(完整word版)最值问题(费马点)

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2020年九年级数学中考几何探究型问题:线段最值问题——“费马点”问题(包含答案)

2020年九年级数学中考几何探究型问题:线段最值问题——“费马点”问题(包含答案)

几何探究型问题(针对第25题)线段最值问题“费马点”问题【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点.“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA+PB+PC的最小值问题,通常将某三角形绕点旋转一定的角度,从而将三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题.【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形,“费马点”是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点.费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小,这就是所谓的“费马”问题.如图,将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′,则可以构造出等边三角形APP′,从而得到AP=PP′,CP=C′P′,所以将PA+PB+PC的值转化为PP′+PB+P′C′的值,则线段BC′的长即为所求的最小值.例题1.如图,已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证:PB+PC=PA.证明:如答图,在P A上截取PM=PC,连接CM.∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,BC =AC .∵∠ABC =∠APC ,∴∠MPC =60°,∴△MPC 是等边三角形,∴∠MCP =60°,MC =PC ,∴∠ACM =∠BCP .在△BPC 和△AMC 中,⎩⎪⎨⎪⎧BC =AC ,∠BCP =∠ACM ,PC =MC ,∴△BPC ≌△AMC (SAS),∴BP =AM ,∴PB +PC =AM +PM =P A .2.已知三个村庄A ,B ,C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ,∠B ,∠C 均小于120°),现选取一点P 作为打水井,使水井P 到三个村庄A ,B ,C 所铺设的输水管总长度最小.求输水管总长度的最小值.解:如答图,以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ,连接AD .∴AD 的长就是△ABC 的费马距离. 易得∠ABD =90°,∴AD =AB 2+BD 2=5(km).答:输水管总长度的最小值为5 km.练习(2019·陕师大附中六模)问题提出(1)如图1,在△ABC 中,BC =2,将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′,则CC ′=______.【解答】由旋转的性质可知∠CBC ′=60°,BC ′=BC ,则∠△BCC ′是等边三角形,故CC ′=BC =2.问题探究(2)如图2,在△ABC中,AB=BC=3,∠ABC=30°,点P为△ABC内一点,连接PA,PB,PC,求PA+PB+PC的最小值,并说明理由.解题思路将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,连接PF,EC.易证PA+PB+PC=EF+PF+PC;由PC+PF+EF≥EC,推出当点P,F在直线EC上时,PA+PB+PC的值最小,即为EC的长,求出EC的长即可解决问题.【解答】如答图1,将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBF,连接PF,EC.由旋转的性质可知△PBF是等边三角形,∴PB=PF.∵P A=EF,∴P A+PB+PC=EF+PF+PC.∵PC+PF+EF≥EC,∴当点P,F在直线EC上时,P A+PB+PC的值最小,易得BC=BE=BA=3,∠CBE=90°,∴EC=2BC=32,∴P A+PB+PC的最小值为3 2.问题解决(3)如图3,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,AD=4,∠ABC=∠BCD=60°.在四边形ABCD内部有一点P,满足∠APD=120°,连接BP,CP,点Q为△BPC内的任意一点,是否存在一点P和一点Q,使得PQ+BQ+CQ有最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.解题思路将△PBQ绕点B逆时针旋转60°得到△EBG,则PQ=EG,△BQG是等边三角形,易知PQ+BQ+CQ=EG+GQ+QC≥EC,推出当EC取得最小值时,PQ +BQ +CQ 的值最小.延长BA 交CD 的延长线于点S ,作△ADS 的外接圆⊙O ,将线段BO ,BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′,BE ,连接EO ′,OB ,OP .易证△BEO ′≌△BPO(SAS),推出EO ′=OP =433,故点E 在以点O ′为圆心,433为半径的圆上,则当点E 在线段CO ′上时,EC 的值最小,最小值为CO ′-EO ′的长.【解答】如答图2,将△PBQ 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBG ,连接GQ ,EC ,则PQ =EG ,△BQG 是等边三角形,∴BQ =QG ,∴PQ +BQ +CQ =EG +GQ +QC ≥EC ,∴当EC 取得最小值时,PQ +BQ +CQ 的值最小.如答图3,延长BA 交CD 的延长线于点S ,作△ADS 的外接圆⊙O ,连接OB .将线段BO ,BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO ′,BE ,连接EO ′,OP.易证△BEO ′≌△BPO (SAS),∴EO ′=PO .∵∠APD +∠ASD =180°,∴A ,P ,D ,S 四点共圆,∴OP =433,∴EO ′=433, ∴点E 在以点O ′为圆心,433为半径的圆上, ∴当点E 在线段CO ′上时,EC 的值最小,最小值为CO ′-EO ′的长,连接OO ′,延长OO ′到点R ,使得O ′R =OO ′,连接BR ,则∠OBR =90°,作RH ⊥CB 交CB 的延长线于点H ,O ′T ⊥CH 于点T ,OM ⊥BC 于点M .易知在Rt △OBM 中,BM =5,OM =1133, ∴OB =OM 2+BM 2=1433, ∴BR =3OB =14.易知△BHR ∽△OMB ,∴RH BM =BR OB,∴RH =5 3.∵HR ∥O ′T ∥OM ,OO ′=RO ′,∴TM =TH ,∴O ′T =RH +OM 2=1333,∴BT =O ′B 2-O ′T 2=3, ∴CO ′=CT 2+O ′T 2=2633, ∴CE =CO ′-EO ′=2633-433=2233, ∴PQ +BQ +CQ 的最小值为2233.类型三 “阿氏圆”问题【问题背景】“PA +k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点,更是一个难点.当k 的值为1时,即可转化为“PA +PB ”之和最短问题,就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理.当k 取任意不为1的正数时,此类问题的处理通常以动点P 的运动轨迹不同来分类,一般分为两类研究,即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动.其中点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题.【模型分析】如图1,⊙O 的半径为r ,点A ,B 都在⊙O 外,P 为⊙O 上一动点,已知r =k ·OB ,连接PA ,PB ,则当PA +k ·PB 的值最小时,点P 的位置如何确定?如图2,在线段OB 上截取OC ,使OC =k ·r ,则可证明△BPO 与△PCO 相似,即k ·PB =PC .故求PA +k ·PB 的最小值可以转化为PA +PC 的最小值,其中A ,C 为定点,P 为动点,当点P ,A ,C 共线时,PA +PC 的值最小,如图3.“阿氏圆”模型解题策略:第一步:连接动点与圆心O(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连),即连接OB ,OP ;第二步:计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比,找到线段比为k 的情况,如例子中的OP OB =k ; 第三步:在OB 上取点C ,使得OC OP =OP OB ;第四步:连接AC ,与⊙O 的交点即为点P .例题如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CB =4,CA =6,⊙C 的半径为2,P 为圆上一动点,连接AP ,BP ,求AP +12BP 的最小值. 解:如答图,连接CP ,在CB 上取点D ,使CD =1,连接AD ,PD .∵CD CP =CP BC =12,∠PCD =∠BCD , ∴△PCD ∽△BCP ,∴PD BP =12, ∴PD =12BP ,∴AP +12BP =AP +PD , ∴要使AP +12BP 最小,则AP +PD 最小, 当点A ,P ,D 在同一条直线时,AP +PD 最小,即AP +12BP 的最小值为AD 的长. 在Rt △ACD 中,∵CD =1,AC =6,∴AD =AC 2+CD 2=37,∴AP +12BP 的最小值为37. 练习问题提出(1)如图1,已知线段AB 和BC ,AB =2,BC =5,则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时,线段AC 有最小值.【解答】∵当点A 在线段BC 上时,线段AC 有最小值,∴线段AC 的最小值为5-2=3.问题探究(2)如图2,已知在扇形COD 中,∠COD =90°,DO =CO =6,A 是OC的中点,延长OC 到点F ,使CF =OC ,P 是CD ︵上的动点,点B 是OD 上的一点,BD =1.①求证:△OAP ∽△OPF .解题思路由题意可得OA OP =OP OF =12,由相似三角形的判定可得△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点,DO =CO =6=OP ,∴OA OP =12. ∵CF =OC ,∴OF =2OC =2OP ,∴OP OF =12, ∴OA OP =OP OF,且∠AOP =∠POF ,∴△OAP ∽△OPF .②求BP +2AP 的最小值.解题思路由相似三角形的性质可得PF =2AP ,可得BP +2AP =BP +PF ,即当F ,P ,B 三点共线时,BP +2AP 有最小值,最小值为BF 的长,由勾股定理即可求解.【解答】∵△OAP ∽△OPF ,∴AP PF =OP OF =12, ∴PF =2AP .∵BP +2AP =BP +PF ,∴当F ,P ,B 三点共线时,BP +2AP 有最小值,最小值为BF 的长.∵DO =CO =6,BD =1,∴BO =5,OF =12,∴BF =OB 2+OF 2=13.问题解决(3)如图3,有一个形状为四边形ABCD 的人工湖,BC =9千米,CD =4千米,∠BCD =150°,现计划在湖中选取一处建造一座假山P ,且BP =3千米,为方便游客观光,从C ,D 分别建小桥PD ,PC .已知建桥PD 每千米的造价是3万元,建桥PC 每千米的造价是1万元,建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值?若存在,请确定点P 的位置,并求出总造价的最小值,若不存在,请说明理由.(桥的宽度忽略不计)解题思路以点B 为圆心,3为半径作圆交AB 于点E ,交BC 于点F ,点P 为EF ︵上一点,连接BP ,PC ,PD ,在BC 上截取BM =1,连接MD ,PM ,过点D 作DG ⊥CB ,可证△BPM ∽△BCP ,可得PC =3PM ,当点P 在线段MD 上时,建桥PD 和PC 的总造价有最小值,由勾股定理可求MD 的值,即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值.【解答】存在.如答图,以点B 为圆心,3为半径作圆交AB 于点E ,交BC 于点F ,P 为EF ︵上一点,连接BP ,PC ,PD ,在BC 上截取BM =1,连接MD ,PM ,过点D 作DG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .∵BM BP =13=BP BC,且∠PBM =∠CBP , ∴△BPM ∽△BCP ,∴PM CP =BM BP =13,∴PC =3PM . ∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD +PC =3PD +3PM =3(PD +PM ),∴当点P 在线段MD 上时,建桥PD 和PC 的总造价有最小值.∵∠BCD =150°,∴∠DCG =30°.∵DG ⊥BC ,∴DG =12DC =23(千米),CG =3DG =6(千米), ∴MG =BC +CG -BM =9+6-1=14(千米),∴MD =DG 2+MG 2=413(千米),∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413=1213万元.作业5.(2019·交大附中三模)问题提出(1)如图1,点M ,N 是直线l 外两点,在直线l 上找一点K ,使得MK +NK 最小. 问题探究(2)如图2,在等边三角形ABC 内有一点P ,且P A =3,PB =4,PC =5,求∠APB 的度数.问题解决(3)如图3,矩形ABCD是某公园的平面图,AB=30 3 米,BC=60米,现需要在对角线BD上修一凉亭E,使得到公园出口A,B,C的距离之和最小.问:是否存在这样的点E?若存在,请画出点E的位置,并求出EA+EB+EC的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)如答图1,连接MN,与直线l交于点K,点K即为所求.(2)如答图2,把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C,连接PP′.由旋转的性质,得P′A=P A=3,P′C=PB=4,∠P AP′=60°,∠AP′C=∠APB,∴△APP′是等边三角形,∴PP′=P A=3,∠AP′P=60°.∵PP′2+P′C2=32+42=25,PC2=52=25,∴PP′2+P′C2=PC2,∴△PP′C为直角三角形,且∠PP′C=90°,∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°,∴∠APB=∠AP′C=150°.(3)存在.如答图3,把△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A′BE′,连接EE′.答图由旋转的性质,得A′B=AB=30 3 米,BE′=BE,A′E′=AE,∠E′BE=60°,∠A′BA=60°,∴△E′BE是等边三角形,∴BE=EE′,∴EA +EB +EC =A ′E ′+EE ′+EC .根据两点之间线段最短,可知当EA +EB +EC =A ′C 时最短,连接A ′C ,与BD 的交点E 2即为所求,此时EA +EB +EC 最短,最短距离为A ′C 的长度.过点A ′作A ′G ⊥CB 交CB 的延长线于点G . ∵∠A ′BG =90°-∠A ′BA =90°-60°=30°, A ′G =12A ′B =12AB =12×303=153(米),∴GB =3A ′G =3×153=45(米), ∴GC =GB +BC =45+60=105(米).在Rt △A ′GC 中,A ′C =A ′G 2+GC 2=(153)2+1052=3013(米), 因此EA +EB +EC 的最小值为3013 米. 6.问题提出(1)如图1,已知△OAB 中,OB =3,将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°得△OA ′B ′,连接BB ′,则BB ′=问题探究(2)如图2,已知△ABC 是边长为43的等边三角形,以BC 为边向外作等边三角形BCD ,P 为△ABC 内一点,将线段CP 绕点C 逆时针旋转60°,点P 的对应点为点Q .①求证:△DCQ ≌△BCP . ②求P A +PB +PC 的最小值. 问题解决(3)如图3,某货运场为一个矩形场地ABCD ,其中AB =500米,AD =800米,顶点A ,D 为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P ,在BC 边上(含B ,C 两点)开一个货物入口M ,并修建三条专用车道P A ,PD ,PM .若修建每米专用车道的费用为10 000元,当M ,P 建在何处时,修建专用车道的费用最少?最少费用为多少?(结果保留根号)解:(1)由旋转的性质,得∠BOB ′=90°,OB =OB ′=3, 根据勾股定理,得BB ′=3 2. (2)①证明:∵△BDC 是等边三角形, ∴CD =CB ,∠DCB =60°.由旋转的性质,得∠PCQ =60°,PC =QC , ∴∠DCQ =∠BCP .在△DCQ 和△BCP 中,⎩⎪⎨⎪⎧CD =CB ,∠DCQ =∠BCP ,CQ =CP ,∴△DCQ ≌△BCP (SAS). ②如答图1,连接AD ,PQ . ∵PC =CQ ,∠PCQ =60°,∴△CPQ 是等边三角形,∴PQ =PC , 由①知DQ =PB ,∴P A +PB +PC =P A +QD +PQ ,由两点之间线段最短,得P A +QD +PQ ≥AD , ∴P A +PB +PC ≥AD ,∴当点A ,P ,Q ,D 在同一条直线上时,P A +PB +PC 取得最小值,即为AD 的长,过点D 作DE ⊥AC ,交AC 的延长线于点E . ∵△ABC 是边长为43的等边三角形, ∴CB =AC =43,∠BCA =60°, ∴CD =CB =43,∠DCE =60°, ∴DE =6,∠DAE =∠ADC =30°, ∴AD =12,即P A +PB +PC 的最小值为12.答图(3)如答图2,将△ADP 绕点A 逆时针旋转60°,得△AD ′P ′.由(2)知,当点M ,P ,P ′,D ′在同一条直线上时,P A +PM +PD 最小,最小值为D ′M 的长.∵M 在BC 上,∴当D ′M ⊥BC 时,D ′M 取得最小值. 设D ′M 交AD 于点E ,连接DD ′,AM ,DM . 易知△ADD ′是等边三角形,∴EM =AB =500米, ∴BM =400米,PM =EM -PE =(500-40033)米,∴D ′E =32AD =4003(米),∴D ′M =(4003+500)米, ∴最少费用为10 000×(4003+500)= 1 000 000(43+5)元.∴当M 建在BC 的中点(BM =400米)处,点P 在过M 且垂直于BC 的直线上,且在M上方(500-40033)米处时,修建专用车道的费用最少,最少费用为1 000 000(43+5)元.类型三 “阿氏圆”问题7.(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1,在△ABC 中,AB =AC ,BD 是AC 边的中线,请用尺规作图作出AB 边的中线CE ,并证明BD =CE ;问题探究(2)如图2,已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点,P A =3,求PC +12PD 的最小值;问题解决(3)如图3,在矩形ABCD 中,AB =18,BC =25,点M 是矩形内部一动点,MA =15,当MC +35MD 最小时,画出点M 的位置,并求出MC +35MD 的最小值.解:(1)如答图1,线段EC 即为所求.证明:∵AB =AC ,AE =EB ,AD =CD ,∴AE =AD , 在△BAD 和△CAE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AD =AE ,答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS),∴BD =CE . (2)如答图2,在AD 上截取AE ,使得AE =32.∵P A 2=9,AE ·AD =32×6=9,∴P A 2=AE ·AD ,∴P A AD =AEP A.∵∠P AE =∠DAP ,∴△P AE ∽△DAP , ∴PE DP =P A DA =12,∴PE =12PD , ∴PC +12PD =PC +PE .∵PC +PE ≥EC ,∴PC +12PD 的最小值即为EC 的长,在Rt △CDE 中,∵∠CDE =90°,CD =6,DE =92,∴EC =62+(92)2=152,∴PC +12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3,在AD 上截取AE ,使得AE =9. ∵MA 2=225,AE ·AD =9×25=225,∴MA 2=AE ·AD ,∴MA AD =AEMA.∵∠MAE =∠DAM ,∴△MAE ∽△DAM , ∴EM MD =MA DA =1525=35,∴ME =35MD , ∴MC +35MD =MC +ME .∵MC +ME ≥EC ,∴MC +35MD 的最小值即为EC 的长.如答图3,以点A 为圆心,AM 长为半径画弧,交EC 于点M ′,点M ′即为所求. 在Rt △CDE 中,∵∠CDE =90°,CD =18,DE =16, ∴EC =162+182=2145, ∴MC +35MD 的最小值为2145.8.(1)如图1,已知正方形ABCD 的边长为4,⊙B 的半径为2,P 是⊙B 上的一个动点,求PD +12PC 的最小值和PD -12PC 的最大值;(2)如图2,已知正方形ABCD 的边长为9,⊙B 的半径为6,P 是⊙B 上的一个动点,那么PD +23PC 的最小值为,PD -23PC 的最大值为(3)如图3,已知菱形ABCD 的边长为4,∠B =60°,⊙B 的半径为2,P 是⊙B 上的一个动点,那么PD +12PC 的最小值为,PD -12PC 的最大值为解:(1)如答图1,在BC 上取一点G ,使得BG =1,连接PB ,PG ,DG .∵PB BG =CBPB=2,∠PBG =∠CBP , ∴△PBG ∽△CBP , ∴PG CP =BG BP =12,∴PG =12PC , ∴PD +12PC =PD +PG .∵PD +PG ≥DG ,∴当D ,P ,G 三点共线时,PD +12PC 的值最小,最小值为DG =42+32=5.∵PD -12PC =PD -PG ≤DG ,∴如答图2,当点P 在DG 的延长线上时,PD -12PC 的值最大,最大值为5.答图(2)106,106.【解法提示】如答图3,在BC 上取一点G ,使BG =4,连接PG ,PB ,DG . ∵PB BG =64=32,CB PB =96=32,∴PB BG =CB BP. ∵∠PBG =∠CBP ,∴△PBG ∽△CBP , ∴PG CP =BG BP =23, ∴PG =23PC ,∴PD +23PC =DP +PG .∵DP +PG ≥DG ,∴当D ,P ,G 三点共线时,PD +23PC 的值最小,最小值为DG =52+92=106.∵PD -23PC =PD -PG ≤DG ,∴当点P 在DG 的延长线上时,PD -12PC 的值最大,最大值为106.答图(3)37,37.【解法提示】如答图4,在BC 上取一点G ,使得BG =1,连接PB ,PG ,DG ,作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG =21=2,BC PB =42=2,∴PB BG =CB BP. ∵∠PBG =∠CBP ,∴△PBG ∽△CBP , ∴PG CP =BG BP =12, ∴PG =12PC ,∴PD +12PC =DP +PG .∵DP +PG ≥DG ,∴当D ,P ,G 三点共线时,PD +12PC 的值最小,最小值为DG 的长.在Rt △CDF 中,∵∠DCF =60°,CD =4, ∴DF =CD ·sin60°=23,CF =2,∴在Rt △GDF 中,DG =(23)2+52=37. ∴PD +12PC 的最小值为37.∵PD -12PC =PD -PG ≤DG ,∴当点P 在DG 的延长线上时,PD -12PC 的值最大,最大值为37.。

