行 平 均 曲率 向量 , 满 足 h" 若
局部对称伪黎曼流形中常数量曲率的完备类空子流形
第1 7卷第 4期
安庆师范学院学报 ( 自然科学版)
J un l f n i e c e oe e N t a S i c d i ) o ra o A q gT a h r C lg ( au l c n e E i n n s l r e t o
用 和 ^… 表示 的共变导数 , 有
^, ,=一 一
一
,
0 =∑h R +∑h R +∑ 尺 7 m " z
K Ⅲ. f=0
() 9
(O 1)
若 曲率张量分量 Ⅲ 满足 则称 岬为局部对称, 其中“ ” , 表示关于 岬的伪黎曼联络的共变微分且 K Ⅲ,与 Ⅲ 的共变导数
^ , =蜕 0 %
() 1
R 川 一∑( 蜕 一 坼) Ⅲ = R =
收 稿 日期 :2 l —0 O 1 5—1 9
() 2 () 3
+∑( 坛 一 娘)
作者简介 :张佳佳 , , 女 安徽师 范大学数学计算机科学学院硕士研究生. 0 1 V2 1
V0I1 . 7 NO. 4
局 对 伪 曼 形 常 量 率 完 类 子 形 部 称 黎 流 中 数 曲 的备 空 流
张 佳 佳
( 安徽师范大学 数学计算机科学学院 , 安徽 芜湖 2 10 ) 4 00
摘
要 :本文研究 了局部对称伪黎曼流形
中常数量曲率的完备类空子流形 , 利用丘成桐的广义极大值 主要
3 1 1
2uS sp +乃 b一口 sp +4 asp ≤ 0 ( )u S n u H
‘
则 ^ 为全 测地 的或
S≤ n b一2 ) ( a 2 预备 知识
本文对各类指标的取值范围约定如下 :
伪黎曼空间形式中类空子流形的willmore泛函与weyl泛函的不等式
伪黎曼空间形式中类空子流形的willmore泛函与weyl泛函的不等式伪黎曼空间是一种广义的曲率空间,定义为具有一个度量张量和一个联络的多维实数流形。
伪黎曼度量引入了度量概念,使得这些空间可以用度量函数来测量长度、角度和线性变换等性质。
类空子流形是伪黎曼空间中的特殊曲面,具有一些特殊的几何性质。
Willmore泛函和Weyl泛函是用来描述类空子流形性质的数学工具。
Willmore泛函是一个定义在二维紧曲面上的泛函,它描述了曲面的弯曲程度。
Willmore泛函定义如下:\[W(M)=\int_{M} H^{2}-2K d S\]其中,$M$是紧类空子流形,$H$是曲面的平均曲率,$K$是曲面的高斯曲率,$dS$是曲面的面积元素。
Willmore泛函描述了曲面的整体弯曲情况。
当Willmore泛函达到最小值时,曲面是以平均曲率为中心的球面。
Weyl泛函是另一个描述类空子流形性质的泛函,它与曲面的特殊对称性相关。
Weyl泛函定义如下:\[W_{1}\left(M_{1}\right)=\int_{M_{1}} H d S\]其中,$M_{1}$是紧类空子流形的一个子集,$H$是曲面的平均曲率。
Weyl泛函用于描述曲面的嵌入性质,即曲面的内部和外部的能量分布。
关于Willmore泛函和Weyl泛函的不等式有很多相关的研究成果。
以下是一些相关的参考内容:1. Alencar, H., & Duarte, A. (2004). Willmore surfaces in three-dimensional space. Handbook of Differential Geometry, 2, 1-48. 这本书章节详细介绍了Willmore曲面的性质和相关的研究成果。
2. Dall'Acqua, A., & Ferrández, A. (2019). Sharp inequalities for the Willmore functional in warped product spaces. Journal of Geometry and Physics, 137, 229-238.这篇论文探讨了在扭曲产品空间中Willmore泛函的不等式性质。
伪黎曼空间型中具有常平均曲率的类空子流形
Ⅳ 叩( )的结 构 方程 如下 : c
d^= o 一∑s∞口 口 ∞口 ∞ =0 a 口^ A∞ , ^+ 鲋 ;
(.) 2 1
得 了这类 空子流 形关 于第二 基本 形式 模长 平方 的
一
个 积分不 等式 及刚性 定理 。
如 =一∑s 。A∞。 。
L
一
定 理 1 设 是 伪 黎曼空 间 型 Ⅳ +( )中紧 : c P 致类 空子 流形 ,平均 曲率 H 为常数 , 有 则
摘
要 : 文研 究 了伪黎 曼空 间型 中具有 常平 均 曲率的 类 空子流 形 , 到 了这类 空 子流 形 本 得
的一 个积分 不等 式及 刚性 定理 。 关 键词 : 均 曲率 ;类 空子流 形 ;全 测地 平 中图分 类号 : 16 0 8 文献 标识 码 : A 文章 编号 :10 4 9 ( 0 8 0 0 2 0 0 9- 7 0 2 0 ) 2— 0 7— 2 收稿 日期 : 0 7—1 —1 20 1 3
H= l l l l为 的平 均 曲率 。
+P维 常 曲率 c的伪 黎 曼 流形 叩()的 类 空 等 c 叩()中 选 取 标 准 正 交 标 架 场 e 一, , c e e小
用 和
分别表示 : 的一阶和二阶共变
导数 的 分量 ,即
∑ ho  ̄J h +∑ k =d;
子 流形 ;
1 l
∑ (i. 醒) hh 一 k‘ .
