第五章线性空间与线性变换解剖
第五章 线性变换
( ) A,
如果 A 是 在基 1,2 , ,n 下的矩阵表示，那么
是 End(V )到 M n (F )的一个一一对应．
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定理4 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 线性变
换 在 V 的一组基 1,2 , ,n 下的矩阵表示为 A．
如果向量 V 在 1,2 , ,n 下的坐标向量为
(1), (2 ), , (s )
也线性相关．也就是说线性变换将线性相关的向 量组仍然变成线性相关的向量组．
1. 乘法
设 , 是 V 上的两个线性变换． 定义 和
的乘积 为 () () ( ()), V .
直接验证， 也是一个线性变换．
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对于任意的线性变换 ， 均有
标(x1, y1) 和 (x2 , y2 ) 满足下面关系：
x2 y2
cos sin
sin cos
x1 y1
.
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三、线性变换的基本性质及运算 设 是 V 上的一个线性变换．则有
性质1 (0) 0 ， () () ．
性质2 如果 是 1,2, ,s 的线性组合， 且组合
M 到 P 的映射，满足 g f (x) g( f (x)), x M .
显然， 对于任意从集合 M 到 N 的映射 f ， 都有 idN f f idM f .
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另外，映射的乘积还满足结合律． 定义7 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射，如果存 在 N 到 M 的一个映射 g， 使得
f (n) 2n, n ,
则 f 是 到自身的映射，且 f 是一个单射但不是 满射． 例3 设 M n ( )是实数域上的所有 n 阶方阵的集合． 定义 M n ( )到 的对应 f ，满足
高等代数第五章知识点总结
高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。
3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间与线性变换重要PPT课件
(6) a ( a) ( a);
(7) a b a b；
(8) 1 a a1 a.
故在该加法和数乘运算下，对应集合构成实 数域上的线性空间。
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注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以 是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.
线性空间的简单性质：
若 (II) 组中的每个向量都能由向量组 (I) 线性表 示, 则称向量组 (II) 可由向量组 (I)线性表示, 若向量组 (I) 与向量组 (II) 能相互线性表示, 则 称这两个向量组等价.
性质 设A, B,C是向量组，则
(1)反身性：A与A等价 (2)对称性：A与B等价，则B与A等价 (3)传递性: A与B等价，B与C等价,则A与C等价.
即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.
同理，对 1, 2 ,令
k11 k22 0
即
kk1120k2 0
k1 5k2 0
得k1 k2 0. 故 1, 2 线性无关.
注：向量组只包含两个非零向量 1,时2，则
1,2线性相关 ，使2 =1或1=2
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线性相关性的判定
定理1 n维列向量组 1,2, ,s线性相关的充要条
特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常 的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．
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例1 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
Amn Bmn Cmn , Amn Dmn ,
易验证加法和数乘满足八条运算律.
Rmn是实数域上的线性空间.
3.1 线性空间的定义与性质
常见的几何空间：
最新同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换
同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx线性代数教学教案第五章线性空间与线性变换授课序号01为实数域对于加法交换律：+α加法结合律：(α是实数域上线性空间a对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.)()[]}为上的连续函数是定义在区间,bx f x a12m m mn aa a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭() n⨯是非空的, (m nM⨯1112n m nnaa aaa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎭{++n a x a(){T x，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间在实数域上线性空间12n m nn aa a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭nn a a ⎪⎪⎪⎪⎭的加法和数乘是封闭的的一个子空间。
授课序号02个元素,,,ααα 12,,,n ααα线性无关总可由,,,ααα线性表示那么，12,,,n ααα就称为线性空间设,,,ααα是线性空间有序数组12,,,n x x x ,,,x x x 在基,,,ααα),n x .设12,,,n ααα与12,,,n βββ中的两个基则上式称为从基,,,ααα到基12,,,n βββ,,,ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵。
由于12,,,n βββ线性无关在基,,,ααα下的坐标为在基,,,βββ，且由基,,,ααα到基,,,βββn n x y ⎪ ⎪⎭⎝⎭n n y x ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ⎫⎪⎭有1112212210010000a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝==11,,p x授课序号03到m U 的线性映射性组合的对应的映射. 特别地，如果取若12,,,m ααα线性相关，则12,,,m T T T ααα的像集(T V 是一个线性空间，称为线性变换的一个基为12,,,n ααα,在基12,,,n ααα下的矩阵。
5.4第5章 线性空间与线性变换
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明 设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性 变换 在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求 在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后， 中的线 性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维 线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基， 在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵.