费马点问题

费马点问题

费马点问题若三角形内有一点,满足到三角形三顶点连线最短,则该点被称为“费马点”。

三角形中费马点分为两类:1、三角形三个顶角均小于120°,则费马点与各定点连线夹角均为120°;2、三角形有一角大于或等于120°,则费马点为这个角顶点。

一般情况下中学研究费马点情况属于第一种,证明方式如下:例:如图,△ABC中,∠BAC=30°,AB=3,AC=4,P为三角形内一点,求(P A+PB+PC)最小值。

证明方式如下:如图,将△APB绕A逆时针转60°至△AP’B’,则PB=P’B’,△APP’为等边三角形,AP=PP’,即AP+BP+CP=CP+PP’+P’B’,其中C和B’为定点,通过化折为直,最小值为线段CB’的长。

当取最小值时,∠APC=∠AP’B’=120°,可反推得∠APB=∠BPC=∠APC=120°。

最后∠CAB’=90°,利用勾股定理可解得CB’=5这就是费马点问题的一般解法,利用构造旋转全等将线段转移,且旋转角度一定是60°。

例1.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,P为△ABC内部一点,P A+PB+PC 最小值为24,求2BC。

例2.如图,△ABC中,AB=5,AC=3,∠BAC=60°,P为△ABC内一点,求(P A+PB+PC)最小值。

在上述问题中,P 与各点连线系数均为1,那如果系数不为1时,是否还能用同样方式求解呢。

如图,△ABC 中,AB =3,AC =2,∠BAC =30°,P 为平面内一点,求CP AP BP 23++最小值对于这题,一般解题思路可以为结合常见费马点解题方法,同时构造出AP 3和2CP ,由此可以考虑到结合含30°角直角三角形,因此有了如下辅助线构造:将△APC 绕A 逆时针旋转60°然后放大2倍,则可构造出2CP ,同时△APP ’为30°角直角三角形,有PP ’=AP 3,则CP AP BP 23++=BP +PP ’+P ’C ’,其中B 和C ’为定点,则四点共线时最短,接下来就是勾股运算了。

专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国

专题37  几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国

2
2
2
答:二次函数解析式为 y 3 x2 3x 3 3 .
2
2
(3)直线 AH 的解析式为 y 3x 3 3 ,直线 BK 的解析式为 y 3x 3 ,

y
3 x 3
3
解得
x
3
,即 K(3,2 3 ),则 BK=4,
y
3x
3
y 2 3
∵点 H、B 关于直线 AK 对称,K(3,2 3 ),∴HN+MN 的最小值是 MB,
模型展示:如图,在△ABC 内部找到一点 P,使得 PA+PB+PC 的值最小.
当点 P 满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120º,则 PA+PB+PC 的值最小,P 点称为三 角形的费马点. 特别地,△ABC 中,最大的角要小于 120º,若最大的角大于或等于 120º,此时费马 点就是最大角的顶点 A(这种情况一般不考,通常三角形的最大顶角都小于 120°) 费马点的性质: 1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。
②∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC=AB=2 2 ,∠B=90°,∠DAE=∠ADC=45°,∴AC= AB2 BC2 = 2 AB=4,
∵△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCF,∴∠DCF=∠DAE=45°,AE=CF,∴∠ECF=∠ACD+∠DCF=90°, 设 AE=CF=x,EF2=y,则 EC=4−x,∴y=(4−x)2+x2=2x2−8x+160(0<x≤4).即 y=2(x−2)2+8, ∵2>0,∴x=2 时,y 有最小值,最小值为 8, 当 x=4 时,y 最大值=16,∴8≤EF2≤16. (2)如图中,将△ ABE 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ AFG,连接 EG,DF.作 FH⊥AD 于 H.

费马点最值问题(解析版)

费马点最值问题(解析版)