(.) 25
其中h 为M 的第二基本形式h=∑ ∞ ;
e a的分量 。R fR 分别 是 肘 曲率张 班 , 耐f 的
2 C<0时 , 5 足 5+c ) 若 满 a一凡 T≥ 0 ,
P
伪黎曼流形中类空超曲面上Killing向量场的存在性定理
LI U J i a n — c h e n g,CHAI Ru i — j u a n
( C o l l e g e o f Ma t h e ma t i c s a n d S t a t i s t i c s , No r t h we s t No r ma l Un i v e r s i t y ,L a n z h o u 7 3 0 0 7 0 , Ga n s u, C h i n a )
Ab s t r a c t : Le t( , g) b e a s e mi — Ri e ma n n i a n ma n i f o l d wi t h a Ki l l i n g v e c t o r f i e l d . I n t h i s p a p e r ,t h e
要 的新 方 法 .
L i e 导 数 为 零 ,即 L g一0 .其 几 何 意 义 在 于 沿 着
Ki l l i n g向量场 的积 分 曲 线 ,平 行 移 动 可 以保 证 度
量 的不变 .
Ki l l i n g向量场 的存 在性 在解 决 几 何 拓 扑 问 题 以及 在理论 物理 方 面 都 是 一 种 强有 力 的研 究 工 具. 从几 何 的 观 点看 ,假 定 目标 流 形 上 容许 有 Ki l l i n g
泛函分析
研究 同一个 完整非保守系统 ,在广义力 不 同表达 时的N ehr o te对称性 、 i对称性 Le 和 形 式不 变性 所 发 生 的变 化 .结 果表 明 ,Note对 称性 中的规 范 函数 有变 ehr 化 , o te守恒量不变 ; i对称性 没 但N e r h Le 有任 何变化 ;形 式不变 性有很 大变化 . 并给 出了形式不变 的条件,参 l 3 关键词 :完整非保守系统 ;NoteM称 ehr 性 ;Le i对称性 ;形式不变性
s b nf l so a lc l y u ma i d f al s mme i P e d - o o y tc su o r
讨 论一类非线性抛物型 时滞偏微 分方程 组 解的振动性 ,利用积分不 等式和泛函 微 分方程的某些结果 ,获得 了该类方程 组振动 的若 干充分条件.结论充分表 明 振动是 由时滞量 引起 的.参 l 2 关键词 :非线性 ;时滞 ;抛物 型偏微 分 方程组 ;振动性
t n f q a t m F u e r n f r t n i o u n u o o r r ta so mai i o
20 ,2 ()一 5 5 5 7 0 7 77. 6 ~ 6
saet Ovle 刊,中] 郑赛莺( hr aus[ W / 宁德 高等师范专科学校数学系, 宁德 3 2 0 ) 5 10 ∥纺织 高校 基 础 科 学 学 报 . 20 , 一 0 7
O 2 0 6 7306 1 0・4 1 1
[ ,中] 李莉( 刊 / 陕西师范大学 数学与信 息科学学院 , 西安 7 0 6 ) 曹怀信 ∥纺 10 2 , 织高校基础科学 学报 . 20 ,2 () 一 0 7 02. 一
1 9~ 1 2 4 , 5
为黎曼空间Lp n+p中紧致类空子流形上的积分不等式
常 曲率空 间中黎曼子流形上 的 Lpai 算子 的第一特征值 已有不少研究结果 ( al a cn 参见文 [ ] [ ] 1 、2 、
[]. 3 )特别 ,[] 3 中得到 了 :若
是欧 氏空 间 尺 肿 中具有非 负 Rci i 曲率 的浸入超 曲面 ,则有 c
n , 1 (
型 ,记为 ¨ c 特别地 ,当 C>0,称之为 d ie 空间 ,记为 (). eSt tr
() “中的超曲面 M c. 被
称为类空超 曲面 ,如果 “ 在 一 的诱 导度量是正 定 的. 上 如果 L r t 空间 的曲率 张量 的协变导 o nz e
数 ∞E =0 ,则称为局部对 称 L rn 空间. oet z
熟 知
的 G l s 程 为 as 方 l
: 一 ( 一f . 瑶 h ̄)
由( ) 1式得
() 1
R ( : ie ) c ̄ ,
k l =
一 ∑( 一 坛) 鳐 .
tf +l k /n
() 2
令f: M R是 上的光滑函数,则有如下 Bcnr ohe公式[ s
中的紧致类空子流形. 本文得到 了
a( 是实 的伪黎曼空间, 口 数)
2 是 )
上 L plca a a in算子的第一特征值 的两个积分不等式.
关键词 :类空子 流形 ;第一特征 值 ;平均曲率
中图分类号 :0161 8. 2 文献标 识码 :A 文章 编号 :17 - 50 2 1 )5 0 3 — 2 6 2 0 2 (0 2 0 — 0 1 1
的个数 ,且记 k =r n ( ) o r kp ,则 i f
pEM
L
进 , l 为 数 则 >a —kon 而  ̄l: 常 , - - 4 ( h l l h n
局部对称伪黎曼流形中的伪脐类空子流形
, 『 一∑^R 一】 + m j
作 者 简 介 : 琳 ( 9 4 ) 女 , 肃 省 兰 州人 , 魏 18 , 甘 西北 师 范 大 学 硕 士研 究 生 、 主要 从 事 整体 微 分 几 何 研 究.
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第1 期
魏 琳 : 部 对 称 伪黎 曼 流 形 中的伪 脐 类 空子 流 形 局
强 从
。
.
U
[r/,- t(- ) ≥ 。 / ] 2 . 对 固定 的 a 令 ^ 一 , ;
e ii, ,
(7 1)
K
、 与
, 引理 2有 结合
() 9
4 ∑^ 一 ∑ 驰K 4 ^ ≥ ∑K
i^. 4~ 9 , 2 中技 巧 , 于 任何 实 1 对 ∑岬
一
d 一∑ 一∑ s
一
、
∑ ,
( 1 )
则 限制在 M 上有
[++s ( 一1 } 1 . 1 g p ) * ≤0 n ]
叫=0 一∑^ . 5 ( 。 慨 ; 1 , 弓一h, 2 )
h 一∑^ o o 耳一
口・ J ・
本 文把局 部对称 黎曼 流形推广 到局部对 称伪
于是 N 的 伪 黎曼度 量 d 与 M 的黎 曼度 量 s
d, 4 为
紧致 伪脐子 流形 , 成立 如下积分不 等式 则
J( A 一j1 艿2_HI + ln f H ( )p I H ( 一)p 7{ /专
[ 。 户 ) 一1 (一 ) 2—1 - / 7 一要(一1( ) 1 +( )] H ” 专 8 n
。一 2 。 }*1≤ 0 H。 .