第五章 线性变换 S2 线性变换的矩阵
第五章 线性变换
第二节 n维线性空间中线性 变换的矩阵
只讨论n维线性空间V上的线性变换T. 研究线性变换T和n阶矩阵之间的关系.
x11 x2 2
xn n
又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有
2
T T ( x1 1 x2 2 x1T 1 x2T 2
xn n ) xnT n
(1)
这说明当已知 T 1 ,T 2 , ,T n 时，每个向量的象 由(1)确定，即线性变换被完全确定.
T x2 x 3 x3 x1
求T在基底
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 0 0 1
下的矩阵A.
解：由T的定义知 1 0 1
T [T 1 , T 2 , x2 ,T n ] [T 1 , T 2 , x n
xnT n
,T n ]X
(3)
T [T 1 , T 2 ,
(2)代入(3)得到
, T n ] X ( 1 , 2 ,
T ( 1 , 2 ,
, n M ) (T 1 , 2 ,
, n ) M
[T 1 ,T 2 ,
1 ,2 ,
,T n ]M 1 , 2 ,
,n M AM
1
, n AM
线性代数-线性空间与线性变换PPT课件
例1
次数不超过
n
的多项式的全体，记作
P
x
，
n
即
P x n p x anx n a1x a0 an, ,a1,a0 ,
对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，
故只要验证
P
x
对运算封闭.
n
一、线性空间的定义
1
0 ,
E 22
0
1
线性无关，所以 E11, E12 , E21, E22 是 M2
的一个基，向量
A
a11 a21
a12 a22
在这个基下的
坐标就是 a11, a12, a21, a22 T .
二、基变换与坐标变换
设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间Vn 中的两个基，且
第5章 线性空间与线性变换 20
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第5章 线性空间与线性变换 21
5.2 维数、基与坐标
一、线性空间的基、维数与坐标 二、基变换与坐标变换
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 22
定义 1 在线性空间V 中，如果存在n 个元素1,2, ,n 满足
(i) 1,2, ,n 线性无关； (ii) V 中任一元素 总可由1,2, ,n 线性表示，
x1, x2, , xn ，使
x11 x22 xnn ，
x1, x2, , xn 这组有序数就称为元素 在基1,2, ,n 下的坐标，并记作
x1, x2,
,xn
T
.
一、线性空间的基、维数与坐标
第5章 线性空间与线性变换 25
线性空间与线性变换
映射：设M 和M'是两个非空集合，如果对M 中的每个元素，按照某种法则T 都有M'中的一个确定的元素与之对应，则称T 是从M 到M'中的一个映射，记作T ：M →M'称M 为T 的定义域。
如果映射T 使α∈M 与β∈M'相对应，则称β是α在映射T 下的象，而称α为β的一个原象，记作T （α）=β（α∈M ）集合M 到自身的映射称为M 上的变换。
设T 和S 都是集合M 到M'的映射。
如果对任一元素α∈M 都有T （α）=S （α），则称T 和S 相等，记作T=S如果对于M'中的每一个元素β，都有α∈M 使T （α）=β，则称T 是一个满射。
如果对于任意α1，α2∈M ，当α1≠α2时，都有T （α1）≠T （α2），则称T 是单射。
如果映射T 既是满射又是单射，则称之为一一映射（或一一对应）映射T 下所有象所成的集合称为T 的值域（或象集合），记作R （T ），即R(T)={ T （α）︱α∈M}显然R(T)⊂ M'，一个集合M 到M'的映射T 是满射的充分必要条件是R （T ）= M'；而T 是单射的充分必要条件是，对任意α1，α2∈M ，由T （α1）= T （α2）可以推出α1=α2 设M 是一个非空集合，定义E （α）=α（α∈M ）则E 是M 上的变换，称为M 的单位映射（或恒等映射）,记作M I 。
E 是一一映射。
对于映射，定义它的乘积如下（ST ）（α）﹦S （T （α））（α∈M ）所确定的从M 到M''的映射ST 称为S 与T 的乘积。
映射的乘积是复合函数的推广，但不是任意两个影射都可以求他们的乘积。
由映射T 和S 得到乘积ST 的充分必要条件是T 的值域含与S 的定义域。
例1 设M=K n ×n .定义 T 1（A ）=det A （A ∈K ）则T 是K n ×n 到K 的一个映射，它是满射，但不是单射。
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间（也称为向量空间）是线性代数的基本概念之一。
它是指由向量集合组成的集合，满足特定的运算规则。
线性空间中的向量可以是实数域上的实向量，也可以是复数域上的复向量。
线性空间的定义涵盖了许多重要的数学概念和定理，在各个领域中都有广泛的应用。
一、线性空间的定义线性空间的定义遵循以下几个基本条件：1. 封闭性：对于线性空间V中任意向量u和v，它们的线性组合也属于V。
即对于任意的标量a和b，有a*u + b*v∈V。
2. 加法结合性：对于线性空间V中任意向量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
3. 加法交换性：对于线性空间V中任意向量u和v，有u+v = v+u。
4. 零向量存在性：存在一个特殊的向量0，满足对于线性空间V中任意向量u，有u+0 = u。
5. 加法逆元存在性：对于线性空间V中任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
