周期函数性质
函数函数的奇偶性与周期性
函数函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在数学中，我们经常会遇到函数的奇偶性与周期性的问题。
本文将探讨函数函数的奇偶性与周期性的概念、性质与判断方法。
一、函数的奇偶性在数学中，奇函数和偶函数是最常见的两种特殊函数。
1.1 奇函数奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=-f(-x)$，则函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的图像具有关于原点对称的性质。
例如，$y=x^3$就是一个奇函数。
当$x$取正值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值也相等。
奇函数的图像通常关于原点对称。
1.2 偶函数偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=f(-x)$，则函数$f(x)$是偶函数。
偶函数的图像具有关于$y$轴对称的性质。
例如，$y=x^2$就是一个偶函数。
当$x$取正值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值也相等。
偶函数的图像通常关于$y$轴对称。
二、函数的周期性周期函数是指具有某个周期的函数。
2.1 周期周期是指函数中最小的正数$T$，使得对于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。
周期函数是在一个周期内具有相同函数值的函数。
例如，正弦函数$y=\sin x$和余弦函数$y=\cos x$就是周期函数。
它们的周期都是$2\pi$，也就是说对于任意$x$，都有$\sin(x+2\pi)=\sin x$和$\cos(x+2\pi)=\cos x$。
2.2 周期性质周期函数有以下几个重要的性质：（1）周期函数的图像在一个周期内是重复的；（2）周期函数的图像在不同周期之间也是重复的；（3）周期函数的图像可能是对称的。
三、判断函数的奇偶性与周期性的方法为了判断一个函数的奇偶性与周期性，我们可以通过函数关系式进行分析。
函数的四大性质总结
函数的四大性质总结知识点总结：一． 单调性：1. 定义：在定义域I 里，有两个任意自变量,当时，则f （x ）在定义域单调增。
当时，则f （x ）在定义域单调减。
2. 判断方法：①定义法（作差或作差比较）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤倒数法； 二． 奇偶性：偶函数 ：f （-x ）=f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 奇函数：f （-x ）= - f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 三． 周期性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （x ）[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a]，则f （x ）为周期函数，T=a 。
周期函数有三种变形形式： 这三种形式的周期都为2a 。
四． 对称性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （a-x ）[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a]，则f （x ）为对称函数，对称轴为x=a 。
对称性和周期性的结合：① f(x)关于（a,0）和(b,0)点对称,则f （x ）是周期函数，T=2② f(x)关于直线x=a 和x=b 对称,则f （x ）是周期函数，T=2 ③ f(x)关于点（a,0）和x=b 点对称,则f （x ）是周期函数，T=4专题训练（一）函数的单调性 1、当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x ，下列式子中正确的是（A ）()11log >-x x （B ）xx-+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛112121 （C ）()()232311x x -<+ （D ）()11log 2->-x2、()()()4,2122∞-+-+=在x a x x f 上是减函数，则a 的取值围是（ ）（A ）3-≤a （B ）3-≥a （C ）5≤a （D ）3≥a3、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q <<3．1函数是单调函数时，的取值围 A ． B ． C ． D ．3.2、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)3.3、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有121()()()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则必有（A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤ （C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤ 3.4、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在D 上Af(x)+g(x)一定是减函数 B f(x)-g(x)一定是增函数 C f(x)·g(x)一定是增函数 D )()(x g x f 一定是减函数4若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ A ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>5 函数f(x)=㏒0.5(x-1)(x+3)的单调递增区间是（A ）A （-∞，-3）B （-∞，-1）C （1，∞）D （-3，-1）6设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>7 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 A ．()f x =1xB ()f x =2(1)x -C ()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 8 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<- 9已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 （A ）(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<10．函数 的单调区间为11.f （x ）= （1）判断函数的奇偶性（2）若y=f （x ）在 上为减函数，求a 的取值围。
定积分中奇偶函数和周期函数处理方法
定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法一、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中,根据定积分的性质和被积函数的奇偶性,及其周期性,我们有如下结论1、若()x f 是奇函数即()()x f x f --=,那么对于任意 的常数a,在闭区间][a a ,-上,()0=⎰-aa dx x f ;2、若()x f 是偶函数即()()x f x f -=,那么对于任意的常数a,在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a aadx x f dx x f 02;3、若()x f 为奇函数时,()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时,()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0.事实上：设()()C dt t f x d x f x+=⎰⎰0,其中C 为任意常数;当()x f 为奇函数时,()⎰xdt t f 0为偶函数,任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时,()⎰xdt t f 0为奇函数,任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x +⎰0既为非奇函数又为非偶函数,⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数;4、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,且在闭区间][T ,0上连续可积,那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022;5、若()x f 是以T 为周期的函数即()()x f x T f =+,那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 0,由此可得()()⎰⎰=÷x Tx dt t f dt t f 0⇔()⎰Tdt t f 0;二、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数,之间按照奇偶函数的性质进行计算即可,但要注意积分区间;2. 