用『 2 h 和 : 分别表示 ^ 的一 阶和二 阶共 变导数 , , :
局部对称伪黎曼流形中的极大类空子流形
挤定理. 关键词:局部对称; 极大; 类 空; 全 测地
中图分类号: O1 8 6 . 1 2
基金项目: 国家 自 然科学基金 ( 1 1 2 6 1 0 5 1 ) ; 甘肃省高等学校基本科研业务费资助项 目
第一作者: 刘建成, 男, 教授 , 研究方 向为整体微分几何. E - ma i l : l i u j c @n wn u . e d u . c n .
1 2 0
华东师范大学学报( 自然科学版)
A bs t r a c t : I n t h i s a r t i c l e we s t u d y t h e ma x i ma l s p a c e - l i k e s u b ma n i ol f d M wh i c h i s
i s o me t r i c a l l y i mme r s e d i n t o l o c ll a y s y mme t r i c p s e u d o - Ri e ma n n i a n ma n i f o l d N暑 . On e
n + 中完备极大类空超 曲面必然是全测地的. 对等距浸入到截 曲率为 c 的伪黎曼空间形式 n + p ( c ) 中 的 n维 完 备类 空子流 形 M n , 当 c≥0时, I s h i h a r a [ 3 ] 证 明 了若 Mn是极大 的 , 则它
收稿 日期: 2 0 1 5 . 1 2
间, 伪欧 氏空间, 或a n t i — d e S i t t e r 空间. 设 Mn 是等距浸入到 曙+ p 中的 n维类空子流形, 即
黎曼几何简介-USTC
λµeν
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
=
Γ˜ γ
∂xν αβ ∂yγ eν
上面两个结果相对照,得到:
Γ˜ γ
αβ
=
∂xλ ∂yα
∂xµ ∂yβ
∂yγ Γν ∂xν
λµ
+
∂2xν ∂yα∂yβ
∂yγ ∂xν
3 度规相容联络
由于联络系数的具体形式在上面并未赋予,我们进一步从物理角度提出 要求:在 V 上平行移动的矢量 X, Y 的矢量积 g(X, Y ) 应不变:
3 度规相容联络
4
也有莱布尼茨法则:
∇X (f Y ) = X[f ]Y + f ∇X Y
∇X (T1 ⊗ T2) = (∇X T1) ⊗ T2 + T1 ⊗ (∇X T2)
协变导数在坐标变换下,联络系数的变换:取
2
组坐标
{eµ}
=
{
∂
∂ xµ
},
{fα}
=
{
∂
∂ yα
},
对后者的协变导数:
∇fα fβ = Γ˜γ αβ fγ
特征值的数目,其中 j = 1 是 Lorentz 度规,总可坐标伸缩为闵氏度规 η = diag(−1, 1, · · · , 1)
以后称呼流形和其上的度规组 (M, g) 是相应的黎曼或洛伦兹型的;在 洛伦兹型的流形上,将 TpM 分成三个子空间:g(U, U ) > 0 是 spacelike 的, = 0 是 lightlike 的,< 0 是 timelike 的。
6. 嵌入度规 (Induced metric) 是子流形嵌入到维度更大流形上,获得的 度规结构:若 M 是 n 维 Riemann 流形 N 的 m 维子空间,有映射 f : M → N 将 M 嵌入到 N 中,(N 的度规已知),则:
流形(Manifold)
流形球面(球的表面)为二维的流形,由于它能够由一群二维的图形来表示。
流形(Manifold),是局部具有欧几里得空间性质的空间。
欧几里得空间就是最简单的流形的实例。
地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。
一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。
流形在数学中用于描述几何形体,它们提供了研究可微性的自然的舞台。
物理上,经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
他们也用于位形空间(configuration space)。
环面(torus)就是双摆的位形空间。
我们可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的,因为所有变形(同胚)会保持拓扑结构不变;而把解析簇看作是“硬”的,因为整体的结构都是固定的。
例如一个1维多项式,如果你知道 (0,1) 区间的取值,则整个实数范围的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化。
我们还可以把光滑流形看作是介于两者之间的形体:其无穷小的结构是“硬”的,而整体结构则是“柔软”的。
这也许是中文译名流形的原因(整体的形态可以流动)。
该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。
这样,流形的硬度使它能够容纳微分结构,而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
流形可以视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。
例如,人们曾经以为地球是平坦的,因为我们相对于地球很小,这是一个可以理解的假象。
所以,一个理想的数学上的球在足够小的区域也像一个平面,这使它成为一个流形。
但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在球面上沿一个固定方向走,你最终回到起点,而在一个平面上,你可以一直走下去。
一个曲面是二维的。
但是,流形可以有任意维数。
其他例子有:一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有旋转(三维的)。
旋转所组成的空间的例子表明,设M是豪斯多夫空间,若对任意一点,则有x在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间R m的一个开集,称M是一个m维流形。
伪黎曼空间型中具有常数量曲率类空子流形
su id B e s u t r fa n w d f r n ilo e a o -i Wa sa i s e e ain b t e e o r tra d t d e . yt t cu e o e i e t p r tr t s e tb l h d a r lt ewe n t p ao n h r e a i o h e t e L pa e o .T e p o et so i k n fs b n fl swe ic se .A o d t n wh c u d ma e h a l c fS h r p r e f h s i d o u ma i d r d s u s d i t o e c n i o ih wo l k i
分算子与第二基本形式模长平方 的拉普拉斯之间 的关系 ; 讨论 了该 类子流形 的一些性质 , 获得 了使 此子流形
成为全脐子流形的一个条件 ; 到了关 于第二基 本形式模 长平 方的一个 积分 不等式. 得 关键词 : 伪黎曼空 间型; 常数量 曲率 ; 全脐 ; 类空子流形
中图分类号 : 8 016 文献标识码 : A
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第 2期
虞 海潮 : 伪黎曼空 间型 中具有常数量 曲率类 空子流形
19 5
1 预备知识