费马点最值问题一.模型例题(共4小题)1.问题的提出:如果点P 是锐角ABC ∆内一动点,如何确定一个位置,使点P 到ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小?问题的转化:把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C '',连接PP ',这样就把确定PA PB PC ++的最小值的问题转化成确定BP PP P C +'+''的最小值的问题了,请你利用图1证明:PA PB PC BP PP P C ++=+'+''.问题的解决:当点P 到锐角ABC ∆的三顶点的距离之和PA PB PC ++的值为最小时,请你用一定的数量关系刻画此时的点P 的位置120APB APC ∠=∠=︒.问题的延伸:如图2是有一个锐角为30︒的直角三角形,如果斜边为2,点P 是这个三角形内一动点,请你利用以上方法,求点P 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.【解答】解:问题的转化:如图1,由旋转得:60PAP '∠=︒,PA P A '=,APP '∴∆是等边三角形,PP PA '∴=,PC P C '= ,PA PB PC BP PP P C ∴++=+'+''.问题的解决:满足:120APB APC ∠=∠=︒时,PA PB PC ++的值为最小;理由是:如图2,把APC ∆绕点A 逆时针旋转60度得到△AP C '',连接PP ',由“问题的转化”可知:当B 、P 、P '、C '在同一直线上时,PA PB PC ++的值为最小,120APB ∠=︒ ,60APP '∠=︒,180APB APP '∴∠+∠=︒,B ∴、P 、P '在同一直线上,由旋转得:120AP C APC ''∠=∠=︒,60AP P '∠=︒ ,180AP C AP P '''∴∠+∠=︒,P ∴、P '、C '在同一直线上,B ∴、P 、P '、C '在同一直线上,∴此时PA PB PC ++的值为最小,故答案为:120APB APC ∠=∠=︒;问题的延伸:如图3,Rt ACB ∆中,2AB = ,30ABC ∠=︒,1AC ∴=,BC =把BPC ∆绕点B 逆时针旋转60度得到△BP C '',连接PP ',当A 、P 、P '、C '在同一直线上时,PA PB PC ++的值为最小,由旋转得:BP BP '=,PBP '∠=,PC P C ''=,BC BC '=,BPP ∴∆'是等边三角形,PP PB '∴=,30ABC APB CBP APB C BP ''∠=∠+∠=∠+∠=︒ ,90ABC '∴∠=︒,由勾股定理得:AC '==,PA PB PC PA PP P C AC ''''∴++=++==则点P .2.如图,ABC ∆中,AB AC =,点P 为ABC ∆内一点,120APB BAC ∠=∠=︒.若4AP BP +=,则PC 的最小值为()A .2B .23C .5D .3【解答】解:把APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到△AP C ',作AD PP ⊥'于D ,则AP AP =',120PAP ∠'=︒,120AP C APB ∠'=∠=︒,30AP P ∴∠'=︒,3PP ∴'=,90PP C ∠'=︒,4AP BP += ,4BP PA ∴=-,在Rt △PP C '中,22222(3)(4)4(1)12PC P P P C PA PA PA ='+'+--+,则PC 1223=,故选:B .3.如图,2的等边ABC ∆,平面内存在点P ,则3PA PB PC +的取值范围为大于22.【解答】解:如图,将BPC ∆绕点B 顺时针旋转120︒,得△BP C '',连接PP ',过点B 作BD PP ⊥'于点D ,ABC ∆ 是等边三角形,60ABC ∴∠=︒,AB BC BC =='=,AC AB BC ∴'=+'=120CBC PBP ∠'=∠'=︒ ,180ABC ABC CBC ∴∠'=∠+∠'=︒,∴点A ,B ,C '在同一条直线上,BP BP =' ,120PBP ∠'=︒,BD PP ⊥',30BPP BP P ∴∠'=∠'=︒,PD ∴=,2PP PD ∴'==,PA PP PC PA PC AC ∴+'+=++>',因为等边三角形的边长为PA PC ∴+的取值范围为大于等于故答案为:大于等于.4.问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转,往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中,相互之间的关系清楚明了,从而将求解问题灵活转化.问题提出:如图1,ABC ∆是边长为1的等边三角形,P 为ABC ∆内部一点,连接PA 、PB 、PC ,求PA PB PC ++的最小值.方法分析:通过转化,把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折),再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直).问题解决:如图2,将BPA ∆绕点B 逆时针旋转60︒至△BP A '',连接PP '、A C ',记A C '与AB 交于点D ,易知1BA BA BC '===,120A BC A BA ABC ''∠=∠+∠=︒.由BP BP '=,60P BP '∠=︒,可知△P BP '为正三角形,有PB P P '=.故PA PB PC P A P P PC A C '''++=++.因此,当A '、P '、P 、C 共线时,PA PB PC ++有最小值是学以致用:(1)如图3,在ABC ∆中,30BAC ∠=︒,4AB =,3CA =,P 为ABC ∆内部一点,连接PA 、PB 、PC ,则PA PB PC ++的最小值是5.(2)如图4,在ABC ∆中,45BAC ∠=︒,3AB CA ==,P 为ABC ∆内部一点,连接PA 、PB 、PC ,PB PC ++的最小值.(3)如图5,P 是边长为2的正方形ABCD 内一点,Q 为边BC 上一点,连接PA 、PD 、PQ ,求PA PD PQ ++的最小值.【解答】解:(1)如图3中,将APC ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AFE ∆,易知AFP ∆是等边三角形,90EAB ∠=︒,在Rt EAB ∆中,5BE ==,PA PB PC EF FP PB BE ++=++ ,5PA PB PC ∴++,PA PB PC ∴++的最小值为5.故答案为5.(2)如图4中,将APB ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AFE ∆,易知AFP ∆是等腰直角三角形,135EAB ∠=︒,作EH BA ⊥交BA 的延长线于H .在Rt EAH ∆中,90H ∠=︒ ,45EAH ∠=︒,AE AB ==2EH AH ∴==,在Rt EHC ∆中,EC ==PB PC FP EF PC CE ++=++,∴PB PC ++,∴PB PC ++(3)如图5中,将APD∆是等边三角形,∆绕点A逆时针旋转60︒得到AFE∆,则易知AFP作EH BC⊥于H,交AD于G.,PA PD PQ EF FP PQ EH++=++易知sin60=⋅︒=2EG AE==,GH AB∴=+EH2∴++,PA PD PQ2∴++2+.PA PD PQ二.同步练习(共20小题)5.法国数学家费马提出:在ABC∆内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人们称这个点为费马点,此时PA PB PC∆中,费马点P满足++的值为费马距离.经研究发现:在锐角ABCPC=,60∠=︒,则ABCPA=,4∆的费马点,且3APB BPC CPA120∠=∠=∠=︒,如图,点P为锐角ABC费马距离为7+【解答】解:如图:120APB BPC CPA∠=∠=∠=,60ABC∠=︒,1360∴∠+∠=︒,1260∠+∠=︒,2460∠+∠=︒,14∴∠=∠,23∠=∠,BPC APB∴∆∆∽∴PC PB PB PA=,即212PB=PB∴=.7PA PB PC∴++=+故答案为:7+.6.在ABC∆中,90ACB∠=︒,点P为ABC∆内一点.(1)如图1,连接PB,PC,将BCP∆沿射线CA方向平移,得到DAE∆,点B,C,P的对应点分别为点D,A,E,连接CE.如果BP CE⊥,3BP=,6AB=,则CE=(2)如图2,连接PA,PB,PC,当8AC BC==时,求PA PB PC++的最小值.【解答】解:(1)如图1,连接BD、CD,BCP ∆ 沿射线CA 方向平移,得到DAE ∆,//BC AD ∴且BC AD =,90ACB ∠=︒ ,∴四边形BCAD 是矩形,6CD AB ∴==,3BP = ,3DE BP ∴==,BP CE ⊥ ,//BP DE ,DE CE ∴⊥,∴在Rt DCE ∆中,CE ===;故答案为:(2)如图2所示,以点A 为旋转中心,将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆,连接BN .由旋转可得,AMN ABP ∆≅∆,MN BP ∴=,PA AM =,60PAM BAN ∠=︒=∠,AB AN =,PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形,PA PM ∴=,PA PB PC CP PM MN ∴++=++,当8AC BC ==时,AB =,当C 、P 、M 、N 四点共线时,由CA CB =,NA NB =可得CN 垂直平分AB ,12AQ AB CQ ∴==,NQ ==,∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+.即PA PB PC ++的最小值为+.7.如图,在ABC ∆中,3AB =,2AC =,60BAC ∠=︒,P 为ABC ∆内一点,则PA PB PC ++的最小值为【解答】解:如图,将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转60︒,得到AEH ∆,连接EP ,CH ,过点C 作CN AH ⊥,交HA 的延长线于N ,ABP AHE ∴∆≅∆,BAP HAE ∴∠=∠,AE AP =,3AH AB ==,60BAH ∠=︒,60HAB EAP ∴∠=∠=︒,AEP ∴∆是等边三角形,AE AP EP ∴==,AP BP PC PC EP EH ∴++=++,∴当点H ,点E ,点P ,点C 共线时,PA PB PC ++有最小值HC ,18060CAN BAH BAC ∠=︒-∠-∠=︒ ,CN AN ⊥,30ACN ∴∠=︒,112AN AC ∴==,CN ==,4HN AH AN ∴=+=,HC ∴=,PA PB PC ∴++,8.如图,ABC ∆中,30ABC ∠=︒,5AB =,6BC =,P 是ABC ∆内部的任意一点,连接PA 、PB 、PC ,则PA PB PC ++【解答】解:如图,以BP 为边作等边三角形BPD ,将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒,得到BDC '∆,连接AC ',BPD ∆ 是等边三角形,BP BD DP ∴==,60PBD ∠=︒,将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒,PC C D '∴=,PBC DBC '∠=∠,6BC BC '==,603090ABC ABP PBD DBC PBD ABC PBC ''∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒,PA PB PC PA PD DC '++=++ ,∴当点A ,点P ,点D ,点C '共线时,PA PB PC ++有最小值为PC ',PC '∴===,9.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,点P 为ABC ∆内一点,连接PA 、PB 、PC ,当3AC =,6AB =时,则PA PB PC ++的最小值是【解答】解:如图所示,以点A 为旋转中心,将ABP ∆顺时针旋转60︒得到ANM ∆,连接BN .由旋转可得,AMN APB ∆≅∆,MN BP ∴=,PA AM =,60PAM BAN ∠=︒=∠,AB AN =,PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形,PA PM ∴=,PA PB PC CP PM MN ∴++=++,当3AC =,6AB =时,BC =,1sin 2ABC ∴∠=,30ABC ∴∠=︒,60ABN ∠=︒ ,90CBN ∴∠=︒当C 、P 、M 、N 四点共线时,PA PB PC ++的值最小,最小值CN ===,故答案为:.10.已知,如图在ABC ∆中,30ACB ∠=︒,5BC =,6AC =,在ABC ∆内部有一点D ,连接DA 、DB 、DC ,则DA DB ++【解答】解:如图,过点C 作CE CD ⊥,且CE CD =,连接DE ,将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆,连接FB ,过点F 作FH BC ⊥,交BC 的延长线于H ,CE CD ⊥ ,CE CD =,DE ∴=,将ADC ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到FEC ∆,EF AD ∴=,90ACF ∠=︒,6CF AC ==,DA DB DB EF DE ∴++=++,∴当点F ,点E ,点D ,点B 共线时,DA DB ++有最小值为FB ,18060FCH ACF ACB ∠=︒-∠-∠=︒ ,30CFH ∴∠=︒,132CH CF ∴==,FH ==,BF ∴==11.如图,在ABC ∆中,30BAC ∠=︒,AC =,8AB =,点D 在ABC ∆内,连接DA 、DB 、DC ,则DC DB ++的最小值是【解答】解:如图,将ADB ∆绕点A 顺时针旋转120︒得到AEF ∆,连接DE ,CF ,过点F 作FH CA ⊥交CA的延长线于H .AD AE = ,120DAE ∠=︒,BD EF =,DE ∴=,DC DB DA DC DE EF ∴++=++,CD DE EF CF ++ ,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,8AB =,30BAC ∠=︒,cos30AB AB ∴=⋅︒=在Rt AFH ∆中,90H ∠=︒,8AF AB ==,30FAH ∠=︒,142FH AF ∴==,AH ==,CH AC AH ∴=+=,CF ∴===,CD DB ∴+,CF ∴的最小值为.故答案为:.12.如图,ABC ∆中,30ABC ∠=︒,4AB =,5BC =,P 是ABC ∆内部的任意一点,连接PA ,PB ,PC ,则PA PB PC ++【解答】解:如图,将ABP ∆绕着点B 逆时针旋转60︒,得到DBE ∆,连接EP ,CD ,ABP DBE∴∆≅∆ABP DBE ∴∠=∠,4BD AB ==,60PBE ∠=︒,BE PE =,AP DE =,BPE ∴∆是等边三角形EP BP∴=AP BP PC PC EP DE∴++=++∴当点D ,点E ,点P ,点C 共线时,PA PB PC ++有最小值CD30ABC ABP PBC∠=︒=∠+∠ 30DBE PBC ∴∠+∠=︒90DBC ∴∠=︒CD ∴==,13.如图,P 为正方形ABCD 内的动点,若2AB =,则PA PB PC ++【解答】解:将BPC ∆绕点B 顺时针旋转60︒,得到△BP C '',BP BP '∴=,60PBP '∠=︒,BPC ∆≅△BP C '',BPP '∴∆是等边三角形,PC P C ''=,PBC P BC ''∠=∠,2BC BC '==,BP PP '∴=,PA PB PC AP PP P C '''∴++=++,∴当AP ,PP ',P C ''在一条直线上,PA PB PC ++有最小值,最小值是AC '的长,60150ABP PBP P BC ABP PBC '''∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒ ,30EBC ∴∠=︒,1EC '∴=,BE '==,2AE ∴=+,AF ∴===,14.如图,在边长为6的正方形ABCD 中,点M ,N 分别为AB 、BC 上的动点,且始终保持BM CN =.连接MN ,以MN 为斜边在矩形内作等腰Rt MNQ ∆,若在正方形内还存在一点P ,则点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+【解答】解:设BM x =,则6BN x =-,222MN BM BN =+ ,2222(6)2(3)18MN x x x ∴=+-=-+,∴当3x =时,MN 最小,此时Q 点离AD 最近,3BM BN == ,Q ∴点是AC 和BD 的交点,22AQ DQ AD ∴===,过点Q 作QM AD '⊥于点M ',在ADQ ∆内部过A 、D 分别作30M DP M AP ∠'=∠'=︒,则120APD APQ DPQ ∠=∠=∠=︒,点P 就是费马点,此时PA PD PQ ++最小,在等腰Rt AQD ∆中,AQ DQ ==,QM AD '⊥,232AM QM AQ ∴='==,故cos30AM PA '︒=,解得:PA =PM '=故3QP =PD =,则233PA PD PQ ++=⨯+=+,∴点P 到点A 、点D 、点Q 的距离之和的最小值为3+,故答案为3+.15.如图,点D 为等边三角形ABC 内一点,且120BDC ∠=︒,则AD BD 的最小值为32.【解答】解:如图,将BCD ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ACE ∆,连接DE ,过点A 作AH DE ⊥于H .CD CE = ,60DCE ∠=︒,DCE ∴∆是等边三角形,60EDC DEC ∴∠=∠=︒,120BDC AEC ∠=∠=︒ ,60AED ∴∠=︒,BD AE = ,∴AD AD BD AE=,AH DE ⊥ ,AD AH ∴,∴ADAH BD AE,90AHE ∠=︒ ,60AEB ∠=︒,∴sin 60AH AE =︒=,∴AD BD ,∴AD BD 的最小值为32.16.如图,已知矩形ABCD ,4AB =,6BC =,点M 为矩形内一点,点E 为BC 边上任意一点,则MA MD ME ++的最小值为4+【解答】解:将AMD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到△AM D '',由性质的性质可知:MD M D ='',ADD ∆'和AMM ∆'均为等边三角形,AM MM ∴=',MA MD ME D M MM ME ∴++='+'+,D M ∴'、MM '、ME 共线时最短,由于点E 也为动点,∴当D E BC '⊥时最短,此时易求得4D E D G GE '='+=+,MA MD ME ∴++的最小值为4+17.如图,在直角三角形ABC ∆内部有一动点P ,90BAC ∠=︒,连接PA ,PB ,PC ,若6AC =,8AB =,求PA PB PC ++的最小值【解答】解:如图,将ACP ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到ECF ∆,连接PF ,BE ,作EH BA ⊥交BA 的延长线于H .由旋转的旋转可知:PA EF =,PCF ∆,ACE ∆是等边三角形,PF PC ∴=,PA PB PC EF FP PB ∴++=++,EF FP PB BE ++ ,∴当B ,P ,F ,E 共线时,PA PB PC ++的值最小,90BAC ∠=︒ ,60CAE ∠=︒,180906030HAE ∴∠=︒-︒-︒=︒,EH AH ⊥ ,6AE AC ==,132EH AE ∴==.AH ==,BE ∴===,PA PB PC ∴++的最小值为故答案为18.若点P 为ABC ∆所在平面上一点,且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒,则点P 叫做ABC ∆的费马点.当三角形的最大角小于120︒时,可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”.即PA PB PC ++最小.(1)如图1,向ABC ∆外作等边三角形ABD ∆,AEC ∆.连接BE ,DC 相交于点P ,连接AP .①证明:点P 就是ABC ∆费马点;②证明:PA PB PC BE DC ++==;(2)如图2,在MNG ∆中,MN =,75M ∠=︒,3MG =.点O 是MNG ∆内一点,则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是【解答】(1)证明:①如图11-中,作AM CD ⊥于M ,AN BE ⊥于N 设AB 交CD 于O .ADB ∆ ,ACE ∆都是等边三角形,AD AB ∴=,AC AE =,60DAB CAE ∠=∠=︒,DAC BAE ∴∠=∠,()ADC ABE SAS ∴∆≅∆,CD BE ∴=,DAC ABE S S ∆∆=,ADC ABE ∠=∠,AM CD ⊥ ,AN BE ⊥,∴1122CD AM BE AN ⋅⋅=⋅⋅,AM AN ∴=,APM APN ∴∠=∠,AOD POB ∠=∠ ,60OPB DAO ∴∠=∠=︒,60APN APM ∴∠=∠=︒,120APC BPC APC ∴∠=∠=∠=︒,∴点P 是就是ABC ∆费马点.②在线段PD 上取一点T ,使得PT PA =,连接AT .60APT ∠=︒ ,PT PA =,APT ∴∆是等边三角形,60PAT ∴∠=︒,AT AP =,60DAB TAP ∠=∠=︒ ,DAT BAP ∴∠=∠,AD AB = ,()DAT BAP SAS ∴∆≅∆,PB DT ∴=,PD DT PT PA PB ∴=+=+,PA PB PC PD PC CD BE ∴++=+==.(2)解:如图2:以MG 为边作等边三角形MGD ∆,以OM 为边作等边OME ∆.连接ND ,作DF NM ⊥,交NM 的延长线于F.MGD ∆ 和OME ∆是等边三角形OE OM ME ∴==,60DMG OME ∠=∠=︒,MG MD =,GMO DME∴∠=∠在GMO ∆和DME ∆中,OM ME GMO DME MG MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()GMO DME SAS ∴∆≅∆,OG DE∴=NO GO MO DE OE NO∴++=++∴当D 、E 、O 、N 四点共线时,NO GO MO ++值最小,75NMG ∠=︒ ,60GMD ∠=︒,135NMD ∴∠=︒,45DMF ∴∠=︒,3MG = 322MF DF ∴==,3211222NF MN MF ∴=+==,ND ∴=MO NO GO ∴++,,19.问题提出(1)如图①,在ABC ∆中,2BC =,将ABC ∆绕点B 顺时针旋转60︒得到△A B C ''',则CC '=2;问题探究(2)如图②,在ABC ∆中,3AB BC ==,30ABC ∠=︒,点P 为ABC ∆内一点,连接PA 、PB 、PC ,求PA PB PC ++的最小值,并说明理由;问题解决(3)如图③,在四边形ABCD 中,//AD BC ,6AB =,4AD =,60ABC BCD ∠=∠=︒.在四边形ABCD 内部有一点,满足120APD ∠=︒,连接BP 、CP ,点Q 为BPC ∆内的任意一点,是否存在一点P 和一点Q ,使得PQ BQ CQ ++有最小值?若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)如图①,由旋转的性质可知:BCC ∆'是等边三角形,2CC BC ∴'==,故答案为2.(2)如图②,将ABP ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BFE ∆,连接PF ,EC .由旋转的性质可知:PBF ∆是等边三角形,PB PF ∴=,PA EF = ,PA PB PC PC PF EF ∴++=++,PC PF EF EC ++ ,∴当P ,F 在直线EC 上时,PA PB PC ++的值最小,易证3BC BE BA ===,90CBE ∠=︒,EB BC ⊥ ,EC ∴==,PA PB PC ∴++的最小值为.(3)(3)如图③1-中,将PBQ ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到EBG ∆,则PQ EG =,BQG ∆是等边三角形,BQ QG ∴=,PQ EG =,PQ BQ CQ EG GQ QC EC ∴++=++,EC ∴的值最小时,QP QB QC ++的值最小,如图③2-中,延长BA 交CD 的延长线于J ,作ADJ ∆的外接圆O ,将线段BO ,BP 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BO ',BE ,连接EO ',OB ,OP .易证()BEO BPO SAS ∆'≅∆,EO OP ∴'=,180APD AJD ∠+∠=︒ ,A ∴,P ,D ,J 四点共圆,OP ∴=,433EO ∴'=,∴点E 的运动轨迹是以O '为圆心,433为半径的圆,∴当点E 在线段CO '上时,EC 的值最小,最小值CO EO ='-',连接OO',延长OO'到R,使得O R OO'=',连接BR,则90OBR∠=︒,作RH CB⊥交CB的延长线于H,O T CH'⊥于T,OM BC⊥于M.在Rt OBM∆中,5BM=,OM=1433OB∴=,14BR∴==,由BHR OMB∆∆∽,∴RH BRBM OB=,RH∴=,////HR O T OM',OO RO'=',TM TH∴=,2RH OMO T+∴'==,3BT∴==,3CO∴'==,CO EO∴'-'=.QP QB QC∴++的最小值为.20.如图1,在ABC∆中,90ACB∠=︒,点P为ABC∆内一点.(1)连接PB,PC,将BCP∆沿射线CA方向平移,得到DAE∆,点B,C,P的对应点分别为点D,A,E,连接CE.①依题意,请在图2中补全图形;②如果BP CE⊥,3BP=,6AB=,求CE的长.(2)如图3,连接PA ,PB ,PC ,求PA PB PC ++的最小值.小慧的作法是:以点A 为旋转中心,将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆,那么就将PA PB PC ++的值转化为CP PM MN ++的值,连接CN ,当点P 落在CN 上时,此题可解.请你参考小慧的思路,在图3中证明PA PB PC CP PM MN ++=++.并直接写出当4AC BC ==时,PA PB PC ++的最小值.【解答】解:(1)①补全图形如图所示;②如图,连接BD 、CDBCP ∆ 沿射线CA 方向平移,得到DAE ∆,//BC AD ∴且BC AD =,90ACB ∠=︒ ,∴四边形BCAD 是矩形,6CD AB ∴==,3BP = ,3DE BP ∴==,BP CE ⊥ ,//BP DE ,DE CE ∴⊥,∴在Rt DCE ∆中,223692733CE CD DE =-=-==;(2)证明:如图所示,以点A 为旋转中心,将ABP ∆顺时针旋转60︒得到AMN ∆,连接BN .由旋转可得,AMN ABP ∆≅∆,MN BP ∴=,PA AM =,60PAM BAN ∠=︒=∠,AB AN =,PAM ∴∆、ABN ∆都是等边三角形,PA PM ∴=,PA PB PC CP PM MN ∴++=++,当4AC BC ==时,AB =,当C 、P 、M 、N 四点共线时,由CA CB =,NA NB =可得CN 垂直平分AB ,12AQ AB CQ ∴==,NQ ==,∴此时CN CP PM MN PA PB PC =++=++=+.21.(1)阅读材料:如图(1),四边形ABCD 是正方形,ABE ∆是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ,连接EN 、AM 、CM ,①求证:AMB ENB ∆≅∆;②当M 点在何处时,AM CM +的值最小;③当M 点在何处时,AM BM CM ++的值最小,并说明理由;(2)根据阅读材料所提供的数学思想和方法,完成下面的题目:如图(2),A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统,使每两个城市之间都有公路相通,并使整个公路系统的总长为最短,应当如何修建?请画出你的设计图.【解答】解:(1)① 四边形ABCD 是正方形,ABE ∆是等边三角形,AB BC BE ∴==,60ABE ∠=︒,将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ,BN BM ∴=,60MBN ∠=︒,ABE MBN ∴∠=∠,EBN ABM ∴∠=∠,且AB BE =,MB NB =,()AMB ENB SAS ∴∆≅∆;②当M 点落在BD 的中点时,A 、M 、C 三点共线时,AM CM +的值最小;③如图1,连接CE ,当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM BM CM ++的值最小,理由如下:连接MN ,由(1)知,AMB ENB ∆≅∆,AM EN ∴=,60MBN ∠=︒ ,MB NB =,BMN ∴∆是等边三角形,BM MN ∴=,AM BM CM EN MN CM ∴++=++,根据“两点之间线段最短”,得EN MN CM EC ++=最短,∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM BM CM ++的值最小,即等于EC 的长;(2)如图2,作等边ABQ ∆和等边CDP ∆,等边CEH ∆,同理可证CHP CED ∆≅∆,则CH CE =,PH DE =,DE CE PH HE ∴+=+,∴点H ,点P ,点E 三点共线时,DE CE +的值最小值为PE ,同理,AF BF +的最小值为FQ ,DE CE EF AF BF PE FE FQ ∴++++++,∴点P ,点E ,点F ,点Q 共线时,并使整个公路系统的总长为最短,即最短距离为PQ ,∴设计图:(30)EDC ECD FAB FBA ∠=∠=∠=∠=︒22.已知,在ABC ∆中,30ACB ∠=︒(1)如图1,当2AB AC ==,求BC 的值;(2)如图2,当AB AC =,点P 是ABC ∆内一点,且2PA =,21PB =3PC =,求APC ∠的度数;(3)如图3,当4AC =,7()AB CB CA >,点P 是ABC ∆内一动点,则PA PB PC ++的最小值为43.【解答】解:(1)如图1中,作AP BC ⊥于P .AB AC = ,AP BC ⊥,BP PC ∴=,在Rt ACP ∆中,2AC = ,30C ∠=︒,cos303PC AC ∴=︒=2BC PC ∴==.(2)如图2中,将APB ∆绕点A 逆时针旋转120︒得到QAC ∆.AB AC = ,30C ∠=︒,120BAC ∴∠=︒,2PA AQ ∴==,PB QC ==,120PAQ ∠=︒ ,PQ ∴=222PQ PC QC ∴+=,90QPC ∴∠=︒,30APQ ∠=︒ ,3090120APC ∴∠=︒+︒=︒.(3)如图3中,将BCP ∆绕点C 逆时针旋转60︒得到△CB P '',连接PP ',AB ',则90ACB ∠'=︒.PA PB PC PA PP P B ++=+'+'' ,∴当A ,P ,P ',B '共线时,PA PB PC ++的值最小,最小值AB ='的长,由AB =4AC =,30C ∠=︒,可得BC CB ='=,AB ∴'=.23.阅读下列材料:小华遇到这样一个问题,如图1,ABC∆内部有一点P,连BC=,5AC=,在ABCACB∆中,30∠=︒,6接PA、PB、PC,求PA PB PC++的最小值.小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将APC∆,连接PD、BE,则BE的长即为所求.∆绕点C顺时针旋转60︒,得到EDC(1)请你写出图2中,PA PB PC++(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:①如图3,菱形ABCD中,60∠=︒,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于ABC++最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);PA PB PC②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA PB PC++值最小时PB的长.【解答】解:(1)如图2. 将APC∆绕点C顺时针旋转60︒,得到EDC∆,∴∆≅∆,APC EDC∠=︒,ACP ECD==,60PCD∴∠=∠,5AC EC∴∠+∠=∠+∠,ACP PCB ECD PCB∴∠+∠=∠=︒,30ECD PCB ACBBCE ECD PCB PCD∴∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒.306090在Rt BCEBC=,5,6CE=,∆中,90∠=︒BCE∴==BE即PA PB PC++(2)①将APC∆,连接PE、DE,∆绕点C顺时针旋转60︒,得到DEC则线段BD 等于PA PB PC ++最小值的线段;②如图31-中,当B 、P 、E 、D 四点共线时,PA PB PC ++值最小,最小值为BD . 将APC ∆绕点C 顺时针旋转60︒,得到DEC ∆,APC DEC ∴∆≅∆,CP CE ∴=,60PCE ∠=︒,PCE ∴∆是等边三角形,PE CE CP ∴==,60EPC CEP ∠=∠=︒.菱形ABCD 中,1302ABP CBP ABC ∠=∠=∠=︒,603030PCB EPC CBP ∴∠=∠-∠=︒-∠︒=︒,30PCB CBP ∴∠=∠=︒,BP CP ∴=,同理,DE CE =,BP PE ED ∴==.连接AC ,交BD 于点O ,则AC BD ⊥.在Rt BOC ∆中,90BOC ∠=︒ ,30OBC ∠=︒,4BC =,cos 4BO BC OBC ∴=∠=⨯2BD BO ∴==,13BP BD ∴==即当PA PB PC ++值最小时PB24.已知抛物线2142y x bx =-++的对称轴为1x =,与y 交于点A ,与x 轴负半轴交于点C ,作平行四边形ABOC 并将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90︒,得到平行四边形A B O C ''''.(1)求抛物线的解析式和点A 、C 的坐标;(2)求平行四边形ABOC 和平行四边形A B O C ''''重叠部分△OC D '的周长;(3)若点P 为AOC ∆内一点,直接写出PA PC PO ++的最小值(结果可以不化简)以及直线CP的解析式.【解答】解:(1)由已知得,112()2bx =-=⨯-,则1b =,抛物线的解析式为2142y x x =-++,(0,4)A ∴,令0y =,得21402x x -++=,12x ∴=-,24x =.(2)在ABCD 中,90OAB AOC ∠=∠=︒,则//AB CO,OB ∴==2OC OC '==,OC D OCA B ∴∠'=∠=∠,C OD BOA ∠'=∠,∴△C OD BOA '∆∽,∴C OD BOA C OC C OB '∆'=== AOB ∆的周长为6+,∴△C OD '的周长为565(6255+⨯=+;(3)此点位费马点,设三角形AOB 的三边为a ,b ,c ,2OC = ,4OA =,AC ==,PA PB PC ++==.直线CP解析式为1)2y x =-+-.。