6. 数量乘法结合性：对于线性空间V中任意的标量a、b和向量u，有(a*b)*u = a*(b*u)。
7. 标量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和向量u、v，有a*(u+v) = a*u + a*v。
8. 向量乘法分配律：对于线性空间V中任意的标量a和b，以及向量u，有(a+b)*u = a*u + b*u。
二、线性变换的定义与性质线性变换是一种将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换也被称为线性映射或线性算子。
线性变换保持线性空间的线性结构，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有以下性质：1. 线性变换将零向量映射到零向量，即T(0) = 0，其中T表示线性变换。
2. 线性变换保持向量的线性组合，即对于线性空间V中任意的向量u和v，以及标量a和b，有T(a*u + b*v) = a*T(u) + b*T(v)。
3. 线性变换的像空间是一个线性空间，即对于线性空间V中的线性变换T，其像空间W也是一个线性空间。
线性空间与线性变换解析
线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。
线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。
通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。
一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。
1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。
二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。
若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。
2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。
第讲线性空间与线性变换课件
即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
（2）下证 dimV ，即证存在任意多个线性无关 的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关，由于 n 任意大，所以
2、线性空间的简单性质
（1）零元素 是唯一的； （2）任意元素 的负元素 是唯一的；
（3）0 , k ,1 ;
（4）如果 k ，则 k 0 或 .
例1、设V 是定义在闭区间0,1 上所有实函数的集
合，在V 上定义的加法为：对 f1, f2 V , f1 f2 为函数
f1 f2 x f1 x f2 x
设，存在 Vi ,1 i m 1. 若 Vm ，得证。 否则， Vm ，必存在 Vm 。我们证明存在正整数 k , 使 k Vi 对所有的 i 1, 2, , m 成立。
首先注意 k Vm。否则，我们有 Vm ，矛盾。
我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数 k ，使
k Vi 对 i 1, 2, , m 1 成立即可。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
例2、设V1,V2 是数域P上的线性空间，对 k P,
1,2 , 1, 2 V1 V2 , 规定 1,2 1, 2 1 1,2 2 k 1,2 k1, k2
（1）证明：V1 V2 关于以上运算构成P上的线性空间；
（2）设 dimV1 m,dimV2 n ，求 dimV1 V2 .
A
s
，作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns（其中i 为 n 维列向量），
则有 iT j
第五章线性空间与线性变换第三讲
fi ( A) xi fi ( A)ui ( A)gi ( A) x ui ( A) f i ( A)gi ( A) ui ( A) f ( A) x 0, 即 xi V 于是V V1 Vk
下面证明若 x Vi
V ，则
j i j j i
x 0.
x Vi，即f i ( A) x 0，x V j，即x＝ y j，其中y j V j，将x＝ y j 代入(*)中得到
第三讲
多项式与子空间
1.
设A是 域F上的线性空间V的线性变换,f(t)是域F上的多项式，f(A)= 0,且 f(t)= f(t) 1
-1 fk(t)，f1 , ,fk 两两互质,且Vi＝f(A) (0), 1 i k. i
证明：V = V1⊕ ⊕Vk 证： 令gi (t ) f (t ) , 显然g1 (t ), fi (t ) , g k(t)是两两互质的，即它们的最大公因式是1. gk (t )uk(t)＝1, 于是
故 V Vx1 Vx2
4.
设λ 是线性变换A的r重特征值,A是n维线性空间V的线性变换,Vλ 是 A的特征子空间，V1是A的 属于λ 的根向量构成的根子空间. 证明： Vλ 的维数 ≤ r，V1的维数＝r x 取V的一组基使A的矩阵为若当标准形. A= 其中j , j 1 s 1 x s 0 0 x A1 0 s n r ，故 I A x = 其中 A1 1 A2 0 s 1 x A2 x . 因j ， 1 j s, 于是r ( A2 ) s, 易验证A1r 0, s 于是 I A的秩 s n r，故( I A)X 0的解空间的维数 r , 即V的维数 r. 又( I A)r的秩等于n r，故( I A)r X 0的解空间V1的维数等于r.