设 厂 一Ⅳ是 n维黎 曼 流形 到 n+ : p维 常 曲率 为 c的伪 黎曼 流 形 岬( ) 等距 浸 入 , c的 即 是 岬( ) c 的类 空子 流形 ; e,:… ,np 设 。e, e+是 岬() 的局 部标 准正 交 标架 场 , 制到 上 ,。e, , c上 限 e,:… e
S a e l e s b n f l swih c n t n c l r c r a u e i p c - k u ma iod t o sa ts aa u v t r n i
一般伪黎曼空间中的极大类空子流形
第38卷第6期西南师范大学学报(自然科学版)2013年6月V o l.38N o.6J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)J u n.2013文章编号:10005471(2013)06003005一般伪黎曼空间中的极大类空子流形①杨慧章,龙瑶,李薇红河学院数学学院,云南蒙自661100摘要:通过计算R i c c i张量长度平方的拉普拉斯算子,得到了伪黎曼流形上的一个S i m o n s型积分不等式,运用该不等式推广了已有的相关结果.关键词:伪黎曼流形;拉普拉斯算子;R i c c i张量中图分类号:O186.13文献标志码:A设N n+p(c)(c>0)是n+p维具有常截曲率c的黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p中的n维子流形.用S表示M n的第二基本形式模长的平方,H表示M n的平均曲率.Aα为关于法向量eα的第二基本形式,Rβγ为关于法向量eβ和eγ的法曲率,Q为R i c c i张量.文献[1]研究了黎曼流形中的极小子流形,得到了S i m o n s 型积分不等式:定理A[1]若M n为N n+p(c)(c>0)的紧致极小子流形,则有ʏ2ðα,β(n c-Sα) AαAβ 2-2ðα,β,γ RβγAα 2-ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.设N n+p p是指标为p的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p中的n维黎曼流形,即N n+p p的类空子流形.若H=0,则称M n是极大的.本文运用文献[1]的方法,将积分不等式推广到伪黎曼流形,得到了如下推广的S i m o n s型不等式:定理1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα[]2d Vɤ0(1)其中等号成立当且仅当p=1时,R i j,l=0;pȡ2时,对任意的α,γ,有hγm i㊃hαi j l=0.若伪黎曼流形的曲率张量满足ði R i j k l,i=0,则称该伪黎曼流形具有调和曲率张量,继而得到R i c c i曲率是C o d a z z i张量,即R i j,k=R i k,j.显然,M n具有调和曲率张量这一条件比R i c c i曲率平行这一条件弱.由定理1得到下面的推论:推论1若M n为N n+p p(c)的紧致极大类空子流形,则有ʏ2ðα,β(n c+Sα) AαAβ 2+2ðα,β,γ RβγAα 2+ðα AαQ-Q Aα 2+ ∇Q[]2d Vɤ0(2)其中等号成立当且仅当p=1时,M n具有调和曲率张量;pȡ2时,hγm i㊃hαi j l=0.当N n+p p为常曲率伪黎曼流形时,文献[2]证得:定理B[2]设N n+p p(c)是截面曲率为常数c(cȡ0)的n+p维伪黎曼流形,M n为等距浸入到N n+p p(c)①收稿日期:20111112Copyright©博看网. All Rights Reserved.基金项目:国家自然科学基金(11161020);云南省教育厅科研基金(2012C199);红河学院科研基金一般项目(10X J Y121).作者简介:杨慧章(1982),女,云南昆明人,讲师,主要从事微分几何的研究.的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则M n 是全测地的.定理C [2] 设N n +p p (-c )是截面曲率为常数-c (c >0)的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (-c )的n 维完备黎曼流形.若M n 极大,则0ɤS ɤnp c .定义N 为N =2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α 2(3)其中 ㊃ 为模,N 与标架的选取无关.将定理B ㊁定理C 进行推广,可得到:定理2 设N n +p p (c )是截面曲率为常数c 的n +p 维伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )的n 维紧致极大类空子流形.若N =0,则(i )当c ȡ0时,M n 是全测地的;(i i )当c <0时,若0ɤS <-n pc ,则M n 是全测地的.定理3 设N n +11(c )是截面曲率为常数c 的n +1维伪黎曼流形,M n 为N n +11(c )中的R i c c i 曲率平行的紧致极大类空超曲面,则有(i)M n 为全测地的;(i i )M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中M r 1,M n -r 2分别为r ,n -r 维常曲率流形,c 1=n r c ,c 2=n n -rc .定理4 设M n 是de S i t t e r 空间S n +11(c )中具有调和黎曼曲率张量的紧致极大类空超曲面,则M n 是全测地的.1 预备知识设N n +p p (c )为具有常数截曲率c 的n +p 维连通伪黎曼流形,M n 为等距浸入到N n +p p (c )中的n 维黎曼流形,选取N n +p p上的局部正交标架场{e A },使得限制在M n 上,{e i }与M n 相切.{e α}为M n 上的法向量场,{ωA }为{e A }的对偶标架场,其中A 是满足1ɤA ɤn +p 的自然数,则N n +p p上的度量为d s 2=ðAεA ω2A =ðni =1ω2i-ðn +pα=n +1ω2α.于是Nn +pp(c)上的结构方程为:d ωA =ðBεB ωA B ɡωB ωA B +ωB A =0(4)d ωA B =ðC εC ωA C ɡωC B -12ðC ,DK A B C D ωC ɡωD (5)K A B C D =c εA εB (δA C δB D -δA D δB C )(6)其中A ,B ,C ,D 是1到n +p 之间的自然数.限制在M n 上有ωα=0 ωαi =ðjh αi j ωj h αi j =h αji (7)d ωi =ðjωi j ɡωj ωi j +ωji =0(8)d ωi j =ðkωi k ɡωk j -12ðk ,lR i jk l ωk ɡωl (9)R i j k l =c (δi k δj l -δi l δj k )-ðα(h αi k h αj l -h αi l h αjk )(10)还有d ωα=ðβωαβɡωβ ωαβ+ωβα=0(11)d ωαβ=ðγωαγɡωγβ-12ði ,jR αβi j ωi ɡωj (12)R αβi j =ðl (h αi l h βj l -h αj l h βi l )(13)其中R i j k l ,R αβi j ,K A B C D 分别是M n 的曲率张量㊁法曲率张量和N 的曲率张量.h =ðαh αe α=ðα,i ,jh αi j ωi췍ωj 췍13第6期 杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.e α是M n 的第二基本形式,记M n 的第二基本形式h 的模长平方为S ,则S = h 2=ðα,i ,j(h αi j )2.