江西省抚州市抚州一中2020届高三第一次模拟测试卷理科数学试题(附答案解析)

江西省抚州市抚州一中第一次模拟测试卷
理科数学
本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟 注意事项：
答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码； 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；
3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改 动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；
4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆A D ．3∈A
2.设z ＝1－i
1＋i ＋2i ，则|z |等于( )
A.0
B.1
2
C.1
D.2
3.设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝1
3x ＋1
的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q ) D ．¬q
4.函数y ＝212
log (231)x x －＋的单调递减区间为( )
A ．(1，＋∞)
B.⎝
⎛⎦⎤－∞，34
C.⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫3
4，＋∞ 5.函数y ＝x 2ln|x ||x |
的图象大致是( )
6.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )
7.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )
A ．1 B.4
3
C. 3 D ．2
8.已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
9.已知△ABC 外接圆的圆心为O ，AB ＝23，AC ＝22，A 为钝角，M 是BC 边的中点，则AM →·AO →
等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6 10.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )
A.42＋23＋2 B .43＋4 C.22＋43＋2 D.82＋4
11.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
12.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0
交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离心
率的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦
⎤0，
32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡
⎭
⎫
32，1
D.⎣⎡⎭⎫34，1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，
y ≤0，
则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.
14.函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 15.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2
＝________.
16. 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________.
三,解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分
17.(12分)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期．
(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣
⎡⎦⎤0，3π
2上的值域． 18.(12分)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示． (1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X
的分布列及期望．
19.(12分)如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →
＝kAC 1→，BN →＝kBC →
(0≤k ≤1).
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？
20.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．
(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；
(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
21.(12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；
(2)若抛物线C 上有一点R (x R ,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则技所做的第一题计分
22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程
将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；
(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程． 23.(10分)选修4-5:不等式选讲
(1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值．
答案解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.答案 D
解析 集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，∴0∈A,1∈A ，2∉A,3∈A ，故选D. 2.答案 C
解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i
2＋2i ＝i ，
∴|z |＝1.故选C. 3.答案 B
解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题． 由3x >0，得0<1
3x ＋1
<1，
所以函数y ＝1
3x ＋1的值域为(0,1)，
故命题q 为真命题．
所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(¬q )为假命题，¬q 为假命题．故选B.
4.答案 A
解析 由2x 2－3x ＋1>0，
得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，1
2∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1
2∪(1，＋∞)． 则y ＝12
log t ，
∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18
， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12
log t 在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数y ＝212
log (231)x x －＋的单调递减区间为(1，＋∞)．
5.答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1
e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. 6.答案 D
解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.
又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 7.答案 B
解析 所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 220
＝－83＋4＝43. 8.答案 C
解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α＝2；
当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α
cos α＝－2.
9.答案 C
解析 ∵M 是BC 边的中点， ∴AM →＝12
(AB →＋AC →)，
∵O 是△ABC 的外接圆的圆心， ∴AO →·AB →＝|AO →|·|AB →
|cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝1
2
×(23)2＝6. 同理可得AO →·AC →＝12|AC →
|2＝12×(22)2＝4.
∴AM →·AO →＝12
(AB →＋AC →)·AO →
＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝1
2×(6＋4)＝5. 10.答案 A
解析 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B 1－ACD ，
则其表面积为四个面面积之和S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×22＋12×2×2＋3
4×(22)2＝42＋23＋2. 11.答案 C
解析 可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.
12.答案 A
解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．
∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.
设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥4
5，
∴1≤b <2. 离心率e ＝c
a ＝
c 2a 2
＝ a 2－b 2
a 2
＝ 4－b 24∈⎝
⎛⎦⎤0，3
2， 故选A.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.答案 6
解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.
由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z
2
.
作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z
2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2
＋2×0＝6. 14.答案 [－3,0]
解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]． 15.答案 －11
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2， ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q
a 1(1－q 2) ＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4
＝－11. 16.答案
410
5
解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8
5t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝2·
⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2
－1)5＝425
·5－t 2，
当t ＝0时，|AB |max ＝4105
. 三,解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答；第22.23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分
17.解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，
可得sin ⎝
⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2
(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13
(k ∈Z )． 又0<ω<12
， ∴ω＝13
， ∴函数f (x )的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ，
∵f (π)＝0，
∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0，
∴m ＝－2，
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，
当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6
， －12
≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，
故函数f (x )在⎣
⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[]－3，0. 18.解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200
＝2.3. (2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ，
由题意知X 的所有可能取值为0,1,2，
P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199
， P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199
， P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200
＝83199， ∴X 的分布列为
E (X )＝0×83199＋1×100199＋2×16199＝132199
. 19.解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，
∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →
＝kC 1A →＋AB →＋kBC →
＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →
＝k (C 1A →＋B 1C 1—→)＋AB →
＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→
＝AB →－k (AA 1→＋AB →)
＝(1－k )AB →－kAA 1→，
∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面.
(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，
MN 在平面ABB 1A 1内，
当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，
又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，
∴MN ∥平面ABB 1A 1.
综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；
当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.
20.(1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，
则ab ≠0，
且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭
⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12
，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.
由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.
记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，
则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.
所以AR ∥FQ .
(2)解 设过AB 的直线为l ，
设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，
则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12
|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2
. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2
， 所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．
设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．
当AB 与x 轴不垂直时，
由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1
(x ≠1)． 而a ＋b 2
＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，
此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.
所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.
21.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m
y ， ∴它的焦点为F ⎝⎛⎭
⎫0，14m . (2)∵|RF |＝y R ＋14m
， ∴2＋14m ＝3，得m ＝14
.[4分] (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，
消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立，
方程必有两个不等实根．[6分]
设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2m ，
x 1·x 2＝－2m .(*)
∵P 是线段AB 的中点，
∴P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，
即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭
⎫1m ，1m ， 得QA →＝⎝
⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝
⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，
即⎝
⎛⎭⎫x 1－1m ·⎝⎛⎭⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎫mx 21－1m ⎝⎛⎭⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)式化简得－4m 2－6m
＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12
， ∵m >0，∴m ＝2.
∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．
(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则技所做的第一题计分
22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程
解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 1，y ＝2y 1.
由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，
即曲线C 的标准方程为x 2
＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12
， 于是所求直线的方程为y －1＝12⎝⎛⎭
⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ
. 23.(10分)选修4-5:不等式选讲
解 (1)∵x ，y ∈R ，
∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，
当且仅当0≤x ≤1时等号成立，
∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y ≤1时等号成立，
∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1同时成立时等号成立．
∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.
(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.。