最值问题(费马点)精编版

最值问题(费马点)精编版

最值问题2(费马点)1、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.2、已知:P是边长为1的等边三角形ABC内的一点,求PA+PB+PC的最小值.图2图1A'PPA ABCBC3、(延庆)(本题满分4分)阅读下面材料:阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC (其中∠BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ,求AP 的最大值。

小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解(如图2).请你回答:AP 的最大值是 . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,等腰Rt △ABC .边AB=4,P 为△ABC 内部一点, 则AP+BP+CP 的最小值是 .(结果可以不化简)图3CABP4、(朝阳二模)阅读下列材料:小华遇到这样一个问题,如图1, △ABC 中,∠ACB =30º,BC =6,AC =5,在△ABC 内部有一点P ,连接P A 、PB 、PC ,求P A +PB +PC 的最小值.小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC 绕点C 顺时针旋转60º,得到△EDC ,连接PD 、BE ,则BE 的长即为所求.(1)请你写出图2中,P A +PB +PC 的最小值为 ; (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:①如图3,菱形ABCD 中,∠ABC =60º,在菱形ABCD 内部有一点P ,请在图3中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长.DEAC BP图 2DACB图 3A CB P图15、(海淀二模)如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线236y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).(1) 求抛物线的解析式;(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长; (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)。

中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案

中考复习之线段和差最值之费马点问题-附练习题含参考答案

ABCP中考数学复习线段和差最值系列之费马点皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点. 问题:在△ABC 内找一点P ,使得P A +PB +PC 最小.【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.以上依据似乎都用不上,怎么办?若点P 满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,则PA+PB+PC 值最小,P 点称为该三角形的费马点.一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起:(1)如图,分别以△ABC 中的AB 、AC 为边,作等边△ABD 、等边△ACE . (2)连接CD 、BE ,即有一组手拉手全等:△ADC ≌△ABE .(3)记CD 、BE 交点为P ,点P 即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC 为边作等边△BCF ,连接AF ,必过点P ,有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°.在图三的模型里有结论:(1)∠BPD =60°;(2)连接AP ,AP 平分∠DPE .有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°.但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°,若120BAC ∠≥︒ ,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:EB ACAB CDE此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗?显然这时候就不是了,显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和.所以,是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A 点!当然这种情况不会考的,就不多说了.二、为什么是这个点为什么P 点满足∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°,P A +PB +PC 值就会最小呢?归根结底,还是要重组这里3条线段:P A 、PB 、PC 的位置,而重组的方法是构造旋转!在上图3中,如下有△ADC ≌△ABE ,可得:CD =BE .类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF =BE =CD .巧的,它们仨的长度居然一样长!更巧的是,其长度便是我们要求的P A +PB +PC 的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值! 接下来才是真正的证明:考虑到∠APB =120°,∴∠APE =60°,则可以AP 为边,在PE 边取点Q 使得PQ =AP ,则△APQ 是等边三角形.△APQ 、△ACE 均为等边三角形,且共顶点A ,故△APC ≌△AQE ,PC =QE . 以上两步分别转化P A =PQ ,PC =QE ,故P A +PB +PC =PB +PQ +QE =BE .没有对比就没有差别,我们换个P 点位置,如下右图,同样可以构造等边△APQ ,同样有△APC ≌△AQE ,转化P A =PQ ,PC =QE ,显然,P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE .还剩下第3个问题!如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!【中考再现】问题背景:如图1,将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ,DE 与BC 交于点P ,可推出结论:P A +PC =PE .问题解决:如图2,在△MNG 中,MN =6,∠M =75°,MG=O 是△MNG 内一点,则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______.【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!如图,以MG 为边作等边△MGH ,连接NH ,则NH 的值即为所求的点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)过点H 作HQ ⊥NM 交NM 延长线于Q 点,根据∠NMG =75°,∠GMH =60°,可得∠HMQ =45°,∴△MHQ 是等腰直角三角形, ∴MQ =HQ =4,∴NH== 练习题1.如图,在△ABC 中,△ACB=90°,AB=AC=1,P 是△ABC 内一点,求P A +PB +PC 的最小值.2. 如图,已知矩形ABCD ,AB =4,BC =6,点M 为矩形内一点,点E 为BC 边上任意一点,则MA +MD +ME 的最小值为______.NG图2图1ABCD EPHGN M464Q HGN MABCDME3.如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=15,现在要找两点E、F,则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________4.如图,等腰Rt∆ABC中,AB=4,P为∆ABC内部一点,则PA+PB+PC的最小值为_______5.如图,∆ABC中,AB=4,,∠ABC=75°,P为∆ABC内的一个动点,连接PA、PB、PC,则PA+PB+PC的最小值为________6.如图,P为正方形ABCD对角线BD上一动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为______7.在Rt∆ABC中,∠ACB=90°,AC=1,,点O为Rt∆ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,则OA+OB+OC=_______8.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=BC=3,AD=4,∠BAD=90°,点P是四边形内部一点,则PA+PB+PD的最小值是______9.如图,点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点,已知AB=2,,则PA+PB+PC 的最小值为_______10.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为__________11.已知,在∆ABC中,∠ACB=30°点P是ABC内一动点,则PA+PB+PC的最小值为__________12.如图,设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2则PC的最大值为______13.如图,设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2PC的最大值为________14.如图,设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2则PO的最大值为_________.15.如图,在Rt∆ABC中,∠BAC=90⁰,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD 绕点A逆时针旋转90⁰,得到AE,连接CE、DE,点F是DE的中点,连接CF问题:在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小,当PA+PB+PC 取最小值时,AP的长为m,用含有m的式子表示CE的长.参考答案1.7.8.7 9.3 10. 12.2+13.2+1 15.32m +。