用h αi j k 和h αi j k l 分别表示h αi j 的一阶和二阶共变导数的分量,则ðkhαi jk ωk =d h αi j -ðkh αj k ωk i -ðkh αi k ωk j +ðβh βi jωβα(14)则M n的C o d a z z i 方程和R i c c i 恒等式分别为h αi j k -h αi k j =0(15)h αi j k l -h αi j l k =ðmh αi m R m j k l +ðmh αj m R m i k l +ðβh βi j R αβk l (16)M n的R i c c i 曲率张量为R i j =ðkR i k j k =(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk (17)其中H α=1n ðni =1h αi i 是Mn的平均曲率的分量.定义R i c c i 曲率张量的共变微分为R i j l ωl=d R i j -R m j ωm i -R i m ωm j(18)如果对任意i ,j ,k 都有R i j k =0,则称M n的R i c c i 曲率是平行的.由(14),(15)式得Δh αi j =ðkh αkk i j +ðk ,m(h αm i R m k j k +h αm k R m i j k )+ðβ,k h βk i R αβj k =n H αi j -n c H αδi j -ðn H βh αi m h βm j -ð2h αk m h βk i h βm j +ðh αk m h βm k h βi j +ðh αi mhβm k h βk j+ðh αj m h βk i h βk m +n c h αi j(19)由(16)式及M n 的极大性,有ΔR i j =Δ[(n -1)c δi j -ðαn H αh αi j +ðk ,αh αi k h αjk ]=-n h αi j ΔH α-2n H αk h αi j k -n Δh αi j H α+h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl (20)2 定理的证明定理1的证明 由于M n 为N n +p p中的极大类空子流形,由(18),(19)式及M n 的极大性得12ΔR 2i j =R 2i j ,k +R i j ΔR i j =R 2i j ,k +[(n -1)c δi j +h γi n h γn j ](h αj l Δh αi l +2h αi l k h αj l k +h αi l Δh αjl )=R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c h γi n h γn j h αi l h αj l -4h γi n h γn j h αi l h αk m h βk jh βm l +2h γi n h γn j h αi l h αk m h βm k h βj l +2h γi n h γn j h αi l h αj m h βm k h βk l +2h γi n h γn j h αi l h αl m h βk j h βk m +2h γi n h γn j h αi l k h αj l k =R 2i j ,k +(n -1)c (Δh αi l )2+2n c t r (A αA αA γA γ)+2h γi n h γn j h αi l k h αjl k +2t r (A γA γA αA β)t r (A αA β)+2t r [(A αA α)(A βA γ-A γA β)(A γA β-A βA γ)]+t r [(A αA βA β-A βA βA α)(A γA γA α-A αA γA γ)](21)令S αβ=ði ,j(h i j αh i j β)=t r (A αA β),则S αβ是p ˑp 对称矩阵.因此,可以选取适当的{e α}使其对角化,即对任意α,β,有S αβ=S αδαβ,那么一定有S =ðαS α.令S αβ为M n 关于法向量{e α}和{e β}的法曲率,Q 为R i c c i 张量,则(21)式可化为12ΔR 2i j =R 2i j ,k +(n -1)c Δ(h αi l )2+2(h γi n h αi l k )(h γn j h αjl k )+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA 2Q -QA α2+2ðα,β(n c +S α)A αA β(22)由M n的紧致性和极大性,对(22)式两边作积分,有2ðα,β(n c +S α) A αA β2+2ðα,β,γ R βγA α 2+ðαA αQ -QA α []2d V ɤ023西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中等号成立当且仅当p =1时,R i j ,l =0;p ȡ2时,对任意的α,γ,有h γm i ㊃h αi jl =0.推论1的证明 若M n 为具有调和曲率的极大类空子流形,则R i j k -R i k j =ðm ,α(h αi m j h αk m -h αi m k h αjm )=0(23)由C o d a z z i 方程ðm ,α(h αi jm h αm k -h αi k m h αm j )=0(24)轮换指标,得到ðm ,α(h αjk m h αm i -h αji m h αm k )=0(25)再一次轮换指标得ðm ,α(h αk i mh αm j -h αk jm h αm i )=0(26)由式(24),(25),(26),得到ðm ,αh αm ih αm j k =0,结合定理1得到了推论1的结果.若M n的法丛平坦,即法曲率R αβ=0,又因M n 是极大的类空子流形,所以由(1)式有N =0;反之不成立.所以条件N =0弱于法丛平坦.定理2的证明 当N =0时,若对c >0,或者对c <0且0ɤS <-n pc ,有ðαβ(n c +S α) A αA β2ȡ0由(1)式,得到S =0.所以M n 是全测地的.为了证明定理3,我们需要用到下面的引理:引理1 设M n 是N n +11中的紧致极大类空超曲面,则(1)当c ȡ0时,M n 是全测地的;(2)当c <0时,若S =-n c ,则M n 局部等距于黎曼直积M n =M r 1(c 1)ˑM n -r 2(c 2),其中c 1,c 2为常数.证 由(9)和(19)式及M n 的极大性,得12ΔS =ði ,j ,k h 2i j k +ði ,jh i j Δh i j =ði ,j ,k h 2i j k +n ði ,jh i j H i j +ði ,j ,k ,m h i j h im Rm k jk +ði ,j ,k ,m h i j hkm R m i jk =ði ,j ,k h2i jk +S (S +n c )(27)由M n 的紧致性,对(27)式两边积分,有ʏði ,j ,k [h 2i jk +S (S +n c )]d V =0.当c ȡ0时,有ʏS (S +n c )d V =0,因此S =0,即M n 是全测地的;当c <0时,由M n 的紧致性及S =-n c 知h i j k =0,即M n 的第二基本形式平行.借鉴文献[3]的方法,选取适当的局部标架,使得h i j =0(i ʂj ),因此h i jk =0,在(13)式中令下标i =j ,得到0=ðkh i i k ωk =d h i -2ðkh ik ωk j =d h i 从而h i 为常数.