中国地质大学(北京)高数课后练习题

地大（北京）本科高数课后练习题

第一章极限

习题1.1

1.设x n=n1+1

n (n=1,2,……)，证明lim

n→∞

x n=1，并填下表

2.用“ε-N”方法证明下列各题

（1）lim

n→∞1

n2

=0

（2）lim

n→∞3n+1

2n+1

=3

2

（3）lim

n→∞(−1)n sinn

n

=0

（4）lim

n→∞

0.999…9（有n个9）=0

3.若lim

n→∞x n=a，证明lim

n→∞

│x n│=│a│；反之是否成立？

4.若数列{x n}有界，且lim

n→∞y n=0，证明lim

n→∞

x n y n=0

5.对于数列{x n}，若lim

n→∞x2n=a且lim

n→∞

x2n+1=a，证明lim

n→∞

x n=a

9设lim

x→x0f(x)=A,lim

x→x0

g(x)=B

(1)若A>B，证明存在点x0的某个去心邻域，使得在此邻域内f(x)>g(x);

(2)若在点x0的某个去心邻域内有f(x) ≧g(x)，证明A≧B

习题1.2

1.根据函数极限的定义证明

（1）lim

x→3

(3x−1)=8

（2）lim

x→2

(5x+2)=12

（3）lim

x→−2x2−4

x+2

=-4

（4）lim

x→−1

21−4x2

2x+1

=2

2.当x→2时，y=x2→4，问δ等于多少，使得当│x-2│<δ时，恒有│y-4│

<0.001

3.设f(x)=f(x)={x 2,x<1

x+1,x≥1

(1)作f(x)的图形

(2)根据图形写出极限lim

x→1−f(x)与lim

x→1+

f(x)

(3)当x→1时，f(x)有极限吗？

4.求下列函数的极限：

（1）lim

x→1+

x │x│

(2) lim

x→0+

x

x2+│x│

(3)lim

x→0−

x

x2+│x│

5. 根据函数极限的定义证明

（1）lim

x→∞

x

2x+1

=1

2

（2）lim

x→√x

=0

6. 下列极限是否存在？为什么？

（1）lim

x→1

x−1│x−1│

（2）lim

x→∞

arctanx

(3) lim

x→∞

e−x

(4) lim

x→∞

(1+e−x)

7. 如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，证明f(x)在点x0的某个去心邻域内有界。

8. 证明lim

x→∞f(x)=A的充要条件是lim

x→+∞

f(x)=lim

x→−∞

f(x)=A

习题1.3 无穷小与无穷大

1.根据无穷小与无穷大的定义证明：

（1）lim

n→∞1

x

=0

（2）lim

n→3x2−9

x+3

=0

（3）lim

n→0xsin1

x

=0

（4）lim

n→02x+1

x

=∞

（5）lim

n→∞

x2=∞

2. 下列各题中，指出哪些是无穷小，哪些是无穷大？ （1）

1+2x x 2 当 x →0时

（2）x+1

X 2−9 当 x →3时 （3）2-x -1 当 x →0时 （4）lgx 当 x →0+时 （5）sinx

1+secx 当 x →0时 3. 求下列极限并说明理由 （1） lim n→∞2x+1x

（2） lim

n→01−x 2

1−x

4. 根据函数极限或无穷大的定义，填写下表

5. 函数y=xcosx 在（-∞，∞﹚上是否有界？当x →+∞时，这个函数是否为无穷大？为什么？

习题1.4

1. 求下列极限

（1） lim

x→2x 2+5x−3 （2） lim x→−1x+1x 3

（3） lim x→√3x 2−3

x 2

+1

（4） lim x→1x 2−2x+1x 2−1 （5） lim

x→0

(x+h)2−x 2

h

（6） lim

x→∞x 2+1

2x 2

−x−1

（7） lim

x→∞x 2+x

x 3

−3x+1

（8） 因为lim x→1

2

6x 2−5x+18x 2−1=0，所以lim x→

12

8x 2−1

6x 2−5x+1

=∞ （9） lim x→1

(1

1−x -1

1−x^3)

（10） √x 3

−1

√x 2

−1

（11） lim x→∞

q x =

{

0 （│q │<1)

1 (q =1)不存在 (q =−1)∞ (│q │>1)