线性代数课件PPT第五章 线性变换 S1 线性变换的定义
由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间，k是F中的某个数 ， 定义V的变换如下：
k
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6
第五章线性空间与线性变换第一讲
k Vi，取k1 , k2， , km是m个不同的整数, 则k j V jr , j 1,
必存在i j使jr ir，于是ki (k j ) V jr , 即(ki k j ) V jr，ki k j .于是 V jr，矛盾. （因 V jr）本题结论成立.
r , r+1
n 是V的一组基，V1＝L(1
r ),V2 L( r+1
n ),
V V1 V2
(以上条件可推广到多个子空间的直和)
2. 线性变换及其子空间
(1) 线性变换A满足A( ) A A，A(k ) kA，A的定义域和值域都是V (2) 设1
rs是V 的基.
则由A的定义Az 0,即z A1 (0). 于是V2 A1 (0).对任意的 z A1 (0), 我们证明z V2 . 设z y z1 其中y V1 , z1 V2 , Az y 0,即z z1 V2 , 对任意的x V , Ax Ay Az Ay y. A2 x A( Ax) Ay y, 即Ax A2 x A A2 下面证明唯一性, 若存在B使BV V1 , B 1 (0) V2 , 且B 2 B, 我们证明A B. x V 有x y z , Ax y , Bx By Bz By, By V1 , 若By y1 y , 则 y1 y 0 V1，于是B( y1 y ) By1 By V1，因B 2 B, 故 B 2 y By, 又B 2 y B ( By ) By1，于是By＝By1，即B( y1 y )＝0，于是y y1 V2，即 y y1 V1 V2， 这与V1 V2＝0 矛盾.
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由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
13
性质2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
对于通常的多项式加法 ,数乘多项式的乘法构成 线
性空间.
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．
(an xn a1 x a0) (bn xn b1 x b0) (an bn) xn (a1 b1)x (a0 b0) P[ x]n
(an xn a1 x a0) ( an) xn ( a1)x ( a0) P[ x]n
对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘
(x , ,x )T 0, ,0
1
n
不构成R上的向量空间，因为1 x O ，不满足
运算规律（5）
10
例5 正弦函数的集合
Sx s Asinx B A, B R.
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sinx B1 A2 sinx B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x Asinx B S[ x].
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空 间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变 换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换、 替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的 矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科, 都有极为广泛的应用.
11
s1 A1 sinx B1 A1 sinx B1 S[ x]
Sx 是一个线性空间.
一般地 例6 在区间 [a,b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
12
5.1.2线性空间的性质
性质 1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
（对任意 , , ∈ V , k, ∈P）：
(1)
(2) ( ) ( )
5
(3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何
∈V，都有 0 ； (4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ，使 0
（ 称为的负元素）； (5) 1 (6) k() (k ) (7) (k ) k k
第5章 线性空间与线性变换
§5.1 线性空间 §5.2 线性空间的基、维数 §5.3 线性空间的基变换与坐标变换 §5.4 线性变换的矩阵
1
引言
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的 概念，它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问 题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题．
本章主要介绍线性空间和线性变换的定义与性质.
2
§5.1 线性空间 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空 间的抽象和推广． 我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它 们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力 学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的 理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维 向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的 向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论．
P[x]n 对运算封闭.
9
例3 n次多项式的全体
Q[x] n
{
p
a
n
x
n
a1x a0
a
,
n
, a1,
a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空
间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x] 对运算不封闭. n
例4 n个有序实数组成的数组的全体
S n x (x1, x2, , xn )T | x1, x2, , xn R
3
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量 及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的 封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象 的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究 的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应 用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然 科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理 解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要 的指导意义．
(8) k( ) k k
V就称为(数域P上的)线性空间(或向量空间),V中的元素 称为向量.
6
注 意 ：
（1）凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法 称为线性运算； （2）向量空间中的“向量”不一定是有序数组； （3） 线性空间依赖于“加法”和“数乘”的定义， 不 光与集合V有关. （4）一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封 闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集 合就不能构成线性空间；
0 .
向量 的负元素记为 .
14Biblioteka 性质3. 0 0; 1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
7
线性空间的判定方法
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rmn ． Amn Bmn Cmn , Amn Dmn , Rmn是一个线性空间.
8
例2 次数不超过n的多项式的全体 ,记作 P[ x]n ,即
P[x]n f (x) anxn an1xn1 a1x a0 | an1, ,a1,a0 P ，
4
5.1.1 线性空间的概念
定义1 设V是一个非空集合，P为实数域，如果对任
意两个元素 , ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与之 对应，称为 , 的和，记作 ；对于任一个 数 P与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元素
∈V 与之对应，称为 与 的积，记为 ；
两种运算满足以下八条运算规律