由(13)式有0=ðkh i k ωk j -ðkh j k ωk i =(h i -h j )ωi j当h i ʂh j 时,ωi j =0,由(8)式知0=d ωi j =ðkωi k ɡωk j +ðk ,lh i k h j l ωk ɡωl -c ωi ɡωj =(h i h j -c )ωi ɡωj即当h i ʂh j 时,h i h j -c =0.令h 1= =h r =λ,且λʂh j ,r +1ɤj ɤn .由于M n 不是全测地的,且ðih i =n H =0,所以有h r +1= =h n =c λ=μ.考虑两个分布ω1= =ωr =0和ωr +1= =ωn=0,由ωi j =0(i ʂj )及(7)式和F r o b e n i u s 33第6期 杨慧章,等:一般伪黎曼空间中的极大类空子流形Copyright ©博看网. All Rights Reserved.43西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷定理知,这两个分布是可积的,M n局部上分解成黎曼积M1ˑM2.由h i h j-c=0及0=ði h i i=rλ+(n-r)μS=ði h2i i=rλ2+(n-r)μ2=-n c,μ2=-r n-r c.那么M r1(c1)和M n-r2(c2)的截曲率分别为c1=n r c和c2=n n-r c.所以得到λ2=-n-rr cM n局部等距于黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理3的证明若M n的R i c c i曲率平行,即R i j,l=0,由(1)式有(n c+S)t r(A A A A)=0.显然,若c>0,则S=0;若c<0,则有S=0或S=-n c.当S=-n c时,由引理1知,M n局部等距于两个常曲率空间的黎曼直积M n=M r1(c1)ˑM n-r2(c2),其中c1=n r c,c2=n n-r c.定理4的证明由于M n具有调和的黎曼曲率,由(2)式有ʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0(28)而d eS i t t e r空间S n+11(c)的截曲率c>0,由(28)式显然有0ɤʏ(n c+S)S2d Vɤʏ[(n c+S)t r(A A A A)+ ∇Q 2]d V=0所以ʏ(n c+S)S2d V=0,故有S=0,即M n是全测地的.参考文献:[1]陈六新,郭震,李同柱.一个新的S i m o n s型不等式[J].西南师范大学学报:自然科学版,2003,28(4):533-535.[2]I S H I HA R A T.M a x i m a l S p a c e-L i k eS u b m a n i f o l d so f aP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eo fC o n s t a n tC u r v a t u r e[J].M i c h i g a nM a t hJ,1988,35(3):345-352.[3] C H E R NSS,D OC M,K O B A Y A S H I S.M i n i m a l S u b m a n i f o l d s o f a S p h e r ew i t hS e c o n dF u n d a m e n t a l F o r mo f C o n s t a n tL e n g t h[M].B e r l i n:S p r i n g e r-V e r l a g,1970:59-75.[4]夏云伟,纪楠.空间形式中具有调和黎曼曲率的超曲面的刚性[J].西南大学学报:自然科学版,2007,29(6):40-42.[5]沈学文.D e S i t t e r空间中的类空子流形的整体拼挤定理[J].西南师范大学学报:自然科学版,2004,29(2):186-188.O n M a x i m a l S p a c e-L i k e S u b m a n i f o l d s i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nS p a c eY A N G H u i-z h a n g, L O N G Y a o, L I W e iC o l l e g eo fM a t h e m a t i c s,H o n g h eU n i v e r s i t y,M e n g z i Y u n n a n661100,C h i n aA b s t r a c t:B y c a l c u l a t i n g t h eL a p l a c i a no f t h e s q u a r eo f t h e l e n g t ho fR i c c i t e n s o r,an e wS i m o n s i n t e g r a l i n e q u a l i t y i n t h eP s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l dh a s b e e no b t a i n e d a n d s o m e r e l a t e d r e s u l t s g e n e r a l i z e d. K e y w o r d s:P s e u d o-R i e m a n n i a nm a n i f o l d;L a p l a c i a n;R i c c i t e n s o r责任编辑廖坤Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
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伪 黎 曼 流 形 中具 有 平 行 第 二 基 本 形 式 的子 流 形
张 娟 , 独 力1 , 2 , 郭 维斌
( 1 . 定西师范高等专科学校 数学系, 甘肃定西 7 4 3 0 0 0 ; 2 . 西北 师范 大学 数 学 与统计 学 院 , 甘 肃兰 州 7 3 0 0 7 0 )
黎 曼度量为d s : = ∑o  ̄ A O ) . 的G a u s s 方程, C o d a z z i
方程 和 R i c c i 方 程是
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文献标 志码 : A
文章 编号 : 1 0 0 8 — 9 0 2 0 ( 2 0 1 5 ) 0 2 — 0 0 1 — 0 3
近 年 来, 子 流形 几 何 的研究 一 直 是一 个 热 门话
l A, B, C… s n + p; l= 三 三 t , J, … n; n +l so t , ,
引理 1旧 设
为指 标 p的 n + p维伪 黎 曼 流
记 的平 均 曲率 向量 ,平 均 曲率 和第 二 基 本形 式 的模 长平 方 。 即
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1 . 预 备 知 识
本 文 约定 指标 的取值 范 围如 下:
伪黎曼空间型中具有常平均曲率的类空子流形
伪黎曼空间型中具有常平均曲率的类空子流形
刘敏;宋卫东
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》
【年(卷),期】2008(027)002
【摘要】本文研究了伪黎曼空间型中具有常平均曲率的类空子流形,得到了这类空子流形的一个积分不等式及刚性定理.