旋转中的最值模型(费马点模型)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上学期(人教版)

旋转中的最值模型(费马点模型)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上学期(人教版)

旋转中的最值模型(费马点模型)【知识点归纳】费马点模型:如图,在△ABC内部找到一点P,使得PA+PB+PC的值最小.当点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120º,则PA+PB+PC的值最小,P点称为三角形的费马点.特别地,△ABC中,最大的角要小于120º,若最大的角大于或等于120º,此时费马点就是最大角的顶点A(这种情况一般不考,通常三角形的最大顶角都小于120°)费马点的性质:1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

费马点最小值解法:以△ABC任意一边为边向外作等边三角形,这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程:将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°,得到AQE,连接PQ,则△APQ为等边三角形,PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE【例题精讲】例1.(等边三角形费马点)如图,在ABC V 中,3AB =,2AC =,60BAC Ð=°,P 为ABC V 内一点,则PA PB PC ++的最小值为 .【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质,旋转的性质,以及等边三角形的性质和求线段最值的问题,掌握做辅助线是解题的关键.例2.(直角三角形费马点)如图,已知Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∠ACB =30°,斜边AC =4,点P 是三角形内的一动点,则PA +PB +PC 的最小值是 .∵∠90,30ABC ACB °°=Ð=,AC 2,AB \=结AD,BE,CE.若AB=DE=BC=10,∠ABC=75°,则AD+BE+CE的最小值为.【点睛】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握轴对称的性质,通过构造平行四边形、旋转例4.(加权费马点)如图,Rt ABC △中,30CAB Ð=°,3BC =,点P 为ABC V 内一点,连接,,PA PB PC ,则PC PB +的最小值为 .++++的最小值为.AP BP PQ QC QD∴AP BP PQ CQ DQ ++++B P P P PQ QQ Q C ¢¢¢¢¢¢=++++,∴当,,,,,B P P Q Q C ¢¢¢¢六点共线时AP BP PQ CQ ++++连接,¢¢BB CC ,∵AB AB ¢=,60B AB ¢Ð=°,∴ABB ¢V 是等边三角形,∴1AB BB ¢¢==,∴B ¢在AB 的垂直平分线上,例6.(培优综合)在ABCD Y 中,45ABC Ð=°,连接AC ,已知AB AC ==E 在线段AC 上,将线段DE 绕点D 顺时针旋转 90° 为线段DF .(1)如图1,线段AC 与线段BD 的交点和点E 重合,连接EF ,求线段EF 的长度;(2)如图2,点G 为DC 延长线上一点,使得GC EC =,连接FG 交AD 于点H ,求证:CD =;(3)如图3,在(2)的条件下,平面内一点P ,当HP CP +最小时,求HPB △的面积.∵45BAC Ð=°,AB AC ==∴45ACB ABC Ð=Ð=°,BAC Ð∴2222BC AB ==´=,∵ABCD Y ,∴45DCG ABC Ð=Ð=°,CD∵90BAC Ð=°,AB CD ∥,∴AC GD ^,90GCA ECD Ð=Ð=°,又∵GC EC =,AC DC =,∴()SAS GCA ECD V V ≌,∴GA ED =,GAC EDC Ð=Ð,∵ED FD =,ED FD ^,∴GA FD =,90AGC GDF Ð+Ð=°-Ð由旋转的性质可得,2BC BC ¢==,∵AD BC ∥,∴90AIB Ð=°,45IAB ABC Ð=Ð=°,∴222122IB IA AB ===´=,在Rt IC H ¢V 中,12IC IB BC ¢¢=+=+22223213C H IC IH ¢¢=+=+=,∵1122BC H S C H BJ BC IH ¢¢¢=⋅=⋅V ,即:在Rt IBH V 中,221BH IB IH =+=在Rt BJH V 中,22JH BH BJ =-=【课后训练】1.如图,在ABC V 中,90,5,BAC AB AC Ð==°=P 为ABC V 内部一点,则点P 到ABC V 三个顶点之和的最小值是 .∴BAP HAE Ð=Ð,AE AP =,AH AB ==∴60HAB EAP Ð=Ð=°,∴AEP △是等边三角形,∴AE AP EP ==,∴AP BP PC EP EH PC ++=++,∴当点H 、E 、P 、C 共线时,AP BP PC ++∵18018060NAC BAH BAC Ð=°-Ð-Ð=°-条动线段MN BC ∥,且MN =,则AN BM CN ++的最小值为 .【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,旋转变换,的一半,等边三角形的判定与性质,勾股定理,两点之间线段最短等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题..如图,点M 是矩形ABCD 内一点,且,,MA MD MN ,则MA MD MN ++的最小值为 .【答案】7532+根据旋转的性质有:ADD ¢\△为等边三角形,同理AMM ¢V 为等边三角形,AM AM MM ¢==\MA MD MN +\+=\当线段M D ¢¢、MM 在矩形ABCD 中,D 即可知四边形ABEF 是矩形,ADD ¢QV 为等边三角形,\12AF FD AD ===\2D F D A AF ¢¢=-4.如图,P为正方形ABCD内的动点,若AB=2,则PA+PB+PC的最小值为.(1)如图1,已知150AOB Ð=°,120BOC Ð=°,将BOC V 绕点C 按顺时针方向旋转60°得ADC △.①DAO Ð的度数是 ;②用等式表示线段OA ,OB ,之间的数量关系,并证明;(2)设AOB a Ð=,BOC b Ð=.①当a ,b 满足什么关系时,OA OB OC ++有最小值?请在图2中画出符合条件的图形,并说明理由;②若等边ABC V 的边长为1,直接写出OA OB OC ++的最小值.QV ADC BOC \≌△△,OCD ÐCD OC \=,ADC BOC Ð=ÐOCD \△是等边三角形,OC OD CD \==,COD Ð=150AOB Ð=°Q ,120BOC Ð=90AOC \Ð=°,\O C OC ¢\=,O A OA ¢¢=,A C BC ¢=,A O C AOC ¢¢Ð=Ð.(1)如图1, 连接DE BE 、, 若5,3BCE ABE S S ==V V ,求BED S V ;(2)如图2, 若,DM BC DM BM ^=, 延长BE 交DM 于点N , 且NM MC =, 求证:AD DN =-;(3)如图3,若4,90AD AB ABD ==Ð=°,P 为BCD △内一点,请直接写出PD PC PB ++的最小值.∵,DM BC DM BM ^=,∴BDM V 是等腰直角三角形,∴222BD BM DM DM =+=∴BD BF =,∴45F BDM CBD Ð=Ð=Ð=∴90DBF Ð=°,∴2DF BD =,∴4CH BC ==,DCH BCD BCH Ð=Ð+Ð∴PG PC =,∴PD PC PB PD PG GH DH ++=++³即当点D ,P ,G ,H 四点共线时,PD 在Rt DCH △中,22DH CD CH =+=即PD PC PB ++的最小值为27.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质,平行四边形的性质,勾股定理,图形的形ACFG ,点D 恰好在线段GF 上.(1)若AB的长度比BC少4,8V的面积;AC=,求ABC(2)求证:BG DG-;(3)已知点P是ABCV的顶点和边重合,在(1)的条件下,请直V内一动点,且P不与ABC接写出PA PB++的最小值.∵90BED HEG Ð=Ð=°,∴BED HED HEG Ð-Ð=Ð-即BEH DEG Ð=Ð,∵EMG BED EBG =Ð+Ð=∠∴EBG GDE Ð=Ð,∵90BAC Ð=°,∴1122ABC S AB AC BC AG =´=´△,∴6824105AB AC AG BC ´´===,针旋转90°交DC 的延长线于点F ,求证:AE CF =;(2)边长4AB =把边AB 沿BE 翻折.①如图2,若点P 落在对角线BD 上,则AE = ;②如图3,点G 在边CD 上,1DG =,连接AG 、BG ,当点P 落在ABG V 内部时(不含边上),线段AE 长度的取值范围为 ;(3)如图4,点M 是正方形ABCD 内一点,连接MA 、MC ,若5AB =,求MA MC +最小值;(4)如图5,点M 是矩形ABCD 内一点,连接,,MA MB MC ,若AB =4BC =,则MA MB MC ++最小值为 .当点P 落到BG 上,连接由折叠的性质可得,∴=EPG EDG ÐÐ∵1DG =,(3)①当A 、M AM MC AC +>,②当点A 、M 、C ∵AB BC =,ABC Ð(4)如图,将V ∴A M AM ¢¢=,BM 又∵60M BM ¢Ð=°∴M BM ¢V 是等边三角形,【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的性质,熟练掌握相关性质是解题的关键.。

费马点最值问题的解法

费马点最值问题的解法

费马点最值问题的解法数学运算部分一直花样百出,复杂多变,是很让考生头疼至极的。

一、和定最值问题题型特征未知几个量的和一定,谋某个量的最大值或最小值。

二、解题核心思想谋某个量最小,并使其他量尽可能大;谋某个量最轻,并使其他量尽可能小。

三、列方程依据将所有量用所设未知数x则表示出,按照总和一定列于一元一次方程。

四、例题展示1.人出席七项活动,未知每个人只出席一项活动,而且每项活动出席的人数都不一样。

那么出席第四多的活动最多存有几人出席?a.22b.21c.24d.23【解析】题干描述中“人参加7项活动”明显是7个量的和一定,最后所求也是问的最大值,所以很显然就是和定最值问题。

求第四多的活动最多有多少人,只要使其他量尽可能少即可,此时可以确定第五、六、七项活动的人数,分别是1,2,3人。

其余项没法直接确定,但我们可以确定要使第三项也尽可能小,再小也不能少于第四项的人数,再结合题干人数不一样,故第三项最小也得比第四项多1人,第二项比第三项多一人,第一项比第二项多1人。

故可设第四项位x,可得以下方程: (x+3)+ (x+2)+ (x+1)+x+3+2+1=,解得x=22,选择a项。

2.某单位年招录了65名毕业生,拟将分配至该单位的7个相同部门。

假设行政部门分给的毕业生人数比其他部门都多,问行政部门分给的毕业生人数至少就是多少人?a.10b.11c.12d.13【解析】题干描述中“65名毕业生,拟分配到该单位的7个不同部门”,且求最小值,故是和定最值问题。

问题所求为最大量的最小值,只要使其他部门分得的人数尽可能的多即可。

分得第二多部门的人数再多也不能多于行政部门,最多只能少1,其余的部门和第二多部门的人数相等即可达到最大值。

故可得方程:x+6(x-1)=65,解得x约等于10点几,因为问题所求是最小值,故x取不到10,只能取11,b项当选。

最值问题(费马点)资料讲解

最值问题(费马点)资料讲解

最值问题(费马点)最值问题2(费马点)1、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.2、已知:P是边长为1的等边三角形ABC内的一点,求PA+PB+PC的最小值.图2图1A'PPA ABCBC3、(延庆)(本题满分4分)阅读下面材料:阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC (其中∠BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ,求AP 的最大值。

小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ',当点A 落在C A '上时,此题可解(如图2).请你回答:AP 的最大值是 .参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,等腰Rt △ABC .边AB=4,P 为△ABC 内部一点, 则AP+BP+CP 的最小值是 .(结果可以不化简)图3ABP4、(朝阳二模)阅读下列材料:小华遇到这样一个问题,如图1, △ABC 中,∠ACB =30º,BC =6,AC =5,在△ABC内部有一点P ,连接PA 、PB 、PC ,求PA +PB +PC 的最小值.小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC 绕点C 顺时针旋转60º,得到△EDC ,连接PD 、BE ,则BE 的长即为所求.(1)请你写出图2中,PA +PB +PC 的最小值为 ; (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:①如图3,菱形ABCD 中,∠ABC =60º,在菱形ABCD 内部有一点P ,请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长.B图2B图3C B图15、(海淀二模)如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线236y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).(1) 求抛物线的解析式;(2)等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长;(3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长.(备用图)。