拆项法：观察被积函数,在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式,则分开积分会简化计算;3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难,并且不能拆项,可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ,()()()x f x f x q --=,则()()()2x q x p x f +=,从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算;三、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分,最主要是能够确定被积函数的周期特别是三角函数与复合的三角函数的周期,并熟悉周期函数的积分性质,基本上就能解决周期函数定积分的问题; 二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积,证明：1若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f 2若f 为偶函数,则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02;证明：1因为()()x f x f --=,而()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=,则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaaadx x f dx x f dt t f x d x f 0000 所以()()()00=+-=⎰⎰⎰-aaaadx x f dx x f dx x f .2因为()()x f x f -=, 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aaa adx x f dx x f dx x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0,对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aa adx x f dt t f x d x f 0,所以()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.例2 设f 在)(∞∞-,上连续,且以T 为周期,证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022;证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaTTa Tdx x f dx x f dx x f dx x f 0,在上式右端最后一个积分中,令t T x +=则有 ()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+0aTa Ta a dx x f dt t f dt t T f dx x f ,即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaTdx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0,成立再证()()⎰⎰-=22T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=TT T Tdx x f dx x f dx x f 220对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT T T dtT t f dx x f 22,因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+0202T T dx x f dt T t f ,()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f ;例3 求定积分 ()dx x x xI cos 2411++=⎰-;解：被积函数为偶函数,()()dx x x x dx x x xI ⎰⎰++=++=-1242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ,其中n 为自然数;解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期,因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 20222======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n 自然数n 或m 为奇数;解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n m n m n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时,由于被积函数为奇函数,故0,=m n I 当m 为奇数时设2,1,0,12=+=k k m …时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n 其中()u R 为u 的某个多项式不含常数项 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin ;解：因为被积函数是为奇函数,且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx x x x x ⎰--+-2225242cos ;解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42,因为2542cos xx x -+是奇函数,而2242x x -+是偶函数,所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042=()π28422202-=--⎰dx x例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰; 解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π2cos 1sin dx x xx ;解：令t x +=2π,则dt dx =,因为][π,0∈x ,所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt , dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 1122022πππππ==+=⎰t t d t例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x ; 分析：若此题采用常规求法,会发现过程相当复杂,但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出;原函数可以看做一个奇函数fx=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数ux=3122+-x x 之和;解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+02 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx ; 分析：如果此题按照一般解法直接进行求解,那么会发现很繁琐,注意到()xxx f +-=11lncos 为奇函数在对称区间上积分为零,因此就可以简化积分,而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心,半径为21的上半圆周面积, s=2)21(21π= 8π 解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos=dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π 例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续,证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-,并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x ;解：若记()()()x f x f x p -+=,()()()x f x f x q --=,显而易见()x p 为偶函数,()x q 为奇函数,而且()()()2x q x p x f +=.