【总页数】2页(P27-28)
【作者】刘敏;宋卫东
【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖,241000;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖,241000
【正文语种】中文
【中图分类】O186
【相关文献】
1.伪黎曼空间型中具有平行平均曲率的类空子流形 [J], 胡显举;宋卫东
2.局部对称伪黎曼流形中具有平行平均曲率向量的类空子流形 [J], 杨慧章
3.关于de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的伪脐类空子流形 [J], 江桔丽;宋卫东
4.伪黎曼空间型中具有常数量曲率类空子流形 [J], 虞海潮
5.常曲率伪黎曼空间的完备类空子流形 [J], 罗治国
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一般伪黎曼空间中的极大类空子流形
为 等距 浸 入 到
N一2 ∑ } l R # y A 。 l I +∑ l l A 。 Q ~Q A l f
其中 l 1. 1 I为模 , N 与标 架 的选 取无 关.将定 理 B、定理 C进 行 推广 ,可得 到 : 定理 2 设 N ( c ) 是截 面 曲率 为常数 c 的 +P维 伪黎 曼 流形 ,
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设 N 是 指标 为 的 + 维伪 黎曼 流形 ,
如 下推 广 的 S i mo n s型不等式 : 定理 1 若
为 等距浸 入 到 N 中的 维黎曼 流形 ,即 N 的类 空
子 流形 .若 H 一 0 , 则称 是 极大 的.本 文运 用文 献 [ 1 ] 的方法 , 将 积分 不等 式推广 到伪 黎曼 流形 , 得 到 了
第 6期
杨 慧章 ,等 :一般 伪黎 曼 空 间中的极 大类 空子 流形
3 1
的, z 维完 备 黎曼 流形 .若 Mn 极大 , 则 M” 是全 测地 的. 定理 C [ z 设 N ( 一c )是 截 面 曲 率 为 常数 一 f ( c > 0 )的 + P维 伪 黎 曼 流 形 , N ( 一c )的 ”维完 备黎 曼 流形.若 M 极大 , 则 0 ≤ S≤ c .
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其 中等号 成立 当且 仅 当 一 1时 , R 一0 ; ≥ 2时 ,对任 意 的 a , y , 有 ・ 一0 .
第3 8卷 第 6期
Vo 1 .3 8 No . 6
伪黎曼空间形式中类空子流形的willmore泛函与weyl泛函的不等式
伪黎曼空间形式中类空子流形的willmore泛函与weyl泛函的不等式伪黎曼空间中类空子流形的Willmore泛函与Weyl泛函的不等式引言:伪黎曼几何是研究广义相对论中时空的几何性质的一门学科,而流形是伪黎曼几何中的基本对象。
在伪黎曼空间中,类空子流形是一类特殊的流形,其在物理和数学中都具有重要的应用。
在研究类空子流形的性质时,Willmore泛函和Weyl泛函是两个重要的工具。
本文将深入探讨这两个泛函的不等式关系。
一、Willmore泛函的介绍Willmore泛函是指给定一个流形M,考虑其上的一个类空子流形N,将N内部的曲率函数平方积分起来并乘以一个系数,再积分到整个M上。
具体地说,对于流形M上的子流形N,Willmore泛函W的定义如下:W(N) = ∫_N k^2 dA其中,k表示N上的曲率,dA表示N上的面积元素。
数学家Willmore研究了类空子流形的性质,发现当Willmore泛函取得最小值时,类空子流形在几何上具有良好的特性,例如形状对称性和最小面积性质等。
因此,Willmore泛函在几何学、物理学以及微分方程等领域都有广泛的应用。
二、Weyl泛函的介绍Weyl泛函是指给定一个流形M,考虑其上的一个类空子流形N,对于N内部的Gauss曲率和平均曲率之间的关系进行积分。
具体地说,对于流形M上的子流形N,Weyl泛函W的定义如下:W(N) = ∫_N (K - H^2) dA其中,K表示N上的Gauss曲率,H表示N上的平均曲率,dA表示N上的面积元素。
Weyl泛函是在黎曼几何中引入的,用于研究黎曼空间中的曲面性质。
相较于Willmore泛函,Weyl泛函在几何学中的应用更为广泛,被广泛应用于流形的分类和几何变分等领域。
三、Willmore泛函与Weyl泛函的不等式在伪黎曼空间中,Willmore泛函与Weyl泛函之间存在着一种不等式关系,即:W(N) ≥ 4π^2 χ(N) - 2π^2 χ(M)其中,χ(N)表示子流形N的Euler示性数,χ(M)表示父流形M的Euler示性数。
【国家自然科学基金】_黎曼问题_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
科研热词 黎曼度量 黎曼流形 黎曼流型 黎曼法坐标 马氏距离 非平衡辐射扩散方程 间断系数 间断有限元 视觉跟踪 能控性 线性收发机 稳定性 离心泵 直接间断galerkin方法 流形学习 波方程 次大体积增长 有限拓扑型 曲面网格 多输入多输出 多中继 均方误差 协方差算子 前沿推进法 人脸识别框架 人工鱼群算法 三角划分 三维深度图 ricci曲率 logmap delaunay
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科Байду номын сангаас热词 推荐指数 黎曼问题 1 黎曼流形 1 通量加权型差分格式 1 迎风紧致格式 1 航空、航天推进系统 1 熵条件 1 旋转超曲面 1 数值方法 1 必要最优性条件 1 广义梯度 1 广义 rankine-hugoniot 条件 1 多目标规划 1 伪黎曼空间型 1 二维零压气体动力学系统 1 主曲率 1 δ -激波 1 weingarten超曲面 1