费马点最值问题

费马点最值问题

费马点最值问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120°,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角;若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.1.若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中,∠BAC≥120°,求证:点A为△ABC的费马点证明:如图,在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP=∠CAP,并且使得AP=AP,连结PP则△APC≌△APC,PC=PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP=∠CAC≤60所以在等腰△PAP中,AP≥PP所以PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC所以点A为△ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.如图,在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O,求证:点O为△ABC的费马点证明:在△ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D=OC所以△AOO′为等边三角形,OO′=AO所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图,在△ABC 中,若∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 均小于120°,O 为费马点,则有∠AOB =∠BOC =∠COA =120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-6,0),点B 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(6,34),延长AC 至点D 使得CD =AC ,过点DE 作DE //AB ,交BC 的延长线于点E ,设G 为y 轴上的一点,点P 从直线y =3-x +36与y 轴的交点M 出发,先沿y 轴到达点G ,再沿GA 到达点A ,若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定点G 的位置,使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短解:∵t =vGM v v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA +GM 最小时,时间最短如图,假设在OM 上存在一点G ,则BG =AG∴MG +2AG =MG +AG +BG把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°,得到△M ′G ′B ,连结GG ′,MM ′∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形则GG ′=G ′B =GB又∵M ′G ′=MG∴MG +AG +BG =M ′G ′+GG ′+AG∵点A 、M ′为定点∴AM ′与OM 的交点为G ,此时MG +AG +BG 最小∴点G 的坐标为(0,32)例2A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并是整个公路系统的总长度为最小,则应当如何修建? 解:如图,将△ABP 绕点N 逆时针旋转60°,得到△EBM ;同样,将△DCQ 绕点C 顺时针旋转60°,得到△FCN ,连结AE 、DF ,则△ABE 、△DCF 均为等边三角形,连结PM 、QN ,则△BPM ,△CQN 均为等边三角形所以当点E ,M ,P ,Q ,N ,F 共线时,整个公路系统的总长取到最小值,为线段EF 的长,如图,此时点P ,Q 在EF 上,1=2=3=4=30.进阶训练1.如图,在ABC 中,ABC =60,AB =5,BC =3,P 是ABC 内一点,求PA +PB +PC 的最小值,并确定当PA +PB +PC 取得最小值时,APC 的度数.答案:PA +PB +PC 的最小值为7,此时APC =120.【提示】如图,将APB绕点B逆时针旋转60,得到A'BP',连结PP',A'C.过点A'作A'EBC,交CB的延长线于点E.解Rt A'E C求A'C的长,所得即为PA+PB+PC的最小值.2.如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM,CM,EN.(1)当M在何处时,AM+CM的值最小(2)当M在何处时,AM+BM+CM的值最小?请说明理由;(3)当AM+BM+CM31时,求正方形的边长.答案:(1)当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小,最小值为AC的长;(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小,最小值为CE的长.(32【提示】(3)过点E作EFBC,交CB的延长线于点F,解Rt EFC即可.。

7.最值问题之费马点问题

7.最值问题之费马点问题
D
A
A
E
B
C
B
C
D
A
D
E
P
B
C
B
A E
P C
F
在图三的模型里有结论:(1)∠BPD=60°;(2)连接 AP,AP 平分∠DPE. 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°. 但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是 ∠BAC<120°,若 BAC 120 ,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:
如图,以 MG 为边作等边△MGH,连接 NH,则 NH 的值即为所求的点 O 到△MNG 三个顶
点的距离和的最小值.(此处不再证明)
M
H
N
G
过点 H 作 HQ⊥NM 交 NM 延长线于 Q 点,
根据∠NMG=75°,∠GMH=60°,可得∠HMQ=45°,
∴△MHQ 是等腰直角三角形,
∴MQ=HQ=4,
最小值.至于点 P 的位置?这不重要!
D A
B
C
如何求 BD?考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形,过点 D 作 DH⊥BA 交 BA 的延长线于 H 点,根据勾股定理, BD2 = BH 2 + DH 2 即可得出结果.
H
D A
B
C
【练习】如图,已知矩形 ABCD,AB=4,BC=6,点 M 为矩形内一点,点 E 为 BC 边上任意 一点,则 MA+MD+ME 的最小值为______.
∴NH= NQ2 + HQ2 = 100 +16 = 2 29 .
Q 4 M
4 H
6
N
G
【练习】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P 是△ABC 内一点,求 PA+PB+PC 的最小值.

中考数学专题复习37几何最值之费马点问题(全国通用解析版)

中考数学专题复习37几何最值之费马点问题(全国通用解析版)

问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况:(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形.通常将某三角形绕点旋转60度.从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上.利用两点之间线段最短解决问题。

(2)当三角形有一个内角大于120°时.费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧:旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示:如图.在△ABC内部找到一点P.使得PA+PB+PC的值最小.当点P满足△APB=△BPC=△CPA=120º.则PA+PB+PC的值最小.P点称为三角形的费马点.特别地.△ABC中.最大的角要小于120º.若最大的角大于或等于120º.此时费马点就是最大角的顶点A(这种情况一般不考.通常三角形的最大顶角都小于120°)费马点的性质:1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

最值解法:以△ABC任意一边为边向外作等边三角形.这条边所对两顶点的距离即为最小值。

证明过程:几何最值之费马点问题方法技巧将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°.得到AQE.连接PQ.则△APQ 为等边三角形.PA=PQ 。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC.当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE【例1】如图.四边形 ABCD 是菱形.A B =6.且△ABC =60° .M 是菱形内任一点.连接AM .BM .CM .则AM +BM +CM 的最小值为________.【答案】63【详解】将△BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到△BNE .△BM =BN .△MBN =△CBE =60°.△MN=BM△MC=NE△AM +MB +CM =AM +MN +NE .当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE .△AB =BC =BE =6.△ABH =△EBH =60°.△BH △AE .AH =EH .△BAH =30°.△BH =12AB =3.AH =3BH =33.△AE =2AH =63.故答案为63.题型精讲【例2】如图.四边形ABCD 是正方形.△ABE 是等边三角形.M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点.将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN.连接EN 、AM 、CM.(1)求证:△AMB△△ENB ;(2)△当M 点在何处时.AM +CM 的值最小; △当M 点在何处时.AM +BM +CM 的值最小.并说明理由;(3)当AM +BM +CM 的最小值为13 时.求正方形的边长.【答案】(1)△AMB△△ENB.证明略。