所以有()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa ⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x ;分析：此题的积分区间][2,2-关于原点对称,从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质,但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数,我们可以将其凑成奇偶函数;按照上一题的结果我们可以知道()()()][21x f x f x u --=为奇函数,而()()()][21x f x f x w -+=为偶函数解：()()()()()()2211ln ]1ln 1ln [21][21x e x e x e x x f x f x u x x x -+=+++=--=-()()()dx x e x dx x x e x dx e x I x x x ⎰⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-+=+=222222222211ln ]21211ln [1ln3821202102222=+=+⎰⎰-x dx x dx x 例14 求定积分⎰=πn n dx x x I 0sin 其中N n ∈;分析：被积函数不是周期函数,无法直接用周期函数的定积分性质计算,采用分部积分比较繁琐,可以考虑还原; 令t x n =-π 则dt dx -=()()⎰⎰---==ππππn n n dt t n t n dx x x I 0sin sin⎰⎰⎰⎰⋅+-=+-=ππππππ000sin sin sin sin dx x n n dx x x dt t n dt t t n n n移向得：πππππ20222sin sin 2n xdx n dx x n I n ===⎰⎰ 所以 π2n I n =例15 求定积分 ()⎰+=ππ20sin dx x x I n ;解：()⎰⎰⎰+=+=πππππ0sin sin 2sin 2dx x dx x x dx x x I n[]ππππππππ4222sin cos 2sin sin 200=+=+--=+=⎰⎰x x x xdx xdx x例16 求定积分 ⎰+=π02222cos sin dx xb x a dxI解：注意到被积函数是以π为周期的偶函数,因此可用定积分中相应性质简化计算()⎰⎰⎰+=+=+=-2022222222202222tan tan 2cos sin cos sin ππππdx x a b x d dx x b x a dx dx x b x a dx I()[]abx b a ab x ba ab x d πππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎰222tan arctan 2tan 1tan 2例17 求定积分()⎰-+22223cos sin ππxdx x x ;解：注意到是对称区间,函数可以应用定积分的奇偶性来计算()()d xx x xdx x xdx x xdx x x⎰⎰⎰⎰-+=+=+---20222222222322223sin 1sin 20cos sin cos cos sin πππππππ8sin 2sin 2204202πππ=-=⎰⎰xdx xdx例18 证()x f 是以T 为周期的周期函数,则()()⎰⎰=TnTdx x f n dx x f 0;证明：因为()()()∑⎰⎰-=+=110n k Tk kTnTdx x f dx x f 故只需证明()()()⎰⎰=+TTk kTdx x f dx x f 01由题设可知()()kT x f x f += 现令kT t x +=,当kT x =时,0=t ； 当()T k x 1+=时,T t =且dt dx = ()()()()⎰⎰⎰=+=+TT T k kTdt t f dt kT t f dx x f 01所以有()()()⎰∑⎰⎰==-=Tn k TnTdx x f n dx x f dx x 0100 例19 设()x f 是以π为周期的周期函数,证明()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x ;分析:()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 等价于()()++⎰dx x f x x π0sin()()()()⎰⎰+=+ππππ022sin dx x f x dx x f x x 所以 ()()⎰+ππ2sin dx x f x x = ()()⎰-+ππ0sin dxx f x x 即()()()()⎰⎰-+=+ππππ02sin sin dxx f x x du u f u u 由题设()()x f n x f =+π 可令 π+=x u证明：()()⎰+π20sin dx x f x x()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰+++=+++=ππππππ2020sin sin sin sin duu f u u dx x f x x dx x f x x dx x f x x 令π+=x u ,则()()()()()()()⎰⎰⎰-+=+++++ππππππππ002sin sin sin dx x f x x dx x f x x du u f u u ()()()()()()⎰⎰⎰-+++=+ππππ0020sin sin sin dx x f x x dx x f x x dx x f x x()()⎰+=ππ02dx x f x例20 设函数()⎰=xdt t x s 0cos1 当n 为正整数,且()ππ1+≤≤n x n 时,证明()()122+≤≤n x s n ； 2求()xx s x +∞→lim证明：1因为0cos ≥x ,且()ππ1+≤≤n x n ,所以()⎰⎰⎰+<≤ππ10cos cos cos n xn dx x dx x dx x ,又因为具有周期,在长度的积分区间上积分值相等：⎰⎰=+ππcos cos dx x dx x a a,从而⎰⎰=ππcos cos dx x n dx x n()()n n xdx xdx n 211cos cos 220=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰πππ 同理可得到()()12cos 10+=⎰+n dx x n π2由1有()()()ππn n x x s n n 1212+≤≤+,当∞→n 去极限,由夹逼定理得,()π2lim =+∞→x x s x例21 设函数()x f 在)(∞∞-,上连续,而且()()()dt t f t x x F x ⎰-=02;证明：1若()x f 为偶函数,则()x F 也是偶函数；2若()x f 单调不减,则()x F 单调不减1证明：令u t -=,则()()()()()()()()x F du u f u x du u f u x dt t f t x x F xx x =-=--=--=-⎰⎰⎰-000222故()x F 为偶函数;2 由于被积函数连续,所以()x F 可导,且()()()()()()()()x xf dt t f x f x x dt t f dt t tf dt t f x x F xx x x -=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰⎰⎰00'00'22()()[]00≥-=⎰xdt x f t f ,因此()x F 在)(∞∞-,上单调不减例22 设()x f 在)(∞∞-,上连续,以T 为周期,令()()⎰=xdt t f x F 0,求证：1()x F 一定能表成：()()x kx x F ϕ+=,其中k 为某常数,()x ϕ是以T 为周期的周期函数； 2()()⎰⎰=∞→Tx x dx x f T dt t f x 0011lim ； 3若有())(()∞∞-∈≥,0x x f ,n 为自然数,则当()T n x nT 1+<≤时,有()()()()⎰⎰⎰+<≤Tx T dx x f n dt t f dx x f n 01;证明:1 即确定常数k,使得()()kx x F x -=ϕ以T 为周期,由于T 因此,取()⎰=Tdt t f Tk 01,()()kx x F x -=ϕ,则()x ϕ是以T 为周期的周期函数; 此时 ()()()x x dt t f Tx F Tϕ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰12 ()()()x dt t f Tx dt t f Txϕ+=⎰⎰00.