科研热词 推荐指数 黎曼问题 2 跳跃问题 2 视差 2 柯西型积分 2 摄动 2 弹性体 2 张量 2 复应力函数 2 匹配代价 2 光晕 2 δ -激波 2 黎曼流形 1 黎曼-勒贝格引理 1 非结构网格 1 零压流 1 随机选取法 1 透平叶栅 1 质量守恒 1 贝叶斯方法 1 表面张力 1 类空超曲面 1 等距离映射算法 1 等熵流chaplygin气体 1 等熵euler方程组 1 矩阵不等式 1 真空 1 液滴 1 测地距离 1 浅水模型 1 浅水方程 1 流形学习 1 欠采样 1 核函数 1 极小子流形 1 有限差分方法 1 有限体积法 1 有限体积方法 1 数据降维 1 数值模拟 1 支持向量机 1 推广的黎曼-勒贝格引理 1 控制理论 1 接触间断 1 总变差减小 1 平面波解 1 干湿边界 1 局部线性嵌入 1 局部对称的黎曼流形 1 大时间步长格式 1 多波近似 1 固壁面 1 变分 1
伪黎曼空间型中满足条件τ2(φ)=ητ(φ)的子流形
伪黎曼空间型中满足条件τ2(φ)=ητ(φ)的子流形伪黎曼空间型中满足条件τ²(φ)=ητ(φ)的子流形伪黎曼几何学是描述多维度空间中曲率和度量的一种几何学分支。
在伪黎曼空间型中,我们关注的是一类特殊的子流形,它们满足一个有趣的条件τ²(φ)=ητ(φ)。
本文将介绍什么是伪黎曼空间型,子流形以及这个重要的条件。
伪黎曼空间型是一种广义的黎曼几何的推广。
在这个几何学框架中,空间被赋予了一个度量张量,用于度量空间中的向量的长度和角度。
与欧几里得几何学不同的是,伪黎曼空间型中的度量具有一些特殊的性质。
度量张量不再是正定的,而是可以是正的、负的或者零。
这导致伪黎曼空间型具有一些非常奇特的几何性质。
子流形是黎曼流形的一个子集,它在流形中有自己的拓扑结构,并且可以独立于流形进行研究。
子流形可以是曲面、超曲面或者其他维度的流形。
在伪黎曼空间型中研究子流形的性质,可以帮助我们理解空间的几何结构。
这使得研究满足条件τ²(φ)=ητ(φ)的子流形成为一个很有意义的课题。
那么,条件τ²(φ)=ητ(φ)有什么特殊之处呢?我们来详细探讨一下。
根据条件,τ²(φ)与ητ(φ)是相等的,这里τ是子流形的第二型基本形式,φ是子流形的法矢量,η是伪黎曼度量张量。
第二型基本形式描述子流形在环绕它的黎曼空间型中的曲率和形状。
当τ²(φ)=ητ(φ)成立时,我们可以得到一些有关子流形曲率和度量的重要信息。
首先,当条件τ²(φ)=ητ(φ)成立时,子流形的高斯曲率为零。
高斯曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标。
在伪黎曼空间型中,我们知道高斯曲率可以是正的、负的或者零。
然而,在满足条件τ²(φ)=ητ(φ)的子流形中,高斯曲率将始终为零。
这意味着这些子流形是具有一定特殊性质的。
其次,满足条件τ²(φ)=ητ(φ)的子流形具有类似于平直空间型中的最小曲面性质。
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词: 伪黎曼流形 ; 极大类空; 第二基本形式
中图分类号: 8 016
文献标识码: A
文章编号:08 4720 )2 3-0 10 -99 (050 -12 3
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收稿 日期:030-1 20-72 . 作者简介: 维(98 , 硕士生, 冯 17-)男, 主要从事微分几何研究.
万方数据
第2 期
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维: 一般伪黎曼流形 中的极大类空子流形
则 M 是全测地 的.
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作 者把定理 推广到一般的伪黎曼流形上, 2 得
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一般伪黎曼流形中的极大类空子流形
冯 维
( 浙江大学 数学系, 浙江 杭州 302 ) 108
摘 要: 二p ( + 维完备连通伪黎曼流形, N + 为( p n ) 它的截面曲率K 满足a N . 为N + 中的紧致无边极 N < 簇bM" "a K 0 大类空子流形.通过利用G en re 散度积分公式, 得到了在一般伪黎曼流形情况下的 JSm n 型积分不等式, . os i 推广
类空子流形. 9 ,1 ) M 的极大性 , 由式 () (0 及 得
1 预 备知 识
文中对各类指标取值范围约定如下 : 1 A, C, 镇 n+ p 1 ijk … 毛 n ( B, … , ( ,,, ,
n+ 1 aP ) … 镇 n+ p 镇 ,,, ' .
0 引
言
现设N 是指标为p ( 十p 维完备连通伪 犷P 的( n ) 黎曼流形, 为等距浸入到 N + 中的n M0 0 P P 维黎曼流 形, n 的伪黎曼度量诱导了M" 即N + ” 的黎曼度量, 称
之为类空浸入. H =o则称M’ 若 , 是极大的. 本文运 用文献[]中的方法, 1 将上述积分不等式推广到伪 黎曼流形, 得到了推广的 JSm n 型积分不等式. . o s i
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其中D(,)E(,) np , np 如定理 1 所述. 对于局部对称的伪黎曼流形, 文献[〕 2 证明了
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式、 平均曲率向量、 曲率张量、 法曲率张量和 N 的曲 率张量. 的第二基本形式 h M 模长平方记为 s 平均 , 曲率记为 H. H = 。那么称 M 为极大的. h 若 , 用 尔
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