第09讲 最值问题之费马点与加权费马点

第09讲 最值问题之费马点与加权费马点

第9讲 最值问题之费马点与加权费马点知识点精讲到三个定理的三条线段之和最小,夹角都为120°.旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题,同时与旋转有关路程最短的问题,比较重要的就是费马点问题.皮耶·德·费马(Pieere de Fermat )是一个17世纪的法国律师,也是一位业余数学家.之所以称业余,是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作.他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”.费马最后定理在中国习惯称为费马大定理,西方数学界原名“最后”的意思是:其它猜想都证实了,这是最后一个.著名的数学史学家贝尔(E .T .Bell )在 20世纪初所撰写的著作中,称皮耶·德·费马为“业余数学家之王” .贝尔深信,费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就,然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就,本人也渐渐退出人们的视野,考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪,因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星.费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利(气压计的发明者)的信中提出的.托里拆利最早解决了这个问题,而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题,并系统地进行了推广,因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点,相关的问题也被称作费马·托里拆利·斯坦纳问题,这一问题的解决极大推动了联合数学的发展,在近代数学史上具有里程碑式的意义.结论:(1)平面内一点P 到△ABC 三个顶点的之和为P A +PB +PC ,当点P 为费马点时,距离之和最小. 特殊三角形中:(2)三内角皆小于120°的三角形,分别以AB 、BC 、CA 为边,向三角形外侧作正三角形ABC 1,AB 1C , BCA 1,然后连接AA 1,BB 1,CC 1,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点.(3)若三角形有一内角大于或等于120°,则此钝角的顶点就是所求的费马点. (4)当△ABC 为等边三角形时,此时内心与费马点重合.下面简单说明如何找点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和P A +PB +PC 最小?这就是所谓的费尔马问题.这时∠BP A =180°-∠APP ´=180°-60°=120°,∠APC =∠AP ´C ´=180°-∠AP ´P =180°-60°=120°,∠BPC =360°-∠BP A -∠APC =360°-120°-120°=120°,因此,当△ABC 的每一个内角都小于120°时,所求的点P 对三角形每边的张角都是120°,可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P 点;当有一内角大于或等于120°时,所求的P 点就是钝角的顶点. 费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离之和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.解析:如图1,把△APC 绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ´C ´,连接PP ´,则△APP ´为等边三角形,AP =PP ´,P ´C =PC ,所以P A +PB +PC =PP ´+PB +P ´C ´.点C ´可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点,BC ´为定长,所以当B 、P 、P ´、C ´四点在同一直线上时,P A +PB +PC 最小.加权费马点模型P BAP´CC´图1“加权”的意思就是“乘以权重”,即“乘以系数”的意思.加权费马点指三角形三个顶点的距离乘以系数时和的最小值问题.限于初中知识的局限性,加权费马点问题三角形三个顶点的距离乘以的系数是特殊的勾股系数,及他们的平方关系,而出题角度上由于最后计算部分只能是特殊角如120°,135°,150°的角度.通过旋转变换,可以改变线段的位置,优化图形的结构,将不规则图形变为规则图形,或将分散的条件集中在一起,以便挖掘隐含条件,使问题得以解决. 【模型解析】在△ABC 中有一点P ,连接AP ,BP ,CP ,求aP A +bPB +cPC 的最小值.数据处理原则求aP A +bPB +cPC 的最小值(a 、b 、c 为整数)①先将aP A +bPB +cPC 的系数化简成一个系数为一的系数,通常这条线段不作为旋转P 与另两个端点的三角形进行旋转特殊角度进行分析. ②常见角度处理原则∠ACB 为30°和旋转角∠ACA ´=60°形成∠BCA ´=90°; ∠ACB 为30°和旋转角∠ACA ´=90°形成∠BCA ´=120°; ∠ACB 为30°和旋转角∠ACA ´=120°形成∠BCA ´=150°; ∠ACB 为45°和旋转角∠ACA ´=90°形成∠BCA ´=135°; ∠ACB 为60°和旋转角∠ACA ´=60°形成∠BCA ´=120°; ∠ACB 为60°和旋转角∠ACA ´=90°形成∠BCA ´=150°; ∠ACB 为90°和旋转角∠ACA ´=60°形成∠BCA ´=150°.这些较为常见的特殊角组合,在初中的知识结构中能在直角三角形中进行求解线段长度.一般需要将加权的线段转化为首尾顺次相接,在运用两点之间线段最短解题.③【解题套路】处理数据aP A +bPB +cPC ,这里我们以左右同时除以b ,进行说明.处理后得abAP +BP +cbCP .以A ,C 为旋转中心,进行旋转,我们以C 为旋转中心为例,如上图△P ″A ″C ∽△P ´A ´C ,在得到P ″A ″与P A 的关系,由勾股定理与特殊三角形关系得到P ´P ″与PC 的关系,当B 、P ´、P ″、A ″共线时运BPAA´P´C´A´A´´用两点间线段最短进行求解. ④加权费马点模型典例等边三角形ABC 中,边长为m ,P 为△ABC 内部一点,求b a AP +BP +caCP 的最小值(a 、b 、c 为勾股数或相等b ≤a ≤c ).[解析]将△ACP 绕点C 旋转90°得△A ´CP ´,取CP ´和CA ´的点P ″,A ″使CP ″=baCP ´,A ″C =baA ´C ,连接PP ″. ∵△ACP 绕点C 旋转90°得△A ´CP ´,∴PC =P ´C ,∵∠ACB =60°,∠ACA ´=90°,∴∠A ´CB =150°,∴∠A ´CG =30°,∵CP ″=b a CP ´,A ″C =baA ´C ,∠A ´CP ´=∠A ´CP ´,∴△P ´A ´C ∽△P ″A ″C ,∴P ″A ″=b a P A ,∵AC =m ,∴A ″C =bm a ,CF,A ″F =2bm a ,∵在Rt △P ´CP ″中,CP ″=baCP ,∴PP ″=c a PC ,∴求b a AP +BP +caCP 的最小值为B 、P ´、P ″、A ″共线,∴最小值BA.典型例题【例1】阅读下列材料对于任意的△ABC ,若三角形内或三角形上有一点P 、若P A +PB +PC 有最小值,则取到小值时,点P 为该三角形的费马点.①若三角形内有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;②若三角形内角均小于120°,则满足条件∠APB =∠BPC =∠APC =120°时,点P 即为费马点. 解决问题: (1)如图,△ABC 中,三个内角均小于120°,分别以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连接CD 、BE 交于点P .证明:点P 为△ABC 的费马点,(即证明∠APB =∠BPC =∠APC =120°)且P A +PB +PC =CD . (2)如图,点Q 为三角形内部异于点P 的一点,证明:QA +QC +QB >P A +PB +PC . (3)若∠ABC =30°,AB =3,BC =4,直接写出P A +PB +PC 的最小值.【答案】(1)详细证明过程略:[提示,如图]在线段CD 上取点F ,使得PF =BP . 第一阶段:如图以,先证明△ACD ≌△AEB ,可得CD =BE ,∠ADC =∠ABE ,因此∠BPD =∠BAD =60°,∴∠BPC =120°,得证明.第二阶段:如图二,因为PB =PF ,∠BPF =60°,可证△BPF 为等边三角形,则∠DFB =120°. 第三阶段:如图三,证明△ABP ≌△DBF ,则P A =DF ,∠BP A =∠DFB =120°,∴∠BPC =∠BP A =∠APC =120°,且CD =DF +PF +PC =P A +PB +PC .(2)详细证明过程略,如图四,以BQ 为边构造等边△BQG ,连接DG ,证明△BGD ≌△BQA ,则DG =QA ,根据两点之间线段最短,DG +QG +QC >DC ,则QA +QC +QB >P A +PB +PC . (3)最小值为5.【例2】在等边三角形ABC 中,边长为4,P 为三角形ABC 内部一点,求AP +BPPC 的最小值.ABCEPDQADBCEP图一EBCE图二B图三图四E图五[解析]过C作AC的垂线截取A´C=AC,过C作PC的垂线截取P´C=PC.∵PC⊥P´C,AC⊥A´C,∴∠ACA´=∠PCP´=90°,∴∠ACP=∠A´CP´,∵A´C=AC,∠ACP=∠A´CP´,P´C=PC,∴△ACP≌△A´CP´,∴AP=A´P´,∵PC⊥P´C,P´C=PC,∴PP,∴AP+BP的最小值为B、P、P´、A四点共线时取最小值为A´B,∵∠ACA´=90°,∠ACB=60°,∴∠BCA´=150°,∴∠A´CH=30°,∵A´C=4,∴A´H=2,CH=,∴A´B==【例3】在△ABC中,BC为4,AC=ACB=45°,P为三角形ABC内部一点,求AP+BPPC的最小值.ABPCA´A将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,连接PP´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴PC=P´C,P A=P´A´,∵∠ACB=45°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=135°,∴∠A´CG=45°,∴P A=P´A´,∠PCP´=90°,∴PPPC,∵A´C=A´G=CG=3,∴求AP+BPPC的最小值为B、P、P´、A共线即可,∴最小值为BA【例4】在△ABC中,BC为4,AC=∠ACB=45°,P为三角形ABC内部一点,求12AP+BPPC的最小值.将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,取CP´和CA´的中点P´´,A´´,则CP´´=12CP´,CA´´=12CA´,连接PP´´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴PC=P´C,∵∠ACB=45°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=135°,∴∠A´CG=45°,∵CP´´=12CP´,CA´´=12CA´,∠A´CP´=∠A´CP´,∴△P´A´C∽△P´´A´´C,∴P´´A´´=12P´A´,∵A´C=,∴A´´C,CF=A´´F=32,∵在Rt△PCP´´中,CP´´=12CP,∴PPPC,∴求12AP+BP的最小值为B、P、P´´、A´´共线即可,∴最小值为BA´´=.AB CP45°45°ABP【例5】在正△ABC中,边长为4,P为△ABC内部一点,求43AP+BP+53PC的最小值.[解析]将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,在CP´和CA´上取点P´´,A´´,则CP´´=43CP´,CA´´=43CA´,连接PP´´、A´´P´´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴PC=P´C,∵∠ACB=60°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=150°,∴∠A´CG=30°,∵CP´´=43CP´,CA´´=43CA´,∠A´CP´=∠A´CP´,∴△P´A´C∽△P´´A´´C,∴P´´A´´=43P´A´=43P A,∵A´C=4,∴A´´C=5,CF,A´´F=52,∵在Rt△PCP´´中,CP´´=4 3CP,∴PP´´=53PC,∴求43AP+BP+53PC的最小值为B、P、P´´、A´´共线即可,∴最小值为BA´´3B43BPAC【例6】在△ABC中,BC为6,AC=4,∠ACB=30°,P为△ABC内部一点,求AP+BPPC的最小值.将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,连接PP´´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴P A=P´A,PC=P´C,∵∠ACB=30°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=120°,∴∠A´CG=60°,∵A´C=4,A´G=CG=2,∵在Rt△PCP´´中,∠PCP´=90°,PC=P´C,PPC P,∴求AP+BPC的最小值为B、P、A´共线即可,∴最小值为BA´=【例7】在△ABC中,BC为6,AC=4,∠ACB=30°,P为△ABC内部一点,求12AP+BP PC的最小值.[解析]将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,在CP´和CA´上取点P´´,A´´,则CP´´=12CP´,CA´´=12CA´,连接PP´´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴PC=P´C,∵∠ACB=30°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=120°,´´AB CPA´A´AB CP∴∠A´CG=60°,∵CP´´=12CP´,CA´´=12CA´,∠A´CP´=∠A´CP´,∴△P´A´C∽△P´´A´´C,∴P´´A´´=12P A,∵A´C=4,∴A´´C=2,CF=A´´FRt△PCP´´中,CP´´=12CP,∴PP´´=,∴求12AP+BPPC的最小值为B、P、P´´、A´´共线即可,∴最小值为BA【例8】在△ABC中,BC为6,AC=4,∠ACB=30°,P为△ABC内部一点,求34AP+BP+54PC的最小值(求3 AP+BP+5PC的最小值).将△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,在CP´和CA´上取点P´´,A´´,则CP´´=34CP´,CA´´=34CA ´,连接PP´´.∵△ACP绕点C旋转90°得△A´CP´,∴PC=P´C,∵∠ACB=30°,∠ACA´=90°,∴∠A´CB=120°,∴∠A´CG=60°,∵CP´´=34CP´,CA´´=34CA´,∠A´CP´=∠A´CP´,∴△P´A´C∽△P´´A´´C,∴P´´A´´=34P A,∵A´C=4,∴A´´C=3,CF=A´´F,∵在Rt△PCP´´中,CP´´=34CP,∴PP´´=54PC,P193—204A´A´APBC∴求34P A +BP +54PC 的最小值为BPP ″A ″共线即可.∴最小值BA =.【注意】求3P A +4BP +5PC 的最小值先求34P A +BP +54PC 的最小值即可,最后将最小值乘以4即可,3P A +4BP +5PC 的最小值为4×=【例9】如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM . (1)求证:△AMB ≌△ENB ;(2)①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由;(3)当AM +BM +CM 1时,求正方形的边长.解析(1)证明:∵△ABE 是等边三角形,∴BA =BE ,∠ABE =60°. ∵∠MBN =60°,∴∠MBN -∠ABN =∠ABE -∠ABN .即∠MBA =∠NBE .又∵MB =NB ,∴△AMB ≌△ENB (SAS ).(2)如图,连接CE ,当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM +BM +CM 的值最小. 理由如下:连接MN ,由(1)知,△AMB ≌△ENB ,∴AM =EN ,∵∠MBN =60°,MB =NB ,∴△BMN 是等边三角形.∴BM =MN . ∴AM +BM +CM =EN +MN +CM . 根据“两点之间线段最短”,得EN +MN +CM =EC 最短.∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时,AM +BM +CM 的值最小,即等于EC 的长. (3)过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F , ∴∠EBF =∠ABF -∠ABE =90°=60°=30°.设正方形的边长为x ,则BF =2x ,EF =2x .在Rt △EFC 中,∵EF 2+FC 2=EC 2,∴222()()1)22xx x ++=.解得,x 1x 2(舍去负值)..【例10】如图,矩形纸片ABCD (AD >AB )中,将它折叠,使点A 与C 重合,在矩形ABCD 中,AB =600,BC =1000,P 是内部一点,Q 是BC 边上任意一点,试确定点P 、Q 的位置,使得P A +PD +PQ 最小,并求出这个最小值.解析点Q是BC边的中点,点P在AD的中垂线上且满足∠ADP=120°.最小值为600+【例11】已知O是△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P是△ABC内任一点,求证:P A+PB+PC≥OA+OB+OC.(O为费马点)解析以B为旋转中心,60°为旋转角,将点P、O、C分别旋转到点P′、O′、C′,连接OO′、PP′.则△POO′、△BPP′都是正三角形.∴OO′=OB,PP′=PB.显然△BO′C′≌△BOC,△BP′C′≌△BPC. 由于∠BO′C′=∠BOC=120°=180°-∠BO′O,∴A、O、O′、C′四点共线.【例12】已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C,求此正方形的边长.解析 如图,连接AC ,把△AEC 绕点C 顺时针旋转60°,得到△GFC ,连接EF 、BG 、AG ,可知△EFC 、△AGC 都是等边三角形,则EF =CE .又FG =AE ,∴AE +BE +CE =BE +EF +FG . ∵点B 、点G 为定点(G 为点A 绕C 点顺时针旋转60°所得).∴线段BG 即为点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值,此时E 、F 两点都在BG 上.设正方形的边长为a ,那么BO =CO a ,GC a ,GO .∴BG =BO +GO a .∵点E 到A 、B 、C .∴2a +2,解得a =2. 相似巩固1.在边长为4的正△ABC 中有一点P ,连接P A 、PB 、PC ,求12P A +PB 的最小值.将△ACP 绕点C 旋转90°得△A ′CP ′,取CP ′和CA ′的中点P ″,A ″,连接PP ″.∵△ACP 绕点C 旋转90°得△A ′CP ′,∴PC =P ′C .∵∠ACB =60°,∠ACA ′=90°,∴∠A ′CB =150°,∴∠A ′CG =30°.∵取CP ′和CA ′的中点P ″,A ″,∴CP ″=12CP ,P ″A ″=12P A .∵A ′C =4,∴A ″C =2,CF ,A ″F =1,·∵在Rt △PCP ″中CP ″= 12CP ,∴PP .∴求12P A +PB +2PC 的最小值为BPP ″A ″共线,∴最小值为BA2.如图,点P 在边长为2的正方形ABCD 内,连结P A 、PB 、PC ,则P A +PB +PC 的最小值为 .【解析】△BPC 绕B 点顺时针旋转60度,可得△PBE 为等边三角形,若P A +PB +PC =AP +PE +EF 要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上,求出AF 的值即可.【详解】△BPC 绕B 点顺时针旋转60度,可得△PBE 为等边三角形.即得P A +PB +PC =AP +PE +EF 要使最小只要AP ,PE ,EF 在一条直线上,即如下图:可得最小P A +PB +PC =AF .此时∠EBC +∠CBP =∠FBE +∠EBC =60°=∠FBC ,所以∠ABF =90°+60°=150°,∠MBF =30°,BM MF =1,则AM =2,在△AMF 中,勾股定理得:AM 2+MF 2=AF 2,AF .4.如图,△ABC 中,∠BAC =30°,且AB =AC ,P 是底边上的高AH 上一点.若AP +BP +CP 的最小值为,则BC = .【解析】如图将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AMG .连接PG ,CM .首先证明当M ,G ,P ,C 共线时,P A +PB +PC 的值最小,最小值为线段CM 的长,想办法求出AC 的长即可解决问题.【详解】如图将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AMG .连接PG ,CM .∵AB =AC ,AH ⊥BC ,∴∠BAP =∠CAP ,∵P A =P A ,∴△BAP ≌△CAP (SAS ),∴PC =PB ,∵MG =PB ,AG =AP ,∠GAP =60°,∴△GAP 为等边三角形,∴P A =PG .∴P A +PB +PC =CP +PG +GM , ∴当M ,G ,P ,C 共线时,P A +PB +PC 的值最小,最小值为线段CM 的长,∵AP +BP +CP 的最小值为,∴CM =,∵∠BAM =60°,∠BAC =30°,∴∠MAC =90°, ∴AM =AC =1,作BN ⊥AC 于N ,则BN =12AB =1,ANCN =2∴BC.【点睛】本题考查轴对称—最短问题,等腰三角形的性质,等边三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用两点之间线段最短解决问题.5.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(-6,0),点B 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(),延长AC 至点D 使得CD =AC ,过点D 作DE ∥AB ,交BC 的延长线于点E ,设G 为y 轴上的一点,点P 从直线yx +y 轴的交点M 出发,先沿y 轴到达点G ,再沿GA 到达点A ,若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定点G 的位置,使点P 按照上述要求到达A 所应的实际最短.解:∵t =2GM v +GA v =22GA GM v +,∴当2GA +GM 最小时,时间最短. 如图,假设在OM 上存在一点G ,则BG =AG ,∴MG +2AG =MG +AG +BG .把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°,得到△M ′G ′B ,连接GG ′,MM ′.∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形,则GG ′=G ′B =GB ,又M ′G ′=MG .∴MG +AG +BG =M ′G ′+GG ′+AG ,∵点A ,M ′为定点,∴AM ′与OM 的交点为G ,此时MG +AG +BG 最小,∴点G 的坐标为().126.A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并使整个公路系统的总长度最小,则应当如何修建?解:如图,将△ABP绕点N逆时针旋转60°,得到△EBM;同样,将△DCQ绕点C顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、DF,则△ABE、△DCF均为等边三角形,连结PM、QN,则△BPM,△CQN均为等边三角形.所以当点E、M、P、Q、N、F共线时,整个公路系统的总长取到最小值,为线段EF的长,如图,此时点P、Q在EF上.7.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BC=3,P是△ABC内一点,求P A+PB+PC的最小值,并确定当P A+PB+PC取得最小值时,∠APC的度数.答案:P A +PB +PC 的最小值为7,此时∠APC =120°.【提示】如图,将△APB 绕点B 逆时针旋转60°,得到△A ′BP ′,连结PP ′,A ′C .过点A ′作A ′E ⊥BC ,交CB 的延长线于点E ,解Rt △A ′EC 求A ′C 的长,所得即为P A +PB +PC 的最小值. 跟踪检测1.如图,在平面直角坐标系xoy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A (-6,0),B (6,0),C (),延长AC 到点D ,使CD =12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E . (1)求D 点的坐标;(2)作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y =kx +b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;(3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线y =kx +b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点,若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短.分析和解:(1)D 点的坐标((过程略).(2)直线BM 的解析式为y +(过程略).(3)如何确定点G 的位置是本题的难点也是关键所在.设Q 点为y 轴上一点,P 在y 轴上运动的速度为v ,则P 沿M →Q →A 运动的时间为2MQ v +AQ v ,使P 点到达A 点所用的时间最短,就是12MQ +AQ 最小,或MQ +2AQ 最小,或MQ +2AQ 最小.解法1 ∵BQ =AQ ,∴MQ +2AQ 最小就是MQ +AQ +BQ 最小,就是在直线MO 上找到G 使他到A 、B 、M 三点的距离和最小.至此,再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息,考虑作旋转变换.把△MQB 绕点B 顺时针旋转60°,得到△M ′Q ′B ,连接QQ ′,MM ′(图5),可知△QQ ′B 、△MM ′B 都是等边三角形,则QQ ′=BQ .又M ′Q ′=MQ ,∴MQ +AQ +BQ =M ′Q ′+QQ ′+AQ .∵点A 、M ′为定点,所以当Q ,Q ′两点在线段AM ′上时,MQ +AQ +BQ 最小.由条件可证明Q ′点总在AM ′上,所以AM ′与OM 的交点就是所要的G 点(图6).可证OG =12MG .图5 图6 图7解法2 考虑12MQ +AQ 最小,过Q 作BM 的垂线交BM 于K ,由OB =6,OM =可得∠BMO =30°,所以QK =12MQ . 要使12MQ +AQ 最小,只需使AQ +QK 最小,根据“垂线段最短”,可推出当点A 、Q 、K 在一条直线上时,AQ +QK 最小,并且此时的QK 垂直于BM ,此时的点Q 即为所求的点G (图7).过A 点作AH ⊥BM 于H ,则AH 与y 轴的交点为所求的G 点.由OB =6,OM =,可得∠OBM =60°,∴∠BAH =30°.在Rt △OAG 中,OG =AO ·tan ∠BAH =∴G 点的坐标为()(G 点为线段OC 的中点).2.在△ABC 中,BC 为4,AC =,∠ACB =45°,P 为三角形ABC 内部一点,求AP BP PC 的最小值.分析由AP BP ,求2AP +BP +2即可.将△ACP 绕点C 旋转90°得△A ′CP ′,取CP ′和CA ′的点P ″,A ″使CP ″=2CP ′,A ″C =2A ′C ,连接PP ″. ∵△ACP 绕点C 旋转90°得△A ′CP ′,∴∠A ′CG =45°.∵CP ″=2CP ′,A ″C =2A ′C ,∠A ′CP ′=∠A ′CP ′,∴△P ′A ′C ∽△P ″A ″C ,∴P ″A ″=2P A .∵A ′C =,∴A ″C =3,CF =A ″F =2.∵在RT △PCP ″中,CP ″=2CP ,∴PP .+BP 的最小值为BPP ″A ″共线即可.∴最小值BA∴由AP BP PC .3.在边长为4的正△ABC 中有一点P ,连接P A 、PB 、PC ,求PB +54PC +34P A 的最小值.将△ACP绕点C旋转90°得△A′CP′,取CP′和CA′的点P″,A″,使CP″=34CP′,A″C=34A′C,连接PP″,∵△ACP绕点C旋转90°得△A′CP′,∴PC=P′C,∵∠ACB=60°,∠ACA′=90°,∴∠A′CB=150°,∴∠A′CG=30°,∵CP″=34CP′,A″C=34A′C,∠A′CP′=∠A′CP′,∴△P′A′C∽△P″A″C,∴P″A″=34P A.∵A′C=4,∴A″C=2,CF A″F=1.∵在RT△PCP″中,CP″=34CP,∴PP″=54PC.∴求PB+54PC+34P A的最小值为BPP″A″共线,∴最小值BA4.在△ABC中有一点P连接P A、PB、PC,AC=2,BC=P A+PB的最小值.(补充:在120°的等腰三角形中,三边比为1:1将△ACP绕点C旋转120°得△A′CP′,连接PP′.∵△ACP绕点C旋转120°得△A′CP′,∴PC=P′C.∵∠ACB=30°,∠ACA′=120°,∴∠A′CB =150°,∴∠A′CG=30°.∵A′C=2,∴CG A′G=1.∵在120°的等腰△PCP′中,∴PP PC.∴求P A+PB PC的最小值为BPP′A′共线,∴最小值BA.5.如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内部一点,∠APD=120°,证明:P A+PD+PC≥BD.【答案】如图所示,在四边形ABCD外侧作等边△AB′D,由∠APD=120°可知四边形APDB′符合(1)的条件,连接B′P,则B′P=P A+PD.连接B′C,则易知B′C≤PB′+PC,即B′C≤P A+PD+PC.此时,解题的目标是证明BD=B′C.因为△AB′D是等边三角形,故AB′=AD,∠B′AD=60°.连接AC,易知△ABC为等边三角形,故AC=AB,∠BAC=60°.在△ABD和△ACB′中,∠BAD=∠CAD+∠BAC=∠CAD+∠DAB′=∠CAB′,AB=AC.AD=AB′,故△ABD≌△ACB′.从而BD=B′C.故P A+PD+PC≥BD.6.如图,已知两条直线a∥b,直线a、b间的距离为h,点M、N在直线a上,MN=x;点P在直线b上,并且x+h=40.(1)记△PMN的面积为S,①求S与x的函数关系式,并求出MN的长为多少时△PMN的面积最大?最大面积是多少?②当②PMN的面积最大时,能求出②PMN正切值吗?为什么?(2)请你用尺规作图的方法确定②PMN的周长最小时点P的位置(要求不写作法,但保留作图痕迹);并判断②PMN的形状;(3)请你在(2)②中得到的②PMN内求一点P,使得AP+AM+AN的和最小,求出AP+AM+AN和的最小值.【解析】试题分析:(1)②根据x+h=40得出h=40-x,再由三角形的面积公式即可得出结论;②因为只要MN=h=20,P在直线b上任意位置时,②PMN的面积取得最大值,因为不能确定P点位置,所以②PMN得大小无法确定,因此不能求出②PMN的正切值;(2)②作出②PMN,由图可知②PMN是以线段MN为底的等腰三角形;②根据勾股定理求出PN的长,进而可得出结论;(3)将②MP A绕点M顺时针旋转60°得到②MP’A’,根据图形旋转的性质得出P'A'A'=P A,②MA'P=120°.连接AA',则②MAA'是等边三角形.由此可得出P',A',A,N四点在一条直线上,故AP+AM+AN=P'A'+AA'+AN =P'N,所以AP+AM+AN和的最小值等于P'N的长,由此可得出结论.试题解析:(1)②:x+h=40,h=40-x,s=12x(40-x)=12x2+20x,∵s=-12(x-20)2+200,∴当MN=20时,△PMN的面积最大,最大面积为200;②不能.因为只要MN=h=20,P在直线b上任意位置时,△PMN的面积取得最大值,因为不能确定P点位置,所以么∠PMN得大小无法确定,因此不能求出②PMN的正切值;(2)如图1,△PMN是以线段MN为底的等腰三角形.图1图2(3)如图2,在等腰△PMN的顶角②MPN的平分线上取点A,使得②AMN=②ANM=30°,点A在此处可使得AP+AM+AN的和最小.∵此时②MAP=②NAP=②NAM=120°.将△MP A绕点M顺时针旋转60°得到△MP'A'.∴P'A'=P A,②MA'P'=120°,连接AA',则△MAA'是等边三角形.∴MA=AA',②MA'A=②NAA'=60°.∴∠MA'P+MAA'=MAA'+②MAN=180°.即P',A',A,N四点在一条直线上,∴AP+AM+AN=P'A'+AA'+AN=P'N,AP+AM+AN和的最小值等于P'N的长,此时,NA=MA=10÷cos30°AB=10×tan30∴AP+AM+AN的最小值为:20+考点:1.二次函数综合题:2.平行线之间的距离:3.轴对称一最短路线问题.7.如图,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点A,D为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道P A PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元,当M,P建在何处时,修建专用车道的费用最少?最少费用为多少?(结果保留整数)实际应用:如图,连接AM,DM,将②ADP绕点A逆时针旋转60°,得△AP'D',当M,P,P',D'在同一条直线上时,AP+PM+DP最小,最小值为D'M,∵M在BC上,∴当D'M⊥BC时,D'M取最小值,设D'M交AD于E,∵△ADD'是等边三角形,∴EM=AB=500,∴BM=400,PM=EM-PE=500∴D'E AD=∴D'M=,∴最少费用为10000×(=1000000(万元;∴M建在BC中点(BM=400米)处,点P在过M且垂直于BC的直线上,且在M上方(500米处,最少费用为1000000(万元.8.(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE相交于点P,求证:BE=AD.(2)如图2,在△BCD中,②BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是_____________(只填序号即可)②AD=BE=CF;②②BEC=②ADC;②②DPE=②EPC=②CP A=60;(3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.图1图2【答案】(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形.∴BC=AC,CE=CD,②ACB=②DCE=60°,∴②BCE=②ACD,△BCE≌△ACD (SAS)∴BE=AD(2)②②②都正确(3)证明:在PE上截取PM=PC,联结CM由(1)可知,△BCE≌△ACD (SAS)∴∠1=∠2设CD与BE交于点G,在②CGE和②PGD中∴②1=②2,②CGE=②PGD∴②DPG=②ECG=60°同理②CPE=60°∴△CPM是等边三角形∴CP=CM,②PMC=60°∴②CPD=②CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME(AAS)∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.即PB+PC+PD=BE.9.已知:△ABC中,②A≥120°,P是不与A重合的定点,求证:P A+PB+PC>AB+AC.【答案】可考虑旋转某一个三角形,使AB和AC“接”成一条线段,再根据三角形中两边之和大于第三边去证明.将△P AB绕A点旋转,当按顺时针方向,旋转180°-②BAC时,到达右图的△P'AB的位置,此时AC、AB'互为反向延长线.于是PP'+P'B'+PC>CB'由于②P'AP=②B'AB=180°-②BAC≤60°,所以PP'≤P A=P'A;又P'B'=PB,故P A+PB+PC>CB'=AC+AB',即P A+PB+PC>AC+AB.。