且()x ϕ在)(∞∞-,上连续并以T 为周期,于是()x ϕ在()x ϕ在[]T ,0有界,在()+∞∞-,也有界;因此()()()()⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→∞→Tx T x x dt t f T x x dt t f T dt t f x 00011lim 11lim ϕ 3因()0≥x f ,所以当()T n x nT 1+<≤时,()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=<≤=+ToTn xonTT dt t f n dt t f dt t f dt t f dt t f n 110例23 设()x f 是)(∞∞-,上的连续函数,试运用周期函数性质证明()()⎰⎰-+=+222220sin 2sin cos πππdx x b afdx x b x a f ;证明：因为()α++=+x b a x b x a sin sin cos 22,其中ba=αtan ,令tx =+α,()()()()⎰⎰⎰++=++=+πααππα222202220sin sin sin cos dt t b afdx x b afdx x b x a f()()⎰⎰++++=απππα2222222sin sin dt t b a ftd b a f令t x =-π2,则()()⎰⎰+=++ααππ222222sin sin dt t b a f dt t b af,所以左端=()⎰+π2022sin dx x b af,按照周期函数的性质知⎰⎰⎰+-==ππππ202332c c所以左端=()()⎰⎰+++-232222222sin sin ππππdx x b afdx x b af,x t -=π,知()()d x x b afdx x b af⎰⎰-+=+222223222sin sin ππππ故()⎰-+=2222sin 2ππdx x b a f例24 设()⎰+=2sin πx xdt t x f ,证明1()()x f x f =+π；2求出()x f 的最大最小值;证明：1()⎰++=+23sin πππx x dt t x f ,设π+=u t ,当π+=x t 时,x u =；当23π+=x t 时,2π+=x u ,则()()x f du u dt t x f x x x x ===+⎰⎰+++232sin sin ππππ 2 因为右端连续,故()x f 可导,()x x x f sin cos '-=,又()x f 为周期函数,故只讨论一个周期内即可,现讨论][π,0∈x 当40π≤≤x 时,()0'≥x f ,当434ππ≤<x 时,()0'<x f ,当ππ≤≤x 43时,()0'≥x f 所以当4π=x 时取最大值,2sin 4434==⎪⎭⎫⎝⎛⎰πππdt t f ；当43π=x 时取最大值,2sin 434543-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰πππdt t f ;参考文献1曹绳武,王振中,于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社 2001 2郝涌,卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社 19993李永乐,李正元考研复习全书国家行政出版社 20124林益,邵琨,罗德斌等数学分析习题详解 2005课程论文成绩考核表学生姓名专业班级题目评审者考核项目评分指导教师1 平时态度与遵守纪律的情况满分20分2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平满分20分3 抽签答题的正确性满分20分4 完成任务的情况与水平按规范化要求满分20分5 答辩时讲述的条理性与系统性满分20分总评成绩总评成绩等级优、良、中、及格、不及格指导教师签字：。
周期函数性质
周期函数性质
周期函数性质：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也
是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定
是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T
称为f（x）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称
它是函数f（x）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，
且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。
高一数学周期函数的图像与性质
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汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
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矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
感谢观看
汇报人：WPS
周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
周期函数及其性质的探究
周期函数及其性质的探究龚凯宏(江苏省启东中学㊀２２６２００)摘㊀要:本文对函数间关系式与函数的周期性进行了探究ꎬ总结出了若干结论ꎬ并举例说明了这些结论在解题中的应用.关键词:周期函数ꎻ性质ꎻ定理ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)３１－００１９－０２收稿日期:２０１８－０６－２５作者简介:龚凯宏(１９６８.１０－)ꎬ男ꎬ江苏启东人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁周期函数的定义一般地ꎬ对于函数ｆ(ｘ)ꎬ如果存在一个非零常数Ｔꎬ使得当ｘ取定义域内每一个值时ꎬ都有ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)ꎬ那么函数ｆ(ｘ)就叫做周期函数ꎬ非零常数Ｔ叫做这个函数的周期.根据该定义可得到以下两个性质:(１)如果ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ且满足ｆ(ｘ＋ａ)＝ｆ(ｘ＋ｂ)ꎬ那么ｆ(ｘ)是ａ－ｂ(ａ－ｂʂ０)为周期的周期函数证明㊀因为ｆ(ｘ＋ａ)＝ｆ(ｘ＋ｂ)ꎬ所以ｘ用ｘ－ｂ代换得:ｆ(ｘ＋ａ－ｂ)＝ｆ(ｘ)ꎬ故命题成立.(２)如果ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ且满足ｆ(ｘ＋ａ)＝－ｆ(ｘ＋ｂ)ꎬ那么ｆ(ｘ)是２ａ－ｂ(ａ－ｂʂ０)为周期的周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ＋ａ)＝－ｆ(ｘ＋ｂ)ꎬ所以ｘ用ｘ－ｂ代换得:ｆ(ｘ＋ａ－ｂ)＝－ｆ(ｘ)ꎬｘ再用ｘ＋ａ－ｂ代换得:ｆ(ｘ＋２ａ－２ｂ)＝－ｆ(ｘ＋ａ－ｂ)ꎬ因此有ｆ(ｘ＋２ａ－２ｂ)＝ｆ(ｘ)ꎬ故命题成立.㊀㊀二㊁几个定理定理１㊀设函数ｙ＝ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ其图象关于直线ｘ＝ａ与ｘ＝ｂ对称(ａʂｂ)ꎬ则ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ａ与ｘ＝ｂ对称ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(２ｂ－ｘ)则ｆ(２ａ－ｘ)＝ｆ(２ｂ－ｘ).根据性质(１)ｘ用２ｂ－ｘ代换即得:ｆ(２ａ－２ｂ＋ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ因此ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数.(当ｂ＝０时ꎬ它是偶函数)说明㊀若函数ｆ(ｘ)有ｆ(ｘ＋ａ)＝ｆ(ｂ－ｘ)ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２对称ꎬ反之也成立ꎬ证明略.定理２㊀设函数ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数ꎬ且ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ａ(或ｘ＝ｂ)对称ꎬ那么ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ｂ(或ｘ＝ａ)对称.证明㊀不妨设ｂ>ａꎬ则２ａ－ｂ＝２(ｂ－ａ)ꎬ因为ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ａ对称ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ)则ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ＋２ｂ－２ａ)＝ｆ(２ｂ－ｘ)ꎬ即ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ｂ对称.定理３㊀如果函数ｙ＝ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ其图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ又关于点(ｂꎬ０)对称ꎬ则函数ｆ(ｘ)是４ａ－ｂ为周期的周期函数(ａʂｂ).证明㊀因为ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝ａ对称ꎬ所以有ｆ(ｘ)＝ｆ(２ａ－ｘ).又因为关于点(ｂꎬ０)对称ꎬ有ｆ(２ｂ－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ则ｆ(２ａ－ｘ)＝－ｆ(２ｂ－ｘ).此时ｘ用２ｂ－ｘ代换得:ｆ(２ａ－２ｂ＋ｘ)＝－ｆ(ｘ).根据性质(２)ꎬｘ再用２ａ－２ｂ＋ｘ代换得:ｆ(４ａ－４ｂ＋ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ因此ꎬ函数ｆ(ｘ)是４ａ－ｂ为周期的周期函数.推广㊀如果函数ｙ＝ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ其图象关于直线ｘ＝ａ对称ꎬ又关于点(ｂꎬｃ)对称ꎬ则函数ｆ(ｘ)是４ａ－ｂ为周期的周期函数(ａʂｂ).证明㊀设函数ｆ(ｘ)的图象所在坐标系是ｘＯｙꎬ在同一平面上建一新坐标系ｘᶄＯᶄｙᶄ使新坐标系的原点为点(ｂꎬｃ)ꎬ得坐标平移公式:ｘ＝ｘᶄ＋ｂꎬｙ＝ｙᶄ＋ｃ.{原函数ｙ＝ｆ(ｘ)及对称轴９１方程ｘ＝ａꎬ在新坐标系下的关系为ｙᶄ＋ｃ＝ｆ(ｘᶄ＋ｂ)ꎬｘᶄ＝ａ－ｂ.则原图象在新坐标系下以新原点为对称点ꎬ并关于ｘᶄ＝ａ－ｂ对称.由定理３可得:ｙᶄ＋ｃ＝ｆ(ｘᶄ＋ｂ)是以４ａ－ｂ为周期的周期函数ꎬ有ｆ(ｘᶄ＋ｂ＋４ａ－ｂ)－ｃ＝ｆ(ｘᶄ＋ｂ)－ｃ即ｆ(ｘᶄ＋ｂ＋４ａ－ｂ)＝ｆ(ｘᶄ＋ｂ).再由平移公式得:ｆ(ｘ＋４ａ－ｂ)＝ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)是以４ａ－ｂ为周期的周期函数.定理４㊀如果函数ｆ(ｘ)定义在Ｒ上ꎬ其图象关于点(ａꎬ０)与点(ｂꎬ０)对称(ａʂｂ)ꎬ则ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数.证明㊀因为图象关于点(ａꎬ０)与(ｂꎬ０)对称ꎬ所以ｆ(２ａ－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬｆ(２ｂ－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ则ｆ(２ａ－ｘ)＝ｆ(２ｂ－ｘ).根据性质１ꎬｘ用２ｂ－ｘ代换得:ｆ(２ａ－２ｂ＋ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ因此函数ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数.在这里我们可仿定理２可证得:如果函数ｆ(ｘ)是以２ａ－ｂ为周期的周期函数.且ｆ(ｘ)的图象关于点(ａꎬ０)(或(ｂꎬ０))对称ꎬ则函数ｆ(ｘ)的图象关于点(ｂꎬ０)(或(ａꎬ０))对称.证明略.以上４个定理在正弦函数㊁余弦函数㊁正切函数中有充分的反映.正弦函数ｙ＝ｓｉｎｘ的图象关于点(ｋπꎬ０)对称ꎬ关于直线ｘ＝π２＋ｋπ对称(ｋɪＺ)ꎬ最小正周期Ｔ＝２πꎻ余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ的图象关于点(π２＋ｋπꎬ０)对称ꎬ也关于直线ｘ＝ｋπ对称ꎬ(ｋɪＺ)ꎬ最小正周期为２πꎻ正切函数ｙ＝ｔａｎｘ的图象关于点(ｋπ２ꎬ０)对称ꎬ最小正周期为π(ｋɪＺ).㊀㊀三㊁应用举例例１㊀已知ｆ(ｘ＋１)＝－ｆ(ｘ)且ｆ(１)＝－１ꎬ则ｆ(５)＝.解㊀因为ｆ(ｘ＋１)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以是以２为周期的周期函数ꎬ则ｆ(５)＝ｆ(１)＝－１.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ－２)ꎬ且ｆ(ｘ＋４)＝ｆ(４－ｘ)ꎬ当－６ɤｘɤ－２时ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ且ｆ(－４)＝－１３ꎬ若ｍ＝ｆ(ｂ/３)ꎬｎ＝ｆ(ｃ/２)ꎬｐ＝ｆ(１１)ꎬ则ｍ㊁ｎ㊁ｐ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ｐ<ｎ<ｍ㊀Ｂ.ｍ<ｎ<ｐ㊀Ｃ.ｎ<ｐ<ｍ㊀Ｄ.ｐ<ｍ<ｎ解㊀由ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ－２)得ｆ(ｘ)是以４为周期的周期函数.又因为ｆ(ｘ＋４)＝ｆ(４－ｘ)ꎬ则ｆ(ｘ)又关于直线ｘ＝４对称ꎬ因此ｂ＝８ꎬｃ＝－６１.而ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ且在[０ꎬ２]上是增函数ꎬ则ｍ＝ｆ(ｂ/３)＝ｆ(８/３)＝ｆ(４/３)ꎬｎ＝ｆ(ｃ/２)＝ｆ(－６１/２)＝ｆ(３/２)ꎬｐ＝ｆ(１１)＝ｆ(１)ꎬ故ｐ<ｍ<ｎꎬ选Ｄ.例３㊀若函数ｆ(ｘ)的最小正周期是２００４ꎬ而ｆ(１００２＋ｘ)＝ｆ(１００２－ｘ)对一切实数ｘ都成立ꎬ则ｆ(ｘ)(㊀㊀).Ａ.是奇函数而不是偶函数Ｂ.是偶函数而不是奇函数Ｃ.既是奇函数又是偶函数Ｄ.既不是奇函数又不是偶函数解㊀因为ｆ(１００２＋ｘ)＝ｆ(１００２－ｘ)ꎬ所以ｘ用ｘ＋１００２代换得:ｆ(２００４＋ｘ)＝ｆ(－ｘ).而ｆ(ｘ)以２００４为周期ꎬ故ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ选Ｂ.例４㊀已知函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘ㊁ｙ有①ｆ(ｘ＋ｙ)＋ｆ(ｘ－ｙ)＝２ｆ(ｘ)ｆ(ｙ)ꎬ且ｆ(０)ʂ０②ｆ(π/２)＝０.(１)判断ｆ(ｘ)的奇偶性ꎻ(２)判断ｆ(ｘ)是否为周期函数.解㊀(１)令ｘ＝ｙ＝０ꎬ得２ｆ(０)＝２ｆ(０)ｆ(０).ȵｆ(０)ʂ０ꎬʑｆ(０)＝１.再令ｘ＝０得ｆ(ｙ)＋ｆ(－ｙ)＝２ｆ(０)ｆ(ｙ)ꎬʑｆ(－ｙ)＝ｆ(ｙ)ꎬ即ｆ(ｘ)是偶函数.(２)令ｘ＝ｔ＋π/２ꎬｙ＝π/２得:ｆ(π＋ｔ)＋ｆ(ｔ)＝２ｆ(ｔ＋π/２)ｆ(π/２)ꎬ即得:ｆ(π＋ｔ)＝－ｆ(ｔ)ꎬ则ｆ(ｘ)是２π为周期的周期函数.例５㊀函数ｆ(ｘ)在Ｒ上有定义且满足(１)ｆ(ｘ)是偶函数且ｆ(０)＝３２ꎻ(２)ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ－１)是奇函数ꎬ试求ｆ(２００４)的值.解㊀由ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ－１)是奇函数得ｆ(ｘ－１)的图象关于原点(０ꎬ０)对称ꎬ则ｆ(ｘ)的图象关于点(－１ꎬ０)对称.(把函数ｆ(ｘ)的图象向右平移一个单位即得函数ｆ(ｘ－１)的图象)而函数ｆ(ｘ)又是偶函数ꎬ所以得函数ｆ(ｘ)是以４为周期的周期函数.因此ｆ(２００４)＝ｆ(５０１ˑ４＋０)＝ｆ(０)＝３２.㊀㊀参考文献:[１]黄静.关于周期函数的几点说明[Ｊ].中学生数学ꎬ２００５.[２]施金凤.函数奇偶性判断中的盲点[Ｊ].数学大世界:高中生数学辅导版ꎬ２００４.[３]章高武.解读高考题中的抽象函数[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２００７.[４]王庆胜.师傅领进门修行在个人 浅谈数学教师在教学中引导的作用[Ｊ].求知导刊ꎬ２０１５.[责任编辑:杨惠民]０２。
第十讲 函数的性质(3)周期性
1 (3) f ( x + 3) = ± , 周期T = ___; f ( x) (4) f ( x + 1) + f ( x ) = 1, 周期T = ___;
(5) f ( x − 1) = f ( x − 3), 周期T = ___; (6) f ( x − m ) = f ( x − n), 周期T = ___; (7) f ( x ) = f ( x − 1) + f ( x + 1), 周期T = ___;
第十讲 函数的基本性质（3） 函数的基本性质（ 函数的周期性： 三、函数的周期性： y=f(x)， 1.周期函数 对于函数y=f(x) 如果存在一个不为零的常 周期函数： 1.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常 使得当x取定义域内每一个值时 f(x+T)=f(x)都成 数T，使得当x取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)都成 就把f(x)叫做周期函数 f(x)叫做周期函数. 立，就把f(x)叫做周期函数. 中不为零的常数T. 2.周期 f(x+T)＝f(x)中不为零的常数 周期： 2.周期：f(x+T)＝f(x)中不为零的常数T. 3.最小正周期 如果在函数的周期中，存在一个最小的正 最小正周期： 如果在函数的周期中， 3.最小正周期： 就把这个正数叫做最小正周期. 数，就把这个正数叫做最小正周期. 4.证明函数为周期函数的步骤 证明函数为周期函数的步骤： 4.证明函数为周期函数的步骤： 在定义域中任取一个自变量x; ①在定义域中任取一个自变量x; 找到一个常数T≠0,证明： T≠0,证明 ②找到一个常数T≠0,证明：f(x+T)=f(x). 5.证明常数 为最小正周期的方法： 证明常数T 5.证明常数T为最小正周期的方法： 验证： ①验证：f(x+T)=f(x); 用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. ②用反证法证明：不可能有比T还小的正周期. 6.重要结论 已知常数T≠0，当x取定义域内每一个值时， 重要结论： 已知常数T≠0 T≠0， 取定义域内每一个值时， 6.重要结论：
概周期函数及其主要性质
概周期函数及其主要性质
；
概周期函数是拥有指定周期的精确函数，如正弦函数和余弦函数等，其中最重要和引人注目的特点在于它们不断重复出现着相同模式的赋值：数学意义上赋值应该是被周期化的，如果不被周期化，则不可能存在概周期函数。
这种概周期函数在许多现实世界中发挥重要作用，以及包含这些概周期函数的应用更是遍及到多个领域，如物理、计算机科学、经济学、工程学等。
概周期函数的主要性质有三点，首先，它们具有精确的周期性，正弦函数、余弦函数都是<u>周期函数</u>，函数值按照规定的周期不断重复；其次，概周期函数的幅度大小受时刻影响，这是因为它们的函数值均为保持周期性，也能够随着时刻的变化而伴随变化；第三，概周期函数可以反映出对于任何周期性让它变化的情况，比如车流量和月亮的变化等，都可以通过概周期函数来描绘，所以我们还可以借助概周期函数来研究这种周期性的情况。