初中数学几何模型与最值问题04专题-费马点中三线段模型与最值问题(含答案)

初中数学几何模型与最值问题04专题-费马点中三线段模型与最值问题(含答案)

初中数学最值问题专题4 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

主要分为两种情况:(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题。

(2)当三角形有一个内角大于120°时,费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧:旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题:在△ABC内找一点P,使得P A+PB+PC最小.APB C【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°.在图三的模型里有结论:(1)∠BPD=60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.有这两个结论便足以说明∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!【例题】1、如图,四边形ABCD 是菱形,AB =4,且∠ABC =∠ABE =60°,G 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ,当AG +BG +CG 取最小值时EF 的长( )A .B .C .D .2、如图,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆,DE 与BC 交于点P ,可推出结论:PA PC PE +=问题解决:如图,在MNG ∆中,6MN =,75M ∠=︒,MG =O 是MNG ∆内一点,则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________3、如图,四边形ABCD是菱形,A B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM的最小值为________.4、如图,∠ABC中,∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为,则BC=_____.5、如图,四边形ABCD 是正方形,∠ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM .∠ 求证:∠AMB ∠∠ENB ;∠ ∠当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;∠当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由; ∠ 当AM +BM +CM 的最小值为13 时,求正方形的边长.EA DB CNMF EA DB CNM6、在正方形ABCD中,点E为对角线AC(不含点A)上任意一点,AB=(1)如图1,将∠ADE绕点D逆时针旋转90°得到∠DCF,连接EF;∠把图形补充完整(无需写画法);∠求2EF的取值范围;(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值.专题4 费马点中三线段模型与最值问题答案【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。

费马点最值问题

费马点最值问题

资料范本本资料为word版本,可以直接编辑和打印,感谢您的下载费马点最值问题地点:__________________时间:__________________说明:本资料适用于约定双方经过谈判,协商而共同承认,共同遵守的责任与义务,仅供参考,文档可直接下载或修改,不需要的部分可直接删除,使用时请详细阅读内容费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120°,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角;若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中,∠BAC≥120°,求证:点A为△ABC的费马点证明:如图,在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP=∠CAP,并且使得AP=AP,连结PP则△APC≌△APC,PC=PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP=∠CAC≤60所以在等腰△PAP中,AP≥PP所以PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC所以点A为△ABC的费马点若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.如图,在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O,求证:点O为△ABC 的费马点证明:在△ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D=OC所以△AOO′为等边三角形,OO′=AO所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图,在△ABC中,若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°,O为费马点,则有∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(6,),延长AC至点D使得CD=AC,过点DE 作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点,点P从直线y=x+与y轴的交点M出发,先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定点G的位置,使点P按照上述要求到达A所用的时间最短解:∵t=∴当2GA+GM最小时,时间最短[来源:]如图,假设在OM上存在一点G,则BG=AG[来源:学科网ZXXK]∴MG+2AG=MG+AG+BG把△MGB绕点B顺时针旋转60°,得到△M′G′B,连结GG′,MM′∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形则GG′=G′B=GB又∵M′G′=MG[来源:学科网ZXXK]∴MG+AG+BG=M′G′+GG′+AG∵点A、M′为定点∴AM′与OM的交点为G,此时MG+AG+BG最小∴点G的坐标为(0,)例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并是整个公路系统的总长度为最小,则应当如何修建?解:如图,将△ABP绕点N逆时针旋转60°,得到△EBM;同样,将△DCQ 绕点C顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、DF,则△ABE、△DCF均为等边三角形,连结PM、QN,则△BPM,△CQN均为等边三角形[来源:学科网]所以当点E,M,P,Q,N,F共线时,整个公路系统的总长取到最小值,为线段EF的长,如图,此时点P,Q在EF上,1=2=3=4=30.进阶训练1.如图,在ABC中,ABC=60,AB=5,BC=3,P是ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值,并确定当PA+PB+PC取得最小值时,APC的度数.[来源:学&科&网]答案:PA+PB+PC的最小值为7,此时APC=120.【提示】如图,将APB绕点B逆时针旋转60,得到A'BP',连结PP',A'C.过点A'作A'E BC,交CB的延长线于点E.解Rt A'EC求A'C的长,所得即为PA+PB+PC的最小值.2.如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM,CM,EN.(1)当M在何处时,AM+CM的值最小?(2)当M在何处时,AM+BM+CM的值最小?请说明理由;(3)当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.答案:(1)当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小,最小值为AC的长;(2)连结CE,当点M位于BD与CE的交点处时.AM+BM+CM的值最小,最小值为CE的长.(3)正方形的边长为.【提示】(3)过点E作EF BC,交CB的延长线于点F,解Rt EFC即可.。

最值问题(费马点)之欧阳学创编

最值问题(费马点)之欧阳学创编

最值问题2(费马点)1、时间:2021.03.03 创作:欧阳学2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.3、已知:P是边长为1的等边三角形ABC内的一点,求PA+PB+PC的最小值.3、(延庆)(本题满分4分)阅读下面材料:阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。

小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接AA',当点A落在CA'上时,此题可解(如图2).请你回答:AP的最大值是.参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,则AP+BP+CP的最小值是.(结果可以不化简)4、(朝阳二模)阅读下列材料:小华遇到这样一个问题,如图1, △ABC 中,∠ACB =30º,BC =6,AC =5,在△ABC内部有一点P ,连接P A 、PB 、PC ,求P A +PB +PC 的最小值.成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC 绕点C 顺时针旋转60º,得到△EDC ,连接PD 、BE ,则BE 的长即为所求.(1)请你写出图2中,P A +PB +PC 的最小值为;(2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题: ①如图3,菱形ABCD 中,∠ABC =60º,在菱形ABCD内部有一点P ,请在图3中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长.5、(海淀二模)如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐B 图2 B 图3 B 图1标为(0,2). 点D在x轴的正半轴上. 30∠=︒. OE为△BODODB的中线. 过B、E两点的抛物线23y ax x c=++与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧).(1)求抛物线的解析式;(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上. 求AE及AM的长;(3)点P为△ABO内的一个动点. 设m PA PB PO=++.请直接写出m的最小值, 以及m取得最小值时, 线段AP 的长.(备用图)时间:2021.03.03 创作:欧阳学。

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最值问题2(费马点)
1、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
2、已知:P是边长为1的等边三角形ABC内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
图2
图1
A'
P
P
A A
B
C
B
C
3、(延庆)(本题满分4分)阅读下面材料:
阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC (其中∠BAC 是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ,求AP 的最大值。

小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A '
,当点A 落在C A '
上时,此题可解(如图2).
请你回答:AP 的最大值是 . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt △ABC .边AB=4,P 为△ABC 内部一点, 则AP+BP+CP 的最小值是 .(结果可以不化简)
图3
A
B
P
4、(朝阳二模)阅读下列材料:
小华遇到这样一个问题,如图1, △ABC 中,∠ACB =30º,BC =6,AC =5,在△ABC 内部有一点P ,连接P A 、PB 、PC ,求P A +PB +PC 的最小值.
小华是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图2,将△APC 绕点C 顺时针旋转60º,得到△EDC ,连接PD 、BE ,则BE 的长即为所求.
(1)请你写出图2中,P A +PB +PC 的最小值为 ; (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题:
①如图3,菱形ABCD 中,∠ABC =60º,在菱形ABCD 内部有一点P ,请在图3
中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD 的边长为4,请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长.
B

2
B

3
C B 图1
5、(海淀二模)如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半
轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2
3
6
y ax x c =+
+与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长; (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.
请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)。

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