概周期函数被广泛应用，尤其是在计算机科学领域。
用于数据分析中，概周期函数能够作为一种特殊的拟合模型，来有效模拟某一特定的数据周期性；用于数据压缩中，概周期函数可以作为数据处理过程中的一种有效编码格式，以帮助数据更加有效地存储和传输，从而节省网络带宽；此外，概周期函数还可以用来检测多个项目的联系和关联性，甚至找出非线性的相关性，这对研究复杂的社会问题hack过程，乃至像更加深入的未来趋势预测非常有用。
以上便是概周期函数及其主要性质的内容，他们扮演了不可或缺的重要角色，而在互联网领域，可用来加速数据存储、解析和传输的应用，如数据分析、数据压缩和预测未来趋势等，包括概念上的也包括实质上的，概周期函数不断改进着我们的互联网体验。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。
本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。
具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。
反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。
奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。
2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。
3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。
4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。
在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。
例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。
而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。
二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。
2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。
周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。
周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。
三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。
事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。
具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。
函数性质——对称与周期
函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义（略），请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的周期性与奇偶性
函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。
函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。
本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。
一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。
若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期函数是一类具有固定重复规律的函数。
常见的周期函数有三角函数和指数函数。
以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。
它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。
对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。
而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。
函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。
二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。
若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。
偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。
典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。
典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。
在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。
比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。
同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。
函数的增减性与周期性
函数的增减性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了一种映射关系，将一个或多个输入值映射到一个输出值。
在学习函数的性质时，我们常常会关注函数的增减性与周期性，这些性质对于函数的理解和应用具有重要的意义。
一、函数的增减性函数的增减性是指函数在定义域上单调递增或单调递减的性质。
具体来说，如果对于定义域上的任意两个实数a和b（a < b），有f(a) < f(b)，那么我们称函数f在[a, b]上是单调递增的；如果f(a) > f(b)，那么我们称函数f在[a, b]上是单调递减的。
1.1 单调递增考虑一个实函数f(x)，如果对于定义域上的任意两个实数a和b（a < b），都有f(a) < f(b)，那么我们称函数f(x)在[a, b]上是单调递增的。
单调递增的函数具有以下特点：- 函数图像随着自变量的增大而不断向上移动；- 在定义域上，随着自变量的增大，函数值也会增大。
1.2 单调递减类似地，如果对于定义域上的任意两个实数a和b（a < b），都有f(a) > f(b)，那么我们称函数f(x)在[a, b]上是单调递减的。
单调递减的函数具有以下特点：- 函数图像随着自变量的增大而不断向下移动；- 在定义域上，随着自变量的增大，函数值会减小。
函数的增减性是对函数变化规律的描述，通过分析函数的增减性，我们可以推断函数在定义域上的各种性质。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在定义域上存在一个正数T，使得对于定义域上的任意实数x，都有f(x+T) = f(x)。
这个正数T称为函数的周期，记作T>0。
2.1 周期函数如果函数f(x)满足上述条件，那么我们称函数f(x)是一个周期函数。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数，它们都是以2π为周期的函数。
例如，对于正弦函数sin(x)，有s in(x+2π) = sin(x)。
周期函数具有以下特点：- 函数图像在一个周期内重复出现；- 周期函数在任意一个周期内，其函数值具有相同的规律。
1.4.3正余弦函数的性质周期性、奇偶性
(2) y sin z 的对称中心为( k ,0) , k Z z k 2 x k x k 6 2 3
对称中心为 (
6
k
2
,0) , k Z
二、正、余弦函数的单调性:
y sin x
-3
5 2
y
1
-2
3 2
-
4T 4
三、正、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
-4 -3 -2 -
y=sinx (xR) 奇函数
定义域关于原点对称
y=cosx (xR) 偶函数
1T 2
2T
1 3y 2 sin x , x R 6 2
3T 4
探究：你能探究出下列函数的周期吗？
y A sin( x )的周期： y A cos( x )的周期：
2 y A sin( x )的周期： T | |
2 对称轴： x k , k Z
2 对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z 2
题型一、”整体法”求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
例1、求下列函数的单调区 间 （ 1 ）y sin(2 x ) 4 (3) y sin(2 x ) 4
2 y A cos( x )的周期： T | |
练习:求下列函数的周期：
1 1 y sin( x ) 3 4
周期函数课件
图像法判定周期性
总结词
通过观察函数的图像来判断其周期性。
详细描述
图像法是一种直观的判定函数周期性的方法。通过观察函数的图像，如果函数图像呈现规律性的重复 ，则说明该函数具有周期性。同时，图像法还可以用于确定函数的周期长度。
对称轴
01
对于一些周期函数，如正弦函数和余弦函数，存在垂直于x轴的
对称轴。
对称中心
02
有些周期函数存在关于某点的对称中心，源自正弦函数和余弦函数的零点。
对称轴和对称中心的应用
03
对称性在解决与周期函数相关的问题时具有重要作用，如求函
数的最大值和最小值、判断函数的奇偶性等。
PART 05
周期函数的应用实例
半角函数的周期性
例如，半正弦函数sin(θ/2)和半余 弦函数cos(θ/2)等半角函数也具 有周期性。
双角函数的周期性
例如，二倍角函数 sin2θ=2sinθcosθ和余二倍角函 数cos2θ=cos²θ-sin²θ等双角函 数也具有周期性。
PART 03
函数周期性的判定
REPORTING
WENKU DESIGN
正弦、余弦、正切等三角函数是周期函数，它们在解决数学问题 中有着广泛的应用。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究周期函数的重要工具，它在信号处理、图像处理 等领域有着广泛的应用。
调和分析
调和分析是研究函数和信号的分解与合成的一门学科，其中周期函 数是重要的研究对象之一。
THANKS
感谢观看
REPORTING
周期函数性质的证明
推论3：由定理3.2及定理3.3，如果 是实数集上一非常数连续周期函数，且有连续的导函数，则 是 的周期当且仅当 是 的周期．
例2：证明 不是周期函数．
证明：令 ，显然它在 上连续可导，且不为常数函数．如果 是周期函数，则 也是周期函数．取 ， ，这与实数集上连续周期函数有界矛盾．
第二章 预备知识
定义2.1如果有一实数 ，使对任意 （指函数的定义域），均有 ，则称 为以T为周期的周期函数．
定义 设 是周期函数 的周期，那么对于一切正整数 ， 都是 的周期．从而可知周期函数 必有正周期；周期函数的所有周期的集合是一个上，下方均无界且对称于数轴原点的无穷集合．
定义 若 ， 为 的周期，且 ，则 也是 的周期．
证明：设 ，则E非空有下界， 存在，设为 ，
下面证明：（1） ， ；(2) ．由此可得 是函数 的最小正周期．
若 ，则显然有 ；
若 ，那么存在 ，有 ，于是 ，由于 的连续知 = = = =
所以 也是 的周期．
（2）由确界的性质知 ，假设 ，可推出 为常值函数，为此，只要证明对任意实数 ， 及 ，均有
证明：根据题意 ，知 有两个周期，分别为 和 ，他们之比为无理数，由推论2知 为一常数函数．
定理3.3：设 是实数集上一非常数函数，且有连续的导函数，则 的最小
正周期为 ,当且仅当 的最小正周期为 ．
证明：
充分性： ，使得 ，又 存在导函数，
也是一个周期函数且周期为 ．
根据定理3.2，假设 存在最小正周期 ,
，关于连分数的一些结果．
命 表一正实数， 是它的整数部分，又命 ，则 也是正实数，而且大于 ，在命 是 的整数部分及 ，如此下去，命 为 的整数分，而 ，如此就就得到一个分数：
函数的基本性质(二)函数的周期性-10页word资料
函数的基本性质(二)基础知识：函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.)也是f(x)的周期. 一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)例题：1．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.2．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x ＋m)＝f(x －m) 令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m于是f(t ＋2m)＝f(t)对于t ∈R 恒成立， 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,求证:2m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)m x (f 1)m x (f 1+-++--=+++-=＝f(x) 所以f(x)是以2m 为周期的周期函数.4． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])x (f 1)x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)m x (f 1)m x (f 1-=+--+-+-=+++--=于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x)所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.5． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b－x),求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b)) ＝f(2b －x) ＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b)) ＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期6．已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝20047．已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) 所以，f(x)为偶函数 ⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0 所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m] ＝－f(x ＋2m) ＝f(x) 即T ＝4m(周期函数)8． 数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)①求a 100； ②求S 100.解：由已知a 1＝a ，a 2＝b ，所以a 3＝b －a ，a 4＝－a ，a 5＝－b ，a 6＝a －b ，a 7＝a ，a 8＝b ，…… 由此可知，{a n }是以6为周期的周期数列， 于是a 100＝a 6×16＋4＝a 4＝－a又注意到a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 96＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100＝0＋a 97＋a 98＋a 99＋a 100 ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4 ＝a ＋b ＋(b －a)＋(－a) ＝2b －a9． 对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy ＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a 的所有整数a. 解：令x ＝y ＝0，得f(0)＝－1再令x ＝y ＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2 所以f(－1)＝－2又令x ＝1，y ＝－1，可得f ⑴＝1 令x ＝y ＝1得f ⑵＝2f ⑴＋1＋1＝4 令y ＝1，得f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋2即f(x ＋1)－f(x)＝x ＋2 ① 当x 取任意正整数时，f(x ＋1)－f(x)＞0 又f ⑴＝1＞0 所以f(x)＞0于是f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋2＞x ＋1 即对任意大于1的正整数t ，f(t)＞t在①中，令x ＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1 注意到f(x)－f(x ＋1)＝－(x ＋2) 所以当x ≤－4时，f(x)－f(x ＋1)＞0即f(x)＞f(x ＋1)＞f(x ＋2)＞……＞f(－4)＝1 所以x ≤－4时，f(x)＞x综上所述，满足f(a)＝a 的整数只有a ＝1或a ＝－210．设f(x)是一个从实数集R 到R 的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+)71x (f )61x (f )4213x (f +++=+,求证:f(x)是周期函数.证明：由已知f(x)+)4216x (f )427x (f )4213x (f +++=+所以)426x (f )4213x (f )x (f )427x (f +-+=-+)4242x (f )4249x (f ......)4212x (f )4219x (f +-+===+-+=即 )427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ ①同理有)4243x (f )4249x (f )421x (f )427x (f +-+=+-+即 )421x (f )4243x (f )427x (f )4249x (f +-+=+-+ ②由①②)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+)4242x (f )4284x (f ......)422x (f )4244x (f )421x (f )4243x (f +-+===+-+=+-+=于是f(x ＋1)－f(x)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)，记这个差为d 同理f(x ＋3)－f(x ＋2)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)＝d ……f(x ＋n ＋1)－f(x ＋n)＝f(x ＋n)－f(x ＋n －1) ＝……＝f(x ＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x ＋n)}是一个以f(x)为首项，d 为公差的等差数列 因此f(x ＋n)＝f(x)＋nd ＝f(x)＋n[f(x ＋1)－f(x)]对所有的自然数n 成立，而对于x ∈R ，|f(x)|≤1，即f(x)有界， 故只有f(x ＋1)－f(x)＝0 即f(x ＋1)＝f(x) x ∈R 所以f(x)是周期为1的周期函数.习题:1.函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x ∈R ，均有f(x ＋4)＝f(x)＋f ⑵，求f(2001)的值.2.设f(x)是定义在实数集上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x ∈[2，3]时，f(x)＝x ，那么，当x ∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1,求证:2m 是f(x)的一个周期.4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x ＋m)＝a)x (cf b)x (af -+(其中:a,b,c∈R,且a 2＋bc≠0),求证:2m 是f(x)的一个周期.5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是偶函数,求证:2m 是f(x)的一个周期.6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m ＋x)＝f(m －x)，且f(x)是奇函数,求证:4m 是f(x)的一个周期.7. 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：8.1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
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定义
通俗定义
周期函数
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
严格定义
设f(x)是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质；
（1）对有（X±T）；
（2）对有f（X+T）=f（X）
则称f（X）是数集M上的周期函数，常数T称为f（X）的一个周期。
如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（X）的最小正周期。
由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
编辑本段周期函数性质
（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。
（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。
（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。
（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。
（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。
编辑本段周期函数的判定
定理1
若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
[1]
证：
∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C，
∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。
假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，
有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)，
∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K
f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。
定理2
若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：
先证是f(ax+b)的周期
∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，
则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。
定理3
设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。
证：
设T是u=g(x)的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)
∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x))是M1上的周期函数。
例1
设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。
例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，
f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z）与定义中T 是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。
定理4
设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。
证：
设（(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。
同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。
定理4推论
设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn 分别是它们的周期，若，… （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例4
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。
例5
讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。
又都是有理数
∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证：
（1）f(X)=cos ;
(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。
是周期函数。
定理5
设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又∈Q
由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。
（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。
令x= 得2cos（a1x+ ），则（K∈Z）。
(2)
或C∈Z（3）
又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。
由（3）、（5得）（6）
∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。
（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。
编辑本段非周期函数的判定
[1]（1）若f(X)的定义域有界
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。
例：f(X)=cos 是非周期函数。
（3）一般用反证法证明。
（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。
例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对，有
sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T 有sin( T+T)2=sin（ T）2=s in2kπ=0，∴( +1)2
T2=Lπ(L∈Z+